2.1.1 数轴上的基本公式
1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.
2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值范围是( D )
(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)
解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故 选D.
3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA和||=||-||同时成立的情况有( B )
(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种
解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.
4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )
(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1
解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.
5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )
(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1
(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2
解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.
6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:
①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.
其中正确的序号是 .?
解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错.
答案:①②③
7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )
(A) (B) (C) (D)b-a
解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.
8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).
其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )
(A)① (B)② (C)③ (D)④
解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.
9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离 的2倍.
解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.
10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?
解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.
由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.
d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).
故甲、乙两人相距45 km.
11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的范围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|
解:法一 设f(x)=|x+1|+|x-3|,
由数轴上的距离公式化简得
f(x)=
画出f(x)图象如图所示.
(1)由于函数f(x)的最小值为4,
所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.
(2)由于f(x)min=4,
故要使|x+1|+|x-3|法二 (1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.
(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,
则要使|x+1|+|x-3|只需满足a≤4即可.
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
1.点M(4,m)关于点N(n,-3)的对称点为P(6,-9),则m,n的值分别为( D )
(A)-3,10 (B)3,10 (C)-3,5 (D)3,5
解析:由中点坐标公式得=n,=-3,
所以m=3,n=5,故选D.
2.设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点是P(2,-1),则|AB|等于( C )
(A)5 (B)4 (C)2 (D)2
解析:设A(x0,0),B(0,y0),因为AB的中点是P(2,-1),所以=2,=-1,所以x0=4,y0=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|==2.
3.在y轴上存在一点P到A(1,2)和B(3,7)的距离相等,则该点的纵坐标为( C )
(A)4.5 (B)2 (C)5.3 (D)2.5
解析:设P(0,y),
则由12+(2-y)2=32+(7-y)2,
得y=5.3,
故选C.
4.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-4,-4),B(2,2),C(4,-2),则三角形AB边上的中线长为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:AB的中点D的坐标为(-1,-1),所以|CD|==.
5.已知点A(-1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是( C )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:若点C在x轴上,设C(x,0),由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以[3-(-1)]2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得x=0或x=2.若点C在y轴上,设C(0,y),同理可求得y=0或y=4.综上,满足条件的点C有3个.故选C.
6.已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出最小值.
解:以正三角形的一边所在的直线为x轴,此边的中线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(-,0),B(,0),C(0,).
设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2
=(x+)2+y2+(x-)2+y2+x2+(y-a)2
=3x2+3y2-ay+a2
=3x2+3(y-a)2+a2.
所以当P(0,a)时,|PA|2+|PB|2+|PC|2有最小值a2.
7.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为( C )
(A)5 (B)2 (C)5 (D)10
解析:点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB′|==5.选C.
8.若a,b,c,d∈R,M=|-|,N=,则( C )
(A)M≥N
(B)M=N
(C)M≤N
(D)不能确定,与a,b,c,d有关
解析:因为M=|-|表示点(a,b),(c,d)到原点距离差的绝对值,N=表示两点(a,b),(c,d)之间的距离,根据三角形两边之差小于第三边(三点共线时相等),可得M≤N,故选C.
9.已知A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),则四边形ABCD的形状为 .?
解析:因为A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),
所以|AB|==,
|BC|==,
|CD|==,
|DA|==,
|AC|==,
|BD|==.
所以|AB|=|BC|=|CD|=|DA|,且|AC|=|BD|.所以四边形ABCD是正 方形.
答案:正方形
10.已知AO是△ABC中BC边的中线,证明:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+ |OC|2).
证明:以BC边所在直线为x轴,边BC的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示.
设B(-a,0),C(a,0),A(m,n)(其中a>0).
则|AB|2+|AC|2=(m+a)2+n2+(m-a)2+n2
=2(m2+a2+n2),
|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2,
所以|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).
11.已知0解:表示点(x,y)到原点O(0,0)的距离;
=表示点C(0,1)到点(x,y)的距离;
=表示点A(1,0)到点(x,y)的距离;
表示点B(1,1)到点(x,y)的距离.
如图,显然四边形OABC是正方形,
其中O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1).
由0设P(x,y)是正方形内部的任意一点,
则d(P,O)=,
d(P,A)=,
d(P,B)=,
d(P,C)=,
d(O,B)=,
d(A,C)=.
由平面几何知识可知:
|PO|+|PB|≥|OB|,|PA|+|PC|≥|AC|.
由以上两个不等式相加得|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥|OB|+|AC|=2.
即+++≥2.
当且仅当|PO|+|PB|=|OB|,|PA|+|PC|=|AC|时,等号成立,此时点P既在OB上,又在AC上,因此,点P是OB与AC的交点,即点P是正方形OABC的中心,则有x=y=时,所证的不等式取得等号.
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
1.经过下列两点的直线,斜率一定存在的是( C )
(A)(a,2),(3,4) (B)(m,3),(-m,4)
(C)(b-3,k),(7+b,k-1) (D)(5,x),(y,8)
解析:要使经过两点的直线斜率存在,即两点的横坐标不相等,只有(b-3,k),(7+b,k-1)两点的横坐标不可能相等,故选C.
2.(2018·山东省烟台市高一上学期期末考试)若直线经过两点A(m,2),B(m,2m-1),且倾斜角为45°,则m的值为( A )
(A)2 (B)1 (C) (D)
解析:直线经过两点A(m,2),B(m,2m-1),且倾斜角为45°,则==1?m=2.故选A.
3.(2018·江西省高安中学高一上学期期末考试)直线(a2+1)x-y+1=0 (其中a∈R)的倾斜角的取值范围是( B )
(A)[0,] (B)[,) (C)(,] (D)[,π)
解析:直线(a2+1)x-y+1=0的斜率为a2+1≥1.所以倾斜角的取值范围是[,).故选B.
4.若A(1,2),B(3,t-2),C(7,t)三点共线,则实数t的值是 .?
解析:因为A(1,2),B(3,t-2),C(7,t)三点共线,所以kAB=kAC,即=,解得t=5.
答案:5
5.若关于x的方程|x-1|-kx=0有且只有一个正实数根,则实数k的取值范围是 .?
解析:在同一坐标系内画出函数y=kx,y=|x-1|的图象如图所示,显然k≥1或k=0时满足题意.
答案:[1,+∞)∪{0}
6.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1),
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化 范围.
解:(1)由斜率公式得kAB==0,kAC==.所以直线AB的斜率为0,直线AC的斜率为.
(2)如图所示.
由斜率公式可得kBC==.设直线CD的斜率为k,
结合图形可得当直线CD由CA的位置按逆时针方向旋转到CB的位置时,直线CD与线段AB恒有交点,此时k由kCA增大到kCB,所以≤k≤.即k的取值范围为[,].
