1.1.1 集合的概念
【选题明细表】
知识点、方法
题号
集合概念及特性
1,2,4
元素与集合的关系
3,5,6,7
集合的应用
8,9,10,11
1.(2018·江西临川实验学校月考)下列各组对象不能构成一个集合的是( C )
(A)不超过20的非负实数
(B)方程x2-9=0在实数范围内的解
(C)的近似值的全体
(D)临川实验学校2018年在校身高超过170厘米的同学的全体
解析:A,B,D都是集合,因为的近似值的全体不满足集合中元素的确定性,不是集合,故选C.
2.下列说法正确的是( D )
(A)某个班年龄较小的学生组成一个集合
(B)由数字1,2,3和3,2,1可以组成两个不同的集合
(C)由数字0,,0.5,,sin 30°组成的集合含有3个元素
(D)由数字1,2,3这三个数字取出一个或两个数字能构成一个集合
解析:A中的这组对象是不确定的,因年龄较小没有明确标准,所以不能构成集合,B中的数字1,2,3与3,2,1只能构成一个集合,因集合中的元素是无序的.C中的五个数值形式归入同一集合中只有两个元素,故选D.
3.下列命题正确的个数有( B )
①3∈N;②∈N*;③∈Q;④2+?R;⑤?Z.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:因为3是自然数,所以3∈N,故①正确;因为不是正整数,所以?N*,故②不正确;因为是有理数,所以∈Q,故③正确;因为2+是实数,所以2+∈R,所以④不正确;因为=2是整数,所以∈Z,故⑤不正确.选B.
4.下列集合中,有限集为 .?
①不超过π的正整数构成的集合;
②平方后不等于1的数构成的集合;
③高一(2)班中考成绩在500分以上的学生构成的集合;
④到线段AB的两端点的距离相等的点构成的集合;
⑤方程|x|=-1的解构成的集合
解析:②与④是无限集,⑤是空集,①③是有限集.
答案:①③
5.(2018·安徽泗县月考)已知集合A中有三个元素2,4,6.且当a∈A时有6-a∈A,那么a为( B )
(A)2 (B)2或4 (C)4 (D)0
解析:由集合中元素a∈A时,6-a∈A,则集合中的两元素之和为6,故a=2或4.故选B.
6.已知非零实数a,b,代数式+的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( C )
(A)0?M (B)-2?M (C)2∈M (D)1∈M
解析:当a>0,b>0时,+=2;
当a<0,b<0时,+=-2;
当ab<0时,+=0.所以C正确.故选C.
7.设L(A,B)表示直线AB上全体点组成的集合,“P是直线AB上的一个点”这句话就可以简单写成P L(A,B).?
解析:P是直线AB上的一个点,则P是集合L(A,B)的一个元素,故P∈L(A,B).
答案:∈
8.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为 .?
解析:若m=2,则m2-3m+2=0,不合题意;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,m=0时不合题意,m=3时符合题意.故m=3.
答案:3
9.若集合A是由关于x的不等式x2-ax+1>0构成的解集,且3?A,那么a的取值范围是 .?
解析:因为3?A,所以3是不等式x2-ax+1≤0的解集.
所以10-3a≤0,所以a≥.
答案:{a|a≥}
10.已知关于x的方程ax2-3x+2=0,a∈R的解集为A.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;
(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
解:(1)A是空集,所以
所以a>且a≠0,
所以a>.
(2)A中只有一个元素.
当a=0时,-3x+2=0的解是x=,
所以A只有一个元素;
当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,得a=,
此时方程为9x2-24x+16=0.
解得x=,即A中只有一个元素.
(3)A中至多有一个元素,即A是空集,或A只含有一个元素.
所以a>或a=0或a=,即a≥或a=0.
11.设S是由满足下列两个条件的实数所构成的集合:
①1?S,②a∈S,则∈S.请解答下列问题:
(1)若2∈S,则S中必有另外两个数,求出这两个数;
(2)求证:若a∈S,则1-∈S;
(3)在集合S中元素能否只有一个,请说明理由.
(1)解:因为2∈S,2≠1,
所以=-1∈S.
因为-1∈S,-1≠1,
所以=∈S.
因为∈S,≠1,
所以=2∈S.
所以-1,∈S,
即集合S中另外两个数为-1和.
(2)证明:因为a∈S,所以∈S.
所以=1-∈S(a≠0,
因为若a=0,则=1∈S,不合题意).
(3)解:集合S中的元素不能只有一个.
理由:假设集合S中只有一个元素,则根据题意知a=,即a2-a+1=0,此方程无实数解,所以a≠,因此集合S不能只有一个元素.
1.1.2 集合的表示方法
【选题明细表】
知识点、方法
题号
列举法
6,7,10
描述法
1,5
列举法、描述法的综合应用
2,3,4,8,9,11
1.(2018·重庆一中期中)实数1不是下面哪一个集合的元素( C )
(A)整数集Z
(B){x,|x|}
(C){x∈N|-1
(D){x∈R|≤0}
解析:由题意,C选项集合为{0},不包含1,故选C.
2.有下列各命题:
(1)方程+|3y+3|=0的解集是{,-1};
(2)方程x2+x-6=0的解集为{(-3,2)};
(3)集合M={y|y=x2+1,x∈R}与集合P={(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示同一集合;
(4)方程组的解集是{(x,y)|x=-1或y=2}.其中描述正确的个数为( A )
(A)0 (B)2 (C)3 (D)4
解析:(1)中方程的解为x=,y=-1,用集合表示应为{(,-1)},故(1)错;(2)中一元二次方程的解集中的元素应无序,但(-3,2)表示了顺序,或{(-3,2)}表示点集,故(2)错;(3)M中元素y=x2+1≥1表示y的取值范围,P中元素(x,y)表示抛物线y=x2+1上的点,故不是同一集合,因此(3)错;(4)中方程组的解不应是x=-1或y=2,而应是x=-1且y=2,故(4)也错.故选A.
3.对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的一个是( D )
(A){x|x是小于18的正奇数}
(B){x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}
(C){x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}
(D){x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}
解析:选项A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,
11,15,多了一些元素,选项B中k取负数,也会多一些元素,选项C中,t=0时会多了-3这个元素.故选D.
4.下列集合中表示同一集合的是( B )
(A)M={(3,2)},N={3,2}
(B)M={2,3},N={3,2}
(C)M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
(D)M={2,3},N={(2,3)}
解析:M={(3,2)},M集合的元素表示点的集合,N={3,2},N表示数集,故不是同一集合,故A错误;M={2,3},N={3,2},根据集合的无序性,集合M,N表示同一集合,故B正确;M={(x,y)|x+y=1},M集合的元素表示点的集合,N={y|x+y=1},N表示直线x+y=1上点的纵坐标,是数集,故不是同一集合,故C错误;M={2,3},集合M的元素是数2,3,N={(2,3)},集合N的元素是点(2,3),故D错误.故选B.
5.集合A={x|mx2-4x+2=0}中只有一个元素,则实数m的值为( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)0或2
解析:当m=0时,显然满足集合{x|mx2-4x+2=0}有且只有一个元素,当m≠0时,由集合{x|mx2-4x+2=0}有且只有一个元素,可得判别式Δ=16-
8m=0,解得m=2.
6.已知A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},用列举法表示A为
.?
解析:因为x+y=6,x∈N,y∈N,
所以x=6-y∈N,
所以
所以A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.
答案:{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
7.(2018·重庆市十八中月考)若5∈{1,m+2,m2+4},则实数m的取值集合为( B )
(A){3} (B){1,3}
(C){-1,1} (D){-1,1,3}
解析:因为5∈{1,m+2,m2+4},所以m+2=5或m2+4=5.解得m=3或m=-1或m=1.
当m=3时,集合为{1,5,13},成立;当m=-1时,集合为{1,1,5},不成立;当m=1时,集合为{1,3,5},成立.所以实数m的取值集合为{1,3}.故
选B.
8.(2018·福建清流一中期中)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则A*B的所有元素之和为( B )
(A)0 (B)6 (C)3 (D)2
解析:根据题意,A={1,2},B={0,2},则集合A*B中的元素可能为0,2,0,4,又根据集合中元素的互异性,则A*B={0,2,4},其所有元素之和为6.故选B.
9.已知集合A={1,0,-1,2},B={y|y=|x|,x∈A},则集合B= .?
解析:当x=1或-1时,|x|=1;
当x=0时,|x|=0;
当x=2时,|x|=2.
所以B={0,1,2}.
答案:{0,1,2}
10.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a的值.
解:(1)若a+2=1,则a=-1,
此时A={1,0,1},与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.
(2)若(a+1)2=1,则a=0或a=-2.
当a=0时,A={2,1,3},符合题意;
当a=-2时,A={0,1,1},与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.
(3)若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2.由前面知,不合题意,应舍去.
综上所述,所求a的值为0.
11.若集合M具有下列性质:
①0∈M,1∈M;
②若x,y∈M,则x-y∈M,且当x≠0时,∈M.
则称集合M为“好集”.
(1)分别判断集合P={-1,0,1},有理数集Q是否是“好集”,并说明
理由;
(2)设集合A是“好集”,求证:若x,y∈A,则x+y∈A.
(1)解:集合P不是“好集”.假设P是“好集”,因为-1∈P,1∈P,所以-1-1=-2∈P,这与-2?P矛盾.
有理数集Q是“好集”.因为0∈Q,1∈Q,对任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且当x≠0时,∈Q,所以有理数集Q是“好集”.
(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0∈A.
若x,y∈A,则0-y∈A,即-y∈A.所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.
1.2.1 集合之间的关系
【选题明细表】
知识点、方法
题号
“∈”“?”等符号运用
1,2
集合的相等
4,11
子集、真子集的判断
3,5,7,8,9
由集合关系确定参数取值
6,10,12
1.下列六个关系式:①{a,b}?{b,a};②{a,b}={b,a};③{0}?;④0∈{0};⑤∈{0};⑥?{0},其中正确的个数为( C )
(A)6个 (B)5个 (C)4个 (D)少于4个
解析:根据集合自身是自身的子集,可知①正确;根据集合无序性可知②正确;根据集合与集合关系及表示可知③⑤不正确;根据元素与集合之间的关系可知④正确;根据空集是任何集合的子集可知⑥正确.即正确的关系式个数为4个,故选C.
2.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x-1},B={(1,0),(3,2)},则下列关系不正确的是( B )
(A)(1,0)∈A (B)(3,2)?A
(C)B?A (D)BA
解析:因为(3,2)表示元素,而“A”是集合,所以两者之间不能用集合与集合之间的符号“?”来表示.故选B.
3.已知集合A={x∈N*|0(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
解析:因为A={x∈N*|04.已知集合A={x|x=a2+1,x∈N},B={y|y=b2-4b+5,b∈N},则有( A )
(A)A=B (B)AB (C)BA (D)A?B
解析:由于y=b2-4b+5=(b-2)2+1≥1,
所以B={y|y≥1且y∈N},故A=B.
故选A.
5.集合U,S,T,F的关系如图所示,下列关系错误的有 .?
①SU;②FT;③ST;④SF;⑤SF;⑥FU.
解析:根据子集、真子集的Venn图知SU,ST,FU.
答案:②④⑤
6.(2018·河北衡水市枣强中学期中)已知集合A={1,3,a},
B={1,a2-a+1},且B?A,则a= .?
解析:因为B?A,所以a2-a+1=3或a2-a+1=a.
①由a2-a+1=3得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2,当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B?A,当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B?A.
②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1,当a=1时,A={1,3,1},不满足集合元素的互异性.综上,若B?A,则a=-1或a=2.
答案:-1或2
7.已知非空集合M满足:对任意x∈M,总有x2?M且?M,若M?{0,1,2,3,4,5},则满足条件M的个数是( A )
(A)11 (B)12 (C)15 (D)16
解析:由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集,有15个,且2,4不同时出现,同时出现有4个,故满足题意的M有11个.故选A.
8.设集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则( B )
(A)M=N (B)M?N (C)N?M (D)无法确定
解析:由集合M={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子是奇数,由集合N={x|x=+,k∈Z}得x=+=,分子可以是奇数也可以是偶数,则M?N,故选B.
9.(2018·黑龙江大庆一中段考)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则B的子集个数为( D )
(A)3 (B)4 (C)7 (D)8
解析:当?z=0,当?z=1,当?z=1,当?z=2,所以B={0,1,2},B的子集个数为23=8,故选D.
10.设集合M={x|2a-1解析:用数轴表示题中关系如图,显然要使N?M,
则有
解得≤a≤1.
答案:{a|≤a≤1}
11.已知a∈R,x∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+
(a+1)x-3,1},求:
(1)使A={2,3,4}时,x的值;
(2)使2∈B,BA时,a,x的值;
(3)使B=C时,a,x的值.
解:(1)因为A={2,3,4},
所以x2-5x+9=3,
所以x2-5x+6=0,
所以x=2或x=3.
(2)因为2∈B且BA,
所以
所以或均符合题意.
所以a=-,x=2或a=-,x=3.
(3)因为B=C,所以
①-②并整理得a=x-5, ③
③代入①并化简得x2-2x-3=0,
所以x=3或x=-1.
