2.1.1 离散型随机变量
课时目标1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.会用离散型随机变量描述随机现象．
1．随机变量
(1)定义：随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着____________的不同而变化的，把这样的变量X叫做随机变量．
(2)表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能________________，则称X为离散型随机变量．
一、选择题
1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
2．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球
D．至少取到一个红球或一个黑球
3．下列X是离散型随机变量的是( )
①某座大桥一分钟经过的车辆数X；
②电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间X；
③一天之内的温度X；
④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分．用X表示该射手在一次射击中的得分．
A．①②③④ B．①④
C．①③④ D．②④
4．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( )
A．从2 011张已编号的卡片(从1号到2011号)中任取一张，被取出的卡片的号数X
B．连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数Y
C．某工厂加工的某种钢管的内径尺寸与规定的内径尺寸之差X1
D．投掷一枚骰子，六个面都刻上数字，所得的点数η
5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标
二、填空题
6．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出3个，用ξ表示取出的球的最大号码，则{ξ＝6}表示的试验结果是________________________________．
7．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．
8．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则{X>4}表示的试验结果是_____________________________________________________．
三、解答题
9．判断下列变量是不是随机变量，如果是，判断该随机变量是不是离散型随机变量．
(1)2010年的广州亚运会，从开幕到闭幕的总天数；
(2)京广高速公路某收费站在一天内经过的车辆数；
(3)北京市在国庆节这一天的温度数；
(4)某小朋友一天内的洗手次数．
10．写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数Y.
能力提升
11．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是____________．
12．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值．
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何，都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否是离散型随机变量．
1．在随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字就随着试验结果的变化而变化，就是随机变量．
2．离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可取值按一定次序一一列出．
第二章 概率
2．1 离散型随机变量及其分布列
2．1.1 离散型随机变量
答案
知识梳理
1．(1)试验的结果
2．一一列举出来
作业设计
1．C [随机变量表示的是试验结果，而不是试验结果的概率，故B、D错，对A中的件数，它是一个固定值2，不随试验结果的变化而变化，故A错，所以选C.]
2．B [A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C和D叙述的结果也是确定的，但不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量．]
3．B
4．C [要判断一个随机变量是否是离散型随机变量，只需判断这个随机变量的取值能否按照一定次序一一列出．]
5．C [因为击中目标停止射击，所以前4次均未击中目标．]
6．从6个球中取出3个，其中有一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意2个
7．24
解析 后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24(种)．
8．第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点
解析 设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6，
依题意得X＝x－y，
则－5≤X≤5且X∈Z，
所以由{X>4}可得{X＝5}，它表示x＝6，y＝1.
即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
9．解 (1)2010年广州亚运会从开幕到闭幕的总天数是一个常数，因而不是随机变量．
(2)(3)(4)中的变量都是随机变量．
由于(2)(4)中的变量是可以一一列出的，所以(2)(4)中的变量是离散型随机变量．
(3)中变量(温度数)可以是国庆节当天最低温度和最高温度组成的温度区间内的任何一个数值，是不可以一一列出的，故不是离散型随机变量．
10．解 (1)X的可能取值为1,2,3，…，10，X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出编号为k号的球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，(4－k)个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)若以(i，j)表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，
X的可能取值为2,3,4，…，12，
则X＝2表示(1,1)；
X＝3表示(1,2)，(2,1)；
X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…
X＝12表示(6,6)．
Y的可能取值为2,4,6,8,10,12.
Y＝2表示(1,1)；
Y＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…
Y＝12表示(6,6)．
11．300,100，－100，－300
解析 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
12．解 (1)
结果
取得3个
黑球
取得1个白球
和2个黑球
取得2个白球
和1个黑球
取得3个白球
ξ
0
1
2
3
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.
故η的可能取值为{6,11,16,21}．
显然，η是离散型随机变量．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
课时目标1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.3.通过实例(如彩票抽奖)，理解二点分布，并能进行简单应用．
1．离散型随机变量的分布列
要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：
(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；
(2)X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn.
列出表格形式如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
____
____
…
____
…
____
称这个表为离散型随机变量X的____________，或称为离散型随机变量X的________．
2．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi____0，i＝1,2,3，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝____.
3．二点分布
如果随机变量X的分布列为：
X
1
0
P
p
q
其中0
一、选择题
1．随机变量X的分布列如下，则m等于( )
X
1
2
3
4
P
m
A. B. C. D.
2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，则P(<ξ<)等于( )
A. B. C. D.
3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )
A．0 B. C. D.
4．某一射手射击所得的环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是( )
A．0.09 B．0.88
C．0.79 D．以上答案都不对
5．若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
则a等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则ξ的分布列为__________________．
7．已知随机变量η的分布列如下表：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.25
0.1
0.15
0.2
则x＝________；P(η>3)＝________；P(1<η≤4)＝________.
8．设随机变量X只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(X>8)＝________；P(6三、解答题
9．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生及格的概率．
10．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，
记X＝求X的分布列．
能力提升
11．若随机变量ξ只能取两个值0,1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列．
12．将一颗骰子投两次，求两次掷出的最大点数X的分布列．
1．求离散型随机变量的分布列要确定随机变量的取值及相应的概率．
2．利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率．
3．在二点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．
2．1.2 离散型随机变量的分布列
答案
知识梳理
1．p1 p2 pi pn 概率分布 分布列
2．(1)≥ (2)1
作业设计
1．D [由分布列性质得＋m＋＋＝1，解得m＝.]
