3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度等于
A．6＋Δt B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt D．12
解析 ＝＝12＋2Δt.
答案 C
2．f(x)在x＝x0处可导，则
A．与x0、h有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
解析 ＝f′(x0)，因此仅与x0有关．
答案 B
3．质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是
A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．8 m/s
解析 v＝
＝ ＝ (8＋2Δt)＝8(m/s)．
答案 D
4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
解析 k1＝＝＝2x0＋Δx，k2＝＝＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
答案 D
5．设函数在x＝1处存在导数，则 ＝
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
解析 ＝ ＝f′(1)．
答案 C
6．在曲线y＝x2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为
A．Δx＋ B．Δx－－2
C．Δx＋2 D．2＋Δx－
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx.∴＝Δx＋2.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________．
解析 ∵f′(x)＝＝
＝ ＝a，
∴f′(1)＝a＝3.
答案 3
8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为________．
解析 ∵ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝，
即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．
答案 2
9．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
解析 由函数f(x)的图像知，
f(x)＝所以，函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
答案
三、解答题(共35分)
10．(10分)在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1，4)及附近一点(1＋Δx，4＋Δy)．
求：(1)；(2)f′(1)．
解析 (1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
11．(10分)若函数f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值．
解析 根据导数的定义：
∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝[2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)]－(2×x＋4x0)
＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx，
∴f′(x0)＝lim
＝lim
＝lim (2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4.
∴f′(x0)＝4x0＋4＝8，解得x0＝1.
12．(15分)设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：
s＝3t2＋2t＋1.
(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1与Δt＝0.01时的平均速度；
(2)求当t＝2时的瞬时速度．
解析 (1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：
＝
＝
＝＝14＋3Δt.
当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17.
当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.
当Δt＝0.01时，平均速度为14＋3×0.01＝14.03.
(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝ ＝ (14＋3Δt)＝14.
3-1-3 导数的几何意义
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是
A．在点x＝x0处的函数值
B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率
解析 根据导数的几何意义可知选项C正确．
答案 C
2．曲线y＝x2－2x＋4在点(1，3)处的切线的斜率为
A．0 B．1 C．－1 D.
解析 k＝f′(1)＝
＝＝Δx＝0.
答案 A
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为
A．(－2，1) B．(0，－7)
C．(2，1) D．(3，11)
解析 设P点坐标为(x0，2x－7)，
则f′(x0)＝
＝
＝ (4x0＋2Δx)＝4x0.
∴4x0＝8，∴x0＝2.∴P(2，1)．
答案 C
4．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x＋y＋5＝0，则
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x)＝0 D．f′(x0)不存在
解析 由y＝－3x－5知f′(x0)＝－3<0.
答案 B
5．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则在点P处的切线方程为
A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
解析 与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.
由y＝x2知，y′＝＝ (2x＋Δx)＝2x.
设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.
所以在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
答案 A
6．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)
C．(2，8) D．(－，－)
解析 设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝＝
＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.
∵k＝3，∴3x＝3，∴x0＝1或x0＝－1，
∴y0＝1或y0＝－1.
∴点P的坐标为(－1，－1)或(1，1)．
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．曲线y＝－1在点A处的切线的斜率为________．
解析 Δy＝－＝＝，
∴＝－，即k＝＝＝－.
答案 －
8．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝________．
解析 由于切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，
∴4＝13＋a＋3，∴a＝0.
答案 0
9．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．
解析 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.
答案 3
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处的切线方程．
解析 由方程组得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，
又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时Δx＋2趋于2.所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2.
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
11．(10分)求抛物线y＝x2上的一点到直线x－y－2＝0的最短距离．
解析 根据题意可得，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
根据定义可求导数y′|x＝x0＝2x|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为.
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
12．(15分)已知点M(0，－1)，F(0，1)，过点M的直线l与曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程．
解析 (1)y＝f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(2)＝
＝
＝＝0，
∴曲线y＝x3－4x＋4在x＝2处的切线斜率为0，
而l与此切线平行，故l的斜率也为0.
又l过点M(0，－1)，∴直线l的方程为y＝－1.
