2.1.1 合情推理
学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
知识点一 推理
1．推理的概念与分类
(1)根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式就是推理．
(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．
(3)推理一般分为合情推理与演绎推理．
2．合情推理
前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理．
知识点二 归纳推理
思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．
以上属于什么推理？
答案 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征．
梳理 归纳推理
(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从特殊到一般的过程．
(2)归纳推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些相同性质．
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
知识点三 类比推理
思考 由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的.
可推测出四面体具有如下性质：
(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.
该推理属于什么推理？
答案 类比推理．
梳理 类比推理
(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．
(2)类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的相似性或一致性．
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( × )
2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √ )
3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )
类型一 归纳推理
例1 (1)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…，
据此规律，第n(n∈N＋)个等式可为_____________________________________________．
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．
答案 (1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
(2)f3(x)＝ fn(x)＝
解析 (1)等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n(n∈N＋)个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n(n∈N＋)个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n(n∈N＋)个等式右边应为＋＋…＋.
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
∴根据前几项可以猜想fn(x)＝(n∈N＋)．
引申探究
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式．
解 ∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝＝.
因此，可以猜想fn(x)＝(n∈N＋)．
反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论．
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
跟踪训练1 (1)已知x>1，由不等式x＋>2；x2＋>3；x3＋>4；…，可以推广为( )
A．xn＋>n B．xn＋>n＋1
C．xn＋>n＋1 D．xn＋>n
(2)观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
…，
照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.
答案 (1)B (2)×n×(n＋1)
解析 (1)不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成xn＋>n＋1的形式，从而归纳出一般性结论：xn＋>n＋1，故选B.
(2)观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.
例2 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点的个数为( )
A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)
C．n2 D．n
答案 B
解析 由已知图形我们可以得到：
当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，
当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，
当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，
当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，
…，
则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，
故选B.
反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．
答案 5n＋1
解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
类型二 类比推理
例3 如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，则h1＋2h2＋3h3＋4h4＝，
类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，则H1＋2H2＋3H3＋4H4等于多少？
解 对平面凸四边形：
S＝a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4
＝(kh1＋2kh2＋3kh3＋4kh4)
＝(h1＋2h2＋3h3＋4h4)，
所以h1＋2h2＋3h3＋4h4＝；
类比在三棱锥中，
V＝S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4
＝(KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4)
＝(H1＋2H2＋3H3＋4H4)．
故H1＋2H2＋3H3＋4H4＝.
反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形的类比如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
跟踪训练3 (1)若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝___(n∈N＋)也是等比数列．
答案
解析 数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N＋)也是等差数列．类比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等比数列．
(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解 如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
1．有一串彩旗，(代表蓝色，(代表黄色．两种彩旗排成一行：
(((((((((((((((((((((((((((…，
那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( )
A．111 B．89 C．133 D．67
答案 D
解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.
2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )
A．三角形 B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
答案 C
解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得到的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
答案 B
4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2，
则V1∶V2＝S1h1∶S2h2＝S1h1∶S2h2＝1∶8.
5.在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．
解 在长方形ABCD中，
cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：
cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2
＝＝＝1.
1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
一、选择题
1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )
A．若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
答案 C
解析 显然A，B，D不正确，只有C正确．
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A. B.
C. D.
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在图形中的应用
答案 A
解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
3．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
答案 D
解析 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
4．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
答案 B
解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1 111 111.
5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
答案 C
解析 从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
6．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
答案 D
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体A－BCD的体积为V，则R等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝.
8．已知f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝7，f(5)＝11，…，则f(10)等于( )
A．28 B．76 C．123 D．199
答案 C
解析 由题意可得f(3)＝f(1)＋f(2)，
f(4)＝f(2)＋f(3)，f(5)＝f(3)＋f(4)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18，f(7)＝f(5)＋f(6)＝29，
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47，f(9)＝f(7)＋f(8)＝76，
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
二、填空题
9．正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为________________．
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数阵(表)中的应用
答案 2 017×2 018
解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018.
10．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________________________________.
