2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语学案新人教A版选修1_1

第一章 常用逻辑用语
§1.1　命题及其关系
§1.1.1　命 题
[课标解读]
1．了解命题的概念，并会判断命题的真假．(重点)
2．理解命题的结构形式，并能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)

1．定义：在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
2．分类
真命题：判断为真的语句．
假命题：判断为假的语句．
3．形式：命题“若p，则q”，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．
知识点一　命题的概念
阅读命题的概念并观察式子“x<3”，探究以下问题：
探究1：这个式子一定成立吗？
提示　不一定成立．当x＝0时它成立；当x＝4时它不成立，随x的变化而变化，有时成立，有时不成立．
探究2：以前学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？
提示　这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，是命题．
知识点二　命题的分类
探究1：如何判断一个数学命题是假命题？
提示　数学中判定一个命题是真命题，要经过证明，而要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
探究2：公理是真命题吗？
提示　在一个命题系统中，一个命题的真实性已经由人类实践所证实而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就是公理．因而公理是真命题，不需要证明．
知识点三　命题的结构形式
观察命题的基本结构形式“若p，则q”，探究以下问题：
探究1：如何找到“若p，则q”命题的条件和结论？
提示　一般地，“若”后面是条件，“则”后面是结论．
探究2：一个命题写成“若p，则q”的形式后，如何判断命题的真假？
提示　当一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断这种命题真假的方法是：若由p经过逻辑推理推出q，则该命题为真；若判定命题为假，只需举出一个反例即可．


　判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)x2－x＋7>0.
【自主解答】　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)因为x2－x＋7＝＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．
●规律总结
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．
1．下列语句中不是命题的有________．
①难道[()]不是有理数吗？
②王明同学的素描多么精彩啊！
③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
④x2－xy＋y2≥0.
解析　①是反意疑问句含有肯定的意思，是命题．③，④也是命题．②是感叹句，不是命题．
答案　②

　判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
【自主解答】　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
●规律总结
1.判断命题真假的两个技巧,（1）真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论.,（2）假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可.
2.命题真假判断的三种方法
2．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②二次函数的图像与x轴有公共点；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．
解析　对于②，二次函数的图像与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．
答案　①④

　(1)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为________，结论为________．
(2)把下列命题改写为“若p，则q”的形式，指出条件和结论．
①直角三角形的两个锐角互余．
②正弦值相等的两个角的终边相同．
【解析】　(1)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的条件为“x，y都是奇数”，结论为“x＋y是偶数”．
(2)①“若一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余”，条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”．
②“若两个角的正弦值相等，则它们的终边相同”，条件是“两个角的正弦值相等”，结论是“它们的终边相同”．
【答案】　(1)x，y都是奇数　x＋y是偶数
(2)见解析
●规律总结
1．将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
2．命题改写中的注意点
若命题不是以“若p，则q”这种形式给出的，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式．
3．把例题(2)中的命题改为以下形式：
①两个锐角互余的三角形是直角三角形．
②终边相同的两个角的正弦值相等．
求解的问题不变，结论如何？
解析　①“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”，条件是“一个三角形的两个锐角互余”，结论是“这个三角形是直角三角形”．
②“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相等”，条件是“两个角的终边相同”，结论是“它们的正弦值相等”.

易错误区(一)　命题条件不明致误
　将命题“已知a，b为正数，当a>b时，有>”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．
【解析】　根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a>b，则>.其中条件p：a>b，结论q：>.
[易错防范]
1．把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．
2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．
(1)命题“在△ABC中，如果sin A>sin B，那么a>b”的条件是________，结论是________．
(2)命题“平行于同一平面的两条直线互相平行”的条件是________，结论是________．
答案　(1)sin A>sin B　a>b
(2)两条直线平行于同一个平面　这两条直线互相平行

[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列语句中是命题的是
A.是无限不循环小数　 　B．6x≤9
C．什么是“温室效应” D．给我把门打开
解析　B，C，D不是命题，故选A.
答案　A
2．下列命题中真命题的个数为
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
解析　①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等，但不一定互相垂直．
答案　A
3．下列命题是真命题的为
A．{x∈N|x3＋1＝0}不是空集
B．若＝，则x＝y
C．指数函数和对数函数的图像关于y轴对称
D．若整数m是偶数，则m是合数
解析　A错，x3＋1＝0得x＝－1.C错，指数函数和对数函数的图像关于y＝x对称．D错，2是偶数，但不是合数，故选B.
答案　B
4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β ，则下列命题中，假命题是
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析　由已知，a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b可能相交，也可能异面，故选D.
答案　D
5．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析　命题的条件是平行四边形，结论是这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直，故选C.
答案　C
6．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析　对于命题①，设球的半径为R，则π＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0，0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
答案　C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2018·北京)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________．
解析　由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a>0，b<0即可)
答案　1，－1
8．命题：若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)，条件p：__________________，结论q：____________________，是________命题(填“真”或“假”)．
答案　a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)　真
9．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析　由题意得Δ＝(a－1)2－4≤0，即－1≤a≤3.
答案　[－1，3]
三、解答题(共35分)
10．(15分)判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)指数函数是增函数吗？
(2)x>.
(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．
(4)求证方程x2＋x＋1＝0无实数根．
(5)>2.
(6)作△ABC∽△A′B′C′.
(7)这是一棵大树．
解析　(1)是疑问句，不是陈述句，所以不是命题．
(2)(7)不能判断真假，不是命题．
(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题．
(4)(6)都是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．
11．(10分)将下列命题改写为“若p，则q”的形式．并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称．
解析　(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．
12．(10分)判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．
解析　这是可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题．
函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图像的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图像与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．
§1.1.2　四种命题
§1.1.3　四种命题间的相互关系
[课标解读]
1．了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题．
2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．
3．会利用命题的等价性解决问题．

1．原命题与逆命题
2．原命题与否命题
3．原命题与逆否命题
4．四种命题的真假关系
(1)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，其真假性没有关系．
知识点一　四种命题之间的关系
探究1：结合四种命题间的关系图，思考下列问题：
(1)判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面？
提示　判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了，是否都否定了．
(2)一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗？
提示　可以通过命题的结构形式，即它的条件和结论分析，逆命题与否命题是互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的．
探究2：根据四种命题之间的关系，完成下列填空：
(1)一个命题的逆命题和逆否命题的关系是________．
(2)若一个命题的否命题为真，则这个命题的逆命题的逆否命题是________命题(填“真”“假”)．
提示　(1)互为否命题　(2)真
知识点二　四种命题的真假性及等价命题
根据四种命题的真假性，讨论下列问题：
探究1：四种命题之间哪些命题具有相同的真假性？
提示　原命题与其逆否命题具有相同的真假性，原命题的逆命题与原命题的否命题具有相同的真假性．
探究2：在四种命题中，真命题的个数可能有几个？
提示　因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题，它们同真或同假，所以真命题的个数可能是0，2或4.
探究3：当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断？
提示　因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，所以当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题的等价性来证明．在有些题目中，也会用到反证法这种逆向思维的思路来分析和解决问题.