(2)因为抛物线以点F(0，1)为焦点，y＝－1为准线，
设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则＝1，p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
3.2 导数的计算
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知f(x)＝ln x＋t，则f′(x)等于
A．ln x＋1 B.＋1 C.＋t D.
解析 ∵f(x)＝t＋ln x，∴f′(x)＝(ln x)′＝.
答案 D
2．函数f(x)＝(2πx)2的导数是
A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝4π2x
C．f′(x)＝8π2x D．f′(x)＝16πx
解析 ∵f(x)＝(2πx)2＝4π2x2，
∴f′(x)＝(4π2x2)′＝4π2(x2)′＝8π2x.
答案 C
3．下列结论：
①(sin x)′＝－cos x；②′＝；③(exln x)′＝ex；④(ln x2)′＝(x＞0)．
其中正确的个数有
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 利用导数公式(sin x)′＝cos x，①错；
′＝－x－2＝－，②错；
(exln x)′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex＝ex，③正确；
(ln x2)′＝(2ln x)′＝，④错．故应选B.
答案 B
4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A．－1 B．－2 C．2 D．0
解析 ∵f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(1)＝4a＋2b＝2，
∴f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.故选B.
答案 B
5．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
A．－9 B．－3 C．9 D．15
解析 ∵y＝x3＋11，∴y′＝3x2，
∴切线斜率k＝y′＝3，
∴切线方程为y＝3x＋9，它与y轴交点的纵坐标为9.
答案 C
6．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于
A．0 B．1 C. D．不存在
解析 由于f(x)＝，∴f(x0)＝，
f′(x)＝＝，
∴f′(x0)＝.
依题意知f(x0)＋f′(x0)＝0，
∴＋＝0，
即＝0，
∴2x0－1＝0，得x0＝.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．曲线y＝x3－4x在点(1，－3)处的切线的倾斜角为________．
解析 y′＝3x2－4，k＝y′)＝－1，
即tan α＝－1，∴α＝.
答案
8．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析 先求f′(x)，再求字母a的值．
f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案 3
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
解析 ∵f′(1)＝n＋1，∴y＝xn＋1在点(1，1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1.令y＝0，得xn＝，∴an＝lgn－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.
答案 －2
三、解答题(共35分)
10．(15分)求下列函数的导(函)数．
(1)y＝x－5； (2)y＝4x；
(3)y＝ ； (4)y＝log3x；
(5)y＝sin； (6)y＝cos ；
(7)y＝cos(2π－x)．
解析 (1)y′＝(x－5)′＝－5x－6.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)∵y＝x·x·x＝x，∴y′＝x－.
(4)y′＝(log3x)′＝.
(5)∵y＝sin＝cos x，∴y′＝－sin x.
(6)y′＝′＝0.
(7)∵y＝cos(2π－x)＝cos x，∴y′＝－sin x.
11．(10分)已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
解析 ∵直线l过原点，
∴直线l的斜率k＝(x0≠0)．
由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，
∴＝x－3x0＋2.
又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′)＝3x－6x0＋2.
∴3x－6x0＋2＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0.
∵x0≠0，∴x0＝，此时y0＝－，k＝－.
因此直线l的方程为y＝－x，切点坐标为.
12．(10分)已知抛物线y＝f(x)＝ax2＋bx＋c过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解析 因为f(1)＝1，所以a＋b＋c＝1.①
又f′(x)＝2ax＋b，f′(2)＝1，所以4a＋b＝1.②
又切点(2，－1)在抛物线上，所以4a＋2b＋c＝－1.③
把①②③联立得方程组
解得即a＝3，b＝－11，c＝9.
3-3-1 函数的单调性与导数
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析 f′(x)＝1－cos x＞0，∴f(x)在(0，2π)上递增．故选A.
答案 A
2．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是
A. (－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3，1)
解析 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－3答案 D
3．已知函数f(x)＝＋ln x，则有
A．f(2)C．f(3)解析 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋>0，所以f(x)在 (0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)答案 A
4．函数f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是
解析 从原函数y＝f(x)的图像可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)<0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)>0.
