课件41张PPT。第二章——概 率2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量[学习目标]
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.
2.了解随机变量与函数的区别与联系.
3.会用离散型随机变量描述随机现象.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
答 掷一枚硬币，可能出现正面向上、正面向下两种结果，我们可以分别用1和0表示，这样就可以用数字来表示试验结果，数字随试验结果的变化而变化，这就是随机变量.[预习导引]
2.非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？
答 非离散型随机变量是指可以取某一区间的一切值的随机变量，又称为连续型随机变量.它们的区别在于：离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间的一切值，无法对其值一一列举.[预习导引]
1.随机试验
一般地，一个试验如果满足下列条件：
(1)试验可以在相同的情形下 ；
(2)试验所有可能的结果是明确的，并且 ；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个.这种试验就是一个随机试验.重复进行不只一个2.随机变量
在随机试验中，实验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着 而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.试验的结果的不同3.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能 ，则称X为离散型随机变量.一一列举出来要点一 随机变量的概念
例1 指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
解 任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量.(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
解 投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量.(3)某个人的属相随年龄的变化.
解 属相是出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量.规律方法 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是随机试验的每一个可能结果的一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值.
跟踪演练1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由.
(1)上海国际机场候机室中2015年10月1日的旅客数量；
解 候机室中的旅客数量可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量.(2)2015年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；
解 D36次济南至北京的列车，到达终点的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量.(3)2015年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；
解 在《拉呱》节目播放的时刻，收看人数的变化是随机的，可能多，也可能少，因此是随机变量.(4)体积为1 000 cm3的球的半径长.
解 体积为1 000 cm3的球半径长为定值，故不是随机变量.要点二 离散型随机变量的判定
例2 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
①湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，随机选某一路灯，其编号X；
解 ①桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量；②在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
解 ②小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量；③一天内气温的变化值X.
解 ③一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量.规律方法 离散型随机变量的判定方法
判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，其具体方法如下：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.跟踪演练2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
解 只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
解 从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：
3个白球；2个白球和1个黑球；
1个白球和2个黑球；
3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.(3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
解 林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
解 实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.要点三 随机变量的应用
例3 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.
解 Y的可能取值为2,3,4，…12，
若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1,1)；
{Y＝3}表示(1,2)，(2,1)；
{Y＝4}表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…；
{Y＝12}表示(6,6).(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.
解 ξ可取1,2,3.
{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1,2,3.
η可取0,1,2.
{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝0,1,2.(3)一个袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ.
解 ξ可取3,4,5.
{ξ＝3}表示取出的3个球的编号为1,2,3；
{ξ＝4}表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；
{ξ＝5}表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.规律方法 随机变量从本质上讲就是以随机试验的每个结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值本质上是试验结果对应的数，起到了描述随机事件的作用.这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源.跟踪演练3 一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1,2,3,4,5,6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种.
解析 从6个球中选出3个球，
当ξ＝3时，另两个球从1,2中选取，有一种抽法；所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20(种).答案 201.抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )
A.出现正面的次数
B.出现正面或反面的次数
C.掷硬币的次数
D.出现正、反面次数之和1234解析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选A.
而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，不是随机变量，D中对应的事件是必然事件.故选A.
答案 A123412342.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A.取到产品的件数
B.取到正品的概率
C.取到次品的件数
D.取到次品的概率1234解析 对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量.
答案 C3.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是( )
A.2枚都是4点
B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点1234解析 抛掷2枚骰子，其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1,2，…，6.
而ξ＝x＋y，1234答案 D4.写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果.
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；
解 ξ的所有可能取值为2,3,4，…，10.1234其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”.
基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4,3和4.1234(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ.
解 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”.1234课堂小结
1.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件.
2.写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值.课件51张PPT。第二章——概 率2.1.2 离散型随机变量的分布列[学习目标]
1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念.认识分布列对于刻画随机现象的重要性.
