2-1-1 椭圆及其标准方程
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2.
∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
答案 D
2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于
A．4 B．5 C．8 D．10
解析 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.
答案 D
3．“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，
因为m＞n＞0，所以0＜＜，因此椭圆焦点在y轴上，反之亦成立．
答案 C
4．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
A．2 B．6 C．4 D．12
解析 由椭圆的方程可得a＝，由椭圆定义可知，△ABC的周长是4a＝4，故选C.
答案 C
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
答案 B
6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于
A. B. C. D．4
解析 如图所示，由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知(0，－4)是椭圆3kx2＋ky2＝1的一个焦点，则实数k的值是________．
解析 由3kx2＋ky2＝1，得＋＝1.
∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，则c＝4，
∴a2＝，b2＝，∴c2＝－＝＝16，∴k＝.
答案
8．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
解析 如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
9．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________．
解析 由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．
因为∠F1PF2为直角，所以＝0，
即x＋y＝4，①
又＋y＝1，②
①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.
答案 ±
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E在椭圆C上，且EF1⊥F1F2，
|EF1|＝，|EF2|＝，求椭圆C的方程．
解析 因为点E在椭圆C上，
所以2a＝|EF1|＋|EF2|＝＋＝6，即a＝3.
在Rt△EF1F2中，
|F1F2|＝＝＝2，
所以椭圆C的半焦距c＝.
因为b＝＝＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
11．(10分)已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解析 (1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6，0)，(6，0)，所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)．
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20.由(1)知c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ，即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|，所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|.
所以122＝202－3|PF1||PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝＝＝.
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝.
所以△F1PF2的面积为.
12．(15分)已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若＝0.试求
(1)椭圆的方程；
(2)求sin∠PF1F2的值．
解析 (1)因为＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝80.
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·yP＝80，
所以|PF1|·|PF2|＝160，
又|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF2|＝4，
所以sin∠PF1F2＝＝＝.
2-1-2-1 椭圆的简单几何性质
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．椭圆x2＋6y2＝6的焦点坐标为
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
解析 椭圆的标准方程为＋y2＝1.
∴a2＝6，b2＝1.于是c＝＝，又焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案 C
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由2a＝18，得a＝9.
又a－c＝2c，则c＝3.于是b2＝a2－c2＝81－9＝72.
故椭圆的方程为＋＝1.
答案 A
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
答案 D
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是
A. B. C. D.
解析 ∵＝2，∴||＝2||.
又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，
∴e＝＝.
答案 D
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为
A. B. C. D.
解析 a2＝2，b2＝m.故c2＝2－m.
∴e2＝＝＝.∴m＝.
答案 D
6．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
解析 解法一 将x＝－c代入椭圆方程可解得点P，故|PF1|＝，又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以|PF2|＝，根据椭圆定义得＝2a，从而可得e＝＝.
解法二 设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝c，|PF2|＝c.
所以|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，离心率e＝＝.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．椭圆焦点在x轴上，O为坐标原点，A是一个顶点，F是一个焦点，椭圆长轴长为6，且cos ∠OFA＝，椭圆的标准方程是________．
解析 如图，∵椭圆长轴长为6，∴|AF|＝3，
∴cos ∠OFA＝＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0＜e≤，则长轴长的取值范围为________．
解析 由e2＝＝＝1－，得0＜1－≤，从而－1＜－≤－.
于是1＜a2≤4.故1＜a≤2，即2＜2a≤4.
答案 (2，4]
9．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析 由题意，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3.因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，
所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.
答案 6
三、解答题(共35分)
10．(10分)设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程．
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，M(x，y)为椭圆上的点，
由＝得a＝2b.
|PM|2＝x2＋＝－3＋4b2＋3(－b≤y≤b)，
若0即＝7，所以b＝－>，故矛盾．
若b≥，则当y＝－时，4b2＋3＝7，b2＝1，
从而a2＝4.
所求方程为＋y2＝1.
11．(10分)已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0，1)，离心率e＝.
(1)求椭圆方程；
(2)若P是椭圆上的点，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．
解析 (1)∵c＝1，e＝＝，∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
又椭圆中心在原点，焦点在y轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)由|PF1|＋|PF2|＝2a＝4及|PF1|－|PF2|＝1知|PF1|＝，|PF2|＝，
又|F1F2|＝2c＝2，
∴cos ∠F1PF2＝＝.
12．(15分)如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解析 解法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，则焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，M点的坐标为，
△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
解法二 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则M，
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝.