答案 若a＋b＝20(a≠b)，则＋<2，a，b为正实数
11．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 －g(x)
解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．
12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列{an}的通项公式为an＝________.
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案
解析 根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可归纳推测出an＝.
三、解答题
13．设a>0，且a≠1，f(x)＝ .
(1)求值：f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)；
(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x都成立的一个等式，并加以证明．
解 (1)f(0)＋f(1)＝＋＝＝，
f(－1)＋f(2)＝＋＝＝.
(2)由(1)归纳得对一切实数x，
有f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＝＝.
四、探究与拓展
14．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a,52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝________.
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 30
解析 观察题图易得
∴a＝21，b＝9，∴a＋b＝30.
15．如图(1)，在平面内有面积关系＝·，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．
解 类比＝·，
有＝··
证明如下：
如图(2)，设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，
故＝
＝＝.
2.1.2 演绎推理
学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
知识点一 演绎推理的含义
思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
答案 都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论．
梳理 演绎推理的含义
(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．
(2)特征：当前提为真时，结论必然为真．
知识点二 演绎推理规则
思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案 分为三段．
大前提：所有的金属都能导电；
小前提：铜是金属；
结论：铜能导电．
梳理 演绎推理的规则
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
所以，S是P
1．演绎推理的结论一定正确．( × )
2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断．( √ )
3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．( √ )
类型一 三种演绎推理的形式
例1 选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程．
(1)函数y＝sin x(x∈R)是周期函数；
(2)当k>1时，－>－；
(3)若n∈Z，求证n2－n为偶数．
解 (1)三段论推理：三角函数是周期函数，大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提
∴y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论
(2)传递性关系推理：当k>1时，－
＝> >＝－.
(3)完全归纳推理：
∵n2－n＝n(n－1)，∴当n为偶数时，n2－n为偶数，
当n为奇数时，n－1为偶数，n2－n为偶数，
∴当n∈Z时，n2－n为偶数．
反思与感悟 对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理．
跟踪训练1 选择合适的推理规则写出下列推理过程．
(1)75是奇数；
(2)平面α，β，已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m.
解 (1)三段论推理：一切奇数都不能被2整除．大前提
75不能被2整除．小前提
75是奇数．结论
(2)传递性关系推理：如图，在平面α内任取一点P(P?m)，∵l∥α，
∴P?l，则l与点P确定一平面与α相交，设交线为a，则a∥l，同理，在β内任取一点Q(Q?m)，l与点Q确定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b.
由P∈a，P?m，∴a?β，而b?β，∴a∥β.
又a?α，α∩β＝m，∴a∥m，∴l∥m.
类型二 三段论的应用
例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
证明 因为同位角相等，两直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
反思与感悟 (1)用“三段论”证明命题的格式
×××××× 大前提
×××××× 小前提
×××××× 结论
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路．
②找出每一个结论得出的原因．
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.
证明 因为三角形的中位线平行于底边，大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提
所以EF∥平面BCD.结论
例3 设函数f(x)＝，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解 若函数的定义域为R，则函数对任意实数恒有意义，大前提
因为f(x)的定义域为R，小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立，结论
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0
即当0引申探究
若本例的条件不变，求f(x)的单调增区间．
解 ∵f′(x)＝，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00.
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当2反思与感悟 (1)很多代数问题不论是解答题，还是证明题都蕴含着演绎推理．
(2)在解题过程中常省略大前提．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
证明 f(x)＝ax＋＝ax＋1－.
所以f′(x)＝axln a＋.
因为x>－1，所以(x＋1)2>0，所以>0.
又a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.
于是，f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函数.
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 A
解析 A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
2．指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．正确
考点 “三段论”及其应用
题点 小前提或推理形式错误导致结论错误
答案 B
解析 此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.
3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是( )
A．① B．② C．①② D．③
答案 D
4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：___________；
小前提：______________________________________；
结论：__________________________________________.
答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．
证明 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根，大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0，小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论
1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.
