课件25张PPT。第二章 平面解析几何初步本章概览
一、地位作用
解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科,它把数学的两个基本对象——形与数有机地联系起来,一方面,几何概念可用代数表示,几何目标可通过代数方法达到;另一方面,又可给代数语言以几何的解释,使代数语言更直观、更形象地表达出来,这对人们发现新结论具有重要的意义,近代数学的发展,在很大程度上应该归功于解析几何.
本章在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互关系,体会数形结合思想,初步培养用代数方程解决几何问题的能力,为以后选修圆锥曲线打下基础.二、内容要求
1.直线与方程
(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
(3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
(4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.
(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
(6)探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.2.圆与方程
(1)回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
(2)能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想.
4.空间直角坐标系
(1)通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
(2)通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.三、核心素养
在平面解析几何初步的学习中,应经历如下过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题,处理代数问题.分析代数结果的几何意义,最终解决几何问题,这种思想应贯穿始终,不断体会“数形结合”的思想方法,并能够灵活应用.2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.在数轴上,点P与实数x的对应法则是:如果点P在原点朝正向的一侧,则x为正数,且等于点P到原点的距离;若点P在原点朝负向的一侧,则x为负数;其绝对值等于点P到原点的距离,原点表示数0,于是在实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系.如果点P与实数x对应,则称点P的坐标为x,记作P(x).
2.如果数轴上的任一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B.则说点在轴上作了一次 ,点不动则说点作了 .位移是一个 .
,通常叫做 ,简称 .位移零位移既有大小又有方向的量位移向量向量4. 叫做相等的向量.
5.在数轴上,一个向量的长度连同表示向量不同方向的正负号叫做向量的
或 .终点起点数轴上同向且等长的向量坐标数量线段AB的长度正负向量的长度AC=AB+BCx2-x1 |x2-x1| 自我检测1.下列说法正确的是( )
(A)点M(x)位于点N(2x)的左侧
(B)数轴上等长的向量是相等的向量
(C)向量 在数轴上的坐标AB=-BA
(D)有方向的直线是数轴C解析:对于A,x不知道为正、为负还是为零,故错误;对B,等长且同向的向量为相等向量,故B错;对D,给出原点,度量单位及正方向的直线是数轴,D错,C正确,故选C.2.若A,B,C,D是直线坐标系上四点,BA=6,BC=-2,CD=6,则AD等于( )
(A)0 (B)-2 (C)10 (D)-10B解析:AD=AB+BC+CD=-BA+BC+CD=-6-2+6=-2.故选B.3.对于数轴上任意三点A,B,O,下列各式不恒成立的是( )
(A)AB=OB-OA (B)AO+OB+BA=0
(C)AB=AO+OB (D)AB+AO+BO=0解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA;
B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0;
C正确,因为AO+OB=AB;
D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.D4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是 .?解析:设B点的坐标为x,
则|x-1|=5,所以x=6或-4.答案:6或-4类型一数轴上的点的坐标课堂探究·素养提升【例1】 (1)如果点P(x)位于点M(-2),N(3)之间,求x的取值范围;解:(1)由题意可得,点M(-2)位于点N(3)的左侧,而P点位于两点之间,应满足-2
(1)A(-1.5),B(-3);(2)A(a),B(a2+1);(3)A(|x|),B(x).解:(1)因为-1.5>-3,所以A(-1.5)位于B(-3)的右侧.(3)当x≥0时,|x|=x,
则A(|x|)和B(x)为同一个点.
当x<0时,|x|>x,则A(|x|)位于B(x)的右侧.类型二 数轴上的基本公式的应用【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b;
BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b;
d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点:
(1)若AB=5,CB=3,求AC;
(2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;解:(1)AC=AB+BC=AB-CB=5-3=2;
(2)AC=AB+BC=2+1=3,设C点坐标为xC,则有
AC=xC-(-2)=xC+2,
所以xC+2=3,xC=1,所以C点坐标为1.类型三 含|x-a|代数式的求解【例3】 根据下列条件,在数轴上分别画出点P(x),并解释其几何意义.
(1)d(x,2)<1;(2)|x-2|>1;(3)|x-2|=1.思路点拨:依据数轴上两点间的距离公式首先判定不等式或方程表示的点集,然后在数轴上表示出来.
解:如图
(1)d(x,2)<1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合.所以d(x,2)<1表示线段BC(不包括端点);
(2)|x-2|>1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合,所以|x-2|>1表示射线BO和射线CD(不包括端点);
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点C(3).变式训练3-1:在数轴上,运用两点距离的概念和计算公式,解下列方程:
(1)|x+3|+|x-1|=6;解:(1)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,
而A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4,
又因为|x+3|+|x-1|=6,所以x=-4或x=2.
所以方程的解为x=-4或x=2.(2)|x+3|+|x-1|=4;
(3)|x+3|+|x-1|=3.解:(2)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,而 A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4,
又因为|x+3|+|x-1|=4,所以-3≤x≤1,
所以方程的解集为{x|-3≤x≤1}.
(3)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,而A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4,
所以|x+3|+|x-1|≥4,
又因为|x+3|+|x-1|=3,所以方程无解.类型四 易错辨析【例4】 已知M、N、P是数轴上三点,若|MN|=5,|NP|=3,求|MP|.错解:|MP|=|MN+NP|=|MN|+|NP|=5+3=8.
纠错:错因在于,误认为点P一定在M,N两点之外,忽视了点P也可以在M,N两点之间.
正解:当点P在M,N之间时,
有|MP|=|MN|-|NP|=5-3=2;
当点P在M,N两点之外时,
有|MP|=|MN|+|NP|=5+3=8.
综上所述,|MP|=2或|MP|=8.谢谢观赏！课件22张PPT。2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.两点的距离公式
已知在平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2),则有d(A,B)=
|AB|= .
2.中点公式
已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),设点M(x,y)是线段AB
的中点,则有x= ,y= .【拓展延伸】
坐标法
在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.
(1)坐标法解决问题的基本步骤如下:
第一步,根据题中条件,建立适当的坐标系,用坐标表示有关的点;
第二步,进行有关的代数运算;
第三步,把代数运算结果翻译成几何语言.(2)建立直角坐标系的一般原则:
①若图中有互相垂直的线段,可选它们所在直线为坐标轴;
②若图形是轴对称图形,则选对称轴为坐标轴;
③若图形是中心对称图形,则选对称中心为原点;
④让图形中尽可能多的点在坐标轴上.