2-1-2-2 椭圆方程及性质的应用
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为
A．10 B．12 C．16 D．18
解析 ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
答案 B
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．故选A.
答案 A
3．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则|AB|＝
A．4 B．2 C．1 D．4
解析 ∵＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，∴c2＝3，∴F2(，0)，
将x＝代入＋y2＝1，得y＝±，
故|AB|＝1.
答案 C
4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析 表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率．
不妨设＝k，则过定点(2，0)的直线方程为y＝k(x－2)．
由，得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.
令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝±，
∴kmin＝－，即的最小值为－.
答案 C
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝
A. B．2 C. D．3
解析 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，∴||＝＝＝.
答案 A
6．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
解析 依题意＞2，∴＜2.
即m2＋n2＜4
∴＋＜＋＜1
故点P(m，n)在椭圆内，因此有两个交点．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是________．
解析 由消去y，
得3x2＋4x－2＝0.
设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
中点坐标为(x中，y中)，
则x1＋x2＝－，
∴x中＝－.
从而y中＝x中＋1＝－＋1＝，
∴中点坐标为.
答案
8．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则·等于________．
解析 不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1，0)，
则直线l的方程为y＝x－1，
由
消去y，得3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝0，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)
＝2x1x2－(x1＋x2)＋1
＝－＋1＝－.
答案 －
9．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析 易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1.
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，
∴||min＝.
答案
三、解答题(共35分)
10．(10分)设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解析 (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，解得－所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
11．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其中左焦点F(－2，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解析 (1)由题意，得解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由消y，得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2＞0，
∴－2＜m＜2.
∴x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴＋＝1，∴m＝±.
∴m的值为±.
12．(15分)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，
求证：MN⊥AB.
解析 (1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝.
进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明 由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.
又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．
由(1)的计算结果可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
2-2-1 双曲线及其标准方程
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知定点A、B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
解析 由于点P满足到两定点距离之差为常数(常数小于|AB|)，因此点P的轨迹是双曲线的一支．
答案 B
2．(2018·浙江)双曲线－y2＝1的焦点坐标是
A．(－，0)，(，0) B．(－2，0)，(2，0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.
答案 B
3．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
解析 由双曲线的定义知点P的轨迹为双曲线的一支．由题意c＝5，a＝3，∴b＝4.
∴点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．
答案 D
4．k＞1，关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
解析 原方程可化为－＝1.
∵k＞1，∴k2－1＞0，1＋k＞0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
答案 C
5．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案 A
6．过双曲线－＝1的左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是
A．20 B．25 C．28 D．30
解析 ∵a2＝16，a＝4，|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝6，
|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝8，
∴△ABF2的周长＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|
＝(8＋|AF1|)＋(8＋|BF1|)＋|AB|＝16＋2|AB|
＝28.故选C.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析 由点F(0，5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案 16
8．在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的标准方程是_____________________________________________________．
解析 椭圆方程可化为＋＝1，
c2＝9－4＝5，c＝且焦点在x轴上．
由题意知，所求双曲线焦点在x轴上，且c＝，＝.
∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝5－4＝1.
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案 －y2＝1
9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析 如图，过点M作MA⊥x轴于点A.
∵－＝1，∴当x＝3时，y＝±.
又∵F2(4，0)，∴|AF2|＝1，|MA|＝，
∴|MF2|＝＝4.
答案 4
三、解答题(共35分)
10．(15分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5，6)；
(2)a＝5，c＝7；
(3)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点P.
解析 (1)由题设可知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点坐标是(0，6)．
因为点A(－5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a，即2a＝|－|＝|13－5|＝8，得a＝4，则b2＝c2－a2＝62－42＝20.
因此，所求双曲线的标准方程是－＝1.
(2)由题设知a＝5，c＝7，则b2＝c2－a2＝24.
故所求双曲线的标准方程是－＝1或－＝1.
(3)因为椭圆＋＝1的长轴端点为A1(－5，0)，A2(5，0)，所以所求双曲线的焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．
由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||
＝
＝＝8，
即2a＝8，则a＝4.又c＝5，所以b2＝c2－a2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
11．(10分)如图，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12.求双曲线的标准方程．
解析 由题意可设双曲线的标准方程为－＝1.
由于||PF1|－|PF2||＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝
＝，所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2，
从而有b2＝12，所以b2＝12.