一、选择题
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
答案 C
2．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
答案 C
解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．
4．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错 B．结论错
C．正确的 D．大前提错
答案 C
解析 由三段论推理概念知推理正确．
5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：
①增函数的定义是大前提；
②增函数的定义是小前提；
③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；
④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．
其中正确的命题是( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
考点 “三段论”及其应用
题点 三段论的结构
答案 A
解析 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
6．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
答案 A
7．自主招生联盟成形于2009年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况时，得到如下结果：
a．报考“北约”联盟的学生都没报考“华约”联盟；
b．报考“华约”联盟的学生也报考了“京派”联盟；
c．报考“卓越”联盟的学生都没报考“京派”联盟；
d．不报考“卓越”联盟的学生就报考“华约”联盟．
根据上述调查结果，下列结论错误的是( )
A．没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的学生
B．报考“华约”和“京派”联盟的学生一样多
C．报考“北约”联盟的学生也报考了“卓越”联盟
D．报考“京派”联盟的学生也报考了“北约”联盟
答案 D
解析 令集合U表示调查的全体学生．集合E表示报考“北约”联盟的学生，集合F表示报考“华约”联盟的学生，集合G表示报考“京派”联盟的学生，集合H表示报考“卓越”联盟的学生，由题意得A中，F∩H＝?，结论正确；B中，F＝G，结论正确；C中，E?H，结论正确．
8．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x都成立，则( )
A．－1C．－答案 C
解析 由题意知，(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，
∴－x2＋x＋a2－a<1，
即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
∴4a2－4a－3<0，解得－二、填空题
9．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是________________________________________．
答案 y＝的定义域是[4，＋∞)
解析 由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.
10．有一段演绎推理：
大前提：整数是自然数；
小前提：－3是整数；
结论：－3是自然数．
这个推理显然错误，则错误的原因是__________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”)
答案 大前提
11．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半，所以所有三角形的面积都等于底乘高的一半，以上推理运用的推理规则是________．
答案 完全归纳推理
解析 “钝角三角形、直角三角形、锐角三角形”这一分类方法包含了所有的三角形，若这三类三角形的面积都等于底乘高的一半，就是所有的三角形的面积都等于底乘高的一半，故其推理规则为完全归纳推理．
12．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
答案 2 018
解析 利用三段论．
∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N＋)，大前提
令b＝1，则＝f(1)＝2，小前提
∴＝＝…＝＝2，结论
∴原式＝＝2 018.
三、解答题
13．如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，用三段论形式证明AB的中点M到D，E的距离相等．
证明 有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提
在△ABD中，AD⊥BD，即∠ADB＝90°，小前提
所以△ABD是直角三角形．结论
同理，△AEB也是直角三角形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提
因为DM是Rt△ABD斜边上的中线，小前提
所以DM＝AB.结论
同理，EM＝AB.
等于同一个量的两个量相等，大前提
DM和EM都等于AB，小前提
所以DM＝EM，即AB的中点M到D，E的距离相等．结论
四、探究与拓展
14．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是______．(写出所有凸集相应图形的序号)
答案 ②③
15．设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0且a≠1)．
(1)5＝2＋3，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解 (1)由题知，f(3)g(2)＋g(3)f(2)
＝×＋×＝.
又g(5)＝，
因此，g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
即g(2＋3)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：因为f(x)＝，g(x)＝，大前提
所以g(x＋y)＝，
g(y)＝，f(y)＝，小前提及结论
所以f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝×＋×
＝＝g(x＋y)．
2.2.1 综合法与分析法
学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．
知识点一 直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．常用的直接证明方法有综合法与分析法．
知识点二 综合法
阅读下列证明过程，已知实数x，y满足x＋y＝1，求证：2x＋2y≥2.