2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？
答 ξ的取值有1,2,3,4,5,6，2.离散型随机变量X的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？
答 是.随机变量的分布列可以用表格，等式P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)，或图象来表示.[预习导引]
1.离散型随机变量X的分布列
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.2.离散型随机变量的分布列的性质：
(1)pi 0，i＝1,2,3，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝ .≥13.两点分布
若随机变量X的分布列为其中 ，则称离散型随机变量X服从参数为p的 .0＜p＜1，q＝1－p两点分布要点一 求离散型随机变量的分布列
例1 袋中装有编号为1～6的同样大小的6个球，现从袋中随机取3个球，设ξ表示取出3个球中的最大号码，求ξ的分布列.
解 根据题意，随机变量ξ的所有可能取值为3,4,5,6.ξ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2，所以，所以，随机变量ξ的分布列为规律方法 求离散型随机变量的分布列关键有三点：
(1)随机变量的取值；
(2)每一个取值所对应的概率；
(3)所有概率和是否为1来检验.跟踪演练1 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列.
解 X的可能取值为1,2,3,4,5，则所以X的分布列是要点二 分布列的性质及应用
例2 设随机变量X的分布列P(X＝ )＝ak(k＝1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值；解 由题意，所给分布列为规律方法 应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，取这些值的概率为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，则①pi≥0，i＝1,2，…，n，②p1＋p2＋…＋pn＝1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法.③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.跟踪演练2 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为(1)求q的值；解 由分布列的性质得，1－2q≥0，(2)求P(ξ<0)，P(ξ≤0).P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)要点三 两点分布
例3 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X，才能使X满足两点分布，并求分布列.
解 从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种情况，为此我们定义随机变量如下：∴X的分布列为规律方法 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决.跟踪演练3 在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列..解 由题意知P(X＝1)＝p，根据分布列的性质可知P(X＝0)＝1－p，即针尖向下的概率为1－p.于是随机变量X的分布列为要点四 离散型随机变量的分布列的综合应用
例4 某届世界大学生夏季运动会在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，根据这30名志愿者的身高作出如下茎叶图(单位：cm)：若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
解 根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人.用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列.
解 “高个子”有12人，其中“女高个子”有4人，依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则因此，ξ的分布列为规律方法 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率.即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.跟踪演练4 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
解 “取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，(2)随机变量X的分布列；
解 由题意，得X的可能取值为2,3,4,5.所以随机变量X的分布列为(3)一次取球所得计分介于20分与40分之间的概率.
解 “一次取球所得计分介于20分与40分之间”的事件记为C，12341234答案 C12342.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )A.B.1234C.D.1234解析 本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，A中，ξ的取值出现了重复性；1234答案 D3.某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的z命中次数，则P(X＝1)＝________.123412344.一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列.1234解 设黄球的个数为n，由题意知
绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中球的总数为7n.
ξ的可能取值为1,0，－1.12341234所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为课堂小结
1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.
2.两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量.3.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.课件44张PPT。第二章——概 率2.1.3 超几何分布[学习目标]
1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.
2.理解超几何分布的意义及简单应用.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.只取两个不同值的随机变量一定服从两点分布吗？举例说明.
答 只取两个不同值的随机变量并不一定服从两点分布.例如：随机变量X的分布列如下：则X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.2.如何通过实例说明超几何分布及其推导过程？
答 构造以下数学模型：一个箱子内有N个小球，其中有红球M个，从箱中所有小球中任取n(n≤M)个，这n个小球中所含红球的个数X是一个随机变量.事件X＝k的概率P(X＝k)＝
(0≤k≤l，l为M，n中较小的一个)，则随机变量X的分布即为超几何分布，推导如下：由于取到小球的概率都是相等的，因此属于古典概型，故取n个小球的方法共有C 种，其中含有k个红球的取法有 种，于是取得k个红球的概率为 ，令取到红球的个数X＝k，即可得超几何分布列.[预习导引]
超几何分布
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个 ，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝
①(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为 ，也称X服从参数为N，离散型随机变量超几何分布M，n的 ，在超几何分布中只要知道 ，就可以由①求出X取不同值时的概率，从而得到X的分布列.超几何分布N，M和n要点一 超几何分布
例1 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
解 抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.因此X的分布列为(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的分布列.