所以a=-2或a=-6,
经检验,a=-2,x=3或a=-6,x=-1均符合题意.
所以a=-2,x=3或a=-6,x=-1.
12.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={y|y=2x-a,a∈R,x∈A},C={z|z=x2,
x∈A},是否存在实数a,使C?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
解:A={x|-1≤x≤2},当x∈A时,
-2-a≤2x-a≤4-a,0≤x2≤4,
所以B={y|-2-a≤y≤4-a,a∈R,y∈R},C={z|0≤z≤4,z∈R}.
若C?B,则应有??-2≤a≤0.
所以存在实数a∈{a|-2≤a≤0}时,C?B.
1.2.2 集合的运算
【选题明细表】
知识点、方法
题号
交集、并集运算
1,2,8
补集运算
3,7
交并补综合运算
4,6,11
利用集合运算求参数取值
5,7,10,12,13
Venn图的应用
9
1.(2018·辽宁葫芦岛六校协作体月考)已知集合M={0,4},N={x|0<
x<5},则M∪N等于( B )
(A){4} (B){x|0≤x<5}
(C){x|0解析:由题意结合并集的定义可得M∪N={x|0≤x<5}.
2.(2018·贵州六盘水实验一中期中)设集合A={x|-3B={x|x=2k-1,k∈Z},则A∩B的元素个数为( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为集合A={x|-3{-1,1,3},A∩B的元素个数为3,故选C.
3.(2018·山东曲阜师大附中期中)已知全集U={x∈N*|x-5≤0},
A={1,4},B={4,5},则?U(A∩B)等于( A )
(A){1,2,3,5} (B){1,2,4,5}
(C){1,3,4,5} (D){2,3,4,5}
解析:因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={4,5},所以A∩B={4},?U
(A∩B)={1,2,3,5}.故选A.
4.下列四个推理:①a∈(A∪B)?a∈A;②a∈(A∩B)?a∈A;③A?B?A∪B=B;④A∪B=A?A∩B=B.其中正确的个数有( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①不正确;②正确;③正确;④因为A∪B=A,
所以B?A,而A∩B=B,得B?A,所以④正确.故选C.
5.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠,则( A )
(A)a≥-1 (B)a>-1 (C)a≤-1 (D)a<-1
解析:如图.
因为A∩B≠,所以a≥-1.故选A.
6.(2018·四川遂宁期末)已知集合A={x|x2-x=0},集合B={x∈N+|-1≤x<3},则下列结论正确的是( B )
(A)1?(A∩B) (B)1∈(A∩B)
(C)A∩B= (D)A∪B=B
解析:由题意得A={0,1},B={1,2},结合各选项知B正确.选B.
7.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x(A)5 (B)3 (C)2 (D)1
解析:由已知?UA={x|a≤x≤5},
所以a=2.故选C.
8.若集合A={1,2,3,4},BA,且1∈(A∩B),4?(A∩B)则满足上述条件的集合B的个数是( C )
(A)3 (B)2 (C)4 (D)8
解析:因为BA且1∈(A∩B),4?(A∩B),所以B必含元素1,不含4.
所以B={1},{1,2},{1,3},{1,2,3}共4个,
故选C.
9.集合U,M,N,P如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是( A )
(A)M∩?U(N∪P)
(B)M∩(N∪P)
(C)M∪?U(N∪P)
(D)M∪?U(N∩P)
解析:根据图形得,阴影部分在M集合对应的区域内,应该是M的子集,而且阴影部分的元素既不在集合P内,也不在集合N内,应该是在集合P∪N的补集中,即在?U(N∪P)中,因此阴影部分所表示的集合为M∩
?U(N∪P),故选A.
10.已知集合M={x|-2x+1≥0},N={x|x(A)a> (B)a< (C)a≤ (D)a≥
解析:因为M∩N=M,所以M?N.因为集合M={x|-2x+1≥0}={x|x≤},N={x|x,故选A.
11.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2?UA,A∩B,?U(A∩B),(?UA)∩B.
解:把全集U和集合A,B在数轴上表示如图.
由图可知
?UA={x|x≤-2或3≤x≤4},
A∩B={x|-2?U(A∩B)={x|x≤-2或3≤x≤4},
(?UA)∩B={x|-312.已知集合A={x|0<2x+a≤3},B={x|-(1)当a=1时,求(?RB)∪A;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,A={x|0<2x+1≤3}={x|-(2)若A∩B=A,则A?B,
由0<2x+a≤3知-所以解得-1所以实数a的取值范围是{a|-113.已知集合A={x|x≤2},B={x|x>a}.
(1)若A∩B=,求a的取值范围;
(2)若A∪B=R,求a的取值范围;
(3)若1∈A∩B,求a的取值范围.
解:(1)画出如图(1)所示的数轴,知只有a≥2时,有A∩B=.
(2)要使A∪B=R,如图(2),即a所对应的点应在2所对应的点的左侧,故a≤2.
(3)因为1∈A∩B,1∈A,所以1∈B.故a<1,如图(3).
第一章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
集合及其表示方法
7,8
元素、集合间的关系
1,6,11,12,17,20
集合的交、并、补运算
2,3,4,5,9,14,16
利用集合关系或运算求参数取值
10,13,15,18,19,21,22
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列关于集合的关系式正确的是( A )
(A)0∈{0} (B) ={0}
(C)0= (D){2,3}≠{3,2}
解析:因为{0}是含有一个元素的集合,所以{0}≠,故B不正确;元素与集合间不能用等号,故C不正确;{2,3}与{3,2}显然相等,故D不正确.故选A.
2.已知M∪{1,2}={1,2,3},则满足条件的集合M的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
解析:由题意可知3∈M,所以满足要求的集合M有{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},故选C.
3.已知U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则?UA等于( C )
(A){x|-22}
(C){x|-2≤x≤2} (D){x|x≤-2或x≥2}
解析:由题意A={x|x<-2或x>2},且U=R,
所以?UA={x|-2≤x≤2}.选C.
4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={-2,0,2},则( D )
(A)N?M (B)M∪N=M
(C)M∩N={2} (D)M∩N={0,2}
解析:集合M={0,1,2,3,4},N={-2,0,2},则M∩N={0,2}.故选D.
5.已知集合M={1,a2},P={-1,-a},若M∪P有三个元素,则M∩P等于( C )
(A){0,1} (B){0,-1} (C){0} (D){-1}
解析:由集合M={1,a2},P={-1,-a},且M∪P有三个元素可知解得a=0,所以M∩P={0},故选C.
6.给出下列四个关系式:∈R,0.5?R,0?N,0∈,其中正确的个数是( D )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
解析:∈R正确,0.5?R,0?N,0∈都错误,故选D.
7.集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B={y|∈N*,y∈A}的子集个数是( C )
(A)4个 (B)8个 (C)16个 (D)32个
解析:集合A={x|x2-7x<0,x∈N*}={1,2,3,4,5,6},B={y|∈N*,y∈A}={1,2,3,6},故B有16个子集,故选C.
8.已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( C )
(A)1 (B)3 (C)5 (D)9
解析:因为x,y∈A,所以x-y=-2,-1,0,1,2,即B={-2,-1,0,1,2},有5个元素.故选C.
9.设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则图中阴影部分所表示的集合是( A )
(A){4} (B){2,4}
(C){4,5} (D){1,3,4}
解析:Venn图显示的阴影部分是B∩?UA,由题,?UA={4,5},所以B∩
?UA={4}.故选A.
10.已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为( C )
(A){a|a≤-3或a≥2} (B){a|-1≤a≤2}
(C){a|-2≤a≤1} (D){a|a≥2}
解析:集合A={x|y=}={x|-2≤x≤2},若A∪B=A,则B?A,所以有所以-2≤a≤1,故选C.
11.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3m+1,m∈Z},S={z|z=6n+1,n∈Z}之间的关系是( C )
(A)SPM (B)S=PM
(C)SP=M (D)SP=M
解析:M={x|x=3k-2,k∈Z}={x|x=3(k-1)+1,k∈Z},所以M=P,
又S={z|z=6n+1,n∈Z}={z|z=3×2n+1,n∈Z},
所以SP.所以SP=M.故选C.
12.定义集合运算:A?B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},设A=
{,},B={1,},则集合A?B的真子集个数为( B )
(A)8 (B)7 (C)16 (D)15
解析:由题意A={,},B={1,},则A?B中有元素有(+1)×(-1)
=1,(+)×(-)=0,(+1)(-1)=2,(+)(-)=1四种结果,由集合中元素的互异性,则集合A?B有3个元素,故集合A?B的真子集个数为23-1=7个,故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知集合A={-1,0,a},B={0,}.若B?A,则实数a的值为
.?
解析:因为B?A,所以∈A.所以=a,解得a=1或a=0(舍去).
答案:1
14.已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∪B= .?
解析:根据题意,集合A={1,2,3},而B={y|y=2x-1,x∈A},则B={1,3,5},则A∪B={1,2,3,5}.
答案:{1,2,3,5}
15.设全集U={3,6,m2-m-1},A={|3-2m|,6},?UA={5},则实数m的值为 .?
解析:因为A∪(?UA)=U,所以U={3,6,m2-m-1}={|3-2m|,6,5},两个集合相等,所有元素都一样,所以解得m=3.
答案:3
16.已知集合A={(x,y)|y=x2},集合B={(x,y)|y=2-x},则A∩B=
.?
解析:联立方程解得或且A,B为点集,所以A∩B={(1,1),(-2,4)}.
答案:{(-2,4),(1,1)}
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
数集M满足条件:若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0).已知3∈M,试把由此确定的M的元素求出来.
解:因为3∈M,则∈M,即-2∈M,
所以=-∈M.
所以=∈M,
=3∈M,
又回到开始,
因此当3∈M时,另有-2,-,∈M,
即M的元素分别为3,-2,-,.
18.(本小题满分12分)
已知集合A={x|1(1)当m=-1时,求A∪B;
(2)若A?B,求实数m的取值范围.
解:(1)当m=-1时,B={x|-2A∪B={x|-2(2)由A?B,知
解得m≤-2,
即实数m的取值范围为{m|m≤-2}.
19.(本小题满分12分)
已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β,集合A={α,β},B=
{2,4,5,6},C={1,2,3,4},若A∩C=A,A∩B=,求p,q的值.
解:由A∩C=A,A∩B=得A={1,3},
即方程x2+px+q=0的两个根是1,3.
所以
解得
20.(本小题满分12分)
已知集合M={x|1≤x≤3},集合N={x|-2≤x≤2},集合A满足A?M且A?N,若A中元素为整数,求集合A.
解:因为集合A满足A?M且A?N,
所以A?M∩N.
因为M={x|1≤x≤3},
N={x|-2≤x≤2},
所以M∩N={x|1≤x≤2}.
因为A中元素为整数,
所以A={1}或{2}或{1,2}.
21.(本小题满分12分)
设全集U={2,4,-(a-3)2},集合A={2,a2-a+2},若?UA={-1},求实数a
的值.
解:由题意知-1∈U,4∈A,
所以
解得a=2.
22.(本小题满分12分)
已知集合A={x|-1(1)求A∩(?RB);
(2)若(A∪B)∩C≠,求m的取值范围.
解:(1)?RB={x|x<0或x≥4},A∩(?RB)={x|-1(2)A∪B={x|-1因为(A∪B)∩C≠,所以m的取值范围为{m|m<4}.
第1课时 对数的概念、常用对数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对数概念
2,9
指数式与对数式的互化
1,3,6
对数性质应用
8,10,11
对数恒等式
4,5,7
1.把对数式x=lg 2,化成指数式为( A )
(A)10x=2 (B)x10=2
(C)x2=10 (D)2x=10
解析:lg 2=log102,即对数式为x=log102,故指数式为10x=2.
2.在对数式lo=b中,下列对a,b,N的限制条件中正确的是( C )
(A)a>1,N≥0,b∈R
(B)a>1且a≠2,N≥0,b>0
(C)a>1且a≠2,N>0,b∈R
(D)a>1且a≠2,N>0,b>0
解析:①>0且≠1,所以a>1且a≠2;②>0,所以N>0;③b∈R.故选C.
3.若logx=z,则( B )
(A)y7=xz (B)y=x7z
(C)y=7·xz (D)x=z7y
解析:由logx=z得xz=,两边同时7次方得(xz)7=()7,即y=x7z.故选B.
4.4log22+等于( A )
(A) (B)-1
(C)9 (D)
解析:4log22+=4+()-1=4+=.
5.计算+= .?
解析:原式=23×+=23×3+=24+27=51.
答案:51
6.如果f(10x)=x,则f(3)等于( B )
(A)log310 (B)lg 3
(C)103 (D)310
解析:令10x=3,则x=log103=lg 3,即f(3)=lg 3.
7.已知loga3=,则a的值为( B )
(A)2 (B)3
(C)8 (D)9
解析:因为=30=1,
所以loga3=1,所以a=3.
8.已知f(x)=则f(-2)+f(2)的值为( B )
(A)6 (B)5
(C)4 (D)3
解析:由题意得f(-2)+f(2)=(1+log24)+2=5.故选B.