证明：因为x＋y＝1，所以2x＋2y≥2＝2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立．
故2x＋2y≥2成立．
思考 该题的证明顺序是什么？
答案 从已知利用基本不等式到待证结论．
梳理 综合法
(1)定义：综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．
(2)逻辑关系：P0(已知)?P1?P2?…?Pn?Q(结论)．
(3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．
知识点三 分析法
思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b>0，求证≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件．
梳理 分析法
(1)定义：分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．
(2)逻辑关系：B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知)．
(3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．
(4)证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立．
1．综合法是执果索因的逆推证法．( × )
2．分析法就是从结论推向已知．( × )
3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( √ )
类型一 综合法的应用
例1 在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明 在△ABC中，A＋B＋C＝π，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，因此，B＝，
由a，b，c成等比数列，得b2＝ac.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c.故△ABC是等边三角形．
反思与感悟 用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论．其适用范围为
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等．
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．
跟踪训练1 已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：＋＋>3.
证明 因为＋＋
＝＋＋＋＋＋－3，
又a，b，c为不全相等的正实数，
而＋≥2，＋≥2，＋≥2，
且上述三式等号不能同时成立，
所以＋＋＋＋＋－3>6－3＝3，
即＋＋>3.
类型二 分析法的应用
例2 设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明 当a＋b≤0时，因为≥0，
所以≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
由于a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
所以≥(a＋b)．
综上，对任意实数a，b，≥(a＋b)．
反思与感悟 (1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误．
(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．
跟踪训练2 求证：－<－(a≥3)．
证明 要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－3＋2<2a－3＋2，
只需证<，
只需证0<2，而0<2显然成立，
所以－<－(a≥3)．
类型三 综合法与分析法的综合应用
例3 已知a，b，c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx证明 要证logx＋logx＋logx只需证logx由已知0abc.
由公式知≥>0，≥>0，≥>0.
因为a，b，c不全相等，上面三式相乘，得
··>＝abc，
即··>abc成立．
所以logx＋logx＋logx引申探究
若本例条件不变，改为求证：(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)(a＋b>0)．
证明 要证(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)成立，
只需证2(a＋b)≥(a2＋1)＋(b2＋1)，
只需证(a＋b)2≥(a2＋1)(b2＋1)(a＋b>0)．
由于函数y＝x在(0，＋∞)内是减函数，
所以只需证(a＋b)2≤(a2＋1)(b2＋1)，
即证a2＋2ab＋b2≤a2b2＋a2＋b2＋1，
即证a2b2－2ab＋1≥0，
即证(ab－1)2≥0，
上式显然成立，所以原不等式成立．
反思与感悟 综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长．也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述．因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
跟踪训练3 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.
证明 由已知条件得
b2＝ac，①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.②
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证.
1．若a>b>0，则下列不等式中不正确的是( )
A．a2>ab B．ab>b2
C.> D．a2>b2
答案 C
解析 若a>b>0，则<.
2．要证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
考点 分析法及应用
题点 寻找结论成立的充分条件
答案 C
解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，
只需证＋<＋，
即证(＋)2<(＋)2.
3．设0A．c B．b
C．a D．随x取值不同而不同
答案 A
解析 ∵02>＝a，
∵－(x＋1)＝＝>0，∴c>b>a.
4．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案 分析法
5．已知＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．
证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－，
∵＝1，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1.
∴tan α＝－显然成立，∴结论得证．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式xy>1，x＋y≥0，则( )
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0
C．x>0，y<0 D．x<0，y>0
答案 A
解析 ?
2．在非等边三角形ABC中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是( )
A．b2＋c2≥a2 B．b2＋c2>a2
C．b2＋c2≤a2 D．b2＋c2答案 D
解析 由余弦定理的推论，得cos A＝，
∵A为钝角，∴cos A<0，
则b2＋c23．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
考点 分析法及应用
题点 利用分析法解决不等式问题
答案 D
解析 a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.
4．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.答案 B
解析 因为a≠b，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab>4ab，ab<1.又＝＋>＋＝＝1，故B正确．
5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a索的因应是( )
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
答案 C
解析 要证<a，
只需证b2－ac<3a2，
只需证b2－ac－3a2<0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，
∴只需证(a＋c)2－ac－3a2<0，即(a－c)(2a＋c)>0，
即证(a－c)(a－b)>0.