利用坐标法解题的关键是建立适当的直角坐标系.自我检测BD解析:设P点坐标为P(x,0),由题意知:|OP|=|AP|
即x2=(x-5)2+(0+3)2,得x=3.4,故选D.3.已知线段AB的中点在坐标原点,且A(x,2),B(3,y),则x+y等于( )
(A)5 (B)-1
(C)1 (D)-5D4.设点P在x轴上,点Q在y轴上,线段PQ的中点是M(-1,2),则d(P,Q)= .?类型一两点的距离公式课堂探究·素养提升变式训练1-1:已知三点A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC的形状是( )
(A)直角三角形 (B)等边三角形
(C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形类型二 中点公式【例2】 已知?ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标. 方法技巧 平行四边形等一些平面图形中与中点有关的图形,可通过分析图形的特点,利用中点公式求解,即一条线段两个端点及中点,已知两点坐标,可确定第三个点坐标.变式训练2-1:一个平行四边形的三个顶点分别为A(-3,0), B(2,-2), C(5,2),求第四个顶点D的坐标.类型三 坐标法的应用【例3】 △ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:|AE|= |CD|.方法技巧 对于平面几何的有关证明问题,如线段成比例、中点等等,把几何图形放到坐标系中,利用距离公式证明比较简捷.类型四 两点间距离公式的综合应用变式训练4-1:已知A(-8,-6),B(-3,-1),C(5,7),求证:A,B,C三点共线.谢谢观赏！课件22张PPT。2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条 .这条直线叫做这个 .直线的方程方程的直线不存在3.直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义:在直角坐标系中,x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角;
(2)倾斜角与斜率关系.
①k=0时,直线平行于x轴或与x轴重合,此时直线的倾斜角为 ;
②k>0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着 ;
③k<0时,直线的倾斜角为 ,此时,k值增大,直线的倾斜角也随着 .
④垂直于x轴的直线的倾斜角等于 ,此时直线的斜率 .0° 增大增大90° 不存在锐角钝角【拓展延伸】
直线的斜率与倾斜角之间的关系
1.直线倾斜角的特征
(1)倾斜角是一个几何概念,它直观反映了直线的倾斜程度,倾斜程度相同的直线倾斜角相等,倾斜程度不同的直线倾斜角不相等.倾斜角的取值范围是[0°,180°).
(2)四种特殊倾斜角(α)对应的直线
①α=0°时,直线与y轴垂直.
②α=90°时,直线与x轴垂直.
③α=45°时,直线与一、三象限角平分线重合或平行.
④α=135°时,直线与二、四象限角平分线重合或平行.2.直线斜率的特征
斜率是实数,它定量地反映了直线相对于x轴的倾斜程度.它的表示形式是由直线上不重合的两点的坐标体现的.
3.直线的倾斜角α与斜率k之间的关系
斜率和倾斜角的关系是“数与形”的关系,斜率是个实数,倾斜角则是一个角;每条直线都有唯一的倾斜角与之对应,但并不是每条直线都有斜率.
(1)对应关系
①当α=90°时,直线不存在斜率;
②当α≠90°时,k与α是一一对应关系.
(2)变化情况
①当0°≤α<90°时,随α的增大,斜率k在[0,+∞)范围内增大;
②当90°<α<180°时,随α的增大,斜率k在(-∞,0)范围内增大.自我检测1.对于下列命题:
①若θ是直线l的倾斜角,则0°≤θ<180°;
②若k是直线的斜率,则k∈R;
③任一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率;
④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4C解析:①②③正确,④错误,因为当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,故选C.B3.若m>0,斜率为m的直线上有两点P(m,3),Q(1,m),则此直线的倾斜角为 .?答案:60°类型一 直线方程的概念课堂探究·素养提升【例1】 已知直线l的方程为y=- x-2.
(1)在平面直角坐标系内,画出直线l的图象;解:(1)令x=0得y=-2,令y=0得x=-3.
故取A(-3,0),B(0,-2)两点.
则过A,B两点的直线即为l.
作图如图所示:解:(2)把y=-x-2化为2x+3y+6=0,
将x=2,y=1代入方程得2×2+3×1+6=13≠0
所以点(2,1)不在直线l上,
将x=3,y=-4代入方程得:2×3+3×(-4)+6=0,
所以(3,-4)适合直线l的方程,
所以点(3,-4)在直线l上.(2)判断点(2,1),点(3,-4)是否在直线l上;解:(3)虽然以方程2x+3y+6=0(x∈Z)的解为坐标的点都在直线l上,但直线l上点的坐标并非都适合方程,即不一定是方程的解,如点(-1.5,-1)是直线l上的点,但却不是2x+3y+6=0(x∈Z)的解.
所以方程2x+3y+6=0(x∈Z)不是直线l的方程.方法技巧 (1)直线的方程,或方程的直线,需满足两点:
①以方程的解为坐标的点在直线上;
②直线上点的坐标都满足方程;
(2)方程的直线与直线的方程是并存的两个概念,只要方程是直线的方程,则直线就是方程的直线.变式训练1-1:下列命题中,正确命题的个数为( )
①任意一条直线一定是某个一次函数的图象;
②函数y=kx+b(x≥0)的图象是一条直线;
③以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某条直线上,则这个方程叫做这条直线的方程;
④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解,则这条直线叫做这个方程的直线.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①不正确,如y=1的图象是一条直线,但不是一次函数;②不正确,它表示一条射线;③④只是反映了一个方面.故①②③④均不正确.故选A.类型二 直线的斜率【例2】如图所示,直线l1,l2,l3,l4都经过点P(3,2),又l1,l2,l3,l4分别经
过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2), Q4(3,0),试计算直线l1,l2,l3,l4的
斜率.变式训练2-1:设点A(m,-m-3),B(2,m-1),C(-1,4),且直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求实数m的值.类型三 直线的倾斜角与斜率的关系【例3】 已知经过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,求实数a的取值范围.变式训练3-1:求经过两点M(-1,2),N(m,3)(m∈R)的直线的斜率并讨论m为何值时,倾斜角为锐角、钝角和直角.(2)当m=-1时,直线的斜率不存在,直线的倾斜角为直角.类型四 易错辨析【例4】 已知A(-2,-3),B(3,0),直线l过点P(-1,2)且与线段AB有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是 .?纠错:本题的k要在正值区域和负值区域内分别分析,不应简单地将斜率组合在一起.谢谢观赏！课件24张PPT。2.2.2 直线方程的几种形式目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.点斜式方程
过点P(x0,y0),斜率为k的直线方程为 ,而过点P(x0,y0),斜率不存在的直线方程为 .
2.斜截式方程
直线过点(0,b)且斜率为k,则直线的方程为 ,其中b叫做直线y=kx+b在 ,简称为 .
3.两点式方程
经过两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为 .
,这种形式的方程叫直线的两点式方程.y-y0=k(x-x0)x=x0y=kx+by轴上的截距直线的截距(x1≠x2,y1≠y2)4.一般式方程
(1)所有直线的方程都是关于x,y的 ,关于x,y的二元一次方程都表示 .