9.函数y=log2x-1的定义域是( A )
(A)(,1)∪(1,+∞) (B)(,1)∪(1,+∞)
(C)(,+∞) (D)(,+∞)
解析:要使函数有意义,则
解此不等式组可得x>且x≠1且x>,
因此函数的定义域是(,1)∪(1,+∞),故选A.
10.(2018·河南省平顶山市、许昌市、汝州高一上学期期中联考)若log3(x-2)=log4(2y-1)=1,则= .?
解析:由log3(x-2)=1可得x-2=3,所以x=5,
由log4(2y-1)=1可得2y-1=4,所以y=,
据此可得==2.
答案:2
11.使方程(lg x)2-lg x=0的x的值为 .?
解析:由lg x(lg x-1)=0得lg x=0或lg x=1,
即x=1或x=10.
答案:10或1
12.已知M={0,1},N={11-a,lg a,2a,a},是否存在实数a使M∩N={1}?
解:若M∩N={1},则1∈N,
(1)若11-a=1,则a=10,于是lg a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;
(2)若lg a=1,则a=10,于是11-a=1,这与集合中元素的互异性矛盾;
(3)若2a=1,则a=0,这与a>0矛盾;
(4)若a=1,则11-a=10,lg a=0,2a=2,N={10,0,2,1},于是M∩N={0,1},
这与M∩N={1}矛盾.
综上可知,不存在实数a使M∩N={1}.
第2课时 积、商、幂的对数与换底公式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对数运算性质及应用
2,3,4,6,9
对数换底公式的应用
1,5
对数的应用
7,8,10,11
1.log89·log32的值为( A )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:log89·log32=lo32·log32=×·=,故选A.
2.(2018·北京西城期末)若log2a+lob=2,则有( C )
(A)a=2b (B)b=2a
(C)a=4b (D)b=4a
解析:log2a+lob=2,即log2a-log2b=2,
所以log2=2,即=4,即a=4b,
故选C.
3.如果lg x=lg a+3lg b-5lg c,那么( C )
(A)x=a+3b-c (B)x=
(C)x= (D)x=a+b3-c5
解析:因为lg a+3lg b-5lg c=lg a+lg b3-lg c5=lg ,
所以x=,选C.
4.计算4log6+log64的结果是( B )
(A)log62 (B)2
(C)log63 (D)3
解析:4log6+log64=log69+log64=log636=2.故选B.
5.若log5·log36·log6x=2,则x= .?
解析:原式=··=2,
即-=2,
所以log5x=-2,
所以x=5-2=.
答案:
6.(2018·河南洛阳期中)计算:(lg -lg 25)÷10+= .
解析:(lg -lg 25)÷10+
=-(lg 4+lg 25)÷+7×
=-2×10+7×2=-6.
答案:-6
7.(2018·四川雅安中学期中)如果方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为x1,x2,那么x1x2的值为( C )
(A)lg 2lg 3 (B)lg 2+lg 3
(C) (D)-6
解析:因为方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为x1,x2,
所以lg x1+lg x2=-(lg 2+lg 3),lg x1·lg x2=lg 2·lg 3,
所以lg(x1x2)=-lg 6=lg 6-1,x1x2=.故选C.
8.(2018·吉林长春联考)若log545=a,则log53等于( D )
(A)a (B)a-1
(C) (D)
解析:因为log545=a=log5(5×9)=log55+log532=1+2log53,所以log53= .故选D.
9.(2018·辽宁大石桥期末)已知log29=a,b=log25,则log275用a,b表示为( C )
(A)2a+2b (B)2a+b
(C)a+2b (D)(a+b)c
解析:因为log29=a,所以log23=,所以log275=log2(5×15)=log25+ log2(3×5)=log25+log23+log25=2log25+log23=a+2b,故选C.
10.(1)已知6a=27,求log1618;
(2)已知log310=a,log625=b,求log445.
解:(1)因为6a=27,
所以a=log627==,
解得log23=,
所以log1618==(log22+log29)
=(1+2log23)
=
=.
(2)a=log310=log32+log35, ①
b=log625==, ②
由①②解得
所以log445====.
11.设logac,logbc是方程x2-3x+1=0的两根,求loc的值.
解:由根与系数的关系,得
将上式化为以c为底的对数,得
故logca+logcb=3,logca·logcb=1,
所以(logca-logcb)2
=(logca+logcb)2-4logca·logcb=5,
所以loc===±.
3.2.2 对数函数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对数函数的图象及应用
2,5,7
对数函数的定义域、值域、最值
1,10
对数函数的性质应用
3,4,6,8,9,11
1.函数f(x)=log2(x2+8)的值域是( C )
(A)[8,+∞) (B)(-∞,8)
(C)[3,+∞) (D)(-∞,3)
解析:因为x2+8≥8,所以log2(x2+8)≥log28=3.选C.
2.(2018·湖北襄阳一中期中)函数f(x)=log2的图象( A )
(A)关于原点对称 (B)关于直线y=-x对称
(C)关于y轴对称 (D)关于直线y=x对称
解析:因为函数f(x)=log2,所以>0,求得-23.(2018·山西晋城期中)函数f(x)=loga|x-2|在(2,+∞)上是减函数,那么f(x)在(0,2)上( A )
(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值
(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值
解析:因为函数f(x)=loga|x-2|在(2,+∞)上是减函数,并且y=|x-2|在(2,+∞)是增函数,所以04.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则实数a的取值范围是( A )
(A) (B)
(C) (D)(0,+∞)
解析:法一 作出函数f(x)=log2a(x+1)的图象,满足当x∈(-1,0)时f(x)>0,如图所示,
所以0<2a<1,
所以0法二 令t=x+1,
因为x∈(-1,0),
所以t=x+1∈(0,1),
所以y=log2at,
因为t∈(0,1)时f(x)=y>0,
所以y=log2at必为减函数,
所以0<2a<1,
所以05.函数f(x)=1-loga(2-x)的图象恒过定点 .?
解析:令2-x=1,则x=1,此时y=1-loga1=1,
所以图象恒过定点(1,1).
答案:(1,1)
6.下列所给大小比较,正确的序号是 .?
①lo0.2>log20.8;②log43>log0.250.5; ③log3>log5;④log1.11.7> log0.21.7.
解析:lo0.2=lo=log25,
因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
所以log25>log20.8,即lo0.2>log20.8,故①正确;
因为log0.250.5=lo=log42log3=log32-log33=log32-1,log5=log56-1,
因为log56>log33=1>log32,
所以log32-1即log3因为log1.11.7>log1.11=0,log0.21.7所以log1.11.7>log0.21.7,④正确.
因此正确的是①②④.
答案:①②④
7.已知a>0,b>0,ab=1,则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是( B )
解析:若a>1,则01,此时f(x)是减函数,g(x)也是减函数,C不符合.故选B.
8.(2018·云南民大附中月考)函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递减区间是( C )
(A)(-∞,1) (B)(-∞,-1)
(C)(3,+∞) (D)(1,+∞)
解析:要使函数有意义,则x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,
设t=x2-2x-3,则函数在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
因为函数lot在定义域上为减函数,所以由复合函数的单调性性质可知,则此函数的单调递减区间是(3,+∞).故选C.
9.对任意实数a,b定义运算“*”如下:a*b=函数f(x)= lo(3x-2)*log2x的值域为 .?
解析:当lo(3x-2)≤log2x时,log2≤log2x,
所以所以
所以
所以x≥1.
此时,f(x)=lo(3x-2),因为x≥1,所以3x-2≥1,
所以f(x)=lo(3x-2)≤0,即f(x)∈(-∞,0].
当lo(3x-2)>log2x时,log2>log2x,
所以所以
所以
所以此时,f(x)=log2x.因为所以f(x)=log2x∈.
综上知,函数f(x)的值域为(-∞,0].
答案:(-∞,0]
10.(2018·山东烟台期中)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0且a≠1.
(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使不等式f(x)>g(x)成立的实数x的取值范围.
解:(1)函数y=f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),
其定义域满足解得-1所以函数y=f(x)-g(x)的定义域为{x|-1(2)不等式f(x)>g(x)即loga(x+1)>loga(4-2x),
当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.
因为定义域为{x|-1所以实数x的取值范围是{x|1当0因为定义域为{x|-1所以实数x的取值范围是{x|-111.(1)已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y= logn(mx+2)的零点;
(2)已知函数f(x)=如果f(x0)<1,求x0取值的集合.
解:(1)由f(x)的零点是1和2,
得
所以m=-2,n=2,
所以y=logn(mx+2),即y=log2(-2x+2)的零点为.
(2)因为f(x0)<1,
所以当x0≤0时,有-1<1,得x0<1,
所以x0≤0.
当x0>0时,有log2(x0+1)<1,
得x0<1,即0综上可知x0<1,
故x0取值的集合为{x0|x0<1}.
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
【选题明细表】
知识点、方法
题号
求反函数(或反函数值)
1,3,4,5,6,7
指数函数与对数函数关系
2,8
反函数的应用
9,10
1.设f(x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是( B )
(A)(0,+∞) (B)(9,+∞)
(C)(10,+∞) (D)(-∞,+∞)
解析:因为f(x)=3x+9>9,
所以反函数的定义域为(9,+∞),故选B.
2.设a=,b=,c=lox,若x>1,则a,b,c的大小关系为( C )
(A)a(C)c解析:因为x>1,
所以a=<=,b=>=1,
所以0所以c=lox所以c3.若函数f(x)是函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数,其图象过点(,a),则f(x)等于( B )
(A)log2x (B)lox (C) (D)x2
解析:y=ax的反函数是y=logax,因为图象过点(,a),所以a=loga,所以a=,即f(x)=lox.故选B.
4.已知y=f(x)在R上单调递增,且满足f(1)=2,则y=f(x)的反函数的图象恒过点( D )
(A)(1,2) (B)(0,2) (C)(2,0) (D)(2,1)
解析:由反函数定义可知恒过点(2,1),故选D.
5.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2(x>0),则f(4)= .?
解析:设f(4)=b,则4=f-1(b)=b2且b>0,所以b=2.
即f(4)=2.
答案:2
6.已知函数f(x)=则f-1= .?
解析:设f-1=x,则f(x)=.
①令x2+1=,得x=±,
因为0≤x≤1,所以x=.
②令2x=,得x=,与-1≤x<0矛盾.
综上得f-1=.
答案:
7.(2018·河南实验中学期中)已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a的值为( C )
(A)-e (B)- (C) (D)e
解析:因为函数f(x)与函数g(x)=ex互为反函数,
所以f(x)=ln x.
因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)= -ln x.
因为h(a)=1,所以a=,故选C.
8.如图,已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1),若f(3)·g (3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( C )
解析:因为f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1)互为反函数,所以它们具有相同的单调性.
所以排除A和D.
又f(3)·g(3)<0,
所以f(3)>0,g(3)<0,
所以排除B,选C.
9.已知函数f(x)=的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题:
(1)h(x)的图象关于原点对称;
(2)h(x)为偶函数;
(3)h(x)的最小值为0;
(4)h(x)在(0,1)上为减函数.
其中正确命题的序号为 .(将你认为正确的命题的序号都填上)?
解析:g(x)=lox,
则h(x)=g(1-|x|)=lo(1-|x|)(-1所以h(x)是偶函数,
故(1)错,(2)正确.
又h(x)=lo(1-|x|)≥lo1=0,所以(3)正确.
因为u=1-|x|在(0,1)上为减函数,h(x)=lou为减函数,所以h(x)在(0,1)上为增函数,(4)错.
答案:(2)(3)
10.设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,试求a+b 的值.
解:(数形结合法)将方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.由图可知,a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3交点B的横坐标.由于函数y=2x与y= log2x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,由题意可得出A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标分别为A(a,b), B(b,a),而A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3,或a=-b+3,故a+b=3.
3.3 幂函数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
幂函数概念、图象
2,6,7,9
幂函数性质及其应用
3,4,6,10
幂函数解析式
1,5,8,10,11
1.(2018·北京海淀期末)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内( C )
(A)为增函数 (B)为减函数
(C)有最小值 (D)有最大值
解析:设幂函数f(x)=xα,由f(-2)=4,得(-2)α=4=(-2)2,所以α=2,即f(x)=x2,则在定义域内有最小值0,故选C.
2.(2018·重庆綦江联考)函数y=()-3的图象是( C )
解析:函数y=()-3可化为y=x3,当x=时,求得y=<,选项B,D不合题意,可排除选项B,D;当x=2时,求得y=8>1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C.
3.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( D )
(A)y= (B)y=
(C)y= (D)y=
解析:y==,定义域、值域都为R,y=的定义域、值域也为R,y==定义域与值域都为(0,+∞),D中y==定义域为R,而值域为 [0,+∞).
4.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)(A)[-1,3) (B)(-∞,5)
(C)(3,5) (D)(3,+∞)
解析:由幂函数f(x)=的性质,有0≤a+1<10-2a,所以-1≤a<3, 故选A.
5.(2018·山东烟台期中)幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为增函数,则m的值为( D )
(A)1或3 (B)3 (C)2 (D)1
解析:由函数f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,则m2-4m+4=1,解得m=1或m=3.又函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上单调递增,则m2-6m+8>0,解得m>4或m<2,因此只有m=1满足条件,故选D.