6．若A，B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由正弦定理知＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，又A，B为三角形的内角，∴sin A>0，sin B>0，∴sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负 B．恒等于零
C．恒为正 D．无法确定正负
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 A
解析 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的减函数．
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，
所以f(x1)所以f(x1)＋f(x2)<0.
二、填空题
8．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程为“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决函数问题
答案 综合法
9．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是________．
答案 a>b>c
解析 ∵a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.
10.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC(因为____________)，只需证____________，只需证AE⊥BC(因为____________)，只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA(因为______________)．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．
答案 EF⊥SC AE⊥平面SBC AE⊥SB AB⊥BC
解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．
11．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为ln(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案 ≤
解析 ∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝2－(a＋b)≤0，
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
则lg(1＋)2≤lg(1＋a)(1＋b)，
即lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
三、解答题
12．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：＋ >＋.
证明 方法一 (综合法)
＋－－＝
＝＝>0，
故＋ >＋.
方法二 (分析法)
要证＋>＋，
只需证＋＋2>a＋b＋2，
即证a3＋b3>a2b＋ab2，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
即需证a2－ab＋b2>ab，
只需证(a－b)2>0，因为a≠b，所以(a－b)2>0恒成立，
所以＋ >＋成立．
13．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.
证明 ∵左边＝＋
＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A)
＝(a＋c)＋
＝(a＋c)＋b≥＋＝b＋＝b＝右边，
∴acos2＋ccos2≥b.
四、探究与拓展
14．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)
答案 对角线互相垂直(答案不唯一)
解析 要证A1C⊥B1D1，
只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，
因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，
故只需证B1D1⊥A1C1即可．
15．某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①＋<2；②＋<2；③＋<2.
(1)已知∈(1.41,1.42)，∈(1.73,1.74)，∈(2.23，2.24)，请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性(注意不能近似计算)；
(2)请将此规律推广至一般情形，并证明之．
考点 分析法及其应用
题点 分析法解决不等式问题
解 (1)验证①式成立：∵<1.74，∴＋<2.74，
∵>1.41，∴2>2.82，∴＋<2.
(2)一般结论为：若n∈N＋，则＋<2.
证明如下：
要证＋<2，
只需证(＋)2<(2)2，
即证2n＋2＋2<4n＋4，
也就是证只需证n(n＋2)即证0<1，显然成立，
故＋<2(n∈N＋)．
2.2.2 反证法
学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
知识点 反证法
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想？
答案 运用了反证法思想．
思考2 反证法解题的实质是什么？
答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
梳理 (1)反证法的概念
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
(2)反证法常见的几种矛盾
①与假设矛盾．
②与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾．
③与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．
(3)反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
1．反证法属于间接证明问题的方法．( √ )
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( × )
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( √ )
类型一 用反证法证明否定性命题
例1 已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列．求证：，，不成等差数列．
证明 假设，，成等差数列，则2＝＋，
∴4b＝a＋c＋2.①
∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac，②
由②得b＝，代入①式，
得a＋c－2＝(－)2＝0，
∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立．
故，，不成等差数列．
反思与感悟 对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．
跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数．
证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾．
∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数．
类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题
例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.
所以≥>1.
同理，≥>1，
≥>1.
三式相加，得＋＋>3，
即3>3，矛盾．
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
反思与感悟 (1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思．
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n－1个
至少有n＋1个
跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．
证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，
所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．
类型三 用反证法证明唯一性命题
例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根．
证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则＝3,＝3，两式相除得＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．
∴假设不成立，从而原命题得证．
反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．
跟踪训练3 求证：两条相交直线有且只有一个交点．
证明 设两直线为a，b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点．
(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；
(2)若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点．
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
答案 B
3．“aA．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
答案 D
4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交
答案 D
5．已知f(x)＝x2＋px＋q.
(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
证明 (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于不成立，
则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.
因为|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，
所以假设不成立，原命题成立，
所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不少于.
用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.