2．D [由<ξ<知ξ＝1,2.
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.
∴P(<ξ<)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.]
3．C [设ξ＝0表示试验失败，ξ＝1表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，
则ξ的分布列为
ξ
0
1
P
p
2p
所以由p＋2p＝1，得p＝.所以P(ξ＝0)＝.]
4．B [根据射手射击所得的环数X的分布列，有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22.所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.]
5．B [∵4a－1＋3a2＋a＝1，∴a＝或a＝－2.
由概率值非负得a＝.]
6.
ξ
0
1
P
7.0.1 0.45 0.45
解析 由分布列的性质得0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.1；P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.
8.
解析 X有12个值且取每个值的概率相同，则取每个值的概率为.于是P(X>8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋…＋P(X＝16)＝8×＝，P(69．解 X＝1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
该考生及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
10．解 因为X服从二点分布．
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列为
X
1
0
P
11．解 由题意及分布列满足的条件知
P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，
所以P(ξ＝1)＝，故P(ξ＝0)＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
P
12.解 随机变量X取值为1,2,3,4,5,6.
则P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝＝；
P(X＝6)＝＝.
所以两次掷出的最大点数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
2.1.3 超几何分布
课时目标1.理解超几何分布并会简单应用.2.加深对离散型随机变量分布列的理解．
1．超几何分布
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝________________(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
2．超几何分布列
X
0
1
…
m
P
______
______
…
________
称为超几何分布列．
一、选择题
1．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4)
2．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，则出现次品的概率为( )
A. B. C. D.
3．现有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是( )
A. B.
C. D．以上均不对
4．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A. B.
C. D.
5．把X、Y两种遗传基因冷冻保存，若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中有2个单位的基因失效，则X、Y两种基因各失效1个单位的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生人数不超过1人的概率为______．
7．盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，请填写下面ξ的分布列：
ξ
2
3
4
P
________
________
________
8.一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则P(ξ≤1)＝________.
三、解答题
9．从某医院的3名医生，2名护士中随机选派2人参加抗震救灾，设其中医生的人数为X，写出随机变量X的分布列．
10．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．
能力提升
11．为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．
(1)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．
1．在超几何分布中，只要知道N、M和n，就可以根据公式，求出X取不同m值时的概率P(X＝m)，从而列出X的分布列．
2．要理解超几何分布中各个字母的含义，不要机械地去记公式．
2.1.3 超几何分布
答案
知识梳理
1.
2.
作业设计
1．C [A中P(ξ＝2)＝；B中P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；C中P(ξ＝4)＝；D中P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>P(ξ＝4)．]
2．C [设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中，N＝50，M＝5，n＝2.于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝.]
3．D [P＝.]
4．D
5．A
6.
解析 设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
7.
解析 P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝.
8.
解析 ∵P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＝.
9．解 依题意可知随机变量X服从超几何分布，所以
P(X＝0)＝＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝＝0.6，
P(X＝2)＝＝＝0.3(或P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.1－0.6＝0.3)．
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
10．解 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3，
所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.
从而随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
11．解 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，
事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”；
事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．
P(B)＝P(A1)＋P(A2)＝＋
＝＋＝.
所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
2.2.1 条件概率
课时目标1.在具体情境中，了解条件概率的概念.2.理解条件概率公式，解决一些实际问题．
1．条件概率
对于任何两个事件A和B，在________________的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“________”来表示，读作“A发生的条件下B发生的概率”．
2．把由________________________________的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作________(或________)．
3．条件概率公式：P(B|A)＝________________.
一、选择题
1．下面几种概率是条件概率的是( )
A．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙两人投篮命中率分别为0.6、0.7，两人同时命中的概率为0.3，则在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．10件产品中有3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
2．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
3．把一幅扑克牌(不含大小王)随机均分给赵、钱、孙、李四家，A＝{赵家得到6张梅花}，B＝{孙家得到3张梅花}，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
4．设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则P(B)等于( )
A. B. C. D.
5．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．6位同学参加百米短跑初赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学在第一跑道，则乙同学被排在第二跑道的概率为________．
7．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，若从中任取2支，则在第一次取到的是次品的条件下，第二次取到正品的概率是________．
8．已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(AC)＝，而B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________.
三、解答题
9．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是，两次闭合都出现红灯的概率为.求在第一次闭合出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率．
10．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
能力提升
11．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是，既刮东风又下雨的概率是.问该地四月份刮东风时下雨的概率是________．
12．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
1．所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率．
2．已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求P(B|A)时，可把A看做新的基本事件空间来计算B发生的概率．
2．2 条件概率与事件的独立性
2．2.1 条件概率
答案
知识梳理
1．已知事件A发生 P(B|A)
2．事件A和B同时发生所构成 D＝A∩B D＝AB
3.，P(A)>0
作业设计
1．B [选项A是相互独立事件同时发生，选项C是超几何分布，选项D是独立重复试验，只有选项B符合条件概率的要求．]
2．D [设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，则P(A)＝，
P(A∩B)＝＝.
∴P(B|A)＝＝.]