(2)把方程 叫做直线的一般式方程.二元一次方程一条直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)【拓展延伸】
直线方程的一般式
(1)已知两个独立的条件,一般都可套用直线方程的几种特殊形式,直接写出方程,然后化为一般式;(3)直线方程的一般式,可以转化为几种特殊形式,从而可以确定直线的斜率和在两坐标轴上的截距,同样,直线方程的其他几种形式也可以转化为一般式,一般要求解题的最后结果要化为一般式方程,且使x项的系数为正.1.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)( )
(A)可表示任何一条过(x0,y0)的直线
(B)不能表示过原点的直线
(C)不能表示与x轴垂直的直线
(D)不能表示与y轴垂直的直线C自我检测解析:直线的点斜式方程不能表示与x轴垂直的直线,因为它们的斜率不 存在.B解析:对于y=kx+b,若为斜截式,则k∈R;若是一次函数解析式,则k≠0,故选B.B 4.若ac>0,bc<0,则直线ax+by+c=0不通过( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限D类型一直线的点斜式方程和斜截式方程课堂探究·素养提升(2)过点(2,1)且与x轴平行;
(3)过点(-7,2)且与x轴垂直.解:(2)由于直线斜率为0,
所以直线方程为y=1.
(3)由于直线斜率不存在,所以直线方程为x=-7.方法技巧 由点斜式写直线方程时,由于过P(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:(1)斜率存在时方程为y-y0=k(x-x0);(2)斜率不存在时,直线方程为x=x0.类型二 直线的两点式和截距式方程【例2】如图,在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标;解:(1)设M(0,a),N(b,0),C(m,n),因为A(5,-2),B(7,3),
又M是AC的中点,所以5+m=0,m=-5,
N是BC的中点,所以3+n=0,n=-3,
所以C点坐标为(-5,-3).(2)求AB边上的中线所在直线方程.方法技巧 已知直线上两点坐标,可采用两种方法求直线方程:(1)利用两点式,但要注意其限制条件;(2)利用点斜式.变式训练2-1:(2017·陕西榆林一中高一月考)过点(5,2),且在y轴上的截 距是在x轴上截距2倍的直线方程是( )
(A)2x+y-12=0
(B)2x+y-12=0或2x-5y=0
(C)x-2y-1=0
(D)x-2y-1=0或2x-5y=0类型三 直线方程几种形式的应用【例3】 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.变式训练3-1:已知直线l过点P(-5,-4)且与两坐极轴围成的三角形面积为5,求直线l的方程.谢谢观赏！课件29张PPT。2.2.3 两条直线的位置关系
第一课时 两条直线相交、平行与重合的 条件目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.已知两直线l1,l2的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0
(1)l1与l2相交? 或 ;
(2)l1与l2平行?
(3)l1与l2重合?A1B2-A2B1≠02.已知:直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则有:
l1∥l2? ;
l1与l2重合? .k1=k2,且b1≠b2k1=k2且b1=b2【拓展延伸】
常用的直线系方程
具有某一共同特征的直线的集合叫做直线系,能表示直线系中所有直线的公共方程叫做直线系方程.
常用的直线系方程:
1.过定点(x0,y0)的直线系方程
y-y0=k(x-x0)是过定点(x0,y0)的直线系方程,但不含直线x=x0;A(x-x0)+B(y-y0)=0是过定点(x0,y0)的一切直线方程.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+D=0(D≠C).
与y=kx+b平行的直线系方程为y=kx+m(m≠b).3.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+ C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含l2;一般形式是m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0),是过l1与l2交点的所有直线方程.1.过两点M(3,1)与N(-2,0)的直线与直线l:y=5x+1( )
(A)平行 (B)相交
(C)重合 (D)无法判断B自我检测B2.下列直线中与直线x-y-1=0平行的是( )
(A)x+y-1=0
(B)x-y+1=0
(C)ax-ay-a=0
(D)x-y+1=0或ax-ay-a=0B解析:因为两直线平行,
所以设直线l的方程为2x+y+D=0
又因为直线l过原点,所以2×0+0+D=0,D=0
所以所求直线方程为2x+y=0.3.直线l与直线2x+y+1=0平行,且经过原点,则直线l的方程为( )
(A)y=2x (B)y=-2x
(C)x+2y=0 (D)x-2y=04.已知直线mx+2y-1=0与直线x+(m-1)y+2=0平行,则m的值等于 .?解析:由于两直线平行,所以有m(m-1)-2×1=0且2×2+(m-1)≠0.所以m=2或-1.
答案:2或-1类型一两条直线平行、相交、重合的判定课堂探究·素养提升【例1】 已知直线l1:ax-y+a+2=0,l2:ax+(a2-2)y+1=0.问当a为何值时,直线l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.方法技巧 利用两直线相交,平行,重合的条件进行判断时要根据题目合理选择方法,要特别注意系数为0和不为0,直线的斜率存在和不存在的情况,可进行分类讨论.变式训练1-1:已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,问当m为何值时,直线l1与l2平行.类型二 两直线平行关系的应用【例2】 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.方法技巧 求过定点且与已知直线平行的直线方程时,通常采用以下方法:
(1)若已知直线斜率存在,则根据两直线平行的性质得出所求直线的斜率,再根据直线的点斜式,即可求出所求直线方程;若已知直线的斜率不存在,则所求直线的斜率也不存在,过定点(x0,y0)的直线方程为x=x0.
(2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0,再根据所求直线过定点求得m的值,最后写出所求直线方程.变式训练2-1:分别求符合下列条件的直线方程.
(1)过点P(2,-1)且与直线l:3x-2y-6=0平行,类型三 直线位置关系的综合应用【例3】 当m为何值时,三条直线l1:4x+y-3=0与l2:x+y=0,l3:2x-3my-4=0能围成一个三角形?方法技巧 两条及两条以上直线位置关系的问题,要结合图形的各种可能情形,利用数形结合列式求解.变式训练3-1:已知三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点,求k值.类型四 易错辨析【例4】 已知两直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+(a+4)y+2=0,若l1∥l2,求a的值.纠错:本题忽略了两直线重合这一情况.谢谢观赏！课件31张PPT。第二课时 两条直线垂直的条件目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.已知两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线垂直的条件是: ,反之若满足A1A2+B1B2=0,则 .
2.已知两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则两条直线垂直的条件是:
,反之若两条直线都存在斜率,分别为k1,k2,且k1k2=-1,则两直线 .
3.若两条直线,一条斜率存在且为0,另一条斜率 ,则两直线互相垂直.A1A2+B1B2=0两条直线垂直k1k2=-1互相垂直不存在【拓展延伸】
对称问题
1.点关于点的对称点
点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0),可利用中点坐标公式求解.
2.点关于直线的对称点
(1)设P(x0,y0),l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),若P关于l的对称点Q的坐标为(x,y),则l是PQ的垂直平分线,即①PQ⊥l;②PQ的中点在l上,解方程组
可得Q点的坐标.(2)点A(x,y)关于直线x+y+c=0的对称点A′的坐标为(-y-c,-x-c),关于直线x-y+c=0的对称点A″的坐标为(y-c,x+c).曲线f(x,y)=0关于直线x+y+ c=0的对称曲线为f(-y-c,-x-c)=0,关于直线x-y+c=0的对称曲线为f(y-c, x+c)=0.
以上方法可在快速解填空题、选择题时运用,应加以理解并记忆.