一、选择题
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
其中正确的为( )
A．①②③④ B．①③
C．①③④ D．①②
答案 A
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
答案 D
解析 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1，以下结论正确的是( )
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
答案 D
解析 (1)的假设应为p＋q>2，(2)的假设正确．
4．有下列叙述：
①“x＝y”的反面是“x>y或xA．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
解析 ①对；②错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；③错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
5．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( )
A．0 B. C. D．1
答案 B
解析 假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，故与已知a＋b＋c＝1相矛盾．故选B.
6．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
答案 C
解析 假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则＋＋<6.
又＋＋
＝＋＋≥2＋2＋2＝6，
这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
二、填空题
7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________________．
答案 x＝a或x＝b
8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
答案 ③①②
9．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．
根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________．
答案 甲
解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．
假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．
∴可以判断偷珠宝的人是甲．
10．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①
因为7个奇数之和为奇数，故有
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．②
而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③
②与③矛盾，故p为偶数．
答案 ①a1－1，a2－2，…，a7－7 ②奇数 ③0
解析 由假设p为奇数可知，(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾．
11．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．
答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2
＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.
Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，
∴－2若两个方程至少有一个方程有实根，
则a≤－2或a≥－1.
三、解答题
12．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个是大于0的．
证明 假设a，b，c都不大于0，
则a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝＋＋＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，
∴假设不成立，
故a，b，c中至少有一个是大于0的．
13．已知f(x)＝ax＋(a>1)，求证：方程f(x)＝0没有负数根．
证明 假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0<0且x0≠－1，且ax0＝－，
∴0解得故方程f(x)＝0没有负数根．
四、探究与拓展
14．若a，b，c，d都是有理数，，都是无理数，且a＋＝b＋，则a与b，c与d之间的数量关系为_______________________________________________________________．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
答案 a＝b，c＝d
解析 假设a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理数)，
于是b＋m＋＝b＋，
所以m＋＝，两边平方整理得＝.
左边是无理数，右边是有理数，矛盾，
因此a＝b，从而c＝d.
15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解 设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明 由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N＋，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
第二章 推理与证明
章末复习
学习目标 1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题．
1．合情推理
(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理．
②小前提——所研究的特殊情况．
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
3．直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法．
①综合法是从已知条件推出结论的证明方法．
②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．
(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．
1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × )
4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )
类型一 合情推理的应用
例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________．
答案 f(n)＝n3
解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，
13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明．
解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.
下面对①的猜想进行证明．
如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面．
设AB＝a，AC＝b，AD＝c，
则在Rt△ABC中，BC＝＝，SRt△ABC＝ab.
同理，CD＝，SRt△ACD＝bc.
BD＝，SRt△ABD＝ac.
∴S△BCD＝.
经检验，S＋S＋S＝S.
即所证猜想为真命题．
反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．
跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．
通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．
考点 归纳推理的应用
题点 归纳推理在图形中的应用
答案 13 3n＋1
解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.
通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N＋)，
所以an＝3n＋1.
类型二 综合法与分析法
例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤.
考点 分析法和综合法的综合应用
题点 分析法和综合法的综合应用
证明 分析法
要证2sin 2α≤成立，
只需证4sin αcos α≤，
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
只需证4cos α≤，
∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立．
综合法
∵＋4(1－cos α)≥4，
当且仅当cos α＝，即α＝时取等号，
∴4cos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0，
∴4sin αcos α≤，
∴2sin 2α≤.
反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
跟踪训练2 设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明．
证明 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥4.
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，
所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
(分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，
要证＋＋≥8，
只需证＋≥8，
只需证＋≥8，
即证＋≥4.
也就是证＋≥4.
即证＋≥2，
由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2恒成立，所以原不等式成立．
类型三 反证法
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
(1)解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝(n∈N＋)．
(2)证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)
又因为p所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．
所以假设不成立，原命题得证．
反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．
跟踪训练3 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立．
证明 假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
故<2与<2中至少有一个成立.
1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
答案 B
解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列．
根据已知可以推断：
第n(n∈N＋)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.
