课件44张PPT。2.1.1 合情推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 推理1.推理的概念与分类
(1)根据一个或几个 得出一个判断，这种思维方式就是推理.
(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做 ；一部分是由已知推出的判断，叫做 .
(3)推理一般分为 与 .
2.合情推理
前提为真时，结论 的推理，叫做合情推理.常用的合情推理有
和 .已知事实(或假设)前提结论合情推理演绎推理可能为真归纳推理类比推理知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征.梳理 归纳推理
(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的____
都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从___
到 的过程.
(2)归纳推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些 .
②从已知的 中推出一个明确表述的 命题(猜想).所有对象特殊一般相同性质相同性质一般性知识点三 类比推理答案 类比推理.梳理 类比推理
(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物 的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).
(2)类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的 或 .
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 的命题(猜想).类似(或相同)相似性一致性明确1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( )
2.由个别到一般的推理为归纳推理.( )
3.在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究命题角度1 数、式中的归纳推理
例1 (1)观察下列等式：
据此规律，第n(n∈N＋)个等式可为________________________________
________________.类型一 归纳推理解析答案(2)已知f(x)＝ ，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，
则f3(x)的表达式为_______________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________________.解析答案又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，引申探究
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式.解答又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论.
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.√答案解析(2)观察下列等式：答案解析命题角度2 几何中的归纳推理
例2 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点的个数为A.(n＋1)(n＋2) B.(n＋2)(n＋3)
C.n2 D.n√答案解析解析 由已知图形我们可以得到：
当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，
当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，
当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，
当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，
…，
则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，
故选B.反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系.
(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.解析答案5n＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.类型二 类比推理解答解 对平面凸四边形：类比在三棱锥中，反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
(2)平面图形与空间图形的类比如下：解析答案(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.解答解 如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依
次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角
的大小.
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.达标检测12341.有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色.两种彩旗排成一行：
???????????????????????????…，
那么在前200个彩旗中黄旗的个数为
A.111 B.89 C.133 D.67答案√5解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗.则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.解析2.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.解析答案√123453.观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得到的一般结论是
A.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2答案√123454.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.123451∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2，解析答案5.在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.12345解答12345解 在长方形ABCD中，于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.12345证明如下：1.用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.
2.进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.
3.多用下列技巧会提高所得结论的准确性
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些.
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.规律与方法本课结束 课件35张PPT。2.1.2 演绎推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 演绎推理的含义思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.答案 都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论.梳理 演绎推理的含义
(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到______
的过程，通常叫做演绎推理.
(2)特征：当前提为真时， 必然为真.正确结论结论知识点二 演绎推理规则思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段.
大前提：所有的金属都能导电；
小前提：铜是金属；
结论：铜能导电.梳理 演绎推理的规则已知的一般原理所研究的特殊情况1.演绎推理的结论一定正确.( )
2.在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断.( )
3.大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的.
( )[思考辨析 判断正误]×√√题型探究例1 选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程.
(1)函数y＝sin x(x∈R)是周期函数；类型一 三种演绎推理的形式解答解 三段论推理：三角函数是周期函数， 大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数， 小前提
∴y＝sin x(x∈R)是周期函数. 结论(3)若n∈Z，求证n2－n为偶数.解答解 完全归纳推理：
∵n2－n＝n(n－1)，∴当n为偶数时，n2－n为偶数，
当n为奇数时，n－1为偶数，n2－n为偶数，
∴当n∈Z时，n2－n为偶数.反思与感悟 对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理.解答跟踪训练1 选择合适的推理规则写出下列推理过程.
(1)75是奇数；解 三段论推理：一切奇数都不能被2整除. 大前提
75不能被2整除. 小前提
75是奇数. 结论解答(2)平面α，β，已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m.解 传递性关系推理：如图，在平面α内任取一点P(P?m)，∵l∥α，
∴P?l，则l与点P确定一平面与α相交，设交线为a，
则a∥l，同理，在β内任取一点Q(Q?m)，l与点Q确
定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b.
由P∈a，P?m，∴a?β，而b?β，∴a∥β.
又a?α，α∩β＝m，∴a∥m，∴l∥m.类型二 三段论的应用证明命题角度1 用三段论证明几何问题
例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提
DE∥BA，且FD∥AE， 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形. 结论
因为平行四边形的对边相等， 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提
所以ED＝AF. 结论反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路.
②找出每一个结论得出的原因.
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.证明跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提
点E，F分别是AB，AD的中点， 小前提
所以EF∥BD. 结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平
面平行， 大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， 小前提
所以EF∥平面BCD. 结论命题角度2 用三段论解决代数问题解 若函数的定义域为R，则函数对任意实数恒有意义， 大前提
因为f(x)的定义域为R， 小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立， 结论
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0
即当0若本例的条件不变，求f(x)的单调增区间.解答由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00.
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞).
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞).
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当2(2)在解题过程中常省略大前提.证明又a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.达标检测12341.下面几种推理过程是演绎推理的是
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁
内角，则∠A＋∠B＝180°
B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数
超过50人
C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质答案√5解析12345解析 A是演绎推理，
B，D是归纳推理，
C是类比推理.2.指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数.以上推理
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.正确解析 此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.解析答案√123453.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是
A.① B.② C.①② D.③答案√123454.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：___________________________；
小前提：__________________________；
结论：__________________________________.12345二次函数的图象是一条抛物线答案函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5.设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.12345证明证明 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根， 大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0， 小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根. 结论1.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.