6.已知幂函数y=(m∈N+)的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,则m= .?
解析:因为幂函数图象与坐标轴不相交,
所以m2-2m-3≤0,
所以-1≤m≤3,
又m∈N+,所以m=1,2,3.
又因为函数为偶函数,
所以m=1或m=3.
答案:1或3
7.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是( C )
解析:当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的正半轴上,只有选项B适合;但此时函数y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以B不适合.
当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的负半轴上,只有选项A,C适合,此时函数y=xa在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有选项C适合.故选C.
8.(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且图象与坐标轴无交点,则f(x)( B )
(A)是偶函数 (B)是奇函数
(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值
解析:幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点,可得m2-m-1=1,且m≤0,解得m=-1.则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值.故选B.
9.幂函数y=(m2-m-1),当x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值为 .?
解析:由m2-m-1=1得m=2或m=-1,
又x∈(0,+∞)时为减函数,
则需m2-2m-3<0,
所以m=-1舍去.
答案:2
10.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)判断y=f(x)在其定义域上的单调性,并加以证明.
解:(1)设f(x)=xα,将(2,)代入得,
=2α,所以α=.
所以f(x)=.
(2)f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数.
证明如下:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=-
=
=,
因为x1-x2<0,+>0,所以f(x1)即幂函数f(x)=在[0,+∞)上为增函数.
11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减 函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)讨论g(x)=a-的奇偶性.
解:(1)因为f(x)=(m∈Z)是偶函数,
所以m2-m-2为偶数.
又因为f(x)=(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,
所以m2-m-2<0,即-1因为m∈Z,所以m=0或m=1.
当m=0时,m2-m-2=-2为偶数;
当m=1时,m2-m-2=-2也为偶数,
所以f(x)的解析式为f(x)=x-2.
(2)g(x)=a-=-bx,
所以g(-x)=+bx.
①当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数;
②当a=0且b≠0时,g(x)为奇函数;
③当a≠0且b=0时,g(x)为偶函数;
④当a=0且b=0时,g(x)既是奇函数又是偶函数.
3.4 函数的应用(Ⅱ)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
幂函数模型
2,5
指数函数模型
3,4,7,8,9,10,11
对数函数模型
1,6
1.(2018·福建宁德期末)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如下表所示,根据表中数据,下列函数中,适宜作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是( B )
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
(A)y=0.5(x+1) (B)y=log3x+1.5
(C)y=2x-1 (D)y=2
解析:将表格中的数值描到坐标系内,观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合,故选B.
2.某工厂生产两种成本不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降低20%,结果都以23.04元出售,此时厂家同时出售A,B产品各一件,盈亏情况为( B )
(A)不亏不赚 (B)亏5.92元
(C)赚5.92元 (D)赚28.96元
解析:设A产品成本为a元,B产品成本为b元,
由题意得
解得a=16,b=36.若厂家同时出售A,B两种产品,可赚23.04×2-(16+ 36)=-5.92元,即亏5.92元,故选B.
3.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( D )
解析:由题意知,y=(1+10.4%)x,故属于指数函数,且递增.
4.(2018·河北张家口月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.3×2x-2+10(0(A)18.8万元 (B)19.8万元
(C)20.8万元 (D)29.2万元
解析:因为总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y=0.3× 2x-2+10(05.某种汽车安全行驶的稳定系数μ随使用年数t的变化规律是μ= μ0e-λt,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定系数降为0.50μ0时,该种汽车的使用年数为( D )
(结果精确到1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(A)10年 (B)11年
(C)12年 (D)13年
解析:由0.90μ0=μ0(e-λ)2,得e-λ=,于是0.50μ0=μ0(e-λ)t?=()t,两边取常用对数,lg =lg 0.90,解得t==≈13.
故选D.
6.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬,鸟类科学家发现,两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2.若两岁燕子耗氧量达到40个单位时,其飞行速度为v=10 m/s,则两岁燕子飞行速度为25 m/s时,耗氧量达到 个单位.?
解析:由题,令x=40,v=10,
得10=alog24,所以a=5.
v=25 m/s时,25=5log2,
解得x=320.
答案:320
7.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.?
解析:依题意有ae-8b=a,即e-8b=,两边取对数得-8b=ln =-ln 2,所以b=,所以y=a.当容器中只有开始时的八分之一,则有a=a,所以=,两边取对数得-t=ln =-3ln 2,所以t=24,所以再经过的时间为24-8=16 min.
答案:16
8.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为 个.?
解析:当t=0.5时,y=2,所以2=,
所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2,
当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
答案:2ln 2 1 024
9.如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y=at,有以下几种说法:
①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2;
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;
④浮萍每月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+ t2=t3.
其中正确的序号是 .?
解析:由图象可知,t=2时,y=4;
所以4=a2,故a=2,①正确;
当t=5时,y=25=32>30,②正确;
当y=4时,由4=知t1=2,
当y=12时,由12=知t2=log212=2+log23.
t2-t1=log23≠1.5,故③错误;
浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误;
对于⑤,因为=2,=3,=6,
所以·=,
即=,
又函数y=2t在R上是增函数,
所以t1+t2=t3,⑤正确.
答案:①②⑤
10.18世纪70年代,德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如表:
行星
1(金星)
2(地球)
3(火星)
4( )
5(木星)
6(土星)
7( )
距离
0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星,后来果然发现了谷神星,但不算大行星,它可能是一颗大行星爆炸后的产物,请你推测谷神星的位置,在土星外面是什么星?它与太阳的距离大约是多少?
解:由数值对应表作散点图如图.
由图采用指数型函数作模型,设f(x)=a·bx+c.
代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)
得
(③-②)÷(②-①)得b=2,代入①②,
得
解得
所以f(x)=·2x+.
因为f(5)==5.2,f(6)=10,
所以符合对应表值,
所以f(4)=2.8,f(7)=19.6,
所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.
在土星外面是天王星,它与太阳的距离大约是19.6天文单位.
11.光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式;
(2)至少通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的以下?(lg 3≈0.477 1)
解:(1)y=a(1-10%)x(x∈N*).
(2)由y即0.9x<,
两边取以0.9为底的对数,得x>log0.9=≈10.4,所以至少通过11块玻璃后,光线强度减弱到原来的以下.
第三章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数的解析式
5,11
运用函数的图象和性质比较大小
4,6,12
幂、指数、对数函数的图象及性质
1,2,3,7,16
17,18,20,22
指、对数的运算性质
8,9,13,14,15,19
函数的应用
10,21
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,f(2)=1,则f(8)等于( A )
(A)3 (B) (C)-3 (D)-
解析:由题意可得f(x)=logax,f(2)=loga2=1,a=2,即f(x)=log2x, f(8)=log28=3,故选A.
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A )
(A)y=ln(x+2) (B)y=-
(C)y=()x (D)y=x2-2x
解析:y=ln(x+2)的定义域为(-2,+∞),在(0,+∞)上递增,y=-的定义域为[-1,+∞),在(0,+∞)上递减,
y=的定义域为R,在(0,+∞)上递减,y=x2-2x的定义域为R,在 (1,+∞)上递增,在(0,1)上递减.故选A.
3.函数y=的定义域是( D )
(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)
(C)(-∞,2] (D)(1,2]
解析:由lo(x-1)≥0,
得0所以14.已知loa>lob,则下列不等式成立的是( C )
(A)ln (a-b)>0 (B)<
(C)3a-b<1 (D)loga2解析:由已知得0,故B错误;对于选项C,a-b<0,3a-b<30=1,故C正确;对于选项D,比如a=2,b=4时,不满足loga25.已知函数f(x)=则f(f(4))的值为( C )
(A)- (B)-9 (C) (D)9
解析:由题意得f(4)=lo4=-2,所以f(f(4))=f(-2)=3-2=.故选C.
6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(lo4),c=f(21.6),则a,b,c的大小关系是( B )
(A)c解析:因为12,由f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以a>f(2)=b>c.故选B.
7.函数f(x)=lg ,x∈(-1,1)的图象关于( C )
(A)y轴对称 (B)x轴对称
(C)原点对称 (D)直线y=x对称
解析:f(x)=lg,x∈(-1,1),
所以f(-x)=lg=lg=-lg=-f(x).
即f(x)为奇函数,关于原点对称.
8.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( B )
(A)5 (B)7 (C)9 (D)11
解析:因为f(x)=2x+2-x,所以f(a)=2a+2-a=3,则f(2a)=22a+2-2a= (2a+2-a)2-2=7.故选B.
9.已知b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( B )
(A)d=ac (B)a=cd (C)c=ad (D)d=a+c
解析:由已知得5a=b,10c=b,所以5a=10c,
因为5d=10,
所以5dc=10c=b=5a,则5dc=5a,
所以dc=a,故选B.
10.已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化数据如下表:
x
1
2
4
6
8
…
y1
2
4
16
64
256
…
y2
1
4
16
36
64
…
y3
0
1
2
2.585
3
…
则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是( B )
(A)y1=x2,y2=2x,y3=log2x
(B)y1=2x,y2=x2,y3=log2x
(C)y1=log2x,y2=x2,y3=2x
(D)y1=2x,y2=log2x,y3=x2
解析:从题表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,呈指数函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数函数变化,故选B.
11.设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( C )
(A)(-1,0)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,1)
解析:①若a>0,由f(a)>f(-a)得log2a>loa,
所以log2a>-log2a,即2log2a>0,所以a>1.
②若a<0,由f(a)>f(-a)得lo(-a)>log2(-a),
所以log2(-a)<0,
所以0<-a<1,所以-1综合①②知a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).
故选C.
12.若关于x的不等式4x-logax≤在x∈(0,)上恒成立,则实数a的取值范围是( D )
(A)[,1) (B)(0,]
(C)(0,] (D)[,1)
解析:由题意得4x-≤logax在x∈(0,]上恒成立,即当x∈(0,]时,函数y=4x-的图象不在y=logax图象的上方,如图,由图知,
当a>1时,函数y=4x-(0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.计算(lg-lg 25)÷10= .?
解析:原式=lg÷(102
=lg 10-2÷
=-2×10
=-20.
答案:-20
14.已知a<0,则化简的结果为 .?
解析:=[(-a]=(-a=.
答案:
15.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为 .?
解析:依题意得f(x)=log2x·(2+2log2x)
=(log2x)2+log2x
=(log2x+)2-≥-,
当且仅当log2x=-,即x=时等号成立,
因此函数f(x)的最小值为-.
答案:-
16.若方程4x+(m-3)·2x+m=0有两个不相同的实根,则m的取值范围是 .?
解析:将原方程化为(2x)2+(m-3)·2x+m=0,
设t=2x>0,
则t2+(m-3)t+m=0(t>0)(*),
于是要使原方程有两个不相同的实根,
则(*)中关于t的二次方程必须有两个不相等的正根,
所以
解得0答案:(0,1)
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知loga(3x-2)<0,求x的取值范围.
解:当a>1时,0<3x-2<1,
所以当01,
所以x>1.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是;
当01}.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg |x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)画出函数f(x)的图象草图;
(3)求函数f(x)的单调递减区间.
解:(1)要使函数有意义,则|x|>0,即x≠0.
所以函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).
因为f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(2)由于函数f(x)是偶函数,则其图象关于y轴对称,x>0时,f(x)= lg x,可得图象如图.
(3)法一 由图象知f(x)的单调减区间是(-∞,0).
法二 函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),
设y=lg u,u=|x|,
由于y=lg u是增函数,且函数u=|x|的单调减区间是(-∞,0).
所以函数f(x)=lg|x|的单调递减区间是(-∞,0).
19.(本小题满分12分)若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,求lg(ab)·的值.
解:因为lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,
所以所以
所以[lg()]2=(lg a-lg b)2
=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b
=[lg(ab)]2-4lg a·lg b
=22-4×
=2.
所以lg(ab)·=2×2=4.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a3-ax(a>0且a≠1).
(1)当a=2时,f(x)<4,求x的取值范围;
(2)若f(x)在[0,1]上的最小值大于1,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=23-2x<4=22,
3-2x<2,得x>.即x的取值范围为(,+∞).
(2)y=3-ax在定义域内单调递减,
当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=a3-a>1=a0,得1当01,不 成立.
综上,121.(本小题满分12分)医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验,经检验,病毒细胞个数与天数的数据记录如下表:
天数
病毒细胞个数
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候,小白鼠将会死亡,若注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到天,已知:lg 2≈0.301 0)
解:(1)由题意可得病毒细胞个数关于时间n的函数为y=2n-1,则由 2n-1≤108,两边取对数,得(n-1)lg 2≤8,所以n≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
(2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%,再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108,
两边取对数,得26lg 2+lg 2-2+x lg 2≤8,得x≤6.2.
故再经过6天必须注射药物,即第二次应在第33天注射药物.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log2(a>0)为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)若x∈(1,4],f(x)>log2恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)因为函数f(x)=log2(a>0)为奇函数,
所以f(x)+f(-x)=0,即log2+log2=0,
即log2=0,=1,又a>0,所以a=1.