7.若点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则的取值范围是( D )
(A)[,1] (B)(,1) (C)[,1] (D)(,1)
解析:根据已知条件,可知点P(x,y)是点A,B,C围成的△ABC内部一动点(不包含边界),的几何意义是过动点P(x,y)与定点M(1,2)的直线的斜率.由已知得kAM=,kBM=1,kCM=.利用图象,可得的取值范围是(,1),故选D.
8.若直线l的斜率为k,且抛物线y=x2-2kx+1与x轴没有交点,则直线l的倾斜角的取值范围是( C )
(A)(0°,90°) (B)(135°,180°)
(C)[0°,45°)∪(135°,180°) (D)[0°,180°)
解析:由抛物线y=x2-2kx+1与x轴没有交点,得(-2k)2-4<0,解得-19.(2018·河北省阜城中学高一上学期月考)如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为( A )
(A)k1(C)k2解析:由题中图形可得直线l1,l2,l3的倾斜角都为锐角,且依次增大,所以直线l1,l2,l3的斜率也依次增大,即k110.点A(-2,3),B(5,7),点P在x轴上.∠APB的角平分线与x轴垂直.求点P的坐标.
解: 由题意,可得点A(-2,3)关于x轴的对称点A′(-2,-3),由图可得A′,
P,B三点共线.所以kPA′=kA′B.设P(x,0),则=.解得x=.
所以P点的坐标为(,0).
11.四边形ABCD的四个顶点是A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),D(-2,2),分别求四条边所在直线的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解:kAB==4,kBC==,
kCD==-4,kDA==.
因为kAB>0,kBC>0,kCD<0,kDA>0,所以直线AB,BC,DA的倾斜角为锐角,直线CD的倾斜角为钝角.
12.分析斜率公式k=(x1≠x2)的特征,完成下面题目:已知A(2,4), B(3,3),点P(a,b)是线段AB(包括端点)上的动点,试求的取值范围.
解:设k=,则k可以看成点P(a,b)与定点Q(1,1)连线的斜率.如图所
示,当P在线段AB上由B运动到A点时,PQ的斜率由kBQ增大到kAQ,
因为kBQ==1,kAQ==3,
所以1≤k≤3,即的取值范围是[1,3].
2.2.2 直线方程的几种形式
1.下列说法中不正确的是( D )
(A)点斜式y-y1=k(x-x1)适用于不垂直于x轴的任何直线
(B)斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线
(C)两点式=适用于不垂直于x轴也不垂直于y轴的任何直线
(D)截距式+=1适用于不过原点的任何直线
解析:A,B正确,因为方程中含有斜率k,而垂直于x轴的直线k不存在,C正确,因为y1≠y2,x1≠x2,所以直线的两点式不能表示与x轴或y轴垂直的直线,D不正确,因为过原点与x轴垂直或平行的任何直线截距式都不能表示.
2.若AC<0,BC<0,则直线Ax+By+C=0不通过( C )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:Ax+By+C=0可转化为y=-x-,
因为AC<0,BC<0,所以-<0,->0,
所以直线不通过第三象限.
3.直线-=1与-=1在同一坐标系中的位置可能是( B )
解析:两直线的方程分别化为斜截式:y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率的符号相同,四个选项中只有B选项的两直线的斜率符号相同.故选B.
4.一条光线从点A(-,0)处射到点B(0,1)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程为( B )
(A)2x-y-1=0 (B)2x+y-1=0
(C)x-2y-1=0 (D)x+2y+1=0
解析:由反射定律可得点A(-,0)关于y轴的对称点M(,0)在反射光线所在的直线上,再根据点B(0,1)也在反射光线所在的直线上,用两点式求得反射光线所在的直线方程为2x+y-1=0.故选B.
5.已知两条不同的直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程是 .?
解析:因为点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,所以2a1+b1+1=0.由此可知点P1(a1,b1)的坐标满足2x+y+1=0.因为点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,所以2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)的坐标也满足2x+y+1=0.因为两点确定一条直线,所以过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程是2x+y+1=0.
答案:2x+y+1=0
6.直线l经过点P(1,2),且与直线2x+3y-9=0在y轴上的截距相等,则直线l的方程为 .?
解析:直线2x+3y-9=0在y轴上的截距为3,
即直线l经过点M(0,3),
故直线l的斜率k==-1,
故直线l的方程为y=-x+3,即x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
7.在同一平面直角坐标系中,直线y=ax与y=x+a可能是图中的( C )
解析:A中两个图象y=ax,要求a>0,y=x+a要求a<0,矛盾,故A不正确;B不正确,因一个函数图象要求a>0,另一个要求a<0矛盾;C正确,D不正确,y=x+a在两坐标轴上截距互为相反数,且斜率为1.
8.直线l与直线m:3x-y+2=0关于x轴对称,则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为 .?
解析:由题意可得直线l:y=-3x-2,则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为×4×=.
答案:
9.如果对任何实数k,直线(3+k)x+(1-2k)y+1+5k=0都过一个定点A,那么点A的坐标是 .?
解析:法一 取k=-3,方程为7y-14=0,y=2;取k=0.5,方程为3.5x+ 3.5=0,x=-1,所以点A的坐标是(-1,2),将点A的坐标代入方程 得-(3+k)+2(1-2k)+1+5k=0,所以直线恒经过A点.
法二 将k当作未知数,则方程可写成(x-2y+5)k+3x+y+1=0,对于任意k值,等式成立,所以x-2y+5=0,3x+y+1=0,解得x=-1,y=2,所以点A的坐标是(-1,2).
答案:(-1,2)
10.(2018·烟台调研)求满足下列条件的直线方程:
(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;
(2)过点P(3,-4),斜率k=3;
(3)过点P(5,2),且与x轴平行;
(4)过点P(3,2),且与y轴平行.
解:(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3,所以直线的点斜式方程为y-3=-3(x+4),即y=-3x-9.
(2)因为直线过点P(3,-4),斜率k=3,所以直线的点斜式方程为y+4= 3(x-3),即y=3x-13.
(3)直线过点P(5,2),且与x轴平行,故斜率k=0,由直线的点斜式方程得y-2=0(x-5),即y=2.
(4)直线过点P(3,2),且与y轴平行,故斜率k不存在,所以直线方程为x=3.
11.直线过点P(,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:
①△AOB的周长为12;
②△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由.