结合选项可知，只有D项满足．
答案 D
5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，且当x>0时，有f′(x)>0，则当x<0时，有
A．f′(x)≥0 B．f′(x)>0
C．f′(x)≤0 D．f′(x)<0
解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，图像关于原点对称，
∵当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)为增函数，当x<0时，f(x)也为增函数，∴f′(x)>0.
答案 B
6．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析 据题意，由f′(x)答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间是________．
解析 函数的定义域为(－∞，＋∞)，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)．
令f′(x)＞0，得x＜－2或x＞1，
所以函数f(x)＝2x3＋3x2－12x的单调递增区间为
(－∞，－2)，(1，＋∞)．
答案 (－∞，－2)，(1，＋∞)
8．如果函数y＝f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是________．
解析 显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，y′＝4x－＝.由y′>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由y′<0，得函数f(x)的递减区间为，又由题意知此函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，故0，解得1答案
9．在下列命题中，真命题是________(填序号)．
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；
②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；
③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0.
解析 对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)<0只能得到f(x)单调递减．
答案 ③
三、解答题(共35分)
10．(10分)求函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
解析 函数的定义域为{x|x≠0}．
当a>0时，f′(x)＝1－＝，
令f′(x)>0，解得x<－或x>.
令f′(x)<0，解得－因此，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间是(－，0)和(0，)．
11．(10分)设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值．
解析 (1)f′(x)＝3(x－1)(x－2)，令f′(x)>0，所以x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，故函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)；令f′(x)<0，得x∈(1，2)，故函数f(x)的单调减区间为(1，2)．
(2)由题意可知m≤f′(x)min，
又因为f′(x)＝3－≥－，
所以m≤－.
故m的最大值为－.
12．(15分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
解析 (1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减．
(2)由于x2＋x＋1>0，
所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，
则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上，f(x)只有一个零点．
3-3-2 函数的极值与导数
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是
A．－7 B．7
C．3 D．－3
解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以，当x＝0时，f(x)取极大值f(0)＝7.
答案 B
2．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图像过点(1，－6)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为
A．1 B．0
C．－5 D．5
解析 设f(x)＝x4－2x2＋c，
又f(x)的图像过点(1，－6)，
∴c＝－5.∴f(x)＝x4－2x2－5.
又f′(x)＝0时，x＝0或1或－1，
∴当函数f(x)取得极大值－5，即f(x)＝－5时，x＝0.
答案 B
3．设函数f(x)＝＋ln x，则
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析 ∵f(x)＝＋ln x，∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，
即－＋＝＝0，解得x＝2.
当x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．
答案 D
4．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是
A．－1是f(x)的零点 B．1是f(x)的极值点
C．3是f(x)的极值 D．点(2，8)在曲线y＝f(x)上
解析 结合二次函数图像，根据零点、极值与极值点、点在函数图像上的定义与性质将各结论转化为关于a，b，c的方程，看是否有符合条件的解，从而进行判断．
A中－1是f(x)的零点，则有a－b＋c＝0.①
B中1是f(x)的极值点，则有b＝－2a.②
C中3是f(x)的极值，则有＝3.③
D中点(2，8)在曲线y＝f(x)上，则有4a＋2b＋c＝8.④
联立①②③解得a＝－，b＝，c＝.
联立②③④解得a＝5，b＝－10，c＝8，从而可判断A错误，故选A.
答案 A
5．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则
A．a＞－3 B．a＜－3
C．a＞－ D．a＜－
解析 f′(x)＝3＋aeax，若函数有大于零的极值点，则f′(x)＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln，由x＞0得a＜－3.
答案 B
6．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于
A. B. C. D.
解析 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，得d＝0，b＋c＋1＝0，4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析 由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.
答案 y＝－
8．函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则m的取值范围是________．
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2mx＋1，
f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，
∴f′(x)≥0对x∈R恒成立，
∴Δ＝(2m)2－4×3×1≤0?－≤m≤.
答案 [－，]
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．
解析 依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.
由图像可知，当x＜0时，f′(x)＜0，
当0＜x＜2时，f′(x)＞0，
故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝c.
答案 c
三、解答题(共35分)
10．(10分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间与极值．
解析 (1)f′(x)＝3x2＋2bx＋c，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
又g(x)是奇函数，所以g(0)＝－c＝0，
g(－x)＝－g(x)，得b－3＝0，
所以b＝3，c＝0.