3．C
4．B [P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝×＝，
由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝，故选B.]
5．B [记事件A：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝；记事件B：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝.因为B?A，所以P(AB)＝P(B)＝，则P(B|A)＝＝＝×＝.]
6.
解析 由题意知，A：甲跑第一跑道的概率P(A)＝，
B：乙跑第二跑道的概率P(B)＝，甲跑第一跑道，同时乙跑第二跑道的概率为P(A∩B)＝×＝.
∴P(B|A)＝＝.
7.
解析 利用缩小样本空间的方法求解，因为第一次取到1支次品，还剩9支铅笔，其中8支正品，所以第二次取到正品的概率为.
8.
解析 ∵P(B∪C|A)＝
＝
由P(B|A)＝，得P(BA)＝×＝.
∴P(B∪C|A)＝＝.
9．解 第一次闭合后出现红灯记为事件A，第二次闭合后出现红灯记为事件B.
则P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
10．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，于是
P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
11.
解析 记“某地四月份刮东风”为事件A，“某地四月份下雨”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝.
12．解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
则P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，
P(A|)＝＝，
从而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
2.2.2 事件的独立性
课时目标1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
1．两个事件相互独立：如果事件A是否发生对事件B发生的概率____________，即____________，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
2．当A、B事件独立时，A与，与B，与也相互独立．
一、选择题
1．生产某零件要经过两道工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.03，则该零件的次品率是( )
A．0.13 B．0.03 C．0.127 D．0.873
2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A. B. C. D.
3．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是( )
A. B. C. D.
4. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
5．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0＜p＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )
A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
二、填空题
6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
7．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是______．
8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．
三、解答题
9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
(1)至少有1人面试合格的概率；
(2)没有人签约的概率．
能力提升
11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
12. 如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：
开关
A1
A2
A3
B1
B2
闭合的概率
0.6
0.5
0.8
0.7
0.9
求在这段时间内下列事件发生的概率：
(1)由于B1，B2不闭合而线路不通；
(2)由于A1，A2，A3不闭合而线路不通；
(3)线路正常工作．
1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．
2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P(A)＝1－P()计算．
2．2.2 事件的独立性
答案
知识梳理
1．没有影响 P(B|A)＝P(B)
作业设计
1．C [两道工序的次品率相互独立，该零件的正品率为(1－0.1)×(1－0.03)＝0.873.
∴该零件的次品率是1－0.873＝0.127.]
2．D
3．B [由题易知，全都是红球的概率为×＝，故至少取到一个白球的概率是1－＝.]
4．B [方法一 由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.
∵K，A1，A2相互独立，∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.
方法二 A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.]
5．D [至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p)n.应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n，故选D.]
6.
解析 设事件A：“甲解决这道难题”，事件B：“乙解决这道难题”，A，B相互独立．
∴两人都未能解决的概率为
P( )＝(1－)×(1－)＝.
问题得到解决的概率为
P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P( )＝1－＝.
7．0.56
解析 设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，由题意知A、B相互独立，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.
8.
解析 记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A，在乙处不用停车为事件B，在丙处不用停车为事件C，则由已知得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，所以所求概率为P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)＝××＝.
9．解 记P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.6.
(1)事件“这名同学得300分”可表示为AC＋BC，所以P(AC＋BC)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)·P()P(C)＋P()P(B)P(C)＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.
(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为AC＋BC＋ABC，所以P(AC＋BC＋ABC)＝P(AC＋BC)＋P(ABC)＝0.228＋P(A)P(B)P(C)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
10．解 用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A、B、C相互独立，
且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
(1)至少有1人面试合格的概率是
1－P( )＝1－P()P()P()＝1－3＝.
(2)没有人签约的概率为
P(B)＋P( C)＋P( )
＝P()P(B)P()＋P()P()P(C)＋P()·P()·P()＝3＋3＋3＝.
11.
解析 加工出来的零件的正品率为(1－)×(1－)×(1－)＝，所以次品率为1－＝.
12．解 (1)记“开关B1闭合”为事件B1，“开关B2闭合”为事件B2，所以所求概率为1－P(B1B2)＝1－P(B1)·P(B2)＝1－0.7×0.9＝0.37.
(2)设“开关Ai闭合”为事件Ai(i＝1,2,3)，
所求概率为P(123)＝P(1)P(2)P(3)
＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.
(3)所求概率为P(B1B2)[1－P(123)]
＝0.63×(1－0.04)＝0.604 8.
2.2.3 独立重复试验与二项分布
课时目标1.理解独立重复试验.2.利用二项分布解决一些实际问题．
1．n次独立重复试验
在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果____________，就称它们为n次独立重复试验．
2．二项分布
若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝____________，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列
X
0
1
…
k
…
n
P
____
______
…
Cpkqn－k
…
____
由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
一、选择题
1．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)等于( )
A．C()2× B．C()2×
C．()2× D．()2×
2．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率为1%，现把这种零件每6个装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )
A．()6 B．0.01
C.(1－)5 D．C()2(1－)4
3．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面朝上的概率等于出现(k＋1)次正面朝上的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率为( )
A. B. C. D.
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A．()5 B．C()5
C．C()3 D．CC()5
二、填空题
6．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是________．
7．明天上午李明要参加奥运会志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________．(用数字作答)
三、解答题
9．某射击运动员射击1次，击中目标的概率为.他连续射击5次，且每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
(1)求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率；
(2)求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．
10．某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)．
(1)求至少3人同时上网的概率；
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.