解:根据题意,设直线的方程为+=1(a>0,b>0),
由△AOB的周长为12知,a+b+=12. ①
又因为直线过点P(,2),所以+=1. ②
由△AOB的面积为6知,ab=12. ③
由①②③,解得a=4,b=3,所以存在这样的直线,直线方程为+=1,即3x+4y-12=0.
12.已知直线l1:(2m+1)x+(m-2)y+3-4m=0,无论m为何实数,直线l1恒过一定点M.
(1)求点M的坐标;
(2)若直线l2过点M,且与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形面积为4,求直线l2的方程.
解:(1)将直线l1:(2m+1)x+(m-2)y+3-4m=0的方程整理为:
m(2x+y-4)+(x-2y+3)=0,
解方程组
得x=1,y=2.所以定点M的坐标为(1,2).
(2)由题意直线l2的斜率存在,设为k(k<0),
于是l2:y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,
令y=0,得x=;令x=0,得y=2-k,
于是S=··(2-k)=-=4.
解得k=-2.
所以直线l2的方程为y=-2x+2-(-2),
即2x+y-4=0.
第一课时 两条直线相交、平行与重合的条件
1.下列说法正确的是( C )
(A)若两条直线平行,则它们斜率相等
(B)若两直线斜率相等,则它们互相平行
(C)若两条直线一条直线斜率不存在,另一条斜率存在,则它们一定不平行
(D)若两条直线的斜率都不存在,则它们互相平行
解析:由两直线位置关系:平行,重合,相交可知,B,D都不正确.而A中可能斜率不存在,故A不正确,故选C.
2.直线l1,l2在x轴上的截距都是m,在y轴上的截距都是n,则l1,l2的位置关系是( D )
(A)平行 (B)重合
(C)平行或重合 (D)相交或重合
解析:当mn≠0时,l1与l2重合;当m=n=0时,l1与l2可能相交,也可能重合,故选D.
3.l1经过点A(m,1)、B(-3,4),l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),当直线l1与l2平行时,则m的值为( A )
(A)3 (B)-1 (C)-3 (D)1
解析:显然m≠-3,kAB==,
kCD==-.又因为l1∥l2,所以=-,
即m=3.故选A.
4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是( D )
(A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0
(C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0
解析:由中心对称知识可知:所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行,则可设所求直线为2x+3y+c=0.在2x+3y-6=0上任取一点(3,0),则(3,0)关于点(1,-1)的对称点(-1,-2)必在所求直线上,所以2×(-1)+3× (-2)+c=0,即c=8,故选D.
5.满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是( D )
①l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8);②l1经过点P(3,3), Q(-5,3), l2平行于x轴,但不经过P点;③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①②③
解析:①由l1斜率k1=2,l2斜率k2==2,则l1∥l2;②由k1==0,k2=0,则l1∥l2;③k1==,k2==,则l1∥l2.故选D.
6.已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0.
求:(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;
(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.
解:(1)设与l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0,将A(-2,1)代入,得-4-3+c=0,解得c=7,故所求直线方程是2x-3y+7=0.
(2)因为A(-2,1),B(4,3),所以线段AB的中点是M(1,2),
设两直线的交点为N,联立
解得交点N(2,1),则kMN==-1,
故所求直线的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
7.已知集合A={(x,y)|x+a2y+6=0},集合B={(x,y)|(a-2)x+3ay+2a=0},若A∩B=,则a的值是( D )
(A)3 (B)0 (C)-1 (D)0或-1
解析:A∩B=,即直线l1:x+a2y+6=0与l2:(a-2)x+3ay+2a=0平行,
令1×3a=a2(a-2),解得a=0或a=-1或a=3.
a=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,l1∥l2.
a=-1时,l1:x+y+6=0,l2:-3x-3y-2=0.l1∥l2.
a=3时,l1:x+9y+6=0,l2:x+9y+6=0,l1与l2重合,不合题意.所以a=0或a=-1.
8.如果直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0相交于第一象限,则实数a的取值范围是( A )
(A)-1-1
(C)a<2 (D)a<-1或a>2
解析:法一 将直线ax+y-4=0与直线x-y-2=0的方程联立解得(a+1)x=6,要使交点在第一象限,则应使a+1>0,所以a>-1,再由(a+1)y+2a-4=0,y=>0,解得-1法二 如图由y-4=-ax可知:直线ax+y-4=0表示经过定点(0,4),且斜率k=-a的直线,当直线ax+y-4=0与x-y-2=0在第一象限相交时,即过点(0,4)的直线,从直线l1的位置(过点(2,0)),沿逆时针旋转到直线l2的位置.(平行于x-y-2=0)此时直线的斜率k的取值范围是-2又k=-a,所以-2<-a<1,
即-19.P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表示的直线与l的关系是( B )
(A)重合 (B)平行
(C)垂直 (D)位置关系不定
解析:因为P1点在直线l上,所以f(x1,y1)=0,
又因为P2点不在直线l上,所以f(x2,y2)≠0,
所以f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0,
即f(x,y)+f(x2,y2)=0,
所以直线l与方程表示的直线平行.
10.已知两直线a1x+b1y+3=0和a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),则过两点P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程是 .?
解析:因为直线a1x+b1y+3=0和a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),
所以
故过P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程为2x+3y+3=0.
答案:2x+3y+3=0
11.若三条直线l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能构成三角形,求m的值.
解:显然l1与l3不平行,当l1∥l2或l2∥l3时不能构成三角形,此时对应m的值分别为m=4,m=-1;
当直线l1,l2,l3经过同一点时,也不能构成三角形.
由得
代入l2的方程得-m+1=0,即m=1.
综上可知,m=4或m=-1或m=1.
12.已知直线l1:(m-2)x+2y+m-2=0,l2:2x+(m-2)y+3=0,当m为何值时,满足下列条件
(1)l1与l2相交;
(2)l1∥l2;
(3)l1与l2重合.
解:(1)A1B2-A2B1=(m-2)(m-2)-2×2
=(m-2)2-4≠0,
得m≠4且m≠0,
所以当m≠4且m≠0时l1与l2相交.
(2)由A1B2-A2B1=0得m=0或m=4,
当m=0时,两直线方程分别为
-2x+2y-2=0,2x-2y+3=0,
此时l1∥l2;
当m=4时,两直线方程为2x+2y+2=0,2x+2y+3=0,
此时l1∥l2,故m=0或m=4,两直线l1∥l2.
(3)由(2)知:直线l1与l2不可能重合.
第二课时 两条直线垂直的条件
1.若点A(3,-4)与点B(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为( D )
(A)x+6y+16=0 (B)6x-y-22=0
(C)6x+y+16=0 (D)x+6y-16=0
解析:依题意:AB的中点M(4,2),kAB==6,
所以所求直线方程为y-2=-(x-4),
即x+6y-16=0,
故选D.