2.合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
3.合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.规律与方法本课结束 课件32张PPT。2.2.1 综合法与分析法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.
2.会用综合法、分析法解决问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 直接证明直接证明是从命题的 出发，根据已知的定义、公理、定理，
推证结论的真实性.常用的直接证明方法有综合法与分析法.条件或结论直接知识点二 综合法思考 该题的证明顺序是什么？答案 从已知利用基本不等式到待证结论.梳理 综合法
(1)定义：综合法是从 出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.
(2)逻辑关系：P0(已知)?P1?P2?…?Pn?Q(结论).
(3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“ ”，其逐步推理，实际上是寻找它的 条件.已知条件未知必要答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件.知识点三 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？梳理 分析法
(1)定义：分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的 条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
(2)逻辑关系：B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知).
(3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“ ”，其逐步推理，实际上是要寻找它的 条件.
(4)证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立.待证结论充分已知充分1.综合法是执果索因的逆推证法.( )
2.分析法就是从结论推向已知.( )
3.分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.
( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究例1 在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.类型一 综合法的应用证明由a，b，c成等比数列，得b2＝ac.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c.故△ABC是等边三角形.反思与感悟 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论.其适用范围为
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等.
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.证明且上述三式等号不能同时成立，类型二 分析法的应用证明当a＋b>0时，用分析法证明如下：反思与感悟 (1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误.
(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.解答类型三 综合法与分析法的综合应用证明例3 已知a，b，c是不全相等的正数，且0只需证 ，
只需证 .所以只需证(a＋b)2≤(a2＋1)(b2＋1)，
即证a2＋2ab＋b2≤a2b2＋a2＋b2＋1，
即证a2b2－2ab＋1≥0，
即证(ab－1)2≥0，
上式显然成立，所以原不等式成立.反思与感悟 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因.就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长.也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.证明证明 由已知条件得
b2＝ac， ①
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ②只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证.达标检测12341.若a>b>0，则下列不等式中不正确的是
A.a2>ab B.ab>b2
C. D.a2>b2答案√5解析解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，解析答案√12345A.c B.b
C.a D.随x取值不同而不同√12345解析答案12345分析法答案12345证明证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.规律与方法本课结束 课件29张PPT。2.2.2 反证法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想？
思考2 反证法解题的实质是什么？答案 运用了反证法思想.答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳理 (1)反证法的概念
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与 矛盾，或与____
矛盾，从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法.
(2)反证法常见的几种矛盾
①与假设矛盾.
②与 、定理、公式、定义或 矛盾.
③与 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).假设某个真命题綈qq数学公理已被证明了的结论公认的简单事实(3)反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的 .
②做出与命题 相矛盾的假设.
③由 出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果.
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 不真，于是_______
成立，从而间接地证明命题为真.条件和结论结论假设假定原结论1.反证法属于间接证明问题的方法.( )
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )[思考辨析 判断正误]√×√题型探究类型一 用反证法证明否定性命题证明∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac， ②∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立.反思与感悟 对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的.证明证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.
左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.
∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题证明例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.即3>3，矛盾.
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.反思与感悟 (1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：证明跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，
所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.类型三 用反证法证明唯一性命题证明例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 ＝3, ＝3，两式相除得 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立，从而原命题得证.反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.证明证明 设两直线为a，b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点.
(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；
(2)若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点.跟踪训练3 求证：两条相交直线有且只有一个交点.达标检测12341.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角答案√52.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°答案√123453.“aA.a≠b B.a>b
C.a＝b D.a＝b或a>b√12345答案123454.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交√答案12345证明证明 f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.5.已知f(x)＝x2＋px＋q.
(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；证明则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.
因为|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，
这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，
所以假设不成立，原命题成立，12345用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.规律与方法本课结束 课件39张PPT。章末复习第二章 推理与证明学习目标
1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.
2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.部分个别一般特殊特殊整体2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理.
② ——所研究的特殊情况.
③ ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.一般特殊大前提小前提结论3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 .
① 是从已知条件推出结论的证明方法.
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.综合法分析法综合法分析法反证法1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.
( )
2.“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )
3.综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )
4.反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )[思考辨析 判断正误]×√××题型探究例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________.类型一 合情推理的应用f(n)＝n3答案解析解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，
13＋15＋17＋19＝64＝43，…，
猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解答(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.下面对①的猜想进行证明.
如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，
平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面.
设AB＝a，AC＝b，AD＝c，即所证猜想为真命题.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第4个图形中有_______根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒.133n＋1解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.
通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)，
所以an＝3n＋1.答案解析类型二 综合法与分析法证明证明 分析法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立.综合法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.证明证明 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，(分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，类型三 反证法解答例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，证明(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1
(p所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.
所以假设不成立，原命题得证.反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.证明因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.达标检测12341.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为
A.9(n＋1)＋n＝10n＋9
B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10答案√解析5解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
第n(n∈N＋)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.
故选B.12345答案√1234解析5123453.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案√12345解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.解析解析1234答案4.若a>0，b>0，则有√512345.已知等差数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________.S4＝56解析 显然S1是正确的.假设后三个数均未算错，
则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，
但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，
故S4算错了，S4应为56.解析答案5规律与方法1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.本课结束