解 ①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且因此随机变量Y的分布列为规律方法 解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列.跟踪演练1 从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列.
解 ξ的可能取值为0,1,2,3.∴ξ的分布列为要点二 超几何分布的简单应用
例2 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.
(1)求得分X的分布列；
解 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.故所求的分布列为(2)求得分大于6分的概率.规律方法 在求离散型随机变量的分布列时，明确随机变量所取的每个值表示的意义是关键.跟踪演练2 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率.
解 ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，因此ξ的分布列为要点三 超几何分布的综合问题
例3 现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为 .
(1)求7名学生中甲班的学生数；
解 设甲班的学生数为n，整理得n2－n－6＝0，解得n＝3或n＝－2(舍去)，
即7个学生中，有甲班3人.(2)设所选2名学生中甲班的学生数为X，求X的分布列，并求甲班学生数不少于1人的概率.
解 由题意知X服从参数N＝7，M＝3，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2.∴X的分布列为由分布列知P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)即所选两人中甲班学生数不少于1人的概率为 .规律方法 解决本题时应注意以下几点：(1)通过古典概型概率公式列出方程求出甲班学生数是整个题目的关键点，体现了方程思想与概率知识的结合；(2)分析题意，得出X服从超几何分布是第二问的切入点，比利用古典概型求解要简单一些；(3)概率知识与其他知识的结合在各地模拟题及高考题中已有出现，这将成为一个热点.跟踪演练3 有6个房间安排4个旅游者住，每人可以进住任一房间，且进住各房间是等可能的，试求下列各事件的概率.
(1)事件A：指定的4个房间中各有1人；
解 因为每个人有6个房间可供选择，所以4个人住的方式共有64种；(2)事件B：恰有4个房间中各有1人；
解 恰好有4个房间，这4个房间可从6个房间中任取，(3)事件C：指定的某个房间中有两人；解 指定的某个房间有两人的住法有C 种，其余两人中每人都有5种选择，
则共有5×5种住法，(4)事件D：一号房间有1人，二号房间有三人.1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )1234解析 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为 ，1234答案 C12342.一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是( )解析 号数至少有一个奇数有两种情况，而其对立事件则全为偶数，1234答案 D3.在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布，则恰好含有3个英国人的概率为________.(用式子表示)
解析 设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且123412344.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.
解 设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.12341234故ξ的分布列为课堂小结
1.超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝
求出X取不同值k时的概率.学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解N，M，n，k的含义.2.在确定为超几何分布类型的条件下，只要知道N、M和n，就可以根据公式求出X取不同k值时的概率P(X＝k)，从而列出X的分布列．
3.超几何分布列给出了求解这类问题的方法，即可以通过公式直接求解．
4.凡类似于“在含有次品中的产品中取部分产品，问所取出的产品中次品件数”的问题，都属于超几何分布的模型．课件30张PPT。第二章——概 率2.2.1 条件概率[学习目标]
1.理解条件概率的定义.
2.掌握条件概率的计算方法.
3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？[预习导引]
1.条件概率
一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝
为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.一般把P(B|A)读作 .A发生的条件下B发生的概率(1)定义：对于任何两个事件A和B，在 的条件下，事件B发生的概率叫做 .
(2)条件概率公式：P(B|A)＝ ，P(A) 0.已知事件A发生条件概率＞2.事件的交(或积)
事件A与B的交(或积)：由事件A和B 所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝ (或D＝ ).同时发生A∩BAB3.条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的概率都在0和1之间，即 .
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ .0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)要点一 条件概率
例1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率.
解 方法一 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为方法二 这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，
则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，规律方法 (1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数.