2.过点P(1,1)和Q(a,2)的直线与直线ax-y+3=0互相垂直,则a等于( C )
(A)1 (B)2 (C) (D)-
解析:因为kPQ==,直线ax-y+3=0的斜率为a,
所以×a=-1,a=.
3.设直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A;P,Q分别为l1,l2上任意两点,点M为P,Q的中点,若|AM|=|PQ|,则m的值为( A )
(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3
解析:根据题意画出图形,如图所示;
直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A;M为PQ的中点,若|AM|=|PQ|,则PA⊥QA,即l1⊥l2,所以1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A.
4.点(-2,3)关于直线y=x+1的对称点的坐标为( A )
(A)(2,-1) (B)(3,0) (C)(3,-1) (D)(2,0)
解析:设对称点坐标为(a,b),
则有得.
5.(2017·西安高一检测)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,存在直线l′,使l′与l垂直,且l′与坐标轴围成的三角形的面积为6,则 l′的方程为 .?
解析:设直线l′的方程为4x-3y+m=0.
令x=0,得y=;令y=0,得x=-.
由题意,得·|-|·||=6,
即m2=144.
得m=±12.
所以,所求直线l′的方程为4x-3y±12=0.
答案:4x-3y±12=0
6.直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是 .?
解析:由得两直线的交点为
M(1,),
在y=x上取一点O(0,0),
则O(0,0)关于x=1的对称点O1为(2,0),
所以所求直线的斜率为==-.
所以所求直线的方程为y=-(x-2),即x+2y-2=0.
答案:x+2y-2=0
7.已知直线l1:ax+4y-2=0与直线l2:2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为( A )
(A)-4 (B)20 (C)0 (D)24
解析:由题意,垂足(1,c)是两直线的交点,且l1⊥l2,
故-·=-1?a=10.
所以l1:10x+4y-2=0,将(1,c)代入,得c=-2;将(1,c)代入直线l2的方程,得b=-12,
所以a+b+c=-4,故选A.
8.过点A(0,)与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k为( B )
(A)-3 (B)3 (C)-6 (D)6
解析:若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆,又因为两坐标轴垂直,所以l1⊥l2,而==-,==k,由=-1,得k=3,故选B.
9.已知直线l1:mx+y+4=0和直线l2:(m+2)x-ny+1=0(m,n>0)互相垂直,则的取值范围为 .?
解析:因为直线l1:mx+y+4=0与直线l2:(m+2)x-ny+1=0,(m,n>0)互相垂直.
所以-m·=-1,即n=m2+2m.
所以==,
因为m>0,
所以0<<,即0<<.
故答案为(0,).
答案(0,)
10.在△ABC中,已知M为线段AB的中点,顶点A,B的坐标分别为(4,-1),(2,5).
(1)求线段AB的垂直平分线方程;
(2)若顶点C的坐标为(6,2),求△ABC垂心的坐标.
解:(1)因为AB的中点是M(3,2),直线AB的斜率是-3,所以线段AB中垂线的斜率是,故线段AB的垂直平分线方程是y-2=(x-3),即x-3y+3=0.
(2)因为kAB=-3,所以AB边上的高所在直线斜率为,因为C(6,2),
所以AB边上的高所在直线的方程为y-2=(x-6),
即x-3y=0.
同理,AC边上的高所在直线的方程为2x+3y-19=0.
联立x-3y=0和2x+3y-19=0,
得x=,y=.
所以△ABC的垂心为(,).
11.如图所示,在△ABC中,BC边上的高所在直线方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
解:由题意知,点A是BC边上的高所在的直线与∠A的平分线所在直线的交点,
由得A(-1,0).
又因为x轴是∠A的平分线,
所以直线AB与直线AC关于x轴对称.
因为kAB==1,
所以kAC=-1,
所以AC:y-0=(-1)·(x+1),
即x+y+1=0.
因为BC边上的高所在直线为x-2y+1=0,
所以设BC的方程为2x+y+m=0.
将点B(1,2)的坐标代入,得m=-4,
所以BC:2x+y-4=0.
解方程组得C(5,-6).
所以点A,C的坐标分别为(-1,0),(5,-6).
2.2.4 点到直线的距离
1.已知点P(m,n)是直线2x+y+5=0上的任意一点,则的最小值为( D )
(A)1 (B)2 (C) (D)
解析:因为是点P(m,n)到原点的距离,所以根据直线的性质,原点到直线的距离就是的最小值,根据点到直线的距离公式得d==.故选D.
2.在直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( A )
(A)(5,-3) (B)(9,0) (C)(-3,5) (D)(-5,3)
解析:过P点与直线3x-4y-27=0垂直的直线为4x+3y-11=0,
联立方程组
解得x=5,y=-3.故选A.
3.过点P(1,2)的直线与两点A(2,3),B(4,-5)距离相等,则直线的方程为( C )
(A)4x+y-6=0
(B)x+4y-6=0
(C)3x+2y-7=0或4x+y-6=0
(D)2x+3y-7=0或x+4y-6=0
解析:因为过P点的直线与A,B两点距离相等,所以过P点的直线可能与AB平行,也可能过线段AB中点,
①由kAB==-4,
得y-2=-4(x-1)即4x+y-6=0,
②设线段AB中点M(x0,y0),则x0=3,y0=-1,
所以kPM==-,直线方程为y-2=-(x-1),
即3x+2y-7=0,综上可知,应选C.
4.经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点,且与原点的距离为1的直线的条数为( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0,所以原点到直线l的距离d==1,解得λ=±3,
即直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0,共2条.
5.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是( C )
(A)(0,+∞) (B)[0,5]
(C)(0,5] (D)[0,]
解析:当两直线l1,l2与直线PQ垂直时,两平行直线l1,l2间的距离最大,最大距离为|PQ|==5,所以l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5].
6.已知△ABC的三个顶点A(-2,4),B(-3,-1),C(1,3).
(1)求BC边上高所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积S.
解:(1)设BC边上高所在直线为l,
由于直线BC的斜率kBC==1,
所以直线l的斜率k=-=-1.
又直线l经过点A(-2,4),
所以直线l的方程为y-4=-1×(x+2),即x+y-2=0.
(2)BC边所在直线方程为y+1=1×(x+3),即x-y+2=0,点A(-2,4)到直线BC的距离d==2,
又|BC|==4.
S△ABC=|BC|·d=×4×2=8.