常见的结论有:
①A(a,b)关于x轴的对称点为A′(a,-b);
②B(a,b)关于y轴的对称点为B′(-a,b);
③C(a,b)关于直线y=x的对称点为C′(b,a);
④D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D′(-b,-a);
⑤P(a,b)关于直线x=m的对称点为P′(2m-a,b);
⑥Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q′(a,2n-b).3.直线关于点的对称直线
方法一:利用中点坐标公式可求得点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点P′(2a-x0,2b-y0).求一条直线关于点A(a,b)的对称直线的方程时可在该直线上取某两个特殊点,再求它们关于点A的对称点的坐标,然后利用两点式求其对称直线的方程.
方法二:直线l的方程Ax+By+C=0关于点(a,b)对称的直线方程为A(2a-x)+ B(2b-y)+C=0,即Ax+By-C-(2aA+2bB)=0.4.直线关于直线的对称直线
常见的对称结论有:设直线l:Ax+By+C=0,
①l关于x轴对称的直线方程是:Ax+B(-y)+C=0;
②l关于y轴对称的直线方程是:A(-x)+By+C=0;
③l关于原点对称的直线方程是:A(-x)+B(-y)+C=0;
④l关于直线y=x对称的直线方程是:Bx+Ay+C=0;
⑤l关于直线y=-x对称的直线方程是:B(-x)+A(-y)+C=0.自我检测1.在平面直角坐标系中,直线l1:x-ay+1=0和直线l2:ax+y+10=0的位置关系是( )
(A)平行 (B)重合 (C)垂直 (D)无法判断C解析:易知两条直线满足条件:1×a+(-a)×1=0,故两直线l1与l2垂直.CB 4.由三条直线2x-y+2=0,x-3y-3=0和6x+2y+5=0围成的三角形是 三角形.?答案:直角类型一利用垂直关系求参数课堂探究·素养提升【例1】 已知直线l1:ax+3y=3,l2:x+2ay=5,若l1⊥l2求a的值.解:直线l1:ax+3y-3=0,直线l2:x+2ay-5=0,
因为l1⊥l2,所以a×1+3×(2a)=0,即a=0.方法技巧 如果本题用k1k2=-1的方法求解,则要先讨论k1、k2不存在时是否l1⊥l2,否则易漏解.变式训练1-1:直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y= 2互相垂直,求a的值.类型二 利用垂直关系求直线方程【例2】 求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.法三 设过l1与l2交点的直线l的方程为
x-2y+4+λ(x+y-2)=0,
即:(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.※
又l与l3互相垂直,所以(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0,
解得:λ=11,代入※得:4x+3y-6=0.方法技巧 (1)利用与l垂直的直线方程,设出直线l的方程形式,再利用已知条件确定方程中的参数,可求直线方程.(2)利用两已知直线交点的直线系方程,先设方程再用垂直求出参数.变式训练2-1:已知直线l1:x+y+2=0,直线l2在y轴上的截距为-1,且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标;(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴的截距是在x轴的截距的3倍,求l3的方程.类型三 对称问题【例3】 已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;(2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.解:(3)法一 取l:x+2y-2=0上一点M(2,0),则M关于点A(1,1)的对称点M′,坐标为(0,2),且M′在l关于A(1,1)对称的直线上,
又所求直线与l平行,
所以设所求直线为x+2y+C=0.
又过点M′(0,2),
所以C=-4,
所以所求直线方程为x+2y-4=0.方法技巧 关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直,“平分”是指:两对称点连成线段的中点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.变式训练3-1:已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上各找一点M和N,使△AMN的周长最短,并求出最短周长.类型四 综合应用问题【例4】 已知A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).方法技巧 在平面解析几何中,用代数知识解决几何问题时应首先挖掘几何图形的几何条件,把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.谢谢观赏！课件27张PPT。2.2.4 点到直线的距离目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.点到直线的距离
(1)已知一点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则点P到直线l的距离d的计算公式为:
d= .
(2)若已知点P(x0,y0),直线l:x=a,则点P到直线l的距离d= ;若直线l的方程为y=b,则点P到直线l的距离为d= .|x0-a||y0-b|2.两平行直线间的距离
已知两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离为
d= .【拓展延伸】
1.点到直线的距离
(1)若给出的直线方程不是一般式,要先将其化为一般式,若点P在直线l上,也可应用此公式,此时d=0.
(2)若直线垂直于x轴或垂直于y轴,也可利用此公式或者利用公式d=|x0-a| (l:x=a)和d=|y0-b|(l:y=b).
(3)求点到直线的距离,特别地,点P到x轴的距离d=|y0|,点P到y轴的距离是d=|x0|.
2.两平行线间的距离
(1)使用此公式时,应将两直线方程化为一般式,且x,y的对应系数相同,而非对应成比例,否则要经过变形化为相同,再使用此公式.
(2)求两平行直线间距离也可转化为点到直线的距离,即在其中一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.B自我检测B2.两平行直线l1:3x+4y-2=0与l2:6x+8y-5=0之间的距离为( )
(A)3 (B)0.1
(C)0.5 (D)7B3.点M(1,1)到直线ax+y-2=0的距离为1,则a等于( )
(A)1 (B)0
(C)-1 (D)-1或14.点P(3,1)到直线y=2的距离为 ,到x=2的距离为 .?解析:点P到直线y=2的距离d1=|2-1|=1,到直线x=2的距离d2=|3-2|=1.
答案:1 1类型一 点到直线的距离课堂探究·素养提升【例1】 求点P(3,-2)到下列直线的距离.
(1)y-4= (x-5);(2)y=6;(3)y轴.(2)因为直线y=6平行于x轴,所以d=|6-(-2)|=8.
(3)d=|3-0|=3.方法技巧 利用公式求点到直线的距离时,要注意:①直线方程要化为一般式;②对于特殊直线如垂直于两坐标轴的直线可以通过点的坐标表示,或通过数形结合求解.类型二 两平行线间的距离【例2】 求与直线2x-y-1=0平行,且与直线2x-y-1=0距离为2的直线方程.方法技巧 求两平行直线间的距离有两种思路:
(1)直接利用两平行线间的距离公式,但必须注意两直线方程中的x,y的系数对应相等.
(2)将两平行线间的距离转化或化归为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离来求解.要注意公式中含有绝对值,解方程时不要漏解.类型三 距离公式的综合应用【例3】 已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x+y-3=0上.求直线l的方程.方法技巧 法一利用点到直线的距离公式求中点M;法二利用两平行线间距离公式求中点M;法三利用待定系数法求斜率,但运算较繁.法二利用数形结合,是最佳的解题思路.变式训练3-1:已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P使|PA|=|PB|,且点P到l的距离等于2.谢谢观赏！课件26张PPT。2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.圆的轨迹
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合,定点为 ,定长是圆的 .