(2)由(1)知f(x)=log2,
因为x∈(1,4],f(x)>log2恒成立,所以>,
因为x∈(1,4],所以0所以02.1.1 函 数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数的概念
1,2,12
函数的定义域
3,4,5,7,10
函数值与值域
5,6,8,9,10,11
1.下列各式为函数解析式的是( A )
(A)y=(x≥0) (B)y2=x(x≥0)
(C)x2+y2=1 (D)|y|=x2+1
解析:函数的定义当中,任意的一个自变量x只对应于唯一的一个y,只有A选项符合,故选A.
2.下列四组函数,表示相等函数的是( D )
(A)f(x)=,g(x)=x
(B)f(x)=,g(x)=·
(C)f(x)=x,g(x)=
(D)f(x)=|x+1|,g(x)=
解析:A.f(x)=,g(x)=x,对应关系不同;B.f(x)=,g(x)=·,定义域不同;C.f(x)=x,g(x)=,定义域不同.故选D.
3.函数y=+的定义域是( A )
(A)(-1,2] (B)[-1,2] (C)(-1,2) (D)[-1,2)
解析:依题意有解得x∈(-1,2].
4.(2018·云南昆明期中)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,2],函数g(x)=,则g(x)的定义域为( A )
(A)(-,3] (B)(-1,+∞)
(C)(-,0)∪(0,3) (D)(-,3)
解析:则-5.(2018·浙江杭州高一期中)函数y=的定义域为M,值域为N,则M∩N等于( A )
(A)M (B)(1,+∞)
(C)(-∞,) (D)N
解析:使y=有意义的x为3x-2≥0,即x≥,从而定义域M=
[,+∞),
又y=≥0,即值域为N=[0,+∞),
所以M∩N=M.故选A.
6.已知f(x)=9x+1,g(x)=x2,则f[g(2)]等于 .?
解析:因为g(2)=22=4,
所以f[g(2)]=f(4)=9×4+1=37.
答案:37
7.若函数f(x)的定义域为[0,3],则函数g(x)=f(x+1)-f(x-1)的定义域为( A )
(A)[1,2] (B)[-1,4] (C)[-1,2] (D)[1,4]
解析:因为函数f(x)的定义域为[0,3],所以要使函数g(x)有意义,则即解得1≤x≤2,故选A.
8.下列函数中值域是(0,+∞)的是( C )
(A)y= (B)y=x2+x+
(C)y= (D)y=2x+1
解析:y=≥0,故其值域为[0,+∞).
因为y=x2+x+=(x+)2+≥,所以函数的值域为[,+∞).
因为y=>0,所以函数的值域为(0,+∞).
因为y=2x+1∈R,所以函数的值域为R.
综上可知只有C的函数值域是(0,+∞).故选C.
9.函数f(x)=2x+的值域为 .?
解析:令t=≥0,则x=1-t2.
得y=2-2t2+t=-2(t-)2+,t≥0.当t=时,函数有最大值.
所以值域为(-∞,].
答案:(-∞,]
10.已知函数f(x)=+,
(1)求函数的定义域;
(2)求f(-3),f的值;
(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值.
解:(1)要使函数有意义,则x应满足
解得-3≤x<-2或x>-2.
即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞).
(2)f(-3)=+=-1.
f=+=+.
(3)因为a>0,
a∈[-3,-2)∪(-2,+∞),
即f(a),f(a-1)有意义.
则f(a)=+;
f(a-1)=+
=+.
11.已知f(x)=,
(1)求f(2)+f(),f(3)+f()的值;
(2)求f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2 017)+f()+f()+f()+…+f()
的值.
解:(1)f(2)+f()=+=+=1.
f(3)+f()=+=+=1.
(2)因为f(x)+f()=+
=+
=1,
所以f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2 017)+f()+f()+f()+…+f()
==2 016.
12.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有多少个?
解:由题,令2x2-1=1,得x=±1,
令2x2-1=7,得x=±2,所以根据“孪生函数”的定义,函数定义域中至少含有1与-1中的一个,至少含有2与-2中的一个,于是其定义域可以有如下情况:(1){1,2};(2){-1,2};(3){1,-2};(4){-1,-2};(5){1,-1,2};(6){1,-1,-2};(7){1,2,-2};(8){-1,2,-2};(9){1,-1,2,-2}.所以符合题意的“孪生函数”共有9个.
2.1.2 函数的表示方法
【选题明细表】
知识点、方法
题号
列表法、函数图象
1,5,10
函数解析式
3,4,9
分段函数
2,6,7,9,12
函数应用问题
4,8,11
1.已知函数f(x)的定义域A={x|0≤x≤2},值域B={y|1≤y≤2},在下面的图形中,能表示f(x)的图象的只可能是( D )
解析:作一条垂直于x轴的直线,此直线与图象有唯一交点的图象可能为函数图象,从而选项A,C不正确,再结合定义域、值域可得只有选项D正确.故选D.
2.(2018·山东潍坊期中)已知函数f(x)=则f[f(1)]等于( A )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:因为f(x)=所以f(1)=2+1=3.
所以f[f(1)]=f(3)=32-2×3=3.故选A.
3.(2018·河南洛阳期中)已知f(2x+1)=4x2,则f(-3)等于( B )
(A)36 (B)16 (C)4 (D)-16
解析:因为f(2x+1)=4x2=(2x+1)2-2(2x+1)+1,
所以f(x)=x2-2x+1.
所以f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16.选B.
4.(2018·河南中原名校联考)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)等于( A )
(A)x+1 (B)x-1 (C)2x+1 (D)3x+3
解析:因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.选A.
5.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则g[f(x)]=2时,x= .?
解析:由已知中的表格得g(2)=2,若g[f(x)]=2,则f(x)=2,即x=1.
答案:1
6.已知函数f(x)=若f(x)=3,则x= .?
解析:①当x≥-1时,f(x)=3-2x=3,解得x=0,符合题意;
②当x<-1时,f(x)=x+6=3,解得x=-3,符合题意.综上可得,若f(x)=3,则x=0或-3.
答案:0或-3
7.(2017·山东卷)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f()等于( C )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
解析:由题意知0由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1),所以a=,
所以f()=f(4)=2×(4-1)=6.故选C.
8.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则四个图形中较符合该学生走法的是( D )
解析:d随t的增加而减小,故排除选项A、C.又开始一段跑步比走路速度快,排除B,故选D.
9.(2018·山东德州期末)设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)+
2f()=3x,则f(2 018)等于( B )
(A)2 016 (B)-2 016 (C)-2 017 (D)2 017
解析:分别令x=1和x=2 018得解得f(2 018)=-2 016.故选B.
10.作出下列函数的图象并求出其值域.
(1)y=(-1)xx,x∈{0,1,2,3};(2)y=,x∈[2,+∞);
(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].
解:(1)列表
x
0
1
2
3
y
0
-1
2
-3
函数图象只是四个点:(0,0),(1,-1),(2,2),(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.
(2)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分,观察图象可知其值域为(0,1].
(3)列表
x
-2
-1
0
1
2
y
0
-1
0
3
8
画图象,图象是抛物线y=x2+2x在-2≤x≤2之间的部分.
由图可得函数的值域是[-1,8].
11.据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示.过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为在时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)直接写出v(km/h)关于t(h)的函数关系式;
(2)当t=20 h时,求沙尘暴所经过的路程s(km);
(3)若N城位于M地的正南方向,且距M地650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.
解:(1)由题图可得,v=
(2)当t=20时,v=30;
所以s=×(10+20)×30=450(km).
即当t=20时,沙尘暴所经过的路程为450 km.
(3)由(2)得,当0≤t≤20时,s<650.
当20s=450+=-t2+70t-550.
令-t2+70t-550=650.
解得t1=30,t2=40,
因为20即沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.
12.设函数f(x)=如果f(1)=1,那么a的取值范围是 .?
解析:因为f(x)=f(1)=1,
所以当a>1时,f(1)=-1,不成立;
当a=1时,f(1)=12,成立;
当a<1时,f(1)=12=1,成立.
综上,a的取值范围是a≤1.
答案:(-∞,1]
2.1.3 函数的单调性
【选题明细表】
知识点、方法
题号
判断或证明函数单调性
1,2,6,7,10,12
求函数的单调区间
3,11
函数单调性的应用
4,5,8,9
1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数a,b,总有>0成立,则f(x)必定是( C )
(A)先增后减的函数 (B)先减后增的函数
(C)在R上的增函数 (D)在R上的减函数
解析:因为对任意两个不等实数a,b,总有>0,
所以当Δx=a-b>0时,Δy=f(a)-f(b)>0,当Δx=a-b<0时,Δy=f(a)-f(b)<0,所以f(x)在R上是增函数,故选C.
2.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是( A )
(A)f(x)= (B)g(x)=-2x2
(C)h(x)=-3x+1 (D)s(x)=(x-1)2
解析:B,C在(0,+∞)上是减函数,而D是二次函数,在(0,1)上是减函数,(1,+∞)上是增函数,故选A.
3.已知下列区间不是函数y=的递减区间的是( D )
(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)
(C)(3,9) (D)(-∞,0)∪(0,+∞)
解析:作出函数图象,可知应选D.
4.已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,那么f(a2-a+1)与f的大小关系是( C )
(A)f(a2-a+1)≥f
(B)f(a2-a+1)=f
(C)f(a2-a+1)≤f
(D)两者大小关系与a的取值有关
解析:因为(a2-a+1)-=a2-a+=≥0,
所以a2-a+1≥,
又f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以f(a2-a+1)≤f.
故选C.
5.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是 .?
解析:由题知,g(x)=在[1,2]上是减函数,需a>0,欲使f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,则需a≤1,
综上,a的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
6.(2018·北京西城13中期中)若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是 .?
解析:由函数y=|2x+c|=
即函数y=|2x+c|在(-∞,-]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增.
所以-≥1,解得c≤-2.
答案:(-∞,-2]
7.设f(x),g(x)都是单调函数,有如下四个命题,其中正确的命题是( C )
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.
(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②④
解析:若函数f(x),g(x)单调性相同,则函数f(x)-g(x)的单调性不确定,故①④不正确.由-g(x)与g(x)的单调性相反知②③正确.故选C.
8.已知f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则有( D )
(A)f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)
(B)f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)
(C)f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
(D)f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
解析:由a+b≤0可得,a≤-b,b≤-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
故选D.
9.(2018·河北枣强中学期末)已知函数f(x)=若f(2-a2)(A)(-1,2)
(B)(-2,1)
(C)(-∞,1)∪(2,+∞)
(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:画出图象如图可得函数f(x)在实数集R上单调递增,故由
f(2-a2)0,解得a<-2或a>1.故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).选D.
10.证明:函数f(x)=-2x2+3x+3在(-∞,]上是增函数.
证明:设x1,x2是(-∞,]上的任意两个不相等的实数,且x1则Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)
=(-2+3x2+3)-(-2+3x1+3)
=2-2+3x2-3x1
=2(x1+x2)(x1-x2)-3(x1-x2)
=[2(x1+x2)-3](x1-x2).
因为x1由x1,x2∈(-∞,]且x10,
所以函数f(x)=-2x2+3x+3在(-∞,]上是增函数.
11.作出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调
区间.
解:f(x)=的图象如图所示.
由图可知,
函数f(x)=的单调减区间为(-∞,1]和(1,2),单调增区间为[2,+∞).
12.(2018·湖南师范大学附中检测)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当x>1时恒有f(x)<2,则下列结论正确的是( A )
(A)f(x)在(0,+∞)上是减函数
(B)f(x)在(0,+∞)上是增函数
(C)f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数
(D)f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数
解析:设任意01,f(x2)-f(x1)=f(·x1)-f(x1)=f()+f(x1)-2-f(x1)=f()-2<0,即f(x2)2.1.4 函数的奇偶性
【选题明细表】
知识点、方法
题号
奇偶函数定义及性质
1,2,5,7,10
求解析式、函数值
3,4,11
单调性、奇偶性综合应用
6,8,9,12
1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )
(A)y=x+1 (B)y=-x3 (C)y= (D)y=x|x|
解析:选项A是增函数不是奇函数,选项A不正确;选项B,C不是定义域内的增函数.故选D.
2.(2018·山东烟台期中)函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a+b等于( C )
(A)- (B)0 (C) (D)1
解析:函数为偶函数,则定义域关于坐标原点对称,即a-1+2a=0,所以a=,
结合二次函数的性质可得,其对称轴-=0,所以b=0,所以a+b=.
3.(2018·江西南昌实验中学期中)已知f(x)=ax5+bx3+cx-8,且f(-2)=4,那么f(2)等于( A )
(A)-20 (B)10 (C)-4 (D)18
解析:因为f(x)=ax5+bx3+cx-8,且f(-2)=4,所以f(-2)=-32a-8b-2c-8=4,
解得32a+8b+2c=-12,
所以f(2)=32a+8b+2c-8=-12-8=-20.故选A.
4.设f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+),那么当x∈(-∞,0]时,f(x)等于( D )
(A)-x(1+) (B)x(1+)
(C)-x(1-) (D)x(1-)
解析:当x∈(-∞,0]时,-x∈[0,+∞),
所以f(-x)=-x(1+)=-x(1-).