　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
【自主解答】　(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
●规律总结
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
1．下列说法错误的是________．
①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边相等的四边形不是正方形”；
②“若x2＝9，则x＝3”的否命题的逆否命题是“若x2≠9，则x≠3”；
③“若a>b，则7a>7b”的逆否命题是“若7a≤7b，则a≤b”．
解析　①错．否命题的条件、结论同时否定．②错．否命题的逆否命题是“若x＝3，则x2＝9”．③对．
答案　①②

　有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【自主解答】　(1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；
(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；
(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．
【答案】　B
●规律总结
四种命题的真假判断的两种方法
(1)直接判断：利用命题真假判断的方法判断．
(2)等价转化：由于互为逆否命题的两命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的两命题的真假具有等价性即可完成．
2．原命题为“若A．真、真、真　　　　　　B．假、假、真
C．真、真、假 D．假、假、假
解析　由题知原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.
答案　A

　(1)命题：“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<2”的逆否命题是________命题(填“真”或“假”)．
(2)证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
【解析】　(1)先判断原命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，所以相应二次方程的判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，所以a<<2.所以原命题为真命题．又因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以此命题的逆否命题为真命题．
(2)该命题的逆否命题为：若p＋q>2，则p2＋q2≠2.因为原命题与其逆否命题的真假相同，故只需证明其逆否命题为真命题即可．
因为p＋q>2，所以(p＋q)2>4.因为p2＋q2≥2pq，所以p2＋q2>2.即p＋q>2时，p2＋q2≠2成立．
所以如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2成立．
【答案】　(1)真　(2)见解析
●规律总结
命题真假判断的一种策略
当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时，涉及分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．
3．求证：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明　原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)
规范解答(一)　由等价命题求参数的取值范围
　(12分)命题：对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立是真命题，求实数a的取值范围．
【审题流程】　
―→
　
―→一个命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”，一个结论，该命题为真命题　
―→根据不等式ax2－2ax－3≤0对任意x∈R恒成立的条件，列出关于参数a的不等式(组)，求解实数a的范围
【规范解答】　
因为命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”等价于对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，(2分)
第一步，通过对条件分析，将所求问题转化为ax2－2ax－3≤0在x∈R上恒成立问题
若a＝0，则－3≤0恒成立，所以a＝0符合题意．(4分)
设f(x)＝ax2－2ax－3，当a>0时，二次函数的图像开口向上，图像不会全部落在x轴下方，显然不符合题意．(5分)
当a<0时，二次函数f(x)＝ax2－2ax－3开口向下，只需满足Δ≤0即可，即所以(8分)
所以
所以－3≤a<0.(10分)


已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1<0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
解析　命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1<0不成立”等价于“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0成立”是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，由二次函数的图像易知：Δ＝a2－4≤0，解得：－2≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[－2，2].

[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．命题“若一个数是偶数，则它能被2整除”的逆命题是
A．“若一个数是偶数，则它不能被2整除”
B．“若一个数能被2整除，则它是偶数”
C．“若一个数不是偶数，则它不能被2整除”
D．“若一个数不能被2整除，则它不是偶数”
解析　条件与结论互换，故选B.
答案　B
2．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是
A．原命题、否命题　　　　B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
解析　因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
答案　C
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
解析　命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题为“若a>－6，则a>－3”，为假命题，则它的否命题“若a≤－3，则a≤－6”也必为假命题；它的逆否命题“若a≤－6，则a≤－3”为真命题．故真命题的个数为2.
答案　B
4．有下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题．②“面积相等的三角形全等”的否命题．③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实数解”的逆命题．④“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题．
其中真命题个数为
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
解析　①的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题．②的否命题是“面积不相等的三角形不全等”为真命题．③④均为真命题，故选D.
答案　D
5．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
解析　设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
答案　A
6．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.
其中真命题的个数为
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3
解析　命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；
命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图像开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
答案　B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是______命题(填“真”或“假”)．
解析　命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是“若实数a满足a>2，则a2≥4”，为真命题．
答案　真
8．命题“若m>n，n>k，则m>k”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．
解析　原命题为真，逆命题、否命题为假，逆否命题为真．
答案　2
9．已知命题“若m－1解析　由已知得，若1答案　[1，2]
三、解答题(共35分)
10．(10分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.
解析　(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．
11．(10分)命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b>0，写出该命题的逆命题，并判断其真假．
解析　逆命题：已知a，b为实数，若a2－4b>0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
因为a2－4b>0，所以x2＋ax＋b＝0有两不相等的根．结合函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像知关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，逆命题为真．
12．(15分)已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有实数根；
命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．
若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解析　方程x2＋mx＋1＝0有实数根，所以Δ1＝m2－4≥0，所以p：m≥2或m≤－2；
方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，
所以Δ2＝16(m－2)2－16<0，所以q：1①p真q假：所以
所以m≥3或m≤－2.
②p假q真：
所以所以1所以实数m的取值范围为1§1.2　充分条件与必要条件
[课标解读]
1．理解充分条件，必要条件，充要条件的意义．
2．掌握充分条件，必要条件，充要条件的判断方法．(重点)
3．能证明充要条件，会求简单的充要条件．(难点)