7.两直线l1:3x-2y-6=0,l2:3x-2y+8=0,则直线l1关于直线l2对称的直线方程为( A )
(A)3x-2y+22=0 (B)3x-2y-10=0
(C)3x-2y-20=0 (D)3x-2y+24=0
解析:显然l1∥l2,
设符合条件的直线方程为3x-2y+C=0,
则有=,
所以C=22或C=-6(舍去).
故所求直线的方程为3x-2y+22=0.
8.已知直线l1:y=-x+与直线l2:y=x+垂直,垂足为H(1,p),则过点H,且斜率为的直线方程为( A )
(A)y=-4x+2 (B)y=4x-2
(C)y=-2x+2 (D)y=-2x-2
解析:因为l1⊥l2,所以-×=-1.
解得m=10,所以直线l1的方程为y=-x+.又因为点H(1,p)在直线l1上,所以p=-×1+=-2,即H(1,-2).又因为点H(1,-2)在直线l2上,所以-2=×1+.解得n=-12,所以所求直线的斜率为=-4,其方程为y+2=-4(x-1),即y=-4x+2,故选A.
9.已知点A,B两点分别在两条互相垂直的直线y=2x和x+ay=0上,且线段AB的中点为P(0,),则直线AB的方程为( C )
(A)y=-x+5 (B)y=x-5
(C)y=x+5 (D)y=-x-5
解析:依题意,得a=2,P(0,5).设A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点公式,得解得所以A(4,8),B(-4,2).由直线的两点式方程,得直线AB的方程是=,即y=x+5.选C.
10.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d,求:
(1)d的变化范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
解:(1)如图所示,
则有0而|AB|==3.
所以d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于AB.
因为kAB==,
所以所求直线的斜率为-3,
故所求的直线方程分别为
y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0和3x+y+10=0.
11.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
解:(1)直线l2的方程可化为2x-y-=0,
所以l1与l2之间的距离d==,
即|a+|=.又因为a>0,所以a=3.
(2)假设存在点P,设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1,l2平行的直线l′:2x-y+c=0上,且
=·,即c=或,
所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,
得=·,
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,
所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
若点P满足条件①,则3x0+2=0不可能.
由解得
点P不满足条件①,舍去.
由解得
点P满足条件①,
所以存在点P(,)同时满足三个条件.
2.3.1 圆的标准方程
1.以(-2,3)为圆心,与y轴相切的圆的标准方程为( A )
(A)(x+2)2+(y-3)2=4 (B)(x-2)2+(y+3)2=4
(C)(x+2)2+(y-3)2=9 (D)(x+2)2+(y-3)2=25
解析:因为圆心坐标(-2,3),圆与y轴相切,
所以r=|-2|=2,
所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=4.
2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是( A )
(A)(-,1) (B)(-∞,-)∪(1,+∞)
(C)[-,1) (D)(-∞,-)∪[1,+∞)
解析:联立解得P(a,3a).
因为点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部.
所以(a-1)2+(3a-1)2<4.解得-3.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( B )
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
解析:由题意知以AB为直径的圆O与圆C有公共点,且|OC|=5,于是m-1≤5≤1+m即4≤m≤6.故选B.
4.若直线x+y-3=0始终平分圆(x-a)2+(y-b)2=2的周长,则a+b等于( A )
(A)3 (B)2 (C)5 (D)1
解析:由题可知,圆心(a,b)在直线x+y-3=0上,
所以a+b-3=0,即a+b=3.
5.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为 .?
解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2,
则a2+5=r2,
且=,
解得a=2或a=-2(舍去),
所以r2=9.
所以圆的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
6.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=25上一点M(x0,y0),则(x0-6)2+(y0+4)2的最小值为 .?
解析:因为(x0-6)2+(y0+4)2表示点A(6,-4)与圆上动点M(x0,y0)之间的距离的平方,
故|AM|最小,|AM|2也达到最小,
而|AM|的最小值为
|AC|-r=-5=-5,
所以|AM|2=54-10.
答案:54-10
7.(2017·海口模拟)方程(x+y-1)=0所表示的曲线是图中的 .?
解析:原方程等价于或x2+y2=4.
所以,当x+y-1=0时,只有有意义,等式才成立,即x2+y2≥4,此时它表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分,故选④.
答案:④
8.已知圆C经过A(0,0),B(2,0),且圆心在第一象限,△ABC为直角三角形,则圆C的方程为( C )
(A)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)+=2
(C)(x-1)2+(y-1)2=2 (D)(x-1)2+(y-2)2=5
解析:因为圆心在弦的中垂线上,所有可设C(1,m),由于△ABC为等腰直角三角形,所以|AC|==,
因为m>0,所以m=1,所以圆心坐标为(1,1),圆的半径为,所以圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选C.
9.过点P(1,2)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤9}分为两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )
(A)x+2y-5=0 (B)y-2=0
(C)2x-y=0 (D)x-1=0
解析:要使面积之差最大,必须使过点P的弦最小,
所以该直线与直线OP垂直,又kOP=2,
所以所求直线的斜率为-,
由点斜式可求得直线方程为x+2y-5=0,故选A.
10.过点P(2,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当∠ACB最小时,直线l的方程为 .?
解析:因为点P(2,1)在圆C的内部,
所以当且仅当CP⊥l时,∠ACB最小,
又CP的斜率为1,所以直线l的斜率为-1,
故l的方程为x+y-3=0.
答案:x+y-3=0
11.圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程为 .?
解析:过点P且与直线l垂直的直线方程为y=x-5,
圆心为直线y=x-5与y=-4x的交点,
易知圆心坐标为(1,-4),故半径r==2,
故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
答案:(x-1)2+(y+4)2=8
12.如图,已知圆M过点P(10,4),且与直线4x+3y-20=0相切于点A(2,4).
(1)求圆M的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.
解:(1)过点A(2,4)且与直线4x+3y-20=0垂直的直线方程为3x-4y+10=0, ①
AP的垂直平分线方程为x=6, ②
由①②联立得圆心M(6,7),半径r=|AM|==5,
圆M的方程为(x-6)2+(y-7)2=25.
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离d==.
因为|BC|=|OA|==2,
而|MC|2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
13.已知实数x,y满足y=,试求k=的最值.
解:y=可化为x2+y2=3(y≥0),表示以原点O(0,0)为圆心,r=为半径的上半圆,k=可看作半圆上的点M(x,y)与定点P(-3,-1)连线的斜率,如图所示.当直线y+1=k(x+3)与半圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径,得=,
化简得3k2-3k-1=0,k=,舍去负值,
得k=为所求k的最大值;当直线y+1=k(x+3)过点B时,k==为所求k的最小值.
综上,k的最大值为,最小值为.