因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x(1-).
故选D.
5.(2018·北京石景山九中期中)函数y=f(x)是定义在[-2,a](a>-2)上的偶函数,则a的值为 .?
解析:因为f(x)是偶函数,且定义域为[-2,a],所以定义域[-2,a]关于原点O对称,所以a=-(-2)=2.
答案:2
6.(2018·陕西安康期中)已知f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)= .?
解析:因为f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,所以解得g(-2)=f(2)=2.
答案:2
7.设函数f(x),g(x)的定义域都是R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( C )
(A)f(x)·g(x)是偶函数 (B)|f(x)|·g(x)是奇函数
(C)f(x)·|g(x)|是奇函数 (D)|f(x)·g(x)|是奇函数
解析:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
所以f(-x)·|g(-x)|=-f(x)·|g(x)|,
所以f(x)·|g(x)|是奇函数.故选C.
8.(2018·黑龙江齐齐哈尔检测)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0.则( B )
(A)f(-3)(C)f(-2)解析:由于函数f(x)对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(-2)=f(2),f(-3)=f(3);所以有f(1)9.设函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,且有f(-3)=0,则xf(x)<0的解集是( D )
(A){x|-33}
(B){x|x<-3或 0 (C){x|x<-3或x>3}
(D){x|-3解析:根据已知条件,可画出f(x)的大致图象,如图,从图中可得xf(x)<0的解集为{x|-310.(2018·山东安丘期中)设a为常数,函数f(x)=x2-4x+3.若f(x+a)为偶函数,则a= .?
解析:法一 因为f(x+a)是偶函数,
所以f(a+x)=f(a-x).
所以函数y=f(x)的对称轴方程为x=a.
又f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1的对称轴方程为x=2.故a=2.
法二 函数f(x)=x2-4x+3为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=2.
有f(x+2)=x2-1,此时对称轴为x=0,即f(x+2)为偶函数,
所以a=2.
答案:2
11.已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(x)图象关于y轴对称,当x≥0时,f(x)=x2-4x.
(1)画出f(x)图象;
(2)求出f(x)的解析式;
(3)若函数y=f(x)与函数y=m的图象有四个交点,求m的取值范围.
解:(1)如图所示.
(2)当x<0时-x>0,f(-x)=x2+4x,
因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+4x,
所以f(x)=
(3)最小值为f(-2)=f(2)=-4,由(1)图象可知函数y=f(x)与函数y=m的图象有四个交点时,-412.(2018·山东邹城期中)已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是(-2,2),它们在[0,2]上的图象如图所示,则使关于x的不等式f(x)·g(x)<0成立的x的取值范围为( C )
(A)(-2,-1)∪(1,2) (B)(-1,0)∪(0,1)
(C)(-1,0)∪(1,2) (D)(-2,-1)∪(0,1)
解析:当00,g(x)>0,f(x)·g(x)>0;当10,f(x)·g(x)<0,故当x>0时,其解集为(1,2),因为y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,所以f(x)·g(x)是奇函数,由奇函数的对称性可得当x<0时,其解集为(-1,0),综上,不等式f(x)·g(x)<0的解集是(-1,0)∪(1,2),故选C.
2.2.1 一次函数的性质与图象
【选题明细表】
知识点、方法
题号
一次函数概念与解析式
1,8
一次函数图象与性质
2,3,4,5,6,7,9
一次函数应用问题
10,11
1.下列说法正确的是( C )
(A)y=kx(k为常数)是正比例函数
(B)y·x=1是一次函数
(C)y=a-x(a为常数)是一次函数
(D)一次函数的一般式是y=kx+b
2.已知一次函数y=(1+2m)x-3,若y随x的增大而减小,则m的取值范围是( A )
(A)(-∞,-) (B)(-,+∞)
(C)(-∞,-] (D)[-,+∞)
解析:由题得1+2m<0,所以m<-.故选A.
3.(2018·广东南雄中学阶段考试)若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( B )
解析:Δ=4-4(kb+1)=-4kb>0,则kb<0,由图象可知A选项kb>0,B选项kb<0,C选项kb>0,D选项kb=0,故选B.
4.已知一次函数y=(a-2)x+1的图象不经过第三象限,化简+的结果是( B )
(A)2a-5 (B)5-2a (C)1 (D)5
解析:因为一次函数y=(a-2)x+1的图象不过第三象限,所以a-2<0,所以a<2.
所以+=|a-2|+|a-3|
=(2-a)+(3-a)
=5-2a.
故选B.
5.如图所示,一次函数y=kx+b(k<0)的图象经过点A,当y<3时,x的取值范围是 .?
解析:由函数图象可知,此函数是减函数,当y=3时,x=2,故当y<3时,x>2.
答案:(2,+∞)
6.已知函数y=x+m的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25,则m= .?
解析:函数与两坐标轴的交点为(0,m),(-m,0),
则m2=25,所以m=±5.
答案:±5
7.若定义运算a*b=则函数f(x)=x*(4-x)的值域是( D )
(A)(-2,2] (B)[-2,2] (C)(-∞,2) (D)(-∞,2]
解析:由题中定义的运算可知,
f(x)=其大致图象如图所示.故选D.
8.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,?OABC的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0),且将?OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是( D )
(A)y=x+1 (B)y=x+1
(C)y=3x-3 (D)y=x-1
解析:设D(1,0),
因为直线l经过点D(1,0),
且将?OABC分割成面积相等的两部分,所以OD=BE=1,
因为顶点B的坐标为(6,4),
所以E(5,4),
设直线l的函数解析式是y=kx+b,
因为图象过D(1,0),E(5,4),
所以解得
所以直线l的解析式为y=x-1.故选D.
9.(2018·河南豫西部分示范高中期中)已知函数f(x)=ax+(1-x)
(a>0)且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.
解:f(x)=ax+(1-x)=(a-)x+,故①当a-<0,即0②当a-≥0,即a≥1时,g(a)=f(0)=;
故g(a)=故g(a)的最大值为1.
10.某电信公司为了迎合客户的不同需要,设有A,B两种优惠方案,这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).
试问:
(1)若通话时间为2小时,按方案A,B各付话费多少元?
(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?
解:由题图可知M(60,98),N(500,230),C(500,168),D.
由题意可得fA(x)=
fB(x)=
(1)fA(120)=116(元),fB(120)=168(元).
所以通话时间为2小时,按方案A,B各付话费116元和168元.
(2)x>500时,f(x+1)-f(x)==0.3(元).
所以方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.
11.已知x∈[0,1]时,不等式2m-1<(m-1)x恒成立,求m的取值范围.
解:法一 当x∈[0,1]时,不等式2m-1<(m-1)x恒成立,
等价于x∈[0,1]时,f(x)=(m-1)x-(2m-1)>0恒成立.
①当m=1时,f(x)=-1不合题意;
②当m>1时,f(x)在[0,1]上单调递增,
则
此不等式组无解;
③当m<1时,f(x)在[0,1]上单调递减,则解之得m<0,
综上所述,m的取值范围为(-∞,0).
法二 当x∈[0,1]时,不等式2m-1<(m-1)x恒成立,等价于x∈[0,1]时,f(x)=(m-1)x-(2m-1)恒大于零,
则两端处函数值均为正即可.
则解之得m<0,
故m的取值范围为(-∞,0).
2.2.2 二次函数的性质与图象
【选题明细表】
知识点、方法
题号
二次函数图象顶点与对称轴
1,8
二次函数的单调性及最值
3,5,6,7
二次函数图象应用
2,4,9
二次函数综合应用
10,11
1.已知函数f(x)=4x2-mx+5的图象的对称轴为x=-2,则f(1)的值为( D )
(A)-7 (B)1 (C)17 (D)25
解析:函数f(x)=4x2-mx+5的图象的对称轴为x=-2,可得=-2,解得m=-16,则f(1)=4+16+5=25,
故选D.
2.(2018·北京海淀外国语实验中学期中)已知反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为( D )
解析:由题图可知k<0,所以二次函数开口向下,对称轴x=-=<0.故选D.
3.(2018·陕西西安一中期中)已知m<-4,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2+6x-1的图象上,则( D )
(A)y1(C)y1解析:因为m<-4,所以m-1又二次函数y=x2+6x-1在对称轴的左侧是单调递减函数,所以y34.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是( C )
解析:先由一次函数图象判断出a,b的符号,再看对应的二次函数能否相符.
5.(2018·广东潮州期末)二次函数f(x)=x2-4x+1(x∈[3,5])的值域为( A )
(A)[-2,6] (B)[-3,+∞)
(C)[-3,6] (D)[-3,-2]
解析:因为对于函数f(x)=x2-4x+1,是开口向上的抛物线,对称轴为x=-=2,
所以函数在区间[3,5]上是单调递增函数.
所以当x=3时f(x)取最小值-2,
当x=5时f(x)取最大值6.
所以值域为[-2,6],故选A.
6.(2018·山东潍坊期中)函数y=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数,则( B )
(A)b>0且a<0 (B)b=2a<0
(C)b=2a>0 (D)a,b的符号不定
解析:因为函数y=ax2+bx+3的对称轴为x=-,又因为函数y=ax2+bx+3在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数,所以a<0,x=-=-1,所以b=2a<0,故选B.
7.(2018·安徽三校联考)函数f(x)=kx2+(3k-2)x-5在[1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( D )
(A)(0,+∞) (B)(-∞,]
(C)[,+∞) (D)[,+∞)
解析:①当k=0时,f(x)=-2x-5,在[1,+∞)上单调递减,不合题意.
②当k≠0时,函数f(x)图象的对称轴方程为x=-=-.
若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,则需满足解得k≥.
综上可得,实数k的取值范围是[,+∞).选D.
8.一道不完整的数学题如下:
已知二次函数y=x2+bx+c的图象过(1,0),…求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称.
根据已知信息,题中二次函数图象不具有的性质是( B )
(A)过点(3,0)
(B)顶点(2,-2)
(C)在x轴上截得线段长是2
(D)与y轴交点是(0,3)
解析:将题中结论看作函数y=f(x)也应具有的条件,验证各答案.
因为图象关于x=2对称,且过(1,0)点,
所以另一点是(3,0)且在x轴上截得线段长为2,
假设顶点为(2,-2),则y=a(x-2)2-2,
因为过点(1,0),
所以a=2与y=x2+bx+c矛盾,所以选B.
9.二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得二次函数的解析式为y=x2-3x+5的图象,则b= ,
c= .?
解析:因为y=x2-3x+5=+,将其图象向左平移3个单位,再向上平移2个单位,可得二次函数为y=++2的图象,即y=x2+3x+7的图象,所以b=3,c=7.
答案:3 7
10.已知函数f(x)=x2+2ax+1,x∈[-5,5],
(1)若y=f(x)在[-5,5]上是单调函数,求实数a的取值范围;
(2)求y=f(x)在区间[-5,5]上的最小值.
解:(1)f(x)=x2+2ax+1,x∈[-5,5]的对称轴为直线x=-a,
若y=f(x)在[-5,5]上是单调函数,则-a≤-5或-a≥5,
所以a≤-5或a≥5.
故实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞).
(2)①若-a≤-5,即a≥5时,f(x)在[-5,5]上单调递增,
f(x)min=f(-5)=26-10a,
②若-a≥5,即a≤-5时,f(x)在[-5,5]上单调递减,
f(x)min=f(5)=26+10a,
③若-5<-a<5,即-5f(x)min=f(-a)=1-a2.
11.(2018·安徽六安一中检测)已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x∈[,]时,f(x)≥,则a的值为( A )
(A)1 (B)-1 (C) (D)
解析:由f(x)=ax-x2=-(x-)2+a2,
则f(x)max=a2≤,得-1≤a≤1,且对称轴的方程为x=,
当-1≤a<时,在x∈[,]上函数f(x)单调递减,而f(x)≥,
即f(x)min=f()=-≥,则a≥1与-1≤a<矛盾,即不存在;
当≤a≤1时,对称轴x=,而≤≤,函数f(x)在[,]上递增,在[,]上递减.
则f()=-≥,则a≥1,且f()=a-≥,则a≥,而≤a≤1,所以a=1,故选A.
2.2.3 待定系数法
【选题明细表】
知识点、方法
题号
待定系数法
1,5,7
数形结合与待定系数法
2,4,6,8
二次函数综合应用
3,9,10,11
1.已知一个一次函数的图象过点(1,3),(3,4),则这个函数的解析式为( B )
(A)y=x- (B)y=x+
(C)y=-x+ (D)y=-x-
解析:可将点代入验证或用待定系数法求解.
2.如果函数y=ax+2与y=bx+3的图象相交于x轴上一点,那么a,b的关系是( B )
(A)a=b (B)a∶b=2∶3
(C)a+2=b+3 (D)ab=1
解析:设两函数图象交于x轴上的点为(t,0),代入解析式有a=-,b=-,
所以a∶b=∶=2∶3.