1．充分条件、必要条件
(1)前提：“若p，则q”形式的命题为真命题．
(2)条件：p?q.
(3)结论：p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．充要条件
(1)定义：若p?q且q?p，则记作p?q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
3．互为充要条件
如果p?q，那么p与q互为充要条件．
知识点一　充分条件和必要条件
探究：结合充分条件和必要条件的概念，思考下列问题：
(1)“地面湿了”与“天下雨了”的关系是什么？
提示　“地面湿了”，不能说“天一定下雨了”，但是如果“天下雨了”，必定会“地面湿了”，“地面湿了”是“天下雨了”的必要条件．
(2)若p是q的充分条件，这样的条件p惟一吗？
提示　不惟一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”，“x>3”或“2(3)如何理解充分条件和必要条件中的“充分性”和“必要性”？
提示　①由充分条件的意义可知，只要具备条件p，就能得出结论q，或要得出结论q，只要具备条件p就行．
②p是q的必要条件，即要使条件q成立，条件p是必须具备的，不可缺少的；若没有条件p，则条件q必不成立．
知识点二　充要条件的概念
探究：思考式子p?q的含义，并结合充要条件的概念，解决下列问题．
(1)符号“?”的含义是什么？
提示　符号“?”的含义是“等价于”．例如“p?q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只需p”；“p?q”的含义还可以理解为“p?q，且q?p”．
(2)p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗？
提示　不相同．两者都有p与q等价的含义，但是两种叙述方式中的条件与结论不同：“p是q的充要条件”中，“p”是条件，“q”是结论，即p?q为真，充分性成立，q?p为真，必要性成立；而“q是p的充要条件”中的条件是“q”，结论是“p”，即q?p为真，充分性成立，p?q为真，必要性成立．
(3)若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？
提示　充分条件与必要条件是共存的，如果p不是q的充分条件，则q也不是p的必要条件．p可能是q的必要条件．

题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断
　(1)(2018·天津)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2018·北京)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)已知命题“若p：m<－1，则q：x2－x－m>0对x∈R恒成立”，试判断p是q的______________，q是p的______________(填“充分条件”或“必要条件”)．
【自主解答】　(1)由x3>8可得x>2，由|x|>2可得x>2或x<－2.故“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件．故选A.
(2)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．故选B.
(3)因为m<－1，所以Δ＝1＋4m<－3<0，故x2－x－m>0对x∈R恒成立，已知命题为真命题，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
【答案】　(1)A　(2)B　(3)充分条件　必要条件
●规律总结
1.充分条件的两种判断方法
2．必要条件的两种判断方法
(1)命题的真假判断：“若q，则p”为真命题时，则p是q的必要条件，“若q，则p”为假命题时，则p不是q的必要条件．
(2)根据充分条件判断出必要条件：若q?p，则p是q的必要条件；若qD/?p，则p不是q的必要条件．而要判断p成立的必要条件是q，只需判断由p是否能推出q，即p?q是否成立．Ｋ
1．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a解析　(1)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x>1可以推出x2>1；由x2>1，得x<－1，或x>1，不一定有x>1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a1；当b>0时，<1，故若a0，b>0，<1时，可以推出ab.因此，p是q的既不充分也不必要条件．

　设函数f(x)＝x|x－a|＋b.求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.
【自主解答】　先证充分性：若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以f(x)＝x|x|.因为f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)对一切x∈R恒成立，所以f(x)是奇函数．
再证必要性：若f(x)是奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b.令x＝0，得b＝－b，所以b＝0；令x＝a，得2a|a|＝0，所以a＝0，即a2＋b2＝0.
●规律总结
1．充要条件证明的两个方面
要证明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要证明必要不充分条件，就是要证明，一个是必要条件，另一个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要证明，一个是充分条件，另一个是不必要条件．
2．充要条件证明的两个关注点
(1)证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p?q是证明充分性，推证q?p是证明必要性．
(2)充要性的证明，一般有一种情形是比较简单易证的，因此在证明时，既可以先证明充分性，也可以先证明必要性．
2．试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

　(1)若“x2＋ax＋2＝0”是“x＝1”的必要条件，则a＝________．
(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】　(1)由x2＋ax＋2＝0是x＝1的必要条件，知x＝1是方程x2＋ax＋2＝0的根，代入解得a＝－3.
(2)由x2－x－2>0?x>2或x<－1；4x＋p<0?x<－，当－≤－1，即p≥4时，x<－≤－1?x<－1?x2－x－2>0，故当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．
【答案】　(1)－3　(2)见解析
●规律总结
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
3．已知P＝{x|a－4解析　由题意知， Q＝{x|1所以解得－1≤a≤5.故实数a的取值范围是[－1，5]．


　已知P＝{x|a－4【解析】　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件，
所以Q P.因为a＋4－(a－4)＝8>3－1＝2，
所以或即－1＜a≤5，或－1≤a<5，所以－1≤a≤5.
【答案】　[－1，5]
[易错防范]
1．忽略了端点1与a－4重合，a＋4与3重合的情况，错填为(－1，5)．
2．集合关系中等号的处理
在已知两集合间的关系求参数的值或范围时，等号问题常有以下两种处理方法：一是借助数轴分析法，二是假设等号成立求出字母的值，再验证其是否符合题意．如本例中a－4≤1，a＋4≥3都能够取到等号，但不能同时取到等号．
3．转化思想的应用
在由充分和必要条件转化为集合间的关系时，要分清是包含关系还是真包含关系，如本例应是QP.
已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围是________．
解析　p：－2≤x≤10.
由q：x2－2x＋1－m2≤0得[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)，即1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为q是p的充分条件但不是必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3.
又m>0，所以实数m的取值范围为0答案　0
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是
A．0C.解析　p：x2－x<0，即0答案　C
2．设p：11，则p是q成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　利用充分必要条件的定义求解．由2x>1，得
x>0，所以p?q，但qD/?p，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
答案　A
3．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B，故是充分的，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B，故也是必要的．
答案　C
4．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2bD/?a2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但ab2D/?a>b，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
答案　D
5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0 D．2x<1
解析　∵|x|＝x?x≥0，∴选项A是充要条件，选项C，D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
答案　B
6．如果不等式|x－a|<1成立的充分但不必要条件是A.C．a>或a< D．a≥或a≤
解析　由|x－a|<1，得a－1由题意知：(等号不能同时成立)
即≤a≤.
答案　B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．
解析　因为逆否命题为假，所以原命题为假，即AD/? B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案　必要不充分
8．满足tan α＝1的一个充分条件是α＝________(填一角即可)．
解析　由于tan α＝1，故α＝kπ＋(k∈Z)，取α＝，显然，α＝是tan α＝1的一个充分条件．
答案　
9．已知p是r的充分条件而不是必要条件，s是r的必要条件，q是r的充分条件，q是s的必要条件．现有下列命题：
①s是q的充要条件；
②p是q的充分条件而不是必要条件；
③r是q的必要条件而不是充分条件；
④綈p是綈s的必要条件而不是充分条件；
⑤r是s的充分条件而不是必要条件．
则正确命题序号是________．
解析　由p是r的充分条件而不是必要条件，可得p?r，由s是r的必要条件可得r?s，由q是r的充分条件得q?r，由q是s的必要条件可得s?q，故可得推出关系如图所示，据此可判断命题①②④正确．
答案　①②④
三、解答题(共35分)
10．(15分)分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．
(1)p：sin θ＝0，q：θ＝0；
(2)p：θ＝π，q：tan θ＝0.
(3)p：a是整数，q：a是自然数．
(4)p：a是素数，q：a不是偶数．
解析　(1)由于p：sin θ＝0?q：θ＝0，p：sin θ＝0q：θ＝0，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．
(2)由于p：θ＝π?q：tan θ＝0，p：θ＝πDq：tan θ＝0，所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件．
(3)由于p：a是整数q：a是自然数，p：a是整数?q：a是自然数，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．
(4)由于p：a是素数Dq：a不是偶数，所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件．
11．(10分)已知命题p：m∈[－1，1]，命题q：a2－5a－3－≥0，若p是q的充分条件，求a的取值范围．
解析　因为p是q的充分条件，所以当－1≤m≤1时，a2－5a－3≥ 恒成立，
又当－1≤m≤1时，≤3，
所以a2－5a－3≥3，所以a2－5a－6≥0，
所以a≥6或a≤－1.
12．(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
解析　当{an}是等差数列时，因为Sn＝(n＋1)2＋c，所以当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，所以an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，所以a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，因为{an}是等差数列，所以a2－a1＝2，所以1－c＝2.
所以c＝－1，反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1(n≥1，n∈N*)，所以{an}为等差数列．所以{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
§1.3　简单的逻辑联结词
[课标解读]
1．理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(难点)
2．会判断“或”“且”“非”构成的复合命题的真假．(重点)
3．理解由“且”“或”“非”构成的复合命题与集合的“交”“并”“补”之间的关系．(难点)