能力提升
11．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
12．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中：
(1)至少有1株成活的概率；
(2)两种大树各成活1株的概率；
1．应用n次独立重复试验的概率公式，一定要审清是多少次试验中发生k次事件．
2．利用二项分布来解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布．
2．2.3 独立重复试验与二项分布
答案
知识梳理
1．相互独立
2．Cpkqn－k Cp0qn Cp1qn－1 Cpnq0
作业设计
1．C [P(ξ＝3)＝()2×.]
2．C [6次独立试验恰好发生一次的概率为C··(1－)5.]
3．C [记事件A为“正面朝上”，A发生的次数ξ～B(5，)，由题设知C×()5＝C×()5，所以k＋k＋1＝5，k＝2.]
4．C [记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A.
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
P(A)＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝[1－P(A1)]·[1－P(A2)][1－P(A3)]＝(1－)(1－)(1－)＝，故3人都没有投进的概率为.]
5．B [由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B(5，)，
∴P(ξ＝2)＝C()2()3＝C()5.]
6.
7．0.98
解析 设“甲闹钟准时响”为事件A，“乙闹钟准时响”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立且P(A)＝0.80，P(B)＝0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是P＝1－P()P()＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝0.98.
8．0.947 7
解析 由独立重复试验的概率计算公式得
P＝C·0.93·(1－0.9)1＋C·0.94＝0.947 7.
9．解 设在这5次射击中，击中目标的次数为X，则X～B(5，)，因此，有
(1)“在这5次射击中，恰好击中目标2次”的概率为
P(X＝2)＝C×()2×()3＝.
(2)“在这5次射击中，至少击中目标2次”的概率为
P＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×()5－C××()4＝.
10．解 (1)至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，记“至少3人同时上网”为事件A，则
P(A)＝C()3()3＋C()4()2＋C()5·()＋C()6()0＝；
(2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3，
事件B：至少4人同时上网，其概率为：
P(B)＝C()4()2＋C()5()＋C()6·()0＝>0.3，
事件C：至少5人同时上网，其概率为：
P(C)＝C()5()＋C()6()0＝<0.3.
所以至少5人同时上网的概率小于0.3.
11．B [设事件A：“一个实习生加工一等品”，
事件B：“另一个实习生加工一等品”，由于A、B相互独立，
则恰有一个一等品的概率P＝P(A·)＋P(·B)
＝P(A)·P()＋P()·P(B)
＝×＋×＝.]
12．解 设Ak表示第k株甲种大树成活，k＝1,2.
Bl表示第l株乙种大树成活，l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2独立且P(A1)＝P(A2)＝，
P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1株成活的概率为
1－P(···)
＝1－P()·P()·P()·P()
＝1－2×2＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为
P＝C××·C××＝×＝＝.
2.3.1 离散型随机变量的数学期望
课时目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握二点分布、二项分布、超几何分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
1．离散型随机变量的数学期望
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝________________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
2．常见的离散型随机变量的数学期望
(1)二点分布的数学期望：若离散型随机变量X服从参数为p的二点分布，则E(X)＝________.
(2)二项分布的数学期望：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝________.
(3)超几何分布的数学期望：若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝______.
一、选择题
1．设随机变量ξ的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为( )
A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2
2．已知随机变量X的分布列是
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
若E(X)＝7.5，则a等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是( )
A. B. C. D.
4．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
且η＝2ξ＋3，则E(η)等于( )
A. B. C. D.
5．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．随机变量X的概率分布由下表给出：
X
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
则随机变量X的均值是________．
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
8．某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，则可得收益60 000元，若出海后天气变坏，则将损失80 000元，若不出海，则无论天气好坏都将损失10 000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气的概率为40%，该公司应做出决策________．(填“出海”或“不出海”)
三、解答题
9．在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试求3个投保人中，能活到65岁人数的数学期望．
10．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个．
(1)求其中所含红球个数的数学期望；
(2)若每取到一个红球可得到100元，那么可得金额的期望值为多少？
能力提升
11．已知ξ的分布列为：
ξ
－1
0
1
2
P
且η＝3ξ－1，求η的期望．
12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．
1．求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解．
2．二点分布、二项分布、超几何分布的随机变量的期望，直接利用公式计算．
2．3 随机变量的数字特征
2．3.1 离散型随机变量的数学期望
答案
知识梳理
1．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
2．(1)p (2)np (3)
作业设计
1．A [E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×
＝×10＝2.5.]
2．C [∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5，
0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，∴a＝7，b＝0.4.]
3．B [由题意知ξ～B(2，)，
∴E(ξ)＝2×＝.]
4．C [E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝，
又∵η＝2ξ＋3，
∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.]
5．B [次品数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.]
6．8.2
解析 E(X)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
7．0.4
解析 ∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7×(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，
∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.
8．出海
解析 设ξ为公司出海的获利，则ξ的分布列为
ξ
60 000
－80 000
P
0.6
0.4
所以获利期望E(ξ)＝36 000－32 000＝4 000>－10 000，所以应出海．
9．解 设X为能活到65岁的人数，则X＝3,2,1,0.