3.(2018·北京海淀19中期中)已知二次函数f(x),f(0)=6,且f(3)=f(2)=0,那么这个函数的解析式是( D )
(A)f(x)=x2+x+6 (B)f(x)=x2-x+6
(C)f(x)=x2+5x+6 (D)f(x)=x2-5x+6
解析:法一 由f(3)=f(2)=0可知二次函数对称轴方程为x=.四个选项中只有D选项对称轴方程为x=.故选D.
法二 因为f(3)=f(2)=0,所以2,3是函数图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数的解析式可设为f(x)=a(x-2)(x-3).结合f(0)=6可知a=1.所以选D.
4.已知二次函数的二次项系数为1,该函数图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),则此二次函数的解析式为 .?
解析:由题可设f(x)=x2+px+q,
因为图象与x轴有且仅有一个交点(2,0),
所以(2,0)是抛物线的顶点,即-=2,
所以p=-4,
又f(2)=22-4×2+q=0,所以q=4,
所以f(x)=x2-4x+4.
答案:f(x)=x2-4x+4
5.(2018·北京西城13中期中)已知一次函数f(x)=4x+3,且f(ax+b)
=8x+7,则a-b= .?
解析:一次函数f(x)=4x+3,所以f(ax+b)=4(ax+b)+3=8x+7,得解得a=2,b=1.所以a-b=1.
答案:1
6.如图所示,一次函数图象经过点A,且与正比例函数y=-x的图象交于点B,则该一次函数的表达式为( B )
(A)y=-x+2
(B)y=x+2
(C)y=x-2
(D)y=-x-2
解析:设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0),
由已知可得A(0,2),B(-1,1)在一次函数图象上.
所以解得
所以一次函数表达式为y=x+2.故选B.
7.二次函数f(x)=ax2+bx+c经过点(1,7),且有f(x)≥f(-2)=-2,则f(x)的解析式为( B )
(A)f(x)=x2+2x+2 (B)f(x)=x2+4x+2
(C)f(x)=x2+4x-2 (D)f(x)=x2+4x+4
解析:依题意,f(x)=a(x+2)2-2,将点(1,7)代入得7=9a-2.所以a=1,所以f(x)=(x+2)2-2=x2+4x+2.
故选B.
8.二次函数满足f(1+x)=f(1-x),且在x轴上的一个截距为-1,在y轴上的截距为3,则其解析式为 .?
解析:由f(1+x)=f(1-x)知二次函数的对称轴为x=1,且过(-1,0),
(0,3),设f(x)=ax2+bx+c.
则解得
答案:f(x)=-x2+2x+3
9.已知二次函数y=f(x),当x=2时函数取最小值-1,且f(1)+f(4)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-kx在区间[1,4]上不单调,求实数k的取值范围.
解:(1)由条件设f(x)=a(x-2)2-1;
又f(1)+f(4)=3,则a=1,
所以f(x)=x2-4x+3.
(2)当x∈[1,4]时,由题意,g(x)=x2-(k+4)x+3,因其在区间[1,4]上不单调,则有1<<4,解得-210.(2018·云南师范大学五华区实验中学期中)已知函数f(x)=x2+
ax+b.
(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,求实数a的值;
(2)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(3)若f(x)在[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)由f(1+x)=f(1-x)得,x=1为f(x)的对称轴.
所以-=1,
所以a=-2.
(2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
即(-x)2+a(-x)+b=x2+ax+b,
x2-ax+b=x2+ax+b,
所以a=0.
(3)因为f(x)的对称轴为x=-,
且f(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以-≤1,
所以a≥-2.
故实数a的取值范围为[-2,+∞).
11.(2018·湖北襄阳四校联考)已知二次函数f(x)的最大值为3,且f(1)=f(5)=-5.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在区间[2,2+a](a>0)上的最大值.
解:(1)设二次函数f(x)的解析式为y=a(x-k)2+h,
由f(1)=f(5)知,f(x)图象关于直线x=3对称,
所以k=3.又f(x)max=3,所以h=3.
由f(1)=-5得a=-2.
所以y=-2(x-3)2+3=-2x2+12x-15.
(2)由(1)知,函数f(x)图象的对称轴为x=3.
①当2+a≤3,即0所以f(x)max=f(a+2)=-2a2+4a+1.
②当2+a>3,即a>1时,f(x)在[2,3]上为增函数,在(3,2+a]上为减
函数
所以f(x)max=f(3)=3.
综上f(x)max=
2.3 函数的应用(Ⅰ)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
一次函数模型
1,2,7
二次函数模型
3,4,5,8,9,11
分段函数模型
6,10
1.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+ 40 000,而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套( D )
(A)2 000双 (B)4 000双
(C)6 000双 (D)8 000双
解析:由5x+40 000≤10x,得x≥8 000,所以日产手套至少8 000双才能不亏本,故选D.
2.一根弹簧提重100 N的重物时,伸长20 cm,当挂重150 N的重物时,弹簧伸长( D )
(A)3 cm (B)15 cm
(C)25 cm (D)30 cm
解析:设弹簧伸长L时所挂物体重N.
则L=aN+b(a,b为常数),
把(0,0)及(100,20)代入得a=,b=0,
所以L=N,
当N=150时,L=×150=30 cm.
3.用长度为24 m的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( A )
(A)3 m (B)4 m
(C)6 m (D)12 m
解析:设隔墙的长为x m,矩形面积为S m2,则
S=x·=x·(12-2x)
=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,
所以当x=3时,S有最大值为18.
4.某厂今年1月,2月,3月生产的某种产品的产量分别为9.5万件,18万件,25.5万件.如果该厂每月生产此种产品的产量y与月份x之间满足二次函数关系:y=ax2+bx+c(a≠0),则产量最大的月份是( D )
(A)7月 (B)8月
(C)9月 (D)10月
解析:由题意有解得
所以y=-0.5x2+10x=-0.5(x-10)2+50,
所以当x=10时,ymax=50.故选D.
5.大海中的两艘船如图所示,甲船在A处,乙船在A处正东50 km的B处,现在甲船从A处以20 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B处以10 km/h的速度向正西方向航行,则经过 小时后,两船相距最近.?
解析:设t小时后,甲船到达M处,乙船到达N处,则AM=20t,AN=50-NB= 50-10t,
这时两船相距.
y=MN=
=
=.
所以当t=1时,y取最小值,两船相距最近.
答案:1
6.(2018·山西忻州摸底)A,B两地之间的路程为2 380米,甲、乙两人分别从A,B两地出发,相向而行,已知甲先出发5分钟后,乙才出发,他们两人在A,B之间的C地相遇,相遇后,甲立即返回A地,乙继续向A地前行.甲到达A地时停止行走,乙到达A地时也停止行走,在整个行走过程中,甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走,甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示,则乙到达A地时,甲与A地相距的路程是 米.?
解析:由题设可知甲的速度为(2 380-2 080)÷5=60(米/分),乙的速度为(2 080-910)÷(14-5)-60=70(米/分),所以乙从B到A所用时间为2 380÷70=34分钟,他们相遇的时间为2 080÷(60+70)=16分钟,则甲从开始到终止所用时间是(16+5)×2=42分钟,乙到达A时,甲与A相距的路程是60×(42-34-5)=3×60=180米.
答案:180
7.汽车的油箱是长方体形状容器,它的长是a cm,宽是b cm,高是c cm.汽车开始行驶时油箱内装满汽油,已知汽车耗油量是n cm3/km,汽车行驶的路程y(km)与油箱内剩余油量的液面高度x(cm)的函数关系式为( B )
(A)y=(c-x)(0≤x≤c) (B)y=(c-x)(0≤x≤c)
(C)y=(c-x)(0≤x≤c) (D)y=(c-x)(0≤x≤c)
解析:依题意ny=ab(c-x),
所以y=(c-x)(0≤x≤c),
所以答案为B.
8.小明以匀速6 m/s去追停车场的汽车,当他离汽车20 m时,汽车以1 m/s2的加速度匀加速开车(小明与汽车始终在同一条直线上,且运动方向相同),假如他继续以原来速度追赶汽车,那么他( D )
(A)可追上汽车,用时不超过6 s
(B)可追上汽车,用时超过6 s
(C)追不上汽车,其间最近距离为5 m
(D)追不上汽车,其间最近距离为2 m
解析:其间距离f(t)=t2+20-6t=(t-6)2+2
所以当t=6时,f(t)min=2.故选D.
9.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对该机器的需求量为1 000台,销售收入(单位:万元)函数为:R(x)=5x-x2(0≤x≤10),其中x是产品的数量(单位:百台),则利润f(x)表示为产量的函数为 .?
解析:由题总成本为0.6+0.25x,
从而利润为f(x)=5x-x2-(0.6+0.25x)
=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10).
答案:f(x)=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10)
10.(2018·河南中原名校联考)《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过3 500元的部分不纳税,超过3 500元的部分为全月税所得额,此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额
税率
不超过1 500元的部分
3%
超过1 500元至4 500元的部分
10%
超过4 500元至9 000元的部分
20%
(1)已知张先生的月工资,薪金所得为10 000元,问他当月应缴纳多少个人所得税?
(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元,当月应缴纳个人所得税为y元,写出y与x的函数关系式;
(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元,那么他当月的工资、薪金所得为多少?
解:(1)张先生应交税为1 500×3%+3 000×10%+2 000×20%=745(元).
(2)y与x的函数关系式为
y=
(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元,故必有5 000从而303=45+(x-5 000)×10%
解得x=7 580.所以,李先生当月的工资、薪金所得为7 580元.
11.近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,其共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2,设甲城市的设入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
解:(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元.
所以总收益f(50)=3-6+×70+2=43.5(万元).
(2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,
所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,
依题意得解得40≤x≤80,
故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).
令t=,则t∈[2,4],
所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.
当t=6,即x=72万元时,y的最大值为44万元,
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.
2.4.1 函数的零点
【选题明细表】
知识点、方法
题号
求函数零点及零点个数
1,2,6,10
零点的分布
8,11
零点的应用
3,4,5,7,9,12
1.下列函数不存在零点的是( D )
(A)y=x-
(B)y=
(C)y=
(D)y=
解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1;
只有选项D中函数不存在零点.故选D.
2.函数f(x)=的零点个数是( C )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:法一 x<0时,令x+2=0,得x=-2;
x>0时,令x2-1=0,得x=1.
所以函数有两个零点,
故选C.
法二 画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.
故选C.
3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )
(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2
(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1
解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,
所以g(x)的零点为1.
由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.
只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.
4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .?
解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,
所以2×-a×+3=0,
所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,
所以f(1)=0.
答案:0
5.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .?
解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,
则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,
故x1+x2+x3+x4+x5=0.
答案:0
6.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )
(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)
(C)(0,2) (D)(-∞,2]
解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.
7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )
(A)[-,-) (B)[-,)
(C)[-,) (D)[-,+∞)
解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,
即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.
设f(x)=x2-x.
因为f(x)=x2-x=(x-)2-,
所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.
所以k∈[-,), 故选C.
8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )
(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1
解析:法一 令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),
因为其图象经过(0,1)点,
所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.
法二 设方程两根为x1,x2,由题意得
所以所以a<0.
故选A.
9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为 .?
解析:当a=0时,函数为y=-x-1,
此时函数只有一个零点,
当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,
即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,
所以Δ=1+4a=0,解得a=-.
答案:0或-
10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).
(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;
(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.
解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,
所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.
Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.
当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;
当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.
(2)已知a≠0,
则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,
即m2-4am+4a>0恒成立,
所以Δ′=16a2-16a<0,
从而解得011.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意知,解得
故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.
(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)
=7x2-(13+m)x-(m+2),
由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,
在(1,2)内有一个零点,
所以即
解得解得-4所以实数m的取值范围为(-4,-2).
12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.
因为x0是f(x)的不动点,
所以-x0-3-x0=0,
即-2x0-3=0,
解得x0=-1或x0=3.
所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.
(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点,
所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解.
即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,
ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根,
所以b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,
所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.
所以02.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
【选题明细表】
知识点、方法
题号
零点存在性判断
2,5,7
求零点
3,6,9
零点应用
10,11
二分法
1,4,8
1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )
(A)x1 (B)x2 (C)x3 (D)x4
解析:由题图知x1,x2,x4是变号零点,可用二分法求出,x3不是变号零点,不能用二分法求出.
2.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( C )
(A)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
(B)f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
(C)f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
(D)f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
解析:根据零点存在性定理,
由于f(0)·f(1)<0,f(1)·f(2)>0,
所以f(x)在区间(0,1)上一定有零点,
在区间(1,2)上无法确定,可能有,也可能没有,如图所示.
故选C.
3.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间[-2,4]上的零点必定属于( D )
(A)[-2,1] (B)[2.5,4]
(C)[1,1.75] (D)[1.75,2.5]
解析:因为f(-2)=-28<0,f(4)=38>0,f(1)=-4<0,f(2.5)=4.625>0, f(1.75)=-1.515625<0.
所以f(x)在[-2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D.
4.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为( D )
(A)(1.4,2) (B)(1.1,4)
(C)(1,) (D)(,2)
解析:设f(x)=x3-2x-1,
则f(1)=-2<0,f(2)=23-2×2-1>0,
F()=()3-2×-1=-<0,
所以f()·f(2)<0,
所以该根应在区间(,2)内.故选D.