1．用逻辑联结词构成新命题
使用的逻辑联结词
命题形式
读作
且
p∧q
p且q
或
p∨q
p或q
非
綈p
非p
2.含逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
知识点一　“且”“或”“非”的含义
探究：观察下面的五个命题，结合逻辑联结词的含义，思考以下问题：
①6是2的倍数．
②6是3的倍数．
③6是2的倍数且是3的倍数．
④6是2的倍数或是3的倍数．
⑤6不是2的倍数．
(1)上面的命题③④与命题①②之间有什么关系？
提示　可以看出，命题③是由命题①②使用联结词“且”联结得到的新命题；命题④是由命题①②使用联结词“或”联结得到的新命题．
(2)命题⑤与命题①有什么关系？如何理解逻辑联结词“非”？
提示　命题⑤是由命题①使用联结词“非”联结得到的新命题．逻辑联结词“非”(也称“否定”)是从日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”抽象而来的，“非”是否定的意思．
知识点二　含有逻辑联结词的命题的真假
探究1：观察下图，结合命题的真假判断，思考以下问题：


(1)若p与q的内容毫无关系，则由逻辑联结词联结后的命题的真假可以判断吗？
提示　真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的含有逻辑联结词的命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．例如：p表示“圆周率π是无
理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断命题p∨q的真假．
(2)判断含逻辑联结词的命题的真假，关键是判断什么？
提示　关键是判断每个简单命题的真假，进而才能判断由逻辑联结词构成的命题的真假．
探究2：根据含有逻辑联结词的命题的真假，完成下列填空：
(1)命题“p且q”是真命题，则命题p一定是________命题．
(2)命题“p或q”是假命题，则命题p一定是________命题．
(3)命题“p”是假命题，“綈p且q”是真命题，则命题q一定是________命题．
提示　(1)真　(2)假　(3)真


　分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
【自主解答】　(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
綈p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
●规律总结
用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
1．已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题．
解析　“p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根至多一个实数．

　(1)两直线平行，同位角相等且内错角相等是________(填“真”或“假”)命题．
(2)分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．
①p：函数y＝x2和函数y＝2x的图像有两个交点；
q：函数y＝2x是增函数．
②p：7>7；q：7＝7.
【自主解答】　(1)“两直线平行，同位角相等且内错角相等”是p且q形式的命题，因为p，q都是真命题，所以p且q是真命题．
(2)①因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题，p或q为真命题，非p为真命题．
②因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以p且q为假命题；p或q为真命题，非p为真命题．
【答案】　(1)真　(2)见自主解答
●规律总结
判断“p且q”“p或q”“非p”命题真假的两个步骤
2．分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A?(A∪B)．
解析　(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题．
题型三　利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的范围
　(1)已知c>0且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：关于x的不等式x2＋x＋c>0的解集为R.如果“p∧q”为真，则c的取值范围是________________________________________________________________．
(2)已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)对于命题p：函数y＝cx在R上单调递减?0对于命题q：关于x的不等式x2＋x＋c>0的解集为R?Δ＝1－4c<0?c>.
因为p∧q为真，所以p，q均为真，故(2)p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根??m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根?Δ＝16(m－2)2－16<0?1所以綈p：m≤2，綈q：m≤1或m≥3.
因为“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，所以p为真且q为假，或p为假且q为真．
①当p为真且q为假时，即p为真且綈q为真，所以解得m≥3；
②当p为假且q为真时，即綈p为真且q为真，所以解得1综上所述，实数m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)．
【答案】　(1)●规律总结
应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤
(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B.
(2)由“p且q”“p或q”的真假讨论p，q的真假．
(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算．
(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．
3．已知p：不等式mx2＋1>0的解集是R；q：f(x)＝logmx是减函数．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．
解析　因为不等式mx2＋1>0的解集是R，所以或m＝0，解得m≥0，即p：m≥0，
又f(x)＝logmx是减函数，所以0即p为真，q为假，或p为假，q为真．
所以或得m≥1.
所以m的取值范围是m≥1.