则P(X＝3)＝C×0.63×(1－0.6)0＝0.216；
P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)1＝0.432；
P(X＝1)＝C×0.61×(1－0.6)2＝0.288；
P(X＝0)＝C×0.60×(1－0.6)3＝0.064.
所以随机变量X的分布列为
X
3
2
1
0
P
0.216
0.432
0.288
0.064
即E(X)＝3×0.216＋2×0.432＋1×0.288＋0×0.064＝1.8.
10．解 设ξ为取出红球的个数，则ξ＝0,1,2.
所以P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.2.
(2)由于每取到一个红球可得100元，因此可得金额的期望值为
E(100ξ)＝100E(ξ)＝120(元)．
11．解 因为ξ＝－1,0,1,2，且η＝3ξ－1，所以η的值分别为－4，－1,2,5，
于是E(η)＝(－4)×＋(－1)×＋2×＋5×＝－－＋＋＝1.
12．解 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，
(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
4
9
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.
2.3.2 离散型随机变量的方差
课时目标1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
1．方差
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则
D(X)＝______________________________________叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或离散程度)．
2．标准差
________________叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．二点分布的方差
若离散型随机变量X服从二点分布，则D(X)＝____________.
4．二项分布的方差
若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝____________.
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平
D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平
2．已知ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
则D(ξ)的值为( )
A. B. C. D.
3．设随机变量X服从二项分布B(4，)，则D(X)的值为( )
A. B. C. D.
4．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为( )
A．100和0.08 B．20和0.4
C．10和0.2 D．10和0.8
5．某事件在一次试验中发生的次数ξ的方差D(ξ)的最大值为( )
A．1 B. C. D．2
二、填空题
6．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.8
0.06
0.04
0.1
则质量好的机床为________机床．
7．已知随机变量ξ的方差D(ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则D(η)＝________.
8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
三、解答题
9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、期望和方差．
10．某人投弹击中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时击中次数Y的均值和方差．
能力提升
11．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝______，b＝________.
12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．
1．求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
2．二点分布、二项分布的方差可以直接利用公式计算．
3．随机变量的期望和方差在实际问题特别是风险决策中有着重要意义．
2．3.2 离散型随机变量的方差
答案
知识梳理
1．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn
2．D(X)的算术平方根
3．pq(q＝1－p)
4．npq(q＝1－p)
作业设计
1．D [由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错，而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平，故选D.]
2．C [∵E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
∴D(ξ)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.]
3．C [∵X～B(4，)，
∴D(X)＝4××(1－)＝4××＝.]
4．D [因为ξ～B(n，p)，
所以解得
故选D.]
5．C [设某事件在一次试验中发生的概率为p(0≤p≤1)，则该事件在一次试验中发生的次数ξ的分布列为
ξ
0
1
P
1－p
p
所以D(ξ)＝p(1－p)＝－(p－)2＋≤.]
6．A
解析 E(ξA)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
E(ξB)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差．
D(ξA)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.606 4，
D(ξB)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.926 4.
因为D(ξA)7．16
8. 5
解析 D(X)＝100p(1－p)＝100[]2
≤1002＝25，故标准差≤5，
当且仅当p＝1－p，即p＝时，等号成立．
9．解 (1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×
＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
10．解 (1)X的分布列为
X
0
1
P
0.2
0.8
E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，
D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，
即Y～B(10,0.8)．
∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝10×0.8×0.2＝1.6.
11.
解析 由题意知，解得
12．解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，
则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，
P(A∪B)＝1－P()＝1－(1－P1)·(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92.∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92，
则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.
(2)P(ξ＝0)＝P()·P()＝0.4×0.2＝0.08，
P(ξ＝1)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
P(ξ＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48.
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E(ξ)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48
＝0.44＋0.96＝1.4，
D(ξ)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728＝0.4.
2.4 正态分布
课时目标1.了解正态曲线的特点、意义.2.会用正态分布解决一些实际问题.3.理解3σ原则．
1．正态分布：在生产、科研和日常生活中，经常会遇到这样一类随机现象，它们是由一些相互独立的偶然因素所引起的，而每一个这种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，表示这类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布．__________________的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
2．正态曲线：正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝________________，x∈R，其中μ、σ是参数，且σ>0，μ∈R，参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)．________________________________的图象叫做正态曲线．
3．3σ原则
正态分布在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ一、选择题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝·e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )
A．10与8 B．10与2
C．8与10 D．2与10
2．下列函数是正态分布密度函数的是( )
A．f(x)＝e，μ、σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝·e－
C．f(x)＝e
D．f(x)＝e
3．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．不确定
4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
6. 如图所示是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______、______、______.
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，已知ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
8．工人生产的零件的半径ξ在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)．在正常情况下，取出1 000个这样的零件，半径不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个范围的零件约有________个．
三、解答题
9．如图是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
能力提升
11．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90分之间的学生占多少？
1．要求正态分布的概率密度函数式，关键是理解正态分布密度曲线的概念及解析式中各字母参数的意义．
2．解正态分布的概率计算问题，一定要灵活把握3σ原则，将所求问题向P(μ－σ<ξ<μ＋σ)，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应概率．同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．
2．4 正态分布
答案
知识梳理
1．服从正态分布
2.e－ 正态变量的概率密度函数
3．0.683 0.954 0.997
作业设计
1．B [f(x)可以改写成f(x)＝e－，对照可知μ＝10，σ＝2.]