2.圆的标准方程
若圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r,则圆的标准方程为 ;特别地,如果圆心在坐标原点,圆的标准方程就是 .圆心半径(x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2=r23.点与圆的位置关系的判定方法
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心为A(a,b),半径为r,若点M(x0, y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2 r2;若点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2 r2;若点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2 r2.反之也成立.=><【拓展延伸】
圆的标准方程
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.其中圆心为(a,b),半径为r.特别地,当a=b=0时,它表示圆心在原点的圆x2+y2=r2.根据圆的标准方程能够直接写出圆心坐标和半径,这一点体现了圆的标准方程的特点.
(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参量a,b,r,只要求出a,b,r就可以求出圆的标准方程,因此确定圆的方程需三个独立条件,通过三个独立条件列出三个方程,从而求出a,b,r.故确定圆的标准方程的主要方法为待定系数法,也可以根据圆的特点直接求出圆心坐标和半径,从而确定圆的标准方程,即利用圆的性质,利用几何法来求解.自我检测1.以原点为圆心,4为半径的圆的方程是( )
(A)x2+y2=4 (B)x2+y2=16
(C)x2+y2=2 (D)(x-4)2+(y-4)2=16B解析:由圆的标准方程得x2+y2=42,
即x2+y2=16,故选B.2.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )
(A)是圆心 (B)在圆C外
(C)在圆C内 (D)在圆C上C解析:由于(3-2)2+(2-3)2=2<4,则点P在圆C内,故选C.3.以(0,0),(2,4)为直径的两个端点的圆的方程是( )
(A)x2+y2=20
(B)(x-2)2+(y-4)2=5
(C)(x-1)2+(y-2)2=20
(D)(x-1)2+(y-2)2=5D4.圆(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y=0对称的圆的标准方程为 .?解析:已知圆的圆心O1为(-3,4),
则O1(-3,4)关于y=-x的对称点为O2(-4,3),
所以所求圆的圆心为O2(-4,3),半径为1.
方程为(x+4)2+(y-3)2=1.
答案:(x+4)2+(y-3)2=1类型一圆的标准方程课堂探究·素养提升【例1】 已知圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上.求此圆的标准 方程.方法技巧 求圆的标准方程的方法一般有两种:
(1)待定系数法(代数法).首先设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,再根据题设条件列出关于a,b,r的方程(组),然后解方程(组)求得a,b,r的值,即可确定圆的标准方程.
(2)几何法,即利用圆的几何性质(如弦的中垂线过圆心)来直接求得圆心坐标及半径.几何法体现了数形结合的思想,思路简洁明了,具有一定的技 巧性.变式训练1-1:已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1⊥l2.
(1)分别求直线l1,l2的方程;(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求△ABC外接圆的方程.类型二 点与圆的位置关系【例2】 已知两点M(3,8)和N(5,2).
(1)求以MN为直径的圆C的方程;(2)试判断P1(2,8),P2(3,2),P3(6,7)是在圆上,在圆内,还是在圆外?方法技巧 法一是求圆的标准方程的常用方法;法二是利用圆上任一点满足的几何特性,这是求任意轨迹方程的方法,更具有一般性.变式训练2-1:已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上,求a的值;
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点,求a的取值范围.类型三 与圆有关的最值【例3】 已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3.
(1)求y-x的最大值和最小值;(2)求x2+y2的最大值和最小值;方法技巧变式训练3-1:已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(0,-1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d=PA2+PB2,求d的最大值及最小值.谢谢观赏！课件27张PPT。2.3.2 圆的一般方程目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,若 ,则它表示一个点;若
,则表示一个圆,圆心为 ,半径为
;若 ,则它不表示任何图形.
2.圆的标准方程明确指出了圆的 和 ,而圆的一般方程表明了方程形式上的特点,要给出圆的一般方程需要确定方程中的三个系数D,E,F.D2+E2-4F=0D2+E2-4F>0D2+E2-4F<0圆心半径(2)圆的一般式方程体现了方程形式上的特点,即x2,y2项的系数相等且不为0,没有xy项,并且应满足条件D2+E2-4F>0.
(3)圆的一般方程中含有三个参数D,E,F,因此要确定圆的方程需要三个独立的条件,常用待定系数法来求解.2.曲线的轨迹方程求法
在平面直角坐标系内,某些动点按一定规律运动,其轨迹方程的求法,可按下列步骤进行:
(1)建立适当的直角坐标系,用有序实数对(x,y)表示动点P的坐标;
(2)写出适合条件的点P的集合M={P|M(P)};
(3)用坐标表示条件M(P),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,一般情况下,化简前后方程的解集是相同的.
步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明.另外根据情况,也可以省略步骤(2)直接列出曲线方程.还要注意区分求轨迹和求轨迹方程,求轨迹是论证说明轨迹是什么曲线,而求轨迹方程是求曲线的方程.自我检测CA3.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有( )
(A)D=E (B)D=F
(C)E=F (D)D=E=FA4.过A(0,0),B(4,0),C(0,6)三点的圆的一般方程是 .?答案:x2+y2-4x-6y=0类型一二元二次方程表示圆的条件课堂探究·素养提升【例1】 下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心和半径.
(1)x2+y2+x+1=0;
(2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0);
(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).(2)原方程可化为(x+a)2+y2=0(a≠0),它表示点(-a,0).方法技巧 判断二元二次方程是否表示圆的常用方法
(1)首先看这个二元二次方程是否符合圆的一般方程的形式,若不具备这种形式则不表示圆,若具备这种形式则再进行判断.
(2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足.若满足,则表示圆;若不满足,则不表示圆.
对于形如Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,在A≠0的条件下先两边除以A化为x2+y2+mx+ny+q=0形式再作判断.变式训练1-1:下列方程能表示圆吗?若能表示圆,求出圆心坐标和半径.
(1)2x2+y2-7x+5=0;
(2)x2-xy+y2+6x+yt=0;
(3)2x2+2y2-4x=0;
(4)x2+y2-2x+6y-8=0.解:(1)不能表示圆,因为方程中x2,y2的系数不相同.
(2)不能表示圆,因为方程中含有xy项.
(3)能表示圆,原方程经过约分、配方后得(x-1)2+y2=1,知此方程表示的圆的圆心为(1,0),半径为1.类型二 圆的一般方程【例2】 已知A(3,5),B(-1,3),C(-3,1)为△ABC的三个顶点,O,M,N分别为边AB,BC,CA的中点,求△OMN的外接圆的方程,并求这个圆的圆心和半径.方法技巧 用待定系数法求圆的方程的方法
(1)若由已知条件很容易确定圆的圆心坐标、半径或题目需要利用圆心坐标、半径列方程,则设出圆的标准方程,再利用待定系数法求出a,b,r的值.
(2)若给出的已知条件和圆心、半径均无直接关系,例如已知圆经过已知三点,则设出圆的一般方程,再利用待定系数法求出D,E,F的值.