(2)条件概率的定义揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系.跟踪演练1 某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
(1)求选到的是共青团员的概率；
解 设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，
则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；(3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生概率.方法二 由题意知，事件A所包含的基本事件个数为15，事件AB所包含的基本事件个数为4，要点二 条件概率的综合应用
例2 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
解 设事件A为“该考生6道题全答对”，
事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，
事件D为“该考生在这次考试中通过”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，
则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，
P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，
∴P(E|D)＝P((A∪B)|D)＝P(A|D)＋P(B|D)规律方法 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率.跟踪演练2 高二·一班和高二·二班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率.
解 设事件A为“碰到一班的一名同学”，事件B为“正好碰到一班的一名女同学”，
易知n(A)＝70，n(AB)＝n(B)＝30，1.下列说法正确的是( )
A.P(B|A)＜P(AB) B.P(B|A)＝ 是可能的
C.0＜P(B|A)＜1 D.P(A|A)＝012341234∴P(B|A)≥P(AB)，∴A错，
当P(A)＝1时，P(AB)＝P(B)，而0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，
∴C，D错，故选B.答案 B12342.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )1234解析 由题意可知.答案 C3.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________.
解析 设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，1234而所求概率为P(B|A)，由于B?A，故AB＝B，1234所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.答案 0.54.考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能).
解 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}.
设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}.12341234A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，
B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}1234课堂小结2.概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(A|B)表示在缩小的样本空间ΩB中，计算A发生的概率.用古典概型公式，课件46张PPT。第二章——概 率2.2.2 事件的独立性[学习目标]
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？
答 因抽取是有放回的，所以A的发生不会影响B发生的概率，事件A和事件B相互独立.2.互斥事件与相互独立事件有什么区别？
答 两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.[预习导引]
1.相互独立的概念
事件A，B相互独立：事件A是否发生对事件B发生的概率
，即P(B|A)＝ ，这时，我们称两个事件A，B
，并把两个事件叫做相互独立事件，且有P(A∩B)＝
.没有影响P(B)相互独立P(A)×P(B)2.相互独立的性质
一般地，如果事件A与B相互独立，那么
也相互 .如果事件A1，A2，…，An彼此独立，则P(A1∩A2∩…∩An)＝ .独立P(A1)·P(A2)·…·P(An)要点一 相互独立事件的判断
例1 从一副拿走了大小王的扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
解 由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”，
故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，
以下考虑它们是否互为独立事件：事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”，
亦即“抽得红桃老K或方块老K”，从而有P(A)·P(B)＝P(AB)，
因此A与B互为独立事件.规律方法 对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥.一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪
为一个必然事件.A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.跟踪演练1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；
对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，
所以事件A与B不是互斥事件.
答案 A(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是( )
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥解析 事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}.即P(AB)＝P(A)P(B)，
因此，事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，
所以A，B不是互斥事件.
答案 B要点二 相互独立事件同时发生的概率
例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A，
“乙射击1次，击中目标”为事件B，2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
解 “2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：所求的概率为＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9
＝0.08＋0.18＝0.26.(3)2人至少有1人射中目标的概率；
解 “2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，(4)2人至多有1人射中目标的概率.
解 “2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，跟踪演练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 .求：
(1)两人都能破译的概率；
解 设“甲能破译”为事件A，
“乙能破译”为事件B，(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率.
要点三 相互独立事件概率的综合应用
例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，
则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解 “恰有一科成绩未获得第一名”＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)·[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)
＝0.329，
所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.规律方法 求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算.跟踪演练3 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
解 用A表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，
用B表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，
用C表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，
用D表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，(1)由题意知，A与B是相互独立事件所以两件都是正品的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.96×0.95＝0.912.(2)恰有一件是正品的概率；
＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086.(3)至少有一件正品的概率.
解 由于事件AB与C互斥，
所以P(D)＝P[(AB)∪C]
＝P(AB)＋P(C)
＝0.912＋0.086＝0.998.1.坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是( )
A.互斥的事件 B.相互独立的事件
C.对立的事件 D.不相互独立的事件12341234即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，
∴A1与A2不是相互独立事件.