2.3.2 圆的一般方程
1.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线2ax+y-1=0的距离为1,则a等于( A )
(A)- (B)-
(C)- (D)-
解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心为(1,4),半径为2,圆心到直线的距离为=1,解得a=-,选A.
2.(2017·汉口模拟)圆x2+y2-x+2y=0关于直线x-y=0对称的圆的方程为( A )
(A)x2+y2+2x-y=0 (B)x2+y2-2x+y=0
(C)x2+y2-2x-y=0 (D)x2+y2+x-2=0
解析:圆的方程化为(x-)2+(y+1)2=,圆心坐标为(,-1),则圆心关于直线x-y=0的对称点为(-1,),因此所求圆的方程为(x+1)2+(y-)2=,即x2+y2+2x-y=0.
3.已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则△ABM面积的最小值为 .?
解析:将圆M:x2+y2-2x+2y=0化成标准方程(x-1)2+(y+1)2=2,
圆心(1,-1),半径r=,因为A(-2,0),B(0,2),所以|AB|=2,
要求△ABM面积最小值,即要使圆上的动点M到直线AB的距离d最小,而圆心(1,-1)到直线AB的距离为2,所以S△ABM的最小值为·|AB|·dmin=×2×=2.
答案:2
4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 .?
解析:设P点的坐标为(x,y),则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+ y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.
答案:4π
5.已知定点A(6,0),有一动点M在圆x2+y2=4上运动,则线段AM的中点P的轨迹方程为 .?
解析:设P点坐标为(x,y),动点M(x0,y0),
则有x=,y=,
所以x0=2x-6,y0=2y.
因为(x0,y0)在圆上,所以+=4.
即(2x-6)2+(2y)2=4.
所以P点的轨迹方程为(x-3)2+y2=1.
答案:(x-3)2+y2=1
6.判断下列方程是否表示圆,若是,求出圆心和半径.
(1)x2+y2-x+=0;
(2)x2+y2+2ax=0(a≠0);
(3)x2+y2+2ay-1=0;
(4)x2+y2+20x+162=0.
解:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式(x+)2+(y+)2=后,D2+E2-4F是否大于0,若大于0则表示圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x-)2+y2=0,
表示一个点,坐标为(,0).
(2)将原方程转化为(x+a)2+y2=a2(a≠0),
表示圆,圆心为(-a,0),半径r=|a|.
(3)将原方程转化为x2+(y+a)2=1+a2,
表示圆,圆心为(0,-a),半径r=.
(4)将原方程转化为(x+10)2+y2=102-162<0,不表示任何图形.
法二 (1)因为D2+E2-4F=(-1)2+02-4×=0,
所以表示一个点,其坐标为(,0).
(2)因为D2+E2-4F=4a2+0-0=4a2>0(a≠0),所以表示圆.
又因为-=-a,-=0,
=·=|a|,
所以圆心为(-a,0),半径r=|a|.
(3)因为D2+E2-4F=02+(2a)2+4=4(1+a)2>0,
所以表示圆.
又因为-=0,-=-a,=,
所以圆心为(0,-a),半径r=.
(4)因为D2+E2-4F=202+02-4×162=-624<0,
所以不表示任何图形.
7.若直线x+y=1平分圆x2+y2+Dx+Ey=0,则D与E的关系是( D )
(A)D+E=2 (B)D+E=1
(C)D+E=-1 (D)D+E=-2
解析:因为x2+y2+Dx+Ey=0的圆心为(-,-),
由题意得--=1,
所以D+E=-2.故选D.
8.(2018·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系内,若曲线C:x2+y2+ 2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为( C )
(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)
(C)(2,+∞) (D)(1,+∞)
解析:曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,它表示以(-a,2a)为圆心,2为半径的圆,又曲线C上所有的点均在第二象限内,所以
解得a>2,故选C.
9.若直线x=my-1与圆C:x2+y2+mx+ny+p=0交于A,B两点,且A,B两点关于直线y=x对称,则实数p的取值范围为 .?
解析:根据题意,可知直线AB的斜率为-1,故可知m=-1,并且中点坐标在y=x上,联立方程组得x=y=,即交点为(-,-),则该点在圆内部,则++-n+p<0,又圆心(-,-)即(,-)在y=x上得-=,n=-1,得p<-.
答案:(-∞,-)
10.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与y轴交于A点,与x轴交于B,C两点.
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC外接圆的方程.
解:(1)A(0,1),B(3+2,0),C(3-2,0),
|BC|=4.
S△ABC=|BC||OA|=×4×1=2.
(2)法一 设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则有解得
故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.
法二 (几何法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为A(0,1),与x轴的交点为B(3+2,0),C(3-2,0).
故可设外接圆的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,
解得t=1.则外接圆的半径为=3,
所以外接圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
11.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆的半径r的取值范围;
(3)求圆心C的轨迹方程.
解:(1)要使方程表示圆,则
4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,
即4m2+24m+36+4-32m2+64m4-64m4-36>0,
整理得7m2-6m-1<0,
解得-所以实数m的取值范围为(-,1).
(2)r=
=
=.
得0所以该圆的半径r的取值范围为(0,].
(3)设圆心坐标为(x,y),
则
消去m可得(x-3)2=(y+1).
因为-所以故圆心C的轨迹方程为(x-3)2=(y+1)(2.3.3 直线与圆的位置关系
1.圆x2+y2=1与直线y=kx+2无公共点,则( B )
(A)k∈(-,)
(B)k∈(-,)
(C)k∈(-∞,-)∪(,+∞)
(D)k∈(-∞,-)∪(,+∞)
解析:圆心到直线的距离d=>1,即k2<3.
故k∈(-,).
2.(2017·山西太原五中月考)过点(1,-2)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为( B )
(A)y=- (B)y=-
(C)y=- (D)y=-
解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,以=2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,
即y=-,故选B.
3.如果直线ax+by=4与圆x2+y2=4有两个不同的交点,那么点P(a,b)与圆的位置关系是( A )
(A)P在圆外 (B)P在圆上
(C)P在圆内 (D)P与圆的位置关系不确定
解析:由题意得<2,
得a2+b2>4,即点P(a,b)在圆x2+y2=4外.
4.已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为 .?
解析:由题意,圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),
因为圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,
则圆心到两直线的距离相等,即=,
解得a=0,
即圆心(0,2),且r==,所以圆的方程为x2+(y-2)2=2.
答案:x2+(y-2)2=2
5.已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P(2,1),经过点P的直线l与圆C交于A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为
.?
解析:圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,弦AB被P平分,故PC⊥AB,由P(2,1), C(1,2)得kPC·kl=-1,可得kl=1,所以直线方程为y=x-1.