规范解答(二)　求解含联结词命题中的参数
　(12分)已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．
【审题流程】　
―→要求a的范围，应根据二次函数的单调性和不等式的解集为R，构造关于a的不等式(组)
―→二次函数在[－2，＋∞)上单调递增，其对称轴在x＝－2的左侧；由不等式的解集为R，知a>0且Δ<0或a＝0；由p∧q假，p∨q真，得p和q一真一假
―→p真，求a的范围→q真，求a的范围→p，q一真一假，求a→结果
【规范解答】
∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3＝[x＋(a2－a)]2－a2，在[－2，＋∞)上单调递增，∴－(a2－a)≤－2，(2分)
即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2，即p：a≤－1或a≥2.(3分)
由不等式ax2－ax＋1>0的解集为R得或a＝0
即或a＝0，解得0≤a<4，
∴q：0≤a<4.(5分)
∵p∧q假，p∨q真，∴p与q一真一假．
∴p真q假或p假q真，(7分)
即或
∴a≤－1或a≥4或0≤a<2.(10分)

所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0，2)∪[4，＋∞)．(12分)

设命题p：关于x的函数y＝(a－1)x为增函数；命题q：不等式－3x≤a对一切正实数均成立．
若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解析　当命题p为真命题时，a－1>1即a>2.
当命题q为真命题时，由x>0得3x>1，所以－3x<－1.
不等式－3x≤a对一切正实数均成立，所以a≥－1，
由命题“p∨q”为真，且“p∧q”为假，得命题p，q一真一假．
(ⅰ)当p真，q假时，则无解；
(ⅱ)当p假，q真时，则得－1≤a≤2，
综上所述，实数a的取值范围是[－1，2].

[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是
A．p∧(綈q)　　　　　　B．(綈p)∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q
解析　由题意知命题p为真，q为假，故选A.
答案　A
2．“xy≠0”是指
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0
解析　xy≠0是x，y均不能为0，故选A.
答案　A
3．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则
A．p或q 为假 B．q假
C．q真 D．p假
解析　綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假，故选B.
答案　B
4．已知p：函数y＝2|x－1|的图像关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“綈p”中，真命题有
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个
解析　命题p是真命题．y＝x＋在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题．∴p且q为假，p或q为真，綈p为假．
答案　B
5．已知命题p：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，命题q：若m＞－2，则x2＋2x－m＝0有实根，则
A．“p∨q”为真 B．“綈p”为真
C．“p∧q”为真 D．“綈q”为假
解析　命题p的逆否命题是：若x，y全为零，则x2＋y2＝0.真命题，即p为真命题；又m＞－2时，Δ＝4(m＋1)，有可能Δ<0，所以q为假命题．故选A.
答案　A
6．由下列各组命题构成p或q，p且q，非p形式的新命题中，p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题的是
A．p：3是偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5>3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R，q：N＝N
解析　由p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题可知p为假命题且q为真命题，选项中符合要求的只有B.
答案　B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则綈p是q的________条件(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中的一个)．
解析　由＜1解得x＞1或x＜0，
即q：x＞1或x＜0，而綈p：x＞1，
所以綈p是q的充分不必要条件．
答案　充分不必要
8．若命题p：不等式ax＋b＞0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．
解析　因命题p、q均为假命题，所以“p∨q”“p∧q”为假命题，“綈p”为真命题．
答案　綈p
9．p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
解析　p：x<3；q：－1因为p且q为假命题，所以p，q中至少有一个为假，所以x≥3或x≤－1.
答案　(－∞，－1]∪[3，＋∞)
三、解答题(共35分)
10．(10分)分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“綈p”的形式，并判断真假．
(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数，q：2n－1(n∈Z)是偶数；
(2)p：a2＋b2<0(a∈R，b∈R)，q：a2＋b2≥0.
(3)p：集合中的元素是确定的，q：集合中的元素是无序的．
解析　(1)p∨q，2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数(真)；
p∧q：2n－1(n∈Z)既是奇数又是偶数(假)；
綈p：2n－1(n∈Z)不是奇数(假)．
(2)p∨q：a2＋b2<0，或a2＋b2≥0(真)；
p∧q：a2＋b2<0，且a2＋b2≥0(假)；
綈p：a2＋b2≥0(真)．
(3)p∨q：集合中的元素是确定的或是无序的(真)；
p∧q：集合中的元素是确定的且是无序的(真)；
綈p集合中的元素是不确定的(假)．
11．(10分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解析　(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)·(x－a)<0，又a>0，所以a由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，
所以q为真时实数x的取值范围是2≤x≤3.
若p∧q为真，则2≤x<3，所以实数x的取值范围是[2，3)．
(2)设A＝{x|a则B?A，所以?1所以实数a的取值范围是(1，2)．
12．(15分)设命题p：方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1<1(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．
解析　(1)若p为真命题，令f(x)＝2x2＋x＋a，则f(1)<0，即3＋a<0，所以a<－3.
(2)假设p∧q是真命题，则p，q均为真命题．由(1)知p真时a<－3.
当q为真命题时，需即a>1.
显然p，q均为真命题时需
此时，a不存在，故不存在a的值使p∧q为真命题．
§1.4　全称量词与存在量词
[课标解读]
1．理解全称量词与存在量词的含义．(难点)
2．会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断全称命题与特称命题的真假．(重点)
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易错点)

1．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“?”表示．
(2)全称命题：含有全称量词的命题叫作全称命题．
(3)符号表示：符号简记为?x∈M，p(x)，读作：对任意x属于M，有p(x)成立．
2．存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“?”表示．
(2)特称命题：含有存在量词的命题叫作特称命题．
(3)符号表示：符号简记为?x0∈M，p(x0)，读作：“存在一个x0属于M，使p(x0)成立．”
3．全称命题的否定
全称命题p
綈p
结论
?x∈M，p(x)
?x0∈M，綈p(x0)
全称命题的否定是特称命题
4.特称命题的否定
特称命题p
綈p
结论
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，綈p(x)
特称命题的否定是全称命题
知识点一　全称量词和全称命题
探究：根据全称命题的概念，思考下列问题：
(1)在全称命题中，量词是否可以省略？
提示　在有些全称命题中，全称量词是可以省略的，如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．
(2)一个全称命题的表述是否惟一？
提示　不惟一．对于一个全称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．
知识点二　存在量词和特称命题
探究1：观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
提示　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．
(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)
提示　常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
探究2：怎样区别全称命题和特称命题？
提示　全称命题含有或隐含全称量词，体现了任意、所有的意思，特称命题含有或隐含存在量词，体现了特殊存在性.
知识点三　命题的否定
探究1：观察下面两个全称命题，完成以下问题：
①每一个负数的平方都是正数．
②?x∈R，x2－2x＋3>0.
(1)写出上述全称命题的否定，其否定还是全称命题吗？
提示　上述全称命题的否定分别为：
①存在一个负数的平方不是正数．
②?x0∈R，x－2x0＋3≤0.
其否定都变成了特称命题．
(2)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？
提示　不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
探究2：观察下面的两个特称命题，完成以下问题：
①存在一个数，它的绝对值不是正数；
②?x0∈Z，x－1<0.
(1)写出上述特称命题的否定，其否定还是特称命题吗？
提示　上述特称命题的否定分别为：①对任意一个数，它的绝对值都是正数．②?x∈Z，x2－1≥0.其否定都变成了全称命题．
(2)特称命题否定后的命题与原特称命题的真假性有什么关系？
提示　特称命题的否定与原特称命题的真假性相反．