2．B
3．C [均值即为其对称轴，∴μ＝0.]
4．A [∵X～N(0，σ2)，∴μ＝0，
又P(－2≤X≤0)＝0.4，
∴P(X>2)＝(1－0.4×2)＝0.1.]
5．D [由正态分布图象可知，μ＝4是该图象的对称轴，
∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝.]
6．① ② ③
解析 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
7．0.8
解析 正态曲线关于x＝1对称，
∴ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4.
8．3
解析 半径属于(μ－3σ，μ＋3σ)的零件个数约有0.997×1 000＝997，
∴不属于这个范围的零件个数约有3个．
9．解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，
＝，解得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
10．解 ∵ξ～N(90,100)，
∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.683.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有2 000×0.683＝1 366(人)．
11.
解析 由于随机变量X～N(μ，σ2)，其概率密度函数关于x＝μ对称，故P(x≤μ)＝.
12．解 (1)设学生的得分情况为随机变量X，
X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.
所以成绩在60～80之间的学生所占的比为P(70－10所以成绩不及格的学生的比为：
(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生占15.85%.
(2)成绩在80～90之间的学生的比为
[P(70－2×10＝(0.954－0.683)＝0.135 5.
即成绩在80～90分之间的学生占13.55%.
第2章 概率
习题课
课时目标 进一步理解两个事件相互独立的概念；能进行一些与事件独立有关的概率的计算．
1．事件A、B独立：一般地，若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A、B独立．
2．事件A、B独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．
一、选择题
1．若A、B是相互独立事件，则下列结论中不正确的是( )
A．A，是相互独立事件
B.，是相互独立事件
C.，B是相互独立事件
D.，B不一定是相互独立事件
2．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )
A．p1p2
B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)
C．1－p1p2
D．1－(1－p1)(1－p2)
3．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝，则P(EF)的值为( )
A．0 B. C. D.
4．袋中有红、黄、绿球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，则球的颜色全相同的概率是( )
A. B. C. D.
5．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．一射手对同一目标独立地射击4次，若至少命中一次的概率为，则该射手一次射击的命中率为______．
7．在同一时间内，对同一地域，市、县两个气象台预报天气准确的概率分别为、，两个气象台预报天气准确的概率互不影响，则在同一时间内，至少有一气象台预报准确的概率是________．
8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是______．
三、解答题
9．容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两事件是否相互独立？为什么？
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
10. 如图所示，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
能力提升
11．甲、乙两人同时解一道数学题，设事件A表示“甲做对该题”，事件B表示“乙做对该题”，则事件“甲、乙两人只有一人做对该题”可表示为______________．
12．在艾泰科技公司举办的“艾泰杯”综合知识竞赛中，第一环节要求参赛的甲、乙、丙三个团队同时回答一道专业类知识的问题，三个团队答题过程相互之间没有影响，已知甲队答对这道题的概率是，甲、丙两队都答错的概率是，乙、丙两队都答对的概率是.
(1)求乙、丙两队各自答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三队中恰有两队答对该题的概率．
习题课
答案
作业设计
1．D [A、，、，、B都是相互独立事件．]
2．B [恰有一人解决包括“甲解决而乙未解决”和“甲未解决而乙解决”两种情况，而且甲、乙两人解题相互独立．]
3．B [P(EF)＝P(E)P(F)＝×＝.]
4．C
5．D [设甲射击一次中靶为事件A，乙射击一次中靶为事件B，则P(A)＝＝，P(B)＝，P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.]
6.
解析 设命中率为p，则1－(1－p)4＝，
(1－p)4＝，p＝.
7.
解析 由题意，至少有一气象台预报准确的对立事件为两气象台预报都不准确，气象台预报天气相互独立，故其概率为1－(1－)×(1－)＝.
8.
解析 ∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P()＝，P()＝.
又A、B为相互独立的事件，
∴P(·)＝P()·P()＝×＝.
∴A、B中至少有一件发生的概率为
1－P(·)＝1－＝.
9．解 (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响．所以二者是相互独立事件．
10．解 因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，所以灯不亮的概率为
P( )·[1－P(CD)]
＝P()·P()·[1－P(C)·P(D)]
＝××＝.
所以灯亮的概率为1－＝.
11．(A)∪(B)
12．解 (1)记“甲队答对这道题”、“乙队答对这道题”、“丙队答对这道题”分别为事件A、B、C，
则P(A)＝，
且有，
即，
解得P(B)＝，P(C)＝.
(2)由(1)知P()＝1－P(A)＝，
P()＝1－P(B)＝，P()＝1－P(C)＝，
则甲、乙、丙三队中恰有两队答对该题的概率为：
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋
P()P(B)P(C)
＝××＋××＋××＝.
第2章 概率
习题课
课时目标1.会建立二项分布模型，解决一些实际问题.2.会解决二项分布、独立重复试验、互斥事件综合应用的问题．
1．n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为____________________．
2．互斥事件：若事件A、B互斥，则P(A＋B)＝____________，若A、B不互斥，则P(A＋B)＝____________________.