答案:y=x-1
6.由点P(m,3)向圆C:(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 .?
解析:设切点为M,
则CM⊥MP,
于是切线MP的长
|MP|==,
显然,当m=-2时,MP有最小值=2.
答案:2
7.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为( B )
(A) (B)5
(C)2 (D)10
解析:由题可知,圆心(-2,-1)在直线ax+by+1=0上,
故2a+b=1,
所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(1-2a-2)2=a2-4a+4+4a2+4a+1=5a2+5≥5.
8.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的距离的最大值与最小值的差为( C )
(A)36 (B)18 (C)6 (D)5
解析:圆x2+y2-4x-4y-10=0的圆心为(2,2),半径为3,圆心到直线x+y-14=0的距离为=5>3,故圆与直线相离,所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r=6.
9.已知点A(-3,0),B(-1,-2),若圆(x-2)2+y2=r2(r>0)上恰有两点M,N,使得△MAB和△NAB的面积均为4,则r的取值范围是 .?
解析:由题意可得|AB|==2,
根据△MAB和△NAB的面积均为4,
可得两点M,N到直线AB的距离均为2;
由于AB的方程为=,
即x+y+3=0;
若圆上只有一个点到直线AB的距离为2,
则有圆心(2,0)到直线AB的距离为=r+2,解得r=;若圆上只有3个点到直线AB的距离为2,
则有圆心(2,0)到直线AB的距离为=r-2,解得r=;综上,r的取值范围是(,).
答案:(,)
10.在平面直角坐标系中,已知圆心C在直线x-2y=0上的圆C经过点A(4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x-3y=0与圆C相交所得的弦长为4.
(1)求圆C的一般方程;
(2)若从点M(-4,1)发出的光线经过x轴反射,反射光线刚好通过圆C的圆心,求反射光线所在的直线方程(用一般式表达).
解:(1)设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,
因为圆心C在直线x-2y=0上,所以有a-2b=0,
又因为圆C经过点A(4,0),所以有(4-a)2+b2=r2,
而圆心到直线4x-3y=0的距离为d==,由弦长为4,得弦心距d=.所以有=,
联立成方程组解得或
又因为(x-2)2+(y-1)2=5通过坐标原点,
所以舍去.
所以所求圆的方程为(x-6)2+(y-3)2=13,
化为一般方程为x2+y2-12x-6y+32=0.
(2)点M(-4,1)关于x轴的对称点N(-4,-1),
反射光线所在的直线即为NC,又因为C(6,3),
所以反射光线所在的直线方程为=,
所以反射光线所在的直线方程的一般式为2x-5y+3=0.
11.(2017·辽宁大连模拟)已知三点O(0,0),P(4,0),Q(0,2)恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2所覆盖.
(1)试求圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A,B.若CA⊥CB,求直线l的方程.
解:(1)由题意知△OPQ是直角三角形,
所以覆盖它的且面积最小的圆为其外接圆,
故圆心是(2,1),半径是,
所以圆C的方程是(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)设直线l的方程是y=x+m.
因为CA⊥CB,
所以圆心到直线l的距离是,
即=,解得m=-1±.
即直线l的方程为x-y-1-=0或x-y-1+=0.
12.已知圆C:(x+2)2+y2=5,直线l:mx-y+1+2m=0,m∈R.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点A,B;
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.
(1)证明:圆C:(x+2)2+y2=5的圆心为C(-2,0),半径为,
所以圆心C到直线l:mx-y+1+2m=0的距离
||=||<.
所以直线l与圆C相交,即直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)解:设中点为M(x,y),
直线l:mx-y+1+2m=0恒过定点(-2,1),
当直线CM的斜率存在时,kMC=,又kAB=,
因为kAB·kMC=-1,所以·=-1,
化简得(x+2)2+=(x≠-2).
当直线CM的斜率不存在时,x=-2,
此时中点为M(-2,1),也满足上述方程.
所以M的轨迹方程是(x+2)2+=,
它是一个以(-2,)为圆心,以为半径的圆.
2.3.4 圆与圆的位置关系
1.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是( B )
(A)(1,121) (B)[1,121]
(C)(1,11) (D)[1,11]
解析:两圆的圆心分别为(0,0),(-3,4),半径分别为和6,它们有公共点,所以两圆相切或相交.
所以|-6|≤≤+6,
解得1≤m≤121.
2.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b应满足的关系式是( B )
(A)a2-2a-2b-3=0
(B)a2+2a+2b+5=0
(C)a2+2b2+2a+2b+1=0
(D)3a2+2b2+2a+2b+1=0
解析:由题意,得两圆的公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心(-1,-1).两圆的公共弦所在直线的方程为(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,将(-1,-1)代入得a2+2a+2b+5=0.
3.在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( B )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
解析:满足要求的直线应为圆心为A,半径为1和圆心为B,半径为2的两圆的公切线.因为圆A与圆B相交,所以公切线有2条.
4.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .?
解析:问题可转化为圆C的圆心到直线y=kx-2的距离不大于两圆的半径和.圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意,≤2.整理,得3k2-4k≤0,解得0≤k≤.故k的最大值为.
答案:
5.已知两圆相交于(1,3)和(m,1),两圆圆心都在直线x-y+=0上,则m+c的值为 .?
解析:两圆心连线过公共弦的中点,所以-+=0,所以m+c=3.
答案:3
6.若曲线x2+y2=5与曲线x2+y2-2mx+m2-20=0(m∈R)相交于A,B两点,且两曲线在A处的切线相互垂直,则m的值是 .?
解析:由题知
圆O1(0,0),O2(m,0),x2+y2-2mx+m2-20=0,
即(x-m)2+y2=20,
半径分别为,2,
根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差而小于两圆的半径之和,即<|m|<3.
又因为O1A⊥O2A,
所以m2=()2+(2)2=25,
所以m=±5.
答案:±5
7.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,且过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为( C )
(A)y2-2x+2y+8=0 (B)y2+2x-2y+8=0
(C)y2+4x-4y+8=0 (D)y2-4x+4y+8=0
解析:因为圆x2+y2=1的圆心关于直线y=x-1的对称点是(1,-1),由题知它是圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心,所以a=2.设点P(x,y),则=|x|,即y2+4x-4y+8=0.
8.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|为( C )
(A)4 (B)4
(C)8 (D)8
解析:因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),
所以两圆圆心均在第一象限且横坐标、纵坐标相等.
设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),
则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,
整理得x2-10x+17=0,
所以a+b=10,ab=17.
所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
所以|C1C2|===8.