(3)若已知条件为圆过不共线的已知三点,也可利用三角形三边垂直平分线的交点,可先求出其中任意两边的垂直平分线方程,其交点就是外接圆圆心,然后再根据性质求半径,最后写出所求圆的方程.类型三 曲线的轨迹问题【例3】 过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A,B两点,求线段AB的中点P的轨迹.方法技巧 求曲线的轨迹可通过求曲线方程的一般步骤求解,也可采用观察动点的运动规律,利用曲线的轨迹定义直接写出方程.变式训练3-1:求点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线段的中点的轨迹方程.类型四 易错辨析【例4】 已知圆的方程是x2+y2+kx+2y+k2=0,且点(1,2)在圆外,求k的取值范围.谢谢观赏！课件33张PPT。2.3.3 直线与圆的位置关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种,分别是直线与圆 、 、 .相离相交相切点击进入 情境导学2.直线和圆位置关系的判断
(1)代数法
将直线Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)联立,得方程组
消去y(或x)得mx2+nx+p=0(或ay2+by+q=0)利用判别式Δ:
当Δ=0时,直线与圆 ;
当Δ>0时,直线与圆 ;
当Δ<0时,直线与圆 .相切相交相离(2)几何法
已知直线Ax+By+C=0和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心到直线的距离d= .
0≤dd=r?直线与圆 ;
d>r?直线与圆 .
3.过圆上一点P(x0,y0)作圆的切线,若圆的方程为x2+y2=r2,则切线方程为
.相交相切相离x0x+y0y=r2(2)若给出的点P(x0,y0)在圆外.则过该点作圆的切线有两条,可通过两种方法求圆的过P(x0,y0)的切线方程.
①几何法:设出切线方程y-y0=k(x-x0)即kx-y-kx0+y0=0,利用圆心到直线的距离等于半径可得k值,从而确定出切线方程.
注意 若k有一个值,说明另一条切线斜率不存在,可直接写出.②代数法:利用P(x0,y0)点设出切线方程y-y0=k(x-x0)代入圆的方程得关于x(或y)的一元二次方程,由Δ=0可求得k值,若k只有一个值,说明另一条切线斜率不存在,可直接写出.原因是在设直线方程时,漏去了斜率不存在的直线.
(3)关于圆的切线方程有以下结论
①经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
②经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b) (y-b)=r2.注意 求弦长时,应用几何法更为简便实用.自我检测A1.直线x+y=1与圆x2+y2-2x=0的位置关系是( )
(A)相交 (B)相切
(C)相离 (D)不确定CC4.设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,则a= .?答案:0类型一直线与圆的位置关系课堂探究·素养提升【例1】 当m为何值时,直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交、相切、相离?方法技巧 利用上述两种方法都可进行判别,但几何法要比代数法更直观更简便,容易理解,凡涉及与圆有关的距离问题都可以转化为圆心到直线的距离来分析研究.变式训练1-1:m为何值时,直线mx-y+2=0与圆x2+y2=1相交.类型二 直线与圆的相切问题【例2】 求过点P(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.解:因为12+(-7)2=50>25.
所以点P在圆外.
法一 设切线的斜率为k,由点斜式得
y+7=k(x-1),即y=k(x-1)-7, ①
将①代入圆的方程x2+y2=25,
得x2+[k(x-1)-7]2=25,
整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0,
Δ=(2k2+14k)2-4(k2+1)·(k2+14k+24)=0.方法技巧 过一点求圆的切线,应首先判定点与圆的位置关系,①若在圆上,则该点即为切点,可利用垂直求斜率,切线只有一条,②若在圆外可根据此点设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径求得斜率,这时切线有两条.变式训练2-1:求过点P(-1,5)且与圆(x-1)2+(y-2)2=4相切的直线方程.(2)当斜率k不存在时,直线方程为x=-1,此时与圆正好相切.
综上,所求圆的切线方程为x=-1或5x+12y-55=0.类型三 直线与圆的相交问题【例3】 直线l经过点P(5,5)且和圆O:x2+y2=25相交截得弦长为4 ,求直线l的方程.方法技巧 此题应从直线的斜率存在和不存在两方面综合考虑,若斜率不存在,可直接写出直线方程x=5,若斜率存在,应设出点斜式方程求解,显然几何法优于代数法.变式训练3-1:直线x+ y+m=0与圆x2+y2-4x-6=0相交于A,B两点,若|AB|≥ 2,则m的取值范围是( )
(A)[-8,8] (B)[-4,4]
(C)[-8,4] (D)[-4,8]类型四 直线与圆的综合问题【例4】 已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:kx-y-4k+3=0,
(1)求证:不论k取何值,直线和圆总相交;(1)证明:由圆的方程(x-3)2+(y-4)2=4得圆心(3,4),半径r=2,
由直线方程得l:k(x-4)+(3-y)=0,
即直线l过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2=2<4,
所以(4,3)点在圆内.
故直线kx-y-4k+3=0与圆C总相交.(2)求当k取何值时,圆被直线l截得弦最短,并求此最短值.方法技巧 通过分析圆的性质寻找解题途径,由于直线可以看作是绕定点(4,3)旋转的动直线,在旋转过程中,当弦最短时,弦心距最长.谢谢观赏！课件25张PPT。2.3.4 圆与圆的位置关系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究①d>r1+r2?两圆 ;
②d=r1+r2?两圆 ;
③|r1-r2|④d=|r1-r2|?两圆 ;
⑤0≤d<|r1-r2|?两圆 ,d=0时为同心圆.外离外切相交内切内含相交相切(内切或外切)不相交(外离或内含)【拓展延伸】
圆系方程
(1)过两已知圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
当λ=-1时,变为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时,此直线不存在),当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时,此直线为两圆的公切线;当两圆相离时,此直线为与两圆连心线垂直的直线.
(2)过直线与圆交点的圆系方程
设直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程.自我检测C1.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )
(A)外离 (B)外切
(C)相交 (D)内切B2.若圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0与圆x2+y2+2x-2ay+a2-3=0相内切,则a的值为( )
(A)-5或2 (B)-1或-2
(C)-1 (D)-23.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线条数是( )
(A)1条 (B)2条
(C)3条 (D)4条C4.点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为 .?解析:依题意,圆O的坐标为(0,0),半径r1=1,
圆C的坐标为(3,0),半径r2=1.
则|OC|=3>1+1=r1+r2,所以两圆外离.
所以|PQ|min=|OC|-(r1+r2)=3-2=1.
答案:1类型一圆与圆位置关系的判定课堂探究·素养提升【例1】 a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,(1)相交;解:将两圆方程化为标准方程分别为:
(x-a)2+(y+2)2=9,
(x+1)2+(y-a)2=4.
设两圆圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.
(1)当1两圆相交,此时a的取值范围是(-5,-2)∪(-1,2).(2)外离.解:(2)当d>5即2a2+6a+5>25时,
两圆外离,
此时a的取值范围是(-∞,-5)∪(2,+∞).方法技巧 利用几何法判断两圆位置关系,直观形象、简便易行,而代数法往往很繁琐且不易分清具体的位置关系.变式训练1-1:试判断圆x2+y2-2x+4y+4=0和圆x2+y2-4x+2y+4=0的位置关系.类型二 两圆相切问题【例2】 求过原点且与直线x=1及圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的圆的方程.方法技巧 问题的条件不易联系起来综合使用时,用数形结合的思想,就容易列出有关的方程组,进而把问题求解.变式训练2-1:求和圆C:(x-2)2+(y+1)2=4相切于点P(4,-1)且半径为1的圆的方程.解:由圆(x-2)2+(y+1)2=4知,
圆心C(2,-1),半径为2,
所以PC的方程为y=-1,
故所求圆圆心纵坐标为-1,设横坐标为a.