　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)有的向量方向不定；
(2)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(3)矩形的对角线不相等；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
【自主解答】　(1)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(2)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
●规律总结
判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路
1．(1)命题“自然数的平方大于零”是________命题(填“全称”或“特称”)，其省略的量词是________．
解析　自然数的平方大于零意思是说所有自然数的平方都大于零，故该命题是全称命题，其省略的量词是“所有的”．
答案　全称　所有的
(2)判断下列命题是全称命题，还是特称命题．
①凸多边形的外角和等于360°；
②有一个实数a，a不能取对数；
③任何数的0次方都等于1.
解析　①可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题；
②含有存在量词“有一个”，因此是特称命题；
③含有全称量词“任何”，故是全称命题．

　判断下列命题的真假．
(1)?x∈R，都有x2－x＋1>.
(2)?α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.
(3)?x，y∈N，都有x－y∈N.
(4)?x0，y0∈Z，使得 x0＋y0＝3.
【自主解答】　(1)真命题．∵x2－x＋1－＝x2－x＋＝＋≥>0，
∴x2－x＋1>恒成立．
(2)真命题．例如α＝，β＝，符合题意．
(3)假命题．例如x＝1，y＝5，x－y＝－4?N.
(4)真命题．例如x0＝0，y0＝3符合题意．
●规律总结
全称命题与特称命题的真假判断的技巧
(1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)特称命题的真假判断
要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)?x0，x0－2≤0；
(2)三角形两边之和大于第三边；
(3)有些整数是偶数．
解析　(1)特称命题．x0＝1时，x0－2＝－1≤0，故特称命题“?x0，x0－2≤0”是真命题．
(2)全称命题．三角形中，任意两边之和大于第三边，故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．
(3)特称命题.2是整数，2也是偶数．故特称命题“有些整数是偶数”是真命题．

　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】　(1)綈p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
因为?x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r：?x∈R，x2＋4x＋6>0，真命题．
(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题，
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
●规律总结
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
3．判断下列命题的真假，并写出它们的否定．
(1)对任意x∈R，x3－x2＋1≤0.
(2)所有能被5整除的整数都是奇数．
(3)对任意的x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
解析　(1)当x＝2时，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命题．
命题的否定：存在x0∈R，x－x＋1＞0.
(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．
命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．
(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．
命题的否定：存在x0∈Q，x＋x0＋1不是有理数．

　(1)若“?x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
(2)已知命题p：“?x0∈R，sin x00恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．
【解析】　(1)由于“?x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}．
(2)由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．
因为“?x0∈R，sin x0－1.
又因为“?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2综上所述，实数m的取值范围是(－1，2)．
【答案】　(1)[1，＋∞)　(2)见解析
●规律总结
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．
(2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．
4．已知命题p：x2－2x＋a≥0在R上恒成立，命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解析　若p是真命题，则Δ＝4－4a≤0，所以a≥1；
若q为真命题，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，
依题意得p，q一真一假，当p真q假时，得a∈?；
当p假q真时，得a≤－2.
综上所述，a的取值范围为a≤－2.

易错误区(三)　混淆命题的否定与否命题而致误
　命题“任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．
【解析】　已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，
即命题的否定是：
存在x0∈R，
若y>0，则x＋y≤0.
【答案】　存在x0∈R，若y>0，则x＋y≤0
[易错防范]
1．混淆命题的否定与否命题两个概念，对条件与结论均作否定而导致错解．“存在x0∈R，若y≤0，则x＋y≤0”．
2．命题的否定只否定结论．否命题是条件和结论都要否定，如本例中命题的否定，否定结论没有否定条件．
命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_______________．
解析　该命题是全称命题，因为含有量词“任何”，其否定应该是特称命题，既要改变量词，又要否定结论，故命题的否定是：“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”．
答案　存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3

[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则
A．綈p：?x∈R，sin x≥1　　B．綈p：?x∈R，sin x≥1
C．綈p：?x∈R，sin x＞1 D．綈p：?x∈R，sin x＞1
解析　对于全称命题的否定，既要把全称量词改为存在量词，又要否定结论．
答案　C
2．有下列四个命题：①?x∈R，2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1，0}，2x＋1>0；③?x0∈N，使x≤x0；④?x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为
A．1　　　 　B．2　　　 　C．3　　　 　D．4
解析　对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
答案　C
3．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?x0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
解析　根据全称命题的否定是特称命题求解．
写全称命题的否定时，要把量词?改为?，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
答案　D
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案　B
5．已知命题p：对?x∈R，?m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是
A．[－2，2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
解析　因为綈p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．
由4x＋2xm＋1＝0，得－m＝＝2x＋≥2.∴m≤－2.
答案　C
6．已知命题p：?x0∈R，使sin x0＝；命题q：?x∈R，都有x2＋x＋1＞0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
其中正确的个数有
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　因为sin x0＝＞1，所以命题p是假命题；
又x2＋x＋1＝＋＞0，
所以命题q是真命题．綈p是真命题，綈q是假命题．
根据真值表可得②③正确．
答案　B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．命题“?x0，y0<0，x＋y≥2x0y0”的否定为________________．
解析　命题是特称命题，其否定是全称命题，否定为：?x，y<0，x2＋y2<2xy.
答案　?x，y<0，x2＋y2<2xy
8．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析　依题意有：0答案　(－，－1)∪(1，)
9．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是________．
解析　当a≤0时，显然存在x0∈R，
使ax＋2x0＋a＜0.
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，
得－1＜a＜1，故0＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
答案　(－∞，1)
三、解答题(共35分)
10．(10分)判断下列命题的真假．
(1)?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β；
(2)?x＞0，有ln6x＋ln3x＋1＞0；
(3)?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减；
(4)?φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数．
解析　(1)当α＝β＝0时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，是真命题．
(2)ln6x＋ln3x＋1＝＋＞0恒成立，是真命题．
(3)当m＝2时，f(x)为幂函数且在(0，＋∞)上递减，是真命题．
(4)当φ＝时，y＝sin(2x＋φ)是偶函数，是假命题．
11．(10分)已知命题p：“任意x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．
解析　由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1，2]上恒成立，得a≤(x2)min，x∈[1，2]，所以a≤1，
若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2，又因为p，q都为真命题，
所以所以a≤－2或a＝1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
12．(15分)已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m0，使不等式m0＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
解析　(1)不等式m0＋f(x)>0可化为m0>－f(x)，即m0>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m0>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m0>－4即可．
故存在实数m0使不等式m0＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m0>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x0)min.
又f(x0)＝(x0－1)2＋4，
所以f(x0)min＝4，所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
答案　①必要条件　②p?q　③或　④全称命题
⑤存在量词