答案 D12342.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为
则此密码能译出的概率是( )解析 用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，1234答案 C3.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A.p1p2 B.p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C.1－p1p2 D.1－(1－p1)(1－p2)1234解析 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决.
这两个事件显然是互斥的.
所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1).
故选B.
答案 B12344.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 ，乙当选的概率为 ，丙当选的概率为 .
(1)求恰有一名同学当选的概率；
解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，1234(1)因为事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为12341234(2)求至多有两人当选的概率.
解 至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)课堂小结一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.(列表比较)课件38张PPT。第二章——概 率2.2.3 独立重复试验与二项分布[学习目标]
1.理解n次独立重复试验的模型.
2.理解二项分布.
3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？
答 在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1,2，…，n).2.你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？
答 两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式.[预习导引]
1.n次独立重复实验
在 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，并且可能的结果为A及 ，就称它们为n次独立重复试验.相同2.伯努利概型
在 试验中，事件A 次的概率问题叫做伯努利概型.事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝C pk(1－p)n－k((k＝0,1,2，…，n)(p为成功概率).n次独立重复恰好发生k(k≤0≤n)3.二项分布
在公式Pn(k)＝C pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)中，若将事件A发生的 设为X，事件A不发生的概率为q＝ ，则公式变为P(X＝k)＝C pkqn－k，其中k＝ .称离散型随机变量X服从参数为 的二项分布，记作 (p为成功概率).次数1－p0,1,2，…，nn，pX～B(n，p)要点一 独立重复试验的判断
例1 判断下列试验是不是独立重复试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上.
解 由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验.(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中.
解 某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验.(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.
解 每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验.规律方法 判断的依据要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行，且每次试验相互独立，互不影响.跟踪演练1 下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是独立重复试验的是( )
A.① B.② C.③ D.④解析 ①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；
②是相互独立事件；
④是独立重复试验.
答案 D要点二 相互独立重复试验的概率
例2 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为 ，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
解 该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，(2)其中恰有3次击中目标的概率；解 该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标.根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C 种情况，因为各次射击的结果互不影响，
所以符合n次独立重复试验概率模型.(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.
解 该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C 种情况.规律方法 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：
(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；
(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并.
(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算.跟踪演练2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为 ，没有平局.
(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？
解 甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？
解 甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则要点三 二项分布问题
例3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.所以分布列为规律方法 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.跟踪演练3 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：
(1)3台都未报警；
解 设X为在发生险情时3台报警器中报警的台数，那么X～B(3,0.9)，则它的分布列为3台都未报警的概率为(2)恰有1台报警；
解 恰有1台报警的概率为(3)恰有2台报警；
解 恰有2台报警的概率为(4)3台都报警；
解 3台都报警的概率为(5)至少有2台报警；
解 至少有2台报警的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.243＋0.729＝0.972；(6)至少有1台报警.
解 至少有1台报警的概率为
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999.1.每次试验的成功率为p(0
A.0.665 B.0.008 56
C.0.918 54 D.0.991 44
解析 P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.991 44.D3.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________.
解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，12344.重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3).1234课堂小结1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2.如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝C pk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式.课件48张PPT。第二章——概 率2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变量的数学期望[学习目标]
1.通过实例理解离散型随机变量期望的概念，能计算简单离散型随机变量的期望.
2.理解离散型随机变量期望的性质.
3.掌握两点分布、二项分布及超几何分布的期望.
4.会利用离散型随机变量的期望，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？这里的23元/kg就是混合糖果价格的均值2.已知随机变量ξ的分布列为则x＝________________________________，
P(1≤ξ<3)＝________________________________________.1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；
P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.[预习导引]
1.离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝
叫做这个离散型随机变量X的
或 (简称期望)，它反映了离散型随机变量取值的 .x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn均值数学期望平均水平2.离散型随机变量的性质
如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是离散型随机变量，且P(X＝xi)＝ ，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝ ＝ .P(Y＝axi＋b)E(aX＋b)aE(X)＋b3.三种常见的分布的数学期望
(1)如果随机变量X服从二点分布，那么E(X)＝ (p为成功概率).