又c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
12．(10分)双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
解析 设P点为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，
则＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)．
因为PF1⊥PF2，所以·＝0，
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，整理，得
x＋y＝25.①
又因为P(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1.②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
2-3-1 抛物线及其标准方程
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．抛物线y＝－x2的准线方程是
A．x＝ B．x＝
C．y＝2 D．y＝4
解析 抛物线y＝－x2的方程可化为x2＝－8y，所以其准线方程为y＝2.
答案 C
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析 由抛物线的准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线的方程为y2＝8x.
答案 C
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程为
A．x2＝12y B．y2＝12x
C．x2＝4y D．x2＝6y
解析 由题意知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹方程为x2＝12y.
答案 A
4．抛物线y2＝ax的焦点与双曲线－y2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
解析 ∵－y2＝1的左焦点为(－2，0)，
∴抛物线开口向左，∴a＜0，且p＝＝4.∴a＝－8.
∴抛物线方程为y2＝－8x.故选D.
答案 D
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
A. B．1 C．2 D．4
解析 ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
答案 C
6．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为
A. B.
C．(1，2) D．(1，－2)
解析 点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S、P、Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P坐标为.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．
解析 抛物线的准线方程为x＝－，p>0，双曲线的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以－＝－，p＝2.
答案 2
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析 根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.
不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案
9．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)．
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案 ②④
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解析 设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点F，
由题意可得解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x.∴m的值为±2.
11．(10分)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点．若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程．
解析 因为以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，所以△BFD为等腰直角三角形，故斜边|BD|＝2p，
又点A到准线l的距离d＝|FA|＝|FB|＝p，
所以S△ABD＝4＝|BD|×d＝×2p×p，所以p＝2.所以圆F的圆心为(0，1)，半径r＝|FA|＝2，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
12．(15分)已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程．
解析 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则其准线为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋＋x2＋＝8，即
x1＋x2＝8－p.
因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，
所以|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.
2.3.2 椭圆及其标准方程
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1，1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
答案 B
2．设抛物线x2＝－8ay(a＞0)，F是焦点，则a表示
A．F到准线的距离 B．F到准线距离的
C．F到x轴的距离 D．F到准线距离的
解析 由抛物线方程知焦点F(0，－2a)，准线方程为y＝2a，
则F到准线的距离d＝4a，即a＝d.
答案 B
3．抛物线的对称轴为x轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8.若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
解析 设抛物线方程为y2＝mx，则8＝2 ，∴m＝±8.
∴方程为y2＝±8x.
答案 C
4．抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值是
A．4 B．4或－4
C．－2 D．2或－2
解析 由题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，
由抛物线的定义及抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4可知，
k2＋＝16，且k2＝4p，∴p＝4，k2＝16.∴k＝±4.
答案 B
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为
A．18 B．24 C．36 D．48
解析 不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.
答案 C
6．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A．4 B．6 C．8 D．12
解析 ∵点P到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q，则|PQ|等于点P到焦点的距离，而|PQ|＝6，所以点P到该抛物线焦点的距离为6.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________________．
解析 设抛物线C的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线C的方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
8．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析 抛物线的准线方程为x＝－1.
联立解得A(1，－2)、B(9，6)．
则|AP|＝2，|BQ|＝10，|PQ|＝8，所以S梯形＝＝48.
答案 48
9．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________．
解析 设抛物线方程为x2＝my，弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立抛物线方程与直线y＝x＋1方程并消元，得：
2x2－mx－2m＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝－m，
所以5＝ ，
把x1＋x2＝，x1x2＝－m代入解得m＝4或－20，
所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－20y.
答案 x2＝4y或x2＝－20y
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M(4，－4)，
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|＝8，求直线l的方程．
解析 (1)由已知可设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，而点M(4，－4)在抛物线上，则(－4)2＝8p，所以p＝2，故所求抛物线方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，若直线l垂直于x轴，
则A(1，2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，与题设不符；
若直线l与x轴不垂直，
可设直线l的方程为y＝k(x－1)，
再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由?k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
于是
则|AB|＝
＝
＝，
令＝8，解得k＝±1，
从而，所求直线l的方程为y＝±(x－1)．
11．(10分)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，求k的值．
解析 将y＝k(x＋2)代入y2＝8x整理得
k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝4.
抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，
由|FA|＝2|FB|及抛物线的定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1，x2＝－2(舍去)．
∴x1＝4，＝5，解得k2＝，故k＝(k＞0)．
12．(15分)(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解析 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