　(1)在空间中“若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等”的逆命题为________，为________命题(填“真”或“假”)．
(2)已知a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假．
【解析】　(1)逆命题为：若两个角相等，则这两个角的两边分别平行，是假命题．
(2)逆命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不相等的实数根，则ac<0”，是假命题．
如当a＝1，b＝－3，c＝2时，方程x2－3x＋2＝0有两个不等实根x1＝1，x2＝2，但ac＝2>0.
否命题“若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根”，是假命题．
这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题．
逆否命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，是真命题．
因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价．
【答案】　(1)若两个角相等，则这两个角的两边分别平行　假　(2)见解析
●规律总结
简单命题真假的判断方法

　(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】　若m?α，n?α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】　A
　已知关于x的实系数二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根α，β.
求证：|a|<2且|β|<2是2|a|<4＋b且|b|<4的充要条件．
【解析】　(1)充分性：由根与系数的关系，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|<2×2＝4.设f(x)＝x2＋ax＋b，则f(x)的图像是开口向上的抛物线．
又|α|<2，|β|<2，所以f(±2)>0.
即有?4＋b>2a>－(4＋b)，
又|b|<4?4＋b>0?2|a|<4＋b.
(2)必要性：由2|a|<4＋b?f(±2)>0且f(x)的图像是开口向上的抛物线．所以方程f(x)＝0的两根α，β同在(－2，2)内或无实根．
因为α，β是方程f(x)＝0的实根，所以α，β同在(－2，2)内，即|α|<2且|β|<2.
●规律总结
1．判断充分条件和必要条件的常用方法
(1)逻辑推断：即用p?q或q?p.
①若p?q，而qp，则p是q的充分不必要条件；
②若pq，而q?p，则p是q的必要不充分条件；
③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件；
④若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法：即看集合A和B的包含关系．
①若A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；
②若AB，则A是B的充分不必要条件；
③若AB，则A是B的必要不充分条件；
④若A＝B，则A，B互为充要条件；
⑤若AB，且AB，则A是B的既不充分也不必要条件．
2．对充要条件的理解及证明
(1)理解：对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”“当且仅当”“必须并且只需”“……，反之也真”等．
(2)证明：证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)．

　(1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称，则下列判断正确的是
A．p为真 B．綈p为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
【解析】　p假，q假，故选C.
【答案】　C
(2)设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
【解析】　若p为真命题，则－2－a<11.
若q为真命题，则－2－a<22.
依题意得p与q一真一假，若p真q假，则
即1综上1●规律总结
判断含有逻辑联结词的命题真假的方法
(1)先确定简单命题p，q.
(2)分别确定简单命题p，q的真假．
(3)利用真值表判断所给命题的真假．

　已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】　“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，故原命题为真命题，则Δ＝25－30a<0，∴a>.
【答案】　
　写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．
(1)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若一个数是质数，则这个数是奇数．
【解析】　(1)命题的否定：x，y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题．
原命题的否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．
(2)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题．
原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．
●规律总结
命题的否定与否命题的区别
命题的否定包括简单命题的否定和含有一个量词的命题的否定；简单命题的否定，只要把结论否定即可；含有一个量词的命题的否定，注意还要把所含的量词改变，即把全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．
而否命题是对原命题的条件和结论分别进行否定，作为新命题的条件和结论．