则有|4-a|=1,故a=3或a=5.
即所求圆的圆心坐标为(3,-1)或(5,-1),
故所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1或(x-5)2+(y+1)2=1.类型三 两圆相交问题【例3】 已知圆C1:x2+y2-6x-6=0,圆C2:x2+y2-4y-6=0.
(1)判定两圆的位置关系;解:(2)联立两圆方程,消去二次项得公共弦所在的直线方程为3x-2y=0.方法技巧 过两圆公共点的圆系方程用参数λ表示,结合另外条件求出λ,当λ=-1时,就是过两圆公共点的直线.类型四 易错辨析【例4】 已知圆C1:x2+y2+2x+2y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y=0,判断圆C1与圆C2的位置关系.纠错:Δ<0只能说明两圆的位置关系是外离或内含.由Δ<0,不能直接下结论得两圆相离.谢谢观赏！课件24张PPT。2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.空间直角坐标系
(1)为了确定空间点的位置,我们在平面直角坐标系xOy的基础上,通过原点O,再作一条数轴z,使它与x轴,y轴都垂直,这样它们中的任意两条都
;轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看,x轴的正半轴沿
时针方向转90°能与y轴的正半轴重合,这时,我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做坐标原点.互相垂直点击进入 情境导学逆(2)过空间中的任意一点P,作一个平面平行于平面yOz,这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的 .过点P作一个平面平行于平面xOz,这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的 .过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z就叫做点P的 ,这样,我们对空间中的一个点,定义了三个实数的有序数组作为它的坐标,记作 ,每两条坐标轴分别确定的平面
, , 叫做坐标平面.x坐标y坐标z坐标P(x,y,z) yOzxOzxOy2.空间特殊平面与特殊直线
xOy平面是坐标形如 的点构成的点集,xOz平面是坐标形如 的点构成的点集,yOz平面是坐标形如 的点构成的点集,x轴是坐标形如 的点构成的点集,y轴是坐标形如 的点构成的点集,z轴是坐标形如 的点构成的点集.其中,x,y,z为任意的实数.
3.空间结构
三个坐标平面把空间分为 部分,每一部分称为一个 ,在坐标平面xOy上方,分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限,在下方的卦限称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.(x,y,0)(x,0,z)(0,y,z)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)卦限八【拓展延伸】
空间中的对称问题
空间中点关于坐标平面,点关于轴,点关于点的对称点如下:
A(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点为A1(x,y,-z);
A(x,y,z)关于坐标平面yOz对称的点为A2(-x,y,z);
A(x,y,z)关于坐标平面xOz对称的点为A3(x,-y,z);
A(x,y,z)关于x轴对称的点为A4(x,-y,-z);
A(x,y,z)关于y轴对称的点为A5(-x,y,-z);
A(x,y,z)关于z轴对称的点为A6(-x,-y,z);
A(x,y,z)关于原点对称的点为A7(-x,-y,-z).因此,我们可以总结出如下规律:
某面对称某不变,如A(x,y,z)关于坐标平面xOy对称的点为A1(x,y,-z),这里x,y的符号不变;
某轴对称某不变,如A(x,y,z)关于y轴对称的点为A5(-x,y,-z),这里y的符号 不变;
原点对称均相反,如A(x,y,z)关于原点对称的点为A7(-x,-y,-z),这里x,y,z都变为其相反数.
这些规律要结合图形记忆,不能死记硬背.自我检测C1.有下列叙述:
①在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,0);
②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c);
③在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记为(0,0,c);
④在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标可写为(a,0,c).
其中正确的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由空间直角坐标系中各坐标的定义知,
①错误,应为(a,0,0);②③④均正确.故选C.C2.在如图所示的空间直角坐标系的直观图中,正确的个数为( )解析:由空间直角坐标系的画法知(3)错误,x轴与y轴应互换;(1)、(2)、(4)均正确(即符合右手直角坐标系).故选C.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4D3.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)在( )
(A)x轴上 (B)xOy平面上
(C)yOz平面上 (D)xOz平面上解析:由于y=0,故该点在xOz平面上,故选D.4.在空间直角坐标系中,点P(1,-2,3)在xOy平面上的投影的坐标为 ,在z轴上的投影的坐标为 ,关于原点的对称点为 .?解析:在xOy平面上的投影坐标为(1,-2,0),
在z轴上投影的坐标为(0,0,3),
关于原点的对称点为(-1,2,-3).
答案:(1,-2,0) (0,0,3) (-1,2,-3)类型一点的坐标与点的位置的相互确定课堂探究·素养提升【例1】 设长方体ABCD-A′B′C′D′,如图所示,长、宽、高分别为|AB|= 4 cm,|AD|=3 cm,|AA′|=5 cm,N是线段CC′的中点.分别以AB,AD,AA′所在的直线为x轴,y轴,z轴,以1 cm为单位长,建立空间直角坐标系.(1)求点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标;
(2)求点N的坐标.解:(1)A,B,C,D都在平面xOy内,z坐标都为0,它们在x轴,y轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是(0,0),(4,0),(4,3),(0,3),因此空间坐标分别是A(0,0,0), B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0).A′,B′,C′,D′同在一个垂直于z轴的平面内,这个平面与z轴的交点A′的z坐标是5,故这四点的z坐标都是5.从这四点分别作xOy平面的垂线交xOy平面于A,B,C,D四点,故A′,B′,C′,D′的x,y坐标分别与A,B,C,D的相同,由此可知它们的空间坐标分别是A′(0,0,5),B′(4,0,5),C′ (4,3,5),D′(0,3,5).
(2)N是线段CC′的中点,有向线段CN的方向与z轴正方向相同,|CN|=2.5,因此N的z坐标为2.5,C在xOy平面内的平面坐标为(4,3),这就是N的x,y坐标,故N的空间坐标为(4,3,2.5).方法技巧 ①求空间一点M的坐标,常用方法是:过M作MM1垂直于xOy平面,垂足为M1,求出M1的x坐标和y坐标,再求出点M的z坐标,于是得到M点的坐标(x,y,z),注意z坐标的正负.②由本题看出,借助长方体写出空间坐标很 方便.变式训练1-1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,棱长为1,建立空间直角坐标系,求E,F点的坐标.类型二 空间中点的对称问题【例2】 在空间直角坐标系中,给定点M(1,-2,3).求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标.解:过M作MA⊥平面xOy于点A,
并延长MA到点B,使|MA|=|AB|,
则M点与B点关于平面xOy对称,
所以B(1,-2,-3),
即点M关于xOy平面的对称点的坐标为(1,-2,-3).