5.(2018·河南中原名校联考)函数y=x3与y=x+3图象交点的横坐标所在的区间是( A )
(A)[1,2] (B)[0,1]
(C)[-1,0] (D)[2,3]
解析:设f(x)=x3-x-3,当x=1时,y=-3,
当x=2时,y=3,f(1)f(2)<0,
所以函数的零点必在区间[1,2],故选A.
6.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a,b,c的值,可以判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根所在的区间是( A )
(A)(-3,-1)和(2,4) (B)(-3,-1)和(-1,1)
(C)(-1,1)和(1,2) (D)(-∞,-3)和(4,+∞)
解析:因为f(-3)·f(-1)<0,f(2)·f(4)<0.故选A.
7.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一实根0,则f(-1)·f(1)的值( D )
(A)大于0 (B)小于0
(C)等于0 (D)无法判断
解析:如图,根据连续函数零点的性质,若f(-1)·f(1)<0,则f(x)在(-1,1)内必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)内有实根;反之,若方程f(x)=0在(-2,2)内有实根,不一定有f(-1)·f(1)<0,也可能有f(-1)·f(1)>0.故选D.
8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.
x
1
1.25
1.375
1.406 5
1.438
1.5
1.61
1.875
2
f(x)
-2
-0.984
0.260
-0.052
0.165
0.625
-0.315
4.35
6
由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )
(A)至少5个 (B)5个
(C)至多5个 (D)4个
解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数对应的函数值的符号不同,
即f(1.25)·f(1.375)<0,
所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,
同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,
函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,
函数的一个零点在(1.5,1.61)上,
函数的一个零点在(1.61,1.875)上.
故函数至少有5个零点,
即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.
9.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是 .?
x
-1
0
1
2
3
f(x)
-0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
解析:令F(x)=f(x)-g(x),
因为F(-1)=f(-1)-g(-1)=-0.677-(-0.530)<0,
F(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451<0,
F(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890>0,
于是F(0)·F(1)<0,
故使f(x)=g(x)有实数解的区间是(0,1),
又因为F(2)>0,F(3)>0,故只有区间(0,1).
答案:(0,1)
10.(2018·广西四校期中联考)已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)证明:因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)·f(2)=-<0,
函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在性定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解:取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)·f(2)=-<0,
下一个有解区间为(1,2),
再x2=(1+2)=,
得f()=-<0,
由f(1)·f()=-<0,
则下一个有解区间为(1,),
综合上述所求实数解x0在较小区间(1,)内.
11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)a>b>c,且f(1)=0,试证明:f(x)必有两个零点;
(2)设x1,x2∈R,x1证明:(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=0.
又因为a>b>c,
所以a>0,c<0,即ac<0.
所以Δ=b2-4ac≥-4ac>0.
所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根,
所以f(x)必有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)],
则g(x1)=f(x1)-[f(x1)+f(x2)]
=[f(x1)-f(x2)].
g(x2)=f(x2)-[f(x1)+f(x2)]=[f(x2)-f(x1)].
因为g(x1)g(x2)=-[f(x1)-f(x2)]2,
且f(x1)≠f(x2),所以g(x1)g(x2)<0.
所以g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.
所以方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于区间(x1,x2).
第二章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数概念、定义域、值域
1,3,7,13,14
函数解析式
2,10,15,16
函数零点
4,6,18
函数单调性、奇偶性
5,8
一次函数与二次函数
9,10,11,12,17,18
函数综合应用及应用问题
12,19,20,21,22
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.函数f(x)=(x-)0+的定义域为( C )
(A)(-2,) (B)[-2,+∞)
(C)[-2,)∪(,+∞) (D)(,+∞)
解析:要使函数有意义,则即
即x≥-2且x≠,
所以函数的定义域为[-2,)∪(,+∞),
故选C.
2.已知f(x-1)=2x+3,f(m)=6,则m等于( A )
(A)- (B)
(C) (D)-
解析:令t=x-1,所以x=2t+2,f(t)=4t+7,
又因为f(m)=6,即4m+7=6,所以m=-,故选A.
3.已知函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],则函数y=f(2x+1)的定义域和值域分别为( C )
(A)[1,3]和[11,19] (B)[-1,0]和[2,4]
(C)[-1,0]和[5,9] (D)[-1,1]和[11,19]
解析:由题意,函数y=f(x)的定义域和值域分别为[-1,1]和[5,9],即-1≤x≤1,5≤f(x)≤9.
则函数y=f(2x+1)的定义域-1≤2x+1≤1,得-1≤x≤0.
值域为5≤f(2x+1)≤9.故选C.
4.函数f(x)=x5+x-3的零点落在区间( B )
(A)[0,1] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[3,4]
解析:f(0)=05+0-3=-3<0,f(1)=15+1-3=-1<0,f(2)=25-1>0,f(3)=35>0, f(4)=45+1>0,
所以f(1)·f(2)<0,故选B.
5.已知函数f(x)=,g(x)=+,下列判断正确的是( B )
(A)函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数
(B)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)是偶函数
(C)函数f(x)是奇函数,函数g(x)不是偶函数
(D)函数f(x)不是奇函数,函数g(x)不是偶函数
解析:因为f(x)的定义域为{x|x≠2},不关于原点对称,
所以f(x)为非奇非偶函数.
由得-1≤x≤1.
又g(-x)=+=g(x),
所以g(x)为偶函数.选B.
6.已知x0是f(x)=-x的一个正数零点,若x1∈(0,x0),x2∈(x0,+∞),则( C )
(A)f(x1)<0,f(x2)<0 (B)f(x1)<0,f(x2)>0
(C)f(x1)>0,f(x2)<0 (D)f(x1)>0,f(x2)>0
解析:当x>0时,易知f(x)=-x是减函数,
又因为f(x0)=0,
所以f(x1)>f(x0)=0,f(x2)7.函数f(x)=(x∈R)的值域是( B )
(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]
解析:对于函数f(x)=,
因为x∈R,所以1+x2≥1,
所以0<≤1,即值域为(0,1].
故选B.
8.已知函数g(x)=f(x)-x,若f(x)是偶函数,且f(2)=1,则g(-2)等于( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1
解析:f(x)是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=1,
所以g(-2)=f(-2)-(-2)=3,故选C.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:①abc>0;②b0;④b2-4ac>0;其中正确的结论有( B )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:①因为抛物线开口向下,所以a<0.
因为抛物线的对称轴为x=-=1,
所以b=-2a>0.
当x=0时,y=c>0,所以abc<0,①错误;
②当x=-1时,y<0,所以a-b+c<0,
所以b>a+c,②错误;
③因为抛物线的对称轴为x=1,
所以当x=2时与x=0时,y值相等,
因为当x=0时,y=c>0,所以4a+2b+c=c>0,③正确;
④因为抛物线与x轴有两个不相同的交点,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,
所以Δ=b2-4ac>0,④正确.
综上可知成立的结论有2个.
10.已知函数f(x)=x2+ax-3a-9的值域为[0,+∞),则f(1)等于( C )
(A)6 (B)-6 (C)4 (D)13
解析:f(x)=x2+ax-3a-9
=(x+)2-3a-9-≥--3a-9,
由题意,得--3a-9=0,a2+12a+36=0,(a+6)2=0,a=-6,
所以f(x)=x2-6x+9,f(1)=12-6×1+9=4.故选C.
11.函数f(x)=(a-1)x2+2ax+3为偶函数,那么f(x)在区间(-1,1)上的单调性是( C )
(A)增函数
(B)减函数
(C)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数
(D)在(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数
解析:因为f(x)为偶函数,
所以f(-x)=(a-1)x2-2ax+3=f(x)=(a-1)x2+2ax+3,
所以-2a=2a,所以a=0,所以f(x)=-x2+3,
所以在区间(-1,1)上,f(x)的单调性为
在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数.选C.
12.已知函数f(x)的值域为[-,),则函数g(x)=f(x)+的值域为( B )
(A)[,] (B)[,1]
(C)[,1] (D)(0,]∪[,+∞)
解析:设t=,则f(x)=(1-t2),
因为f(x)∈[-,],所以≤t≤2,
则y=+t=-(t-1)2+1=g(t),
函数g(t)的对称轴为t=1,当t=1时,g(t)取得最大值为1,
当t=2时,g(t)取得最小值为,
所以函数g(x)的值域是[,1].
故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)、g(x)分别由下表给出:
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
g(x)
3
2
1
则满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是 .?
解析:由表格,f(g(1))=1,f(g(2))=3,f(g(3))=1,g(f(1))=3, g(f(2))=1,g(f(3))=3,所以满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是2.
答案:2
14.设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a= .?
解析:若a≤0,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,
因此f(f(a))=-[f(a)]2<0,显然此时无解,
若a>0,f(a)=-a2,f(f(a))=a4-2a2+2=2,
即a4-2a2=0,
解得a2=0(舍去)或a2=2,所以a=.
答案:
15.若定义在(-∞,1)∪(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)+2f()= 2 017-x,则f(2 019)= .?
解析:f(x)+2f(1+)=2 017-x,
当x=2时,f(2)+2f(2 019)=2 015, ①
当x=2 019时,f(2 019)+2f(2)=-2, ②
①×2-②,得3f(2 019)=4 032,f(2 019)=1 344.
答案:1 344
16.函数f(x)是定义在R上的奇函数,下列命题:
①f(0)=0;②若f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值为1;③若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数;④若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x,其中正确命题的个数是 .?
解析:f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,①正确;其图象关于原点对称,且在对称区间上具有相同的单调性,所以②正确,③不正确;对于④,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x),又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2- 2x,即④正确.
答案:3
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知f(x)为一次函数,且满足4f(1-x)-2f(x-1) =3x+18,求函数f(x)在[-1,1]上的最大值,并比较f(2 018)与f(2 017)的大小.
解:因为f(x)为一次函数,
所以f(x)在[-1,1]上是单调函数,
所以f(x)在[-1,1]上的最大值为max{f(-1),f(1)}.
分别取x=0和x=2,
得
解得f(1)=10,f(-1)=11,
所以函数f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=11,最小值为f(1)=10.
因为f(1)所以f(x)在[-1,1]上是减函数,
所以f(x)在R上是减函数.
所以f(2 017)>f(2 018).
18.(本小题满分12分)已知一次函数f(x)满足2f(2)-3f(1)=5, 2f(0)-f(-1)=1.
(1)求这个函数的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)-x2,求函数g(x)的零点.
解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0),
由已知有
解得 所以f(x)=3x-2.
(2)由(1)知g(x)=3x-2-x2,
令-x2+3x-2=0,
得x=2或x=1.
所以函数g(x)的零点是x=2和x=1.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(2-x).
(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的简图(不需列表);
(2)讨论方程f(x)-k=0的根的情况.(只需写出结果,不要解答过程)
解:(1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=-x(2+x),
因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-x(2+x),
所以f(x)=
作出函数图象如图所示.
(2)当k=1或k<0时,f(x)=k有两个解;
当k=0时,f(x)=k有三个解;
当k>1时,f(x)=k无解;
当020.(本小题满分12分)某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为y=
且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元,如果该项目不获利,那么亏损额将由国家给予补偿.
(1)求x=30时,该项目的月处理成本;
(2)当x∈[100,200]时,判断该项目能否获利?如果亏损,那么国家每月补偿数额(单位:元)的范围是多少?
解:(1)当x=30时,y=300×30=9 000,
所以x=30时,该项目的月处理成本为9 000元.
(2)当x∈[100,200]时,设该项目获利为g(x)元,
则g(x)=200x-(-10x2+2 000x+4 800)=10x2-1 800x-48 000=10(x-90)2- 129 000,
g(x)为单调递增函数,当x=100时,g(x)min=-128 000,
当x=200时,g(x)max=-8 000,因此该项目不能获利,
故补偿金额的范围是[8 000,128 000].
21.(本小题满分12分)
设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值 范围.
解:当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,只要求出f(x)在[-1,+∞)上的最小值f(x)min.
使f(x)min≥a即可,所以问题转化为求x∈[-1,+∞)时,f(x)的最小值.
因为f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,x∈[-1,+∞).
(1)当a<-1时,f(x)在[-1,+∞)上是单调增函数,
所以当x=-1时,f(x)min=f(-1)=2a+3.
所以2a+3≥a,所以a≥-3,
所以-3≤a<-1. ①
(2)当a≥-1时,当x=a时f(x)取最小值,
f(x)min=f(a)=2-a2.
所以2-a2≥a,即a2+a-2≤0,
即(a-1)(a+2)≤0,
解得-2≤a≤1,
因为a≥-1,所以-1≤a≤1, ②
由①②得,a的取值范围为[-3,1].
22.(本小题满分12分)
函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
(1)解:依题意得
即
解得
所以f(x)=.
(2)证明:任取-1则f(x1)-f(x2)=-
=
因为-1所以x1-x2<0,1+>0,1+>0.
又-1所以1-x1x2>0.
所以f(x1)-f(x2)<0.
所以f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)解:原不等式即f(t-1)<-f(t)=f(-t).
因为f(x)在(-1,1)上是增函数,
所以-1解得0所以原不等式的解集为{t|0