　已知c>0.设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p或q为真，p且q为假，求c的取值范围．
【解析】　对于命题p：函数y＝cx在R上单调递减?0对于命题q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.
即函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
因为x＋|x－2c|＝
所以函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，所以2c>1，即c>.
由p或q为真，p且q为假知p，q中一真一假．
若p真q假，则解得0若p假q真，则解得c≥1.
综上，c的取值范围是∪[1，＋∞)．
●规律总结
应用分类讨论的思想解题的思路
分类讨论又称逻辑划分，是中学数学中的常用数学思想之一，也是高考中常考的数学思想．分类讨论的关键是逻辑划分标准恰当准确，分类讨论时应注意：
(1)分类讨论时，做到不重不漏．
(2)掌握分类的原则、方法、技巧．
1．命题“梯形的两对角线互相不平分”的命题形式为
A．p或q　　　　　　　B．p且q
C．非p D．简单命题
解析　记命题p：梯形的对角线互相平分，而给定的命题是“梯形的两对角线互相不平分”，是命题p的否定形式，故选C.
答案　C
2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
A．对任意实数x，都有x＞1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析　所给出的命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题．将存在量词变成全称量词，并对结论进行否定，得到“对任意实数x，都有x≤1”．
答案　C
3．命题p：在△ABC中，∠C＞∠B是sin C＞sin B的充分不必要条件；命题q：a＞b是ac2＞bc2的充分不必要条件．则
A．p假q真 B．p真q假
C．p∨q为假 D．p∧q为真
解析　∵∠C＞∠B?c＞b?2Rsin C＞2Rsin B?sin C＞sin B，∴p是假命题．
又a＞bD/?ac2＞bc2(c＝0时)，∴q也是假命题．
∴p∨q为假命题．
答案　C
4．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的假命题有________个．
解析　原命题是假命题，
如：3≠5，4≠2，但3＋4＝5＋2；
逆命题为：“a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4≠d＝5；
由原命题与其逆否命题等价知，其否命题和逆否命题均为假命题，故4个假命题．
答案　4
5．写出命题“如果m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b全为零”的否定及否命题．
解析　命题的否定：如果m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m，n，a，b不全为零．
命题的否命题：如果m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m，n，a，b不全为零．
6．已知命题p：－2解析　p是q的必要不充分条件．
若令m＝－∈(－2，0)，n＝∈(0，1)，则x2－x＋＝0，
此时方程的Δ＝－4×<0无解，所以由p推不出q，即p不是q的充分条件；
若方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根x1，x2，则0所以由根与系数的关系得
即所以q?p.
综上所述：p是q的必要不充分条件.
(时间：150分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析　不妨设B＝，则在原命题与逆命题中都有＝，A、B、C成等差数列，故逆命题和原命题都是真命题．
答案　D
2．设命题p：?x∈R，x2＋1＞0，则綈p为
A．?x0∈R，x＋1＞0　　　B．?x0∈R，x＋1≤0
C．?x0∈R，x＋1＜0 D．?x0∈R，x＋1≤0
解析　根据全称命题的否定为特称命题知B正确．
答案　B
3．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“>”是“a>b”的充要条件，则
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．p真q假 D．p，q均为假
解析　p假q真，故选A.
答案　A
4．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　先将cos 2α＝0等价转化，再利用充分条件、必要条件的定义进行判断．
cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.
答案　A
5．已知命题p：函数f(x)＝sin xcos x的最小正周期为π；命题q：函数g(x)＝sin的图像关于原点对称，则下列命题中为真命题的是
A．綈p B．(綈p)∨q
C．p∧q D．p∨q
解析　因为f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，所以命题p为真命题．又因为g(x)＝sin＝cos x，所以g(x)＝sin的图像关于y轴对称，所以命题q为假命题，所以命题p∨q为真命题．
答案　D
6．下列命题中的假命题是
A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R，2x＞0
解析　对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；
对于B，当x＝时，tan x＝1，正确；
对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；
对于D，?x∈R，2x＞0，正确．
答案　C
7．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
解析　特称命题的否定是全称命题．
改变原命题中的三个地方即可得其否定，?改为?，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1，故选A.
答案　A
8．下列叙述中正确的是
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析　由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，故A错．ab2>cb2是a>c的充分不必要条件，故B错．命题“对?x∈R，有x2≥0”的否定是“?x0∈R有x<0”，故C错．
答案　D
9．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1，1]．在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“非p”中，真命题的个数为
A．0　　　　 B．1 C．2　　　　 D．3
解析　p为真命题．对于q，∵f(x)对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f(x)的值域为{1，－1}，
∴q为假命题，∴p∧q假，p∨q真，非p假．
答案　B
10．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充要条件；命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则下列结论正确的是
A．“p∨q”为假 B．“p∧q”为真
C．p真q假 D．p假q真
解析　命题p的判断可举反例：a＝2，b＝－3，
则|a|＋|b|＞1，但|a＋b|＝1，故p为假命题．
命题q：由|x－1|－2≥0解得x≤－1或x≥3，故q真．
答案　D
11．“m＝”是直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，∴(m＋2)(4m－2)＝0，∴m＝－2或m＝.
显然m＝是直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充分不必要条件．故选B.
答案　B
12．下列有关命题的说法正确的是
A．“x2＝1”是“x＝1”的充分不必要条件
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1＜0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析　A．∵x2＝1D/?x＝1，x＝1?x2＝1，∴A不正确．
B．∵x＝－1?x2－5x－6＝0，x2－5x－6＝0D/?x＝－1，∴B不正确．
C．特称命题的否定虽然是全称命题，但不符合相应法则，故C不正确．
D．原命题为真，其逆否命题也为真．故选D.
答案　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．
解析　原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．
答案　2
14．已知命题p：“?x∈N*，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
解析　q：?x0∈N*，x0≤.当x0＝1时，x0＝成立，故q为真．
答案　?x0∈N*，x0≤　真
15．方程3x2－10x＋k＝0(k∈R)有相异的两个同号实根的充要条件是________．
解析　设方程的两相异同号实根为x1、x2.
则，∴，∴0＜k＜.
答案　016．已知命题p：存在一对实数x、y，使2x＋3y＋3＜0成立．命题q：“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∨(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
上述结论中，正确结论的序号是________．
解析　∵p真，q真，∴p∧q真，p∨(綈q)真，(綈p)∨q真，(綈p)∨(綈q)假．
答案　①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解析　逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b＜0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
18．(12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)
(1)p：△ABC为锐角三角形，q：cos A>0；
(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；
(3)p：a>2，q：a>5；
(4)p：a解析　(1)△ABC为锐角三角形?A为锐角?cos A>0，但cos A>0只能得出A为锐角，△ABC不一定为锐角三角形，所以p是q的充分不必要条件．
(2)a＝3?(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0a＝3.所以p是q的充分而不必要条件．
(3)a>2a>5，但a>5?a>2，所以p是q的必要而不充分条件．
(4)a19．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除．
(2)?x∈{x|x>0}，x＋≥2.
(3)?x0∈{x|x∈Z}，log2x0>2.
解析　(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题．
(3)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
20．(12分)求关于x的方程ax2＋2x＋a＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．
解析　方程ax2＋2x＋a＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件是：方程只有一个负实数根或有一个正实数根与一个负实数根或有两个负实数根，或有一负一零根，设两根为x1，x2，则
a＝0或
或
或即a＝0
或或
或即a＝0或
或
所以a＝0或－1即方程ax2＋2x＋a＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件是－121．(12分)已知p：?x∈R，2x＞m(x2＋1)，q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
解析　2x＞m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m＜0.
若p：?x∈R，2x＞m(x2＋1)为真，
则mx2－2x＋m＜0对任意的x∈R都成立．
当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；
当m≠0时，有∴m＜－1.
若q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，
∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.
又p∧q为真，故p、q均为真命题．
∴∴－2≤m＜－1.
所以实数m的取值范围为{m－2≤m＜－1}．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式．
(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
解析　(1)因为f(x)＝g(x)＋h(x)①
g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)，
所以f(－x)＝－g(x)＋h(x)．②
(①－②)÷2得g(x)＝(a＋1)x，
(①＋②)÷2得h(x)＝x2＋lg|a＋2|.
(2)因为函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数，所以(a＋1)2≥－，解得a≥－1或a≤－且a≠－2.
又由函数g(x)＝(a＋1)x是减函数，得a<－1且a≠－2.所以命题p为真的条件是：a≥－1或a≤－且a≠－2；
命题p为假的条件是：－命题q为真的条件是：a<－1且a≠－2；
命题q为假的条件是：a≥－1或a＝－2；
所以命题p，q有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是.