(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝ .
(3)若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝ .pnp要点一 利用定义求离散型随机变量的数学期望
例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望.
解 取出4只球颜色及得分分布情况是
4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，故X的分布列如下：规律方法 求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ).跟踪演练1 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品.从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.
解 从10件产品中任取3件，共有C 种结果.
从10件产品中任取3件，
其中恰有k件一等品的结果数为 其中k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为要点二 二项分布的均值
例2 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设每局比赛结果相互独立.
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
解 设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
解 X的可能的取值为0,1,2,3.∴X的分布列为规律方法 将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键.
二项分布满足的条件
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
④随机变量ξ是这n次独立重复试验中某事件发生的次数.跟踪演练2 某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；
解 依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，(2)求ξ的数学期望.
解 方法一 ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，∴ξ的概率分布列为要点三 离散型随机变量均值的应用
例3 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}.(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.
解 设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.故所求的分布列为规律方法 解答此类题目时，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率.跟踪演练3 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
解 由题意可知每一位顾客不采用1期付款的概率为0.6，(2)求η的分布列及期望E(η).
解 由题意可知η可以取200,250,300，分布列如∴E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240.1.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )
A.0.6 B.1 C.3.5 D.2
解析 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为12341234答案 C12342.若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是( )
A.2×0.44 B.2×0.45
C.3×0.44 D.3×0.64
解析 ∵ξ～B(n,0.6)，E(ξ)＝3，∴0.6n＝3，即n＝5.
故P(ξ＝1)＝C ×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.C3.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.12341004.A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：123412341234现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y.
(1)求X，Y的分布列；
解 X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.12341234123412341234(2)求E(X)，E(Y).课堂小结1.求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定离散型随机变量X的取值；
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；
(3)根据公式求出均值.2.若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值.课件44张PPT。第二章——概 率2.3.2 离散型随机变量的方差[学习目标]
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：
甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；
乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛.2.随机变量的方差与样本的方差有何不同？
答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量.[预习导引]
1.离散型随机变量的方差、标准差
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…， xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝____________
叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的 (或说离散程度).D(X)的算术平方根
叫做离散型随机变量X的 .(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn平均波动大小标准差2.离散型随机变量方差的性质
(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ；
(2)D(c)＝0(其中c为常数).a2D(X)3.服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝ (其中p为成功概率)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝ .p(1－p)np(1－p)要点一 求离散型随机变量的方差
例1 袋中有20个大小相同的球，其中标有0号的有10个，标有n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
解 ξ的分布列为(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
解 由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.规律方法 1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
(1)已知分布列(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.
(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下：
①若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).(3)分布列未知：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况.
(4)对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解.2.求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值.
(2)求ξ取各个值的概率，写出分布列.
(3)根据分布列，由期望的定义求出E(ξ).
(4)根据方差、标准差的定义求出D(ξ)， .若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可.跟踪演练1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为
(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差.故ξ的分布列为要点二 两点分布与二项分布的方差
例2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
解 由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，ξ的分布列为(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种.求需要补种沙柳的概率.
解 记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，规律方法 方差的性质：D(aξ＋b)＝a2D(ξ).若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p).若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).跟踪演练2 设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.
解 设成功次数为随机变量X，因为D(X)＝100p(1－p)＝100p－100p2，把上式看作一个以p为自变量的二次函数，要点三 期望与方差的综合应用
例3 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式.
解 当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差.解 X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.
X的分布列为X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.规律方法 解期望与方差的综合问题时的注意事项
(1)离散型随机变量的分布列、期望和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；
(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算期望与方差时要注意运用期望和方差的性质以避免一些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解.跟踪演练3 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.
(1)求X的分布列；X的分布列(2)求X的均值与方差；
解 由(1)，X的均值与方差为(3)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.