(2)由(1)知，g(x)＝x3－6x，
所以g′(x)＝3x2－6，
令g′(x)＝0，得x＝±，
令g′(x)>0，得x<－或x>；
令g′(x)<0，得－所以(－∞，－)，(，＋∞)是函数g(x)的递增区间，(－，)是函数g(x)的递减区间，函数g(x)在x＝－处取得极大值为4；在x＝处，取得极小值为－4.
11．(10分)已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0可知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值．
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
12．(15分)已知函数f(x)＝x3－x2－x.
(1)求f(x)的极值；
(2)画出它的大致图像；
(3)指出y＝f(x)零点的个数．
解析 (1)由已知得f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)的极大值是f＝，极小值是f(1)＝－1.
(2)当x→－∞时，f(x)→－∞；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞.
令f(x)＝0得x＝0或.结合函数的单调性及极值可画出f(x)的大致图像，如图．
(3)由图像可知函数f(x)图像与x轴有3个交点，即y＝f(x)有3个零点．
3-3-3 函数的最大(小)值与导数
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是
A．5，15 B．5，－4
C．5，－16 D．5，－15
解析 ∵y′＝6x2－6x－12，
∴令y′＝0得x＝－1(舍去)或x＝2.
故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，
而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，
故最大值为5，最小值为－15.
答案 D
2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
解析 由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，
又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，
f(x)min＝f(－2)＝m－40＝3－40＝－37.
答案 A
3．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
解析 f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
答案 A
4．函数f(x)＝2＋，x∈(0，5]的最小值为
A．2 B．3
C. D．2＋
解析 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0，1)时，f′(x)<0；x∈(1，5]时，f′(x)>0，∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
答案 B
5．函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为
A．0 B. C. D.
解析 ∵y′＝1－2sin x，解y′＞0得sin x＜，故0≤x＜，
解y′＜0得sin x＞，故＜x≤，
∴原函数在上单调递增，在上单调递减，
当x＝时函数取极大值，同时也为最大值．
答案 B
6．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
解析 令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝＋x(x∈[1，3])的值域为________．
解析 f′(x)＝－＋1＝，
当x∈[1，3]时，f′(x)>0.故f(x)在[1，3]上为增函数，
又f(1)＝，f(3)＝，∴函数f(x)的值域为.
答案
8．已知：f(x)＝x·ex，x∈[－2，2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
解析 f′(x)＝ex＋x·ex＝ex(x＋1)，
令f′(x)＝0得：x＝－1.
f(－2)＝－2×e－2＝，
f(－1)＝－1×e－1＝－，
f(2)＝2·e2.
所以M＝2·e2，m＝.∴M＋m＝2e2－.
答案 2e2－
9．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.由f′(x)<0得00得x>，∴f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f()＝1＋2ln ＝1＋ln a．∵f(x)≥2恒成立，∴f(x)min≥2，即1＋ln a≥2，∴a≥e.
答案 [e，＋∞)
三、解答题(共35分)
10．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图像关于直线x＝1对称．
(1)求导函数f′(x)及实数a的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－1，2]上的最大值和最小值．
解析 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋2得：f′(x)＝3x2＋2ax.
∵f′(x)的图像关于直线x＝1对称，∴－＝1.
∴a＝－3，f′(x)＝3x2－6x.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
当x在[－1，2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－2
?
2
?
－2
由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2.
11．(10分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解析 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9
＝－3(x2－2x－3)＝－3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＜0，则－3(x＋1)(x－3)＜0，
解得x＜－1或x＞3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)结合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
又x∈[－2，2]，∴x＝－1.
当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0；
当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2，2]上的最小值，
即f(x)min＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
∵a＋22＞a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)min＝a－5＝－2－5＝－7.
12．(15分)设函数f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行．
(1)求a的值；
(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p，q})表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值．
解析 (1)由题意知，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2.
又f′(x)＝ln x＋＋1，所以a＝1.
(2)当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根．理由：
设h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ln x－，
当x∈(0，1]时，h(x)<0.