一、选择题
1．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则P(X≥2)等于( )
A. B. C. D.
2．在三次独立重复试验中，若已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为( )
A. B. C. D.
3．10个球中，有4个红球和6个白球，每次从中取一个球，然后放回，连续取4次，恰有一个红球的概率为( )
A. B. C. D.
4．在某次试验中事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
5．如果X～B(20，)，Y～B(20，)，那么当X，Y变化时，下面关于P(X＝xk)＝P(Y＝yk)成立的(xk，yk)的个数为( )
A．10 B．20 C．21 D．0
二、填空题
6．有一批种子，每粒发芽的概率为0.90，则播下5粒种子，其中恰有3粒没发芽的概率为________．
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局者为赢．若每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．
8．对某种药物的疗效进行研究，假定药物对某种疾病的治愈率为P0＝0.8，现有10个患此病的病人同时服用此药，其中至少有6个病人被治愈的概率为________．(保留两位小数)
三、解答题
9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，求：
(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率；
(2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)
10．经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下：
排队人数
0～5
6～10
11～15
16～20
21～25
25人以上
概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
求：(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少？
(2)一周7天中若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口．请问该商场是否需要增加结算窗口？
能力提升
11．下面关于X～B(n，p)的叙述：①p表示一次试验中事件发生的概率；②n表示独立重复试验的总次数；③n＝1时，二项分布退化为二点分布；④随机变量X的可能取值的个数是n.其中正确的有________．(填序号)
12．已知某大学就业指导中心的电话接通率为，华源公寓634寝室的4名2011届毕业生商定，在下周一向该指导中心咨询一下档案转交问题，若每人只拨打一次电话且4名毕业生打电话是相互独立的，求她们当中至少有3人咨询成功的概率．
1．建立二项分布的模型后，可直接计算随机变量取值的概率．
2．对某些复杂事件，可以转化为n个互斥事件的和，也可以利用对立事件求概率．
习题课
答案
知识梳理
1．P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k
2．P(A)＋P(B) P(A)＋P(B)－P(AB)
作业设计
1．A [P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C0.62×0.4＋C0.63＝3××＋1×＝.]
2．C [设成功概率为p，则＝1－(1－p)3，所以p＝.]
3．D [这是4次独立重复试验，每次取一个红球的概率为＝，每次取一个白球的概率为，连续取4次，恰有1个红球的概率为C×()×()3＝.]
4．D [出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得P＝C(1－p)kpn－k.]
5．C [(0,20)，(1,19)，…，(20,0)共21个．]
6．0.008 1
解析 共有5粒种子，恰有3粒没发芽，即为恰有2粒发芽，
故P＝C×0.92×0.13＝0.008 1.
7.
解析 甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜，所以P＝C()2()·＝.
8．0.97
解析 假定病人服用该药物治愈为事件A，没有治愈为事件.由题意，P(A)＝0.8，P()＝0.2.至少有6人治愈可分为10人中有6人治愈，10人中有7人治愈，10人中有8人治愈，10人中有9人治愈和10人痊愈5种情况．所以P＝P10(6)＋P10(7)＋P10(8)＋P10(9)＋P10(10)＝C×0.86×0.24＋C×0.87×0.23＋C×0.88×0.22＋C×0.89×0.2＋C×0.810≈0.97.
9．解 (1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p1＝C×0.43×0.63≈0.28.
(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p2＝1－(1－0.04)6≈0.22.
10．解 设每天排队结算的人数为X，则
(1)P(X≤20)＝0.1＋0.15＋0.25＋0.25＝0.75，
即每天不超过20人排队结算的概率为0.75.
(2)该商场每天出现超过15人的概率为
P(X>15)＝0.25＋0.2＋0.05＝0.5，
设7天中出现这一事件的天数为Y，则
P(Y≥3)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)－P(Y＝2)
＝1－C×0.57－C×0.57－C×0.57＝，
因为>0.75，
所以该商场需要增加结算窗口．
11．①②③
12．解 设X表示咨询成功的人数，则X～B，
则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝C3×＋C4＝.
第2章 概率
习题课
课时目标1.进一步理解期望和方差的意义和作用.2.利用期望和方差解决一些实际问题．
1．期望反映了随机变量取值的____________；方差反映了随机变量取值的____________．
2．若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝______.
一、选择题
1．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于( )
A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804
2．下面关于离散型随机变量的期望与方差的叙述不正确的是( )
A．期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值的集中与离散的程度
B．离散型随机变量的期望和方差都是一个数值，它们不随试验结果而变化
C．离散型随机变量的数学期望是区间[0,1]上的一个数
D．离散型随机变量的方差是非负的
3．一批产品次品率为，现在连续抽查4次，用ξ表示次品数，则D(ξ)等于( )
A. B. C. D.
4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.A>B，sA>sB B.AsB
C.A>B，sA5．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )
A．E(X)＝0，D(X)＝1
B．E(X)＝，D(X)＝
C．E(X)＝0，D(X)＝
D．E(X)＝，D(X)＝1
二、填空题
6．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
x
P
p
且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝________.
7．甲、乙两人同时解一道数学题，每人解出此题的概率均为0.3.设X表示解出此题的人数，则E(X)＝________，D(X)＝________.