解 由(1)，“所选3人中女生人数X≤1”的概率为1.设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.1234C12342.同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于( )A12343.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.
解析 由题意知，－p1＋p3＝0.1，
1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.
又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.0.40.10.54.同时抛掷4枚均匀的硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ.
(1)求抛掷4枚硬币，恰好2枚正面向上，2枚反面向上的概率；
解 设“抛掷4枚硬币，恰好2枚正面向上，2枚反面向上”为事件A，抛掷4枚硬币的基本事件总数是24，123412341234(2)求ξ的数学期望和方差.
1234课堂小结1.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于期望的平均程度.方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离期望的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的期望、方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
(2)求X取每一个值的概率；
(3)写出随机变量X的分布列；
(4)由期望、方差的定义求E(X)，D(X).
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).课件35张PPT。第二章——概 率2.4 正态分布[学习目标]
1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.在频率分布直方图中，纵坐标的含义是 ，用小矩形的
表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条 .面积光滑的曲线答 μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，EX＝μ；σ>0表示方差，DX＝σ2.一个正态曲线方程由μ，σ唯一确定，π和e为常数，x为自变量，x∈R.3.若随机变量X～N(μ，σ2)，则X是离散型随机变量吗？答 若X～N(μ，σ2)，则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a＜X≤b)＝ f(x)dx可知，X可取(a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.[预习导引]
1.正态曲线
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量。
正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝ ，
x∈R，其中μ和σ是参数，且σ>0，μ∈R.参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差.因此正态分布通常记作 ，正态变量的概率密度函数的的图象叫做正态曲线.N(μ，σ2)2.正态曲线的性质
(1)曲线在x轴 ，并且关于直线 对称；
(2)曲线在 时处于最高点，并且由此向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状.
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ ，曲线越“矮胖”，σ
，曲线越“瘦高”.上方x＝μx＝μ越大越小3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ例1 如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20).则P(|X－72|<20)＝P(|X－μ|<2σ)＝P(μ－2σ例2 设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；
解 ∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，
P(－1＜ξ≤3)＝P(1－2＜ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝68.3%(2)P(3＜ξ≤5)；
解 ∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1)，(3)P(ξ≥5).规律方法 解答此类题目的关键在于运用3σ原则将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题.经常用到如下转换公式：①P(x≥a)＝1－P(x＜a)；②若b＜μ，则P(X＜μ－b)＝跟踪演练2 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.
解 ∵X～N(50,102)，
∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30例3 工厂制造的某机械零件的尺寸X服从正态分布N(4， )，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？∴不属于区间(3,5)的概率为
P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3＜X＜5)
＝1－P(4－1＜X＜4＋1)
＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)
＝1－99.7% ＝ 0.3%，
∴1 000×0.3%＝3(个)，
即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.规律方法 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想.跟踪演练3 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为μ＝500 g，σ2＝1，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量.当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备.他的决定是否有道理呢？
解 如果设备正常运行，产品质量服从正态分布N(μ，σ2)，
根据3σ原则可知，产品质量在μ－3σ＝500－3＝497(g)和μ＋3σ＝500＋3＝503(g)之间的概率为99.7%，而质量超出这个范围的概率只有0.3%，这是一个几乎不可能出现的事件.
但是检验员随机抽取的产品为504 g，
这说明设备的运行极可能不正常，
因此检验员的决定是有道理的.1.如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2＝1<σ31234D12342.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )
A.曲线b仍然是正态曲线
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等1234C.以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2
答案 D12343.正态分布N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为( )
A.P1＝P2 B.P1＜P2
C.P1＞P2 D.不确定
解析 根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等.A4.一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率.
解 依题意μ＝104，σ＝400.
∴P(104－800由正态分布性质知P(X≤104－800)＝P(X>104＋800)
故2P(X>10 800)＋P(104－8002.正态总体在某个区间内取值的概率求法：
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等.