同理,点M关于xOz平面的对称点的坐标为(1,2,3),
点M关于yOz平面的对称点的坐标为(-1,-2,3).过M作MC⊥x轴于点C,并延长MC到点D,
使|MC|=|CD|,
则M点与D点关于x轴对称,所以D(1,2,-3).
即点M关于x轴对称的点的坐标为(1,2,-3).
同理:点M关于y轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3),
点M关于z轴对称的点的坐标为(-1,2,3).
连接MO并延长到点E,使|MO|=|OE|,
则M点与E点关于原点对称,
所以E(-1,2,-3),
即点M关于原点对称的点的坐标为(-1,2,-3).变式训练2-1:已知点A(-3,1,-4),分别写出点A关于原点,x轴,y轴,z轴和xOz平面的对称点.解:A(-3,1,-4)关于原点的对称点为(3,-1,4),
A点关于x轴,y轴,z轴的对称点分别为
(-3,-1,4),(3,1,4),(3,-1,-4),
A点关于xOz平面的对称点为(-3,-1,-4).类型三 空间轨迹问题【例3】 设x为任意实数,相应的所有点P(x,2,3)构成的集合是什么图形?解:取点A(0,2,0),过点A作与y轴垂直的平面α,
则该平面上每一点的y坐标都是2.
取点B(0,0,3),过点B作与z轴垂直的平面β,
则该平面上每一点的z坐标都是3.
由α∩β=l,可知直线l与平面yOz交于点C(0,2,3),且直线l上任意一点的坐标均可写成(x,2,3)的形式.
故所有点P(x,2,3)表示的集合是过点C(0,2,3)且与x轴平行的直线.方法技巧 当动点P(x,y,z)的坐标分量中有两个是常数时,它表示两个平面的交线,即一条线;若三个坐标分量都是常数,它就表示三个平面的公共点,即一个定点.变式训练3-1:在空间直角坐标系中,求出经过点A(2,3,1)且平行于坐标平面yOz的平面α的方程.解:因为坐标平面yOz⊥x轴,而平面α与坐标平面yOz平行,所以平面α也与x轴垂直,所以平面α内的所有点在x轴上的射影都是同一点,即平面α与x轴的交点,
所以平面α内的所有点的横坐标都相等.
因为平面α过点A(2,3,1),
所以平面α内的所有点的横坐标都是2,
所以平面α的方程为x=2.谢谢观赏！课件22张PPT。2.4.2 空间两点的距离公式目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.在空间直角坐标系中,给定两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则d(P1,P2)=
,特别地,设点A(x,y,z),则A点到原点O的距离
为d(O,A)= .3.若点P1(x1,0,0),P2(x2,0,0),则d(P1,P2)=|x2-x1|.自我检测AC3.点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称点为A′,则|AA′|等于( )
(A)4 (B)6
(C)10 (D)C解析:依题意A′为(2,-3,-5),
则|AA′|=|5-(-5)|=10.故选C.4.在xOy平面上的直线x+y=1上确定一点M,使M到点(6,5,1)的距离最小,则M点的坐标为 .?答案:(1,0,0)类型一空间中两点间距离的求法课堂探究·素养提升【例1】 在如图所示的空间直角坐标系中,长方体的顶点C′的坐标为(4,4,2),E,F分别为BC,A′B′的中点,求|EF|的长.方法技巧 确定线段的中点坐标,可通过线段两端点坐标来求.要求某线段的中点坐标,需先求两端点坐标.变式训练1-1:已知点A(1,-2,1)关于坐标平面xOy的对称点为A1,求A,A1两点间距离.类型二 空间中两点间距离公式的应用【例2】 已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0(1)MN的长;解:(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,
所以BE⊥平面ABCD.
所以AB,BC,BE两两垂直.
所以以B为坐标原点,以BA,BE,BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系,(2)a为何值时,MN的长最小.方法技巧 坐标法是用代数法解决几何问题的桥梁,当点运动时,可用变量表示有关距离问题进而转化为函数问题.变式训练2-1:如图所示,以棱长为a的正方体的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,点P在正方体的体对角线AB上,点Q在棱CD上.
当点P是体对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究d(P,Q)的最小值.类型三 空间中的轨迹方程【例3】 在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z)的坐标满足方程(x-2)2+ (y+1)2+(z-3)2=1,则点P的轨迹是( )
(A)圆 (B)直线
(C)球面 (D)线段解析:(x-2)2+(y+1)2+(z-3)2=1表示(x,y,z)到点(2,-1,3)的距离的平方为1,它表示以(2,-1,3)为球心,以1为半径的球面.故选C.方法技巧 这是动点到定点距离等于常数的轨迹,只需要考虑方程的几何意义就能得出.若本题的等号改为小于等于号,其轨迹图形是球体.变式训练3-1:如图,在边长为2的正方体ABCD-A′B′C′D′中,P为平面ABCD内的一动点,PH⊥BC于H,若|PA′|2-|PH|2=4,则点P的轨迹方程为 .?谢谢观赏！课件20张PPT。章末总结网络建构名师导学平面解析几何初步需要解决的主要问题是:(1)理解直线坐标系、平面直角坐标系和空间直角坐标系建立的实质.(2)直线的方程、圆的方程以及直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系中的问题:①方程的确定,②位置关系的判定,③距离问题,④对称问题,⑤最值问题及范围问题等.
解决上述问题的关键是:深刻理解坐标法的实质,用代数方法解决几何问题,熟练掌握直线与圆的基本知识,并应用于解题过程中,运用以“形”助“数”、以“数”解“形”的思想,把表达式(代数式)转化为“距离、倾斜角、斜率、直线与圆、圆与圆”等这些有“形”概念.以此帮助我们分析解决问题,从而体会数形结合的思想方法.题型探究·素养提升题型一 直线和圆的方程的确定【例1】 直线l过点P(8,6)且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的 方程.【例2】 求经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得弦长等于6的圆的方程.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系【例3】 已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=2 ,求直线l的方程.方法技巧 当直线与圆相交时,设弦长为l,弦心距为d,半径为r,则有( )2+d2=r2.这一方法既可求弦长,又可知弦长求参数,关键是正确的列出关于参数的方程.【例4】 已知两圆☉C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,☉C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m为何值时,(1)☉C1与☉C2相外切,(2)☉C1与☉C2内含.(2)当两圆内含时,0(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标;(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程;(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.方法技巧 对称问题有两大类,中心对称和轴对称.
(1)中心对称
①两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2 (2a-x1,2b-y1),特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P′(-x,-y).
②两直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点都在另外一条直线上,并且l1∥l2,P到l1、l2的距离相等.
(2)轴对称
①两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与l垂直,且线段P1P2的中点在l上,这是列方程求对称点坐标的依据.
②求一条直线关于轴对称的直线方程可用①中的方法先求出两个点的坐标,再求直线方程.
③对称轴为特殊的直线,垂直于坐标轴的和斜率为±k的直线,可用数形结合直接得解.题型五 与圆有关的最值问题谢谢观赏！