故选B.
2．在平面直角坐标系中，方程＋＝1(ab≠0)表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( )
A.＋＋＝1 B.＋＋＝1
C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
答案 A
解析 ∵在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.故选A.
3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案 A
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.
4．若a>0，b>0，则有( )
A.>2b－a B.<2b－a
C.≥2b－a D.≤2b－a
考点 综合法及应用
题点 利用综合法解决不等式问题
答案 C
解析 因为－(2b－a)＝＝≥0，所以≥2b－a.
5．已知等差数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________．
考点
题点
答案 S4＝56
解析 显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，
则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，
但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，
故S4算错了，S4应为56.
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
一、选择题
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③
C．①②④ D．②④
答案 C
解析 ①是类比推理；②是归纳推理；④是归纳推理．所以①②④是合情推理．
2．在等差数列{an}中，若an<0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是( )
A．b4＋b8>b5＋b7 B．b5＋b7>b4＋b8
C．b4＋b7>b5＋b8 D．b4＋b5>b7＋b8
答案 A
3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)．
试求第n个正方形数是( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
答案 C
解析 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
4．当n＝1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想( )
A．n≥1时，2n>n2 B．n≥3时，2n>n2
C．n≥4时，2n>n2 D．n≥5时，2n>n2
考点 归纳推理
题点 归纳推理在数对(组)中的应用
答案 D
解析 当n＝1时，2n>n2；当n＝2时，2n＝n2；
当n＝3时，2n当n＝5时，2n>n2；当n＝6时，2n>n2.
故猜想当n≥5时，2n>n2.
5．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案 B
解析 利用三段论分析：
大前提：矩形都是对角线相等的四边形；
小前提：四边形ABCD是矩形；
结论：四边形ABCD的对角线相等．
6．定义运算：x?y＝例如3?4＝4，则下列等式不成立的是( )
A．x?y＝y?x
B．(x?y)?z＝x?(y?z)
C．(x?y)2＝x2?y2
D．c·(x?y)＝(c·y)?(c·x)(c>0)
考点 合情推理的综合应用
题点 合情推理在函数中的应用
答案 C
解析 由定义可知：“?”是求两个数中的较大者，所以A，B，D均是恒成立的．
7．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
考点 演绎推理的综合应用
题点 演绎推理在其他方面的应用
答案 B
解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．
若a>63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意；
若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；
若a≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意．
综上可知，5号进入30秒跳绳决赛．
二、填空题
8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f?.若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
答案
解析 sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝3sin ＝.
9．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
考点 类比推理
题点 类比推理在图形中的应用
答案 ＝
解析 CE平分∠ACB，而面CDE平分二面角A—CD—B.
∴可类比成，
故结论为＝.
10．已知f(x)＝，定义f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N＋.经计算f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝，…，照此规律，fn(x)＝________.
答案
解析 观察各个式子，发现分母都是ex，分子依次是－(x－1)，(x－2)，－(x－3)，故fn(x)＝.
三、解答题
11．已知a＞0，b＞0，－＞1.求证：＞ .
证明 要证＞成立，
只需证1＋a＞，
只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，
∴a－b＞ab，只需证＞1(a＞0，b>0)，
即证－＞1.又－＞1成立，
∴＞成立．
12．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．
考点 反证法及应用
题点 反证法的应用
证明 假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．
于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，
即x2＋y2＋xy＝0，
即2＋y2＝0.
由y≠0，得y2＞0.
又2≥0，
所以2＋y2＞0.
与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．
13．已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－考点 分析法及应用
题点 分析法解决不等式问题
证明 要证c－只需证－即证|a－c|<，
只需证(a－c)2<()2，
只需证a2－2ac＋c2即证2ac>a2＋ab，因为a>0，所以只需证2c>a＋b.
因为2c>a＋b已知，所以原不等式成立．
四、探究与拓展
14．设S，V分别表示表面积和体积，如△ABC的面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示，对于命题：如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形时，应该有：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有________________________．
考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比
答案 VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0
15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