又h(2)＝3ln 2－＝ln 8－>1－1＝0，
所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.
因为h′(x)＝ln x＋＋1＋，
所以当x∈(1，2)时，h′(x)>1－>0，
当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，所以当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增．
所以当k＝1时，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)内存在唯一的根．
(3)由(2)知，方程f(x)＝g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0，且x∈(0，x0)时，f(x)g(x)，
所以m(x)＝
当x∈(0，x0)时，若x∈(0，1]，m(x)≤0；
若x∈(1，x0)，由m′(x)＝ln x＋＋1>0，
可知0当x∈(x0，＋∞)时，由m′(x)＝，
可得x∈(x0，2)时，m′(x)>0，m(x)单调递增；
x∈(2，＋∞)时，m′(x)<0，m(x)单调递减．
可知m(x)≤m(2)＝，且m(x0)综上可得，函数m(x)的最大值为.
3-4 生活中的优化问题
综合提升案·核心素养达成
[限时40分钟；满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)
A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元
解析 毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700＝－3(P＋130)(P－30)．
令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．
又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，∴f(P)max＝f(30)＝23 000(元)．
答案 D
2．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是
A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2
解析 设一个三角形的边长为x cm，
则另一个三角形的边长为(4－x)cm，
两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.
令S′＝x－2＝0，则x＝2，所以Smin＝2.
答案 D
3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为
A．30海里/时 B．25海里/时
C．20海里/时 D．10海里/时
解析 设当航行速度为x海里/时时燃料费为y元/时，则y＝kx3.
又当x＝10时，y＝25，∴k＝.
若从甲地到乙地以x海里/时的速度航行，则总费用：
z＝×＝20x2＋，
∴z′＝40x－，令z′＝0，得x＝20.
故当航速为20海里/时时总费用最低．
答案 C
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是
A．150 B．200 C．250 D．300
解析 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300答案 D
5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为
A．32米，16米 B．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
解析 设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y>0)，
求导数，得l′＝2－.
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．
当016时，l′>0，所以y＝16是函数l＝2y＋(y>0)的极小值点，也是最小值点，此时，x＝＝32.
所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．
答案 A
6．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为
A. B. C. D．2
解析 设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin 60°·l，
∴l＝，∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin 60°＋3·x·l＝x2＋.
∴S′＝x－＝0，∴x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时，y′＜0；x∈(，V)时，y′＞0，
∴当x＝时，表面积最小．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________ cm.
解析 设该漏斗的高为x cm，体积为V cm3，则底面半径为 cm，V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(0当00；当答案
8．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．
解析 设底面边长为x cm，2x cm，则高h＝＝.
∴表面积S＝4x2＋2(x＋2x)·＝4x2＋(x>0)，∴S′＝8x－＝(x3－27)．
令S′＝0，解得S在(0，＋∞)内的唯一可能的极值点为x＝3，∴x＝3时函数取极值且就是它的最值．
答案 6 cm 3 cm 4 cm
9．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析 设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为 ，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x· ＝－＋x，x∈(0，2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的；
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
答案
三、解答题(共35分)
10．(10分)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24 200－x2，且生产x吨的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
解析 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50 000＋200x)＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)，
由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，解得：x＝200或x＝－200(舍去)．
因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)，
故每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
11．(10分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x，
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0≤x＜5时，f′(x)＜0；
当5＜x≤10时，f′(x)＞0.故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
12．(15分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解析 (1)因为容器的体积为立方米，
所以＋πr2l＝，解得l＝－.
由于l≥2r，因此0＜r≤2.
所以圆柱的侧面积为2πrl＝2πr＝－.
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以建造费用y＝－8πr2＋4πcr2，定义域为(0，2]．
(2)因为y′＝－－16πr＋8πcr
＝，0＜r≤2，
由于c＞3，所以c－2＞0，
所以令y′＞0得：r＞；
令y′＜0得：0＜r＜ .
①当3＜c≤时，即 ≥2时，函数y在(0，2)上是单调递减的，故建造费用最小时r＝2.
②当c＞时，即0＜ ＜2时，函数y在(0，2)上是先减后增的，故建造费用最小时r＝ .