②P(X若b<μ，则P(X<μ－b)＝ .课件52张PPT。第二章——概 率1知识网络 系统盘点，提炼主干2要点归纳 整合要点，诠释疑点3题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.离散型随机变量及其分布列
(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字母X，Y，ξ，η，…等表示.(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.
(3)离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝Pi，以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝Pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列.(4)离散型随机变量的分布列的性质：
①Pi≥0，i＝1,2，…，n；
②P1＋P2＋…＋Pn＝1.
(5)常见的分布列：
两点分布：如果随机变量X的分布列
具有下表的形式，则称X服从两点分
布，并称P＝P(X＝1)为成功概率.两点分布又称0－1分布，伯努利分布.
超几何分布：一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.2.二项分布及其应用
(1)条件概率：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率.
(2)条件概率的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.
(5)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝
C Pk(1－P)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，P)，并称P为成功概率.两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式.3.离散型随机变量的均值与方差
(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)＝x1P1＋x2P2＋…＋xiPi＋…＋xnPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X).
(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为P的两点分布，则均值E(X)＝P，方差D(X)＝P(1－P).
②二项分布：若随机变量X～B(n，P)，则均值E(X)＝nP，方差D(X)＝nP(1－P).4.正态分布
(1)正态曲线与正态分布：
①正态曲线：我们把函数f(x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)(其中μ是样本均值，σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低.②正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝ f(x)dx，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).(2)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值 ；
④曲线与x轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.7%.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则. 题型一 条件概率的求法
求条件概率的主要方法：(1)利用条件概率：P(B|A)＝ .
(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝ .例1 坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，
“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，
则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.
解 方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝24，跟踪演练1 一个盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A).
解 将产品编号1,2,3号为一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取到第i号、第j号产品，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2).(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)}，
AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}，题型二 互斥事件、相互独立事件的概率
求概率的问题往往可以先转化为互斥事件概率的和，再运用相互独立事件的概率公式求解.例2 国家射击队为备战2016年里约热内卢奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动.在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处第一次射击命中的概率为 .(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一次至少有一次击中的概率；
解 记“队员甲在三次游戏中，第一次至少有一次命中”为事件A.(2)如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟飞行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米(此后飞碟不在射程之内).已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率.解 记“在一次游戏中，第i次击中飞碟”为事件Bi(i＝1,2,3).又Bi是相互独立事件，跟踪演练2 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率.
解 单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4，
记“甲队胜三局”为事件A，
“甲队胜二局”为事件B，则：∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)＋P(B)＝0.648.题型三 离散型随机变量的分布列、期望与方差
离散型随机变量的分布列是研究随机变量的期望和方差的基础，利用分布列还可以求随机变量在某个范围内取值的概率.例3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ，假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
解 记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，
“甲队以3∶1胜利”为事件A2，
“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意，各局比赛结果相互独立， (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
解 设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得故X的分布列为跟踪演练3 口袋里装有大小相同的卡片8张，其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.求ξ的期望.
解 依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.∴ξ的分布列是题型四 正态分布的应用
例4 某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如下图所示，成绩X位于区间(52,68]的概率为多少？解 设成绩X～N(μ，σ2)，
则正态分布的密度函数∴P(52结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数百分比.
解 ∵P(7 500＜ξ≤8 500)
＝P(8 000－500＜ξ≤8 000＋500)
＝68.3%.
∴P(8 000＜ξ≤8 500)＝34.15%.即农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数占总体的34.15%.课堂小结
本章通过引入随机变量的概念，研究了几种类型的随机变量的分布列，以及条件概率、事件的独立性及相互独立的事件同时发生的概率公式.通过研究随机变量的数字特征如均值(数学期望)和方差(或标准差)，以及随机变量的分布列，对随机变量的总体水平及稳定程度进行了刻画，并通过样本均值和方差(或标准差)对总体进行估计.超几何分布、二项分布、n重独立重复试验及正态分布等，都是重要的概率模型，在社会生产、生活和科学研究中有着广泛的应用.