8．若X～B(n，p)且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为________．
三、解答题
9．同寝室的四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，求：
(1)随机变量X的分布列；
(2)X的数学期望和方差．
10．某中学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的．
(1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法种数；
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率；
(3)设随机变量ξ为甲、乙、丙这三名学生参加A社团的人数，求ξ的分布列与均值．
能力提升
11．已知10个晶体管中有7个正品，3个次品，每次任取一个来测试，测试后不再放回，直到出现正品为止，求：
(1)需要测试次数的分布列；
(2)需要测试次数的均值与方差．
12．海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为ξ1、ξ2(单位：s)，其分布列如下：
ξ1
－2
－1
0
1
2
P
0.05
0.05
0.8
0.05
0.05
ξ2
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
根据这两面大钟日走时误差的期望与方差比较这两面大钟的质量．
1．理解期望、方差公式，利用公式可以求解一些相关问题．
2．可以利用期望和方差对一些实际问题作出判断．
习题课
答案
知识梳理
1．平均水平 离散程度
2．np np(1－p)
作业设计
1．C [由题意知发病的牛的头数ξ～B(10,0.02)，
所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.]
2．C
3．C [ξ～B(4，)
∴D(ξ)＝np(1－p)＝4××(1－)＝.]
4．B [A中的数据都不大于B中的数据，所以AsB.]
5．A [得分X的分布列为
X
1
－1
P
0.5
0.5
所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，
D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.]
6．0.49
解析 ∵0×＋p＋x＝1.1，
又＋p＋＝1，∴p＝，∴x＝2
∴D(ξ)＝1.12×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
7．0.6 0.42
8．3·2－10
解析 ∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，
∴， ∴，
∴P(X＝1)＝C·12＝3·2－10.
9．解 (1)随机变量X的可能取值为0,1,2,4，则
P(X＝4)＝＝；P(X＝2)＝；
P(X＝1)＝；P(X＝0)＝.
因此X的分布列为
X
0
1
2
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.
10．解 (1)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方法数是5种，
故共有5×5×5＝125(种)．
(2)三名学生选择三个不同社团的概率是＝.
∴三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为
1－＝.
(3)由题意ξ＝0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
11．解 (1)设需要测试的次数为X，可能的取值为1,2,3,4，因此P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝·＝，
P(X＝3)＝··＝，
P(X＝4)＝···＝，
因此需要测试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝×1＋×2＋×3＋×4＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
12．解 由题意可知，E(ξ1)＝0，E(ξ2)＝0，
∴E(ξ1)＝E(ξ2)．∵D(ξ1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，
D(ξ2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，
∴D(ξ1)第2章 概率
章末总结
知识点一 条件概率
在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择恰当的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．
例1 坛子里放着7个相同大小、相同形状的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
知识点二 独立事件的概率
1．互斥事件、相互独立事件一般综合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上运用相应公式求解．
2．特别注意以下两公式的使用前提：
(1)若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．
(2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．
例2 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
知识点三 n次独立重复试验与二项分布
事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算及二项分布的应用是高考重点考查的内容，在解答题中多与随机变量的分布列、均值综合考查．解题时应注意：恰有k次发生和指定k次发生的差异，对独立重复试验来说，前者的概率为Cpk(1－p)n－k，后者的概率为pk(1－p)n－k.
例3 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
(1)该公司的资助总额为零的概率；
(2)该公司的资助总额超过15万元的概率．
知识点四 期望与方差
求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．
例4 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是，甲、丙两人都答错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．
(1)求该单位代表队答对此题的概率．
(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望．(精确到1分)
例5 设在10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，记X表示每次取出的次品件数．
(1)求X的分布列；
(2)求X的期望和方差．
知识点五 正态分布
正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．
例6 设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X章末总结
答案
重点解读
例1 解 设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A＝42.
根据分步乘法计数原理n(A)＝A×A＝24.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝24，
所以P(B|A)＝＝＝.
例2 解 设“臭皮匠老大、老二、老三解出问题”分别为事件A、B、C，
则三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：
1－P(··)＝1－(1－0.5)(1－0.45)(1－0.4)
＝0.835>0.8，
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮．
例3 解 (1)设A表示资助总额为零这个事件，则
P(A)＝6＝.
(2)设B表示资助总额超过15万元这个事件，B1、B2、B3分别表示资助总额为20万元、25万元、30万元这三个事件，
则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)
＝C()4(1－)2＋C()5(1－)＋C()6
＝15×6＋6×6＋6＝.
例4 解 (1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A、B、C，由已知，
P(A)＝，[1－P(A)][1－P(C)]＝，
∴P(C)＝.
又P(B)P(C)＝，∴P(B)＝.
∴该单位代表队答对此题的概率
P＝1－(1－)(1－)(1－)＝.
(2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分，
则ξ～B(10，)，
∴E(ξ)＝10×＝(分)．
而η＝20ξ－10(10－ξ)＝30ξ－100，
∴E(η)＝30E(ξ)－100＝≈184(分)．
例5 解 (1)X的可能取值为0,1,2,3.
X＝0，表示取出的5件产品全是正品．
P(X＝0)＝＝；
X＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品．
P(X＝1)＝＝；
X＝2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品．
P(X＝2)＝＝；
X＝3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品．
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
D(X)＝×(0－)2＋×(1－)2＋×(2－)2＋×(3－)2＝.
例6
解 由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X∴c＝2.