9.已知圆C与圆C1:x2+y2-2x=0相外切,并且与直线l:x+y=0相切于点P(3,-),求此圆C的方程.
解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径长为r.
因为C(a,b)在过点P且与l垂直的直线上,
所以=, ①
又因为圆C与l相切于点P,
所以r=, ②
因为圆C与圆C1相外切,
所以=+1, ③
由①得a-b-4=0,
整理得b=a-4, ④
将④代入③得=|2a-6|+1,
解得或
此时,r=2或r=6,
所以所求圆C的方程为
(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
10.若集合A={(x,y)|x2+y2=16},集合B={(x,y)|x2+(y-2)2=a-1},当A∩B=时,求a的取值范围.
解:因为A∩B=,由题意可分三种情况讨论:
(1)当a-1<0,即a<1时,B=,满足A∩B=;
(2)当a-1=0,即a=1时,B={(0,2)},
即集合B仅表示一个点,
由02+22<16知这个点不在圆x2+y2=16上,
所以A∩B=;
(3)当a-1>0,即a>1时,由A∩B=知,圆x2+y2=16与圆x2+(y-2)2=a-1外离或内含,外离时,圆心距大于两圆半径之和,即2>4+.此式显然无解.内含时应有|-4|>2,
解得a>37或1综上,当A∩B=时,a的取值范围为(-∞,5)∪(37,+∞).
2.4.1 空间直角坐标系
1.z轴上点的坐标的特点是( B )
(A)z坐标为0 (B)x坐标,y坐标都是0
(C)x坐标为0,y坐标不为0 (D)x,y,z坐标不可能都是0
解析:z轴上点的x坐标,y坐标都是0,故选B.
2.点P(1,-1,2)关于x轴的对称点位于( C )
(A)第Ⅱ卦限 (B)第Ⅳ卦限
(C)第Ⅴ卦限 (D)第Ⅶ卦限
解析:P点关于x轴的对称点坐标为P′(1,1,-2),先确定x,y坐标,再确定z坐标知在第Ⅴ卦限.故选C.
3.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( B )
(A)一个平面 (B)一条直线
(C)一个圆 (D)一个球
解析:点P(2,2,z)的运动轨迹是过点(2,2,0)且与z轴平行的一条 直线.
4.如图所示,在正方体OABC-O1A1B1C1中,棱长为2,E是B1B上的点,且|EB|=2|EB1|,则点E的坐标为( D )
(A)(2,2,1) (B)(2,2,)
(C)(2,2,) (D)(2,2,)
解析:由题图可知E点坐标为(2,2,),故选D.
5.点P(a,b,c)关于原点的对称点P′在x轴上的投影A的坐标为
.?
解析:P′(-a,-b,-c)在x轴上的投影为A(-a,0,0).
答案:(-a,0,0)
6.有一个棱长为1的正方体,对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面,给出以下各点:A(1,0,1),B(-1,0,1),C(,,),D(,,),
E(,-,0),F(1,,),则位于正方体之外的点是 .?
解析:在空间直角坐标系中画出图形,确定各点的位置,可得A,B,F在正方体之外.
答案:A,B,F
7.点P1(-1,1,6)关于坐标平面yOz对称的点为P2,则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为( A )
(A)(1,1,-6) (B)(1,-1,6)
(C)(-1,1,6) (D)(1,1,6)
解析:点P1(-1,1,6)关于坐标平面yOz的对称点P2为(1,1,6),则P3为(1,1,-6).故选A.
8.已知空间直角坐标系中有一点M(x,y,z)满足x>y>z,且x+y+z=0,则M点的位置是( D )
(A)一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限 (B)一定在第Ⅷ卦限
(C)可能在第Ⅰ卦限 (D)可能在xOz平面上
解析:由x>y>z且x+y+z=0知,x>0,z<0,y∈R,故点M可能在第Ⅴ,Ⅷ卦限或在xOz平面上.故选D.
9.结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体),其中白点代表钠原子,黑点代表氯原子.建立空间直角坐标系O-xyz后,图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是( A )
(A)(,,1) (B)(0,0,1)
(C)(1,,1) (D)(1,,)
解析:设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点,以O,B为相对顶点,作出长方体ABCD-EFGO,如图所示:
因为平面BFGC经过点B与x轴垂直,
所以点B在x轴上的射影为G点,结合G(,0,0)得B的横坐标为;
同理可得,点B在y轴上的射影为E点,结合E(0,,0)得B的纵坐标 为;
点B在z轴上的射影为D点,结合D(0,0,1)得B的竖坐标为1,
所以点B的坐标为(,,1).故选A.
10.如图所示,在以长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心为坐标原点,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面的空间直角坐标系中,顶点A(-2,-3,-1),求其他7个顶点的坐标.
解:长方体的对称中心为坐标原点O.
因为顶点A(-2,-3,-1),
所以A关于原点的对称点C1的坐标为(2,3,1),
又因为C与C1关于坐标平面xOy对称,
所以C(2,3,-1),
而A1与C关于原点对称,
所以A1(-2,-3,1),
又因为C与D关于坐标平面yOz对称,
所以D(-2,3,-1).
因为B与C关于坐标平面xOz对称,
所以B(2,-3,-1).
因为B1与B关于坐标平面xOy对称,
所以B1(2,-3,1),同理D1(-2,3,1).
综上知长方体其他7个顶点分别为C1(2,3,1),
C(2,3,-1),A1(-2,-3,1),B(2,-3,-1),
B1(2,-3,1),D(-2,3,-1),D1(-2,3,1).
11.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为原点,正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Dxyz,有一动点P在正方体各个面上运动.
(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时,探究动点P的坐标特征;
(2)当点P分别在平行于坐标平面的各个面的面对角线上运动时,探究动点P的坐标特征.
解:设P点坐标为(x,y,z).
(1)当点P(x,y,z)分别在平行于x轴的棱A1D1,B1C1,BC上运动时,动点P的y坐标、z坐标不变,x坐标在[0,1]内取值;
当点P(x,y,z)分别在平行于y轴的棱A1B1,D1C1,AB上运动时,动点P的x坐标、z坐标不变,y坐标在[0,1]内取值;
当点P(x,y,z)分别在平行于z轴的棱AA1,BB1,CC1上运动时,动点P的x坐标、y坐标不变,z坐标在[0,1]内取值.
(2)当点P(x,y,z)分别在平行于xDz平面的面对角线BC1,B1C上运动时,动点P的y坐标不变;
当点P(x,y,z)分别在平行于yDz平面的面对角线A1B,AB1上运动时,动点P的x坐标不变;
当点P(x,y,z)分别在平行于xDy平面的面对角线A1C1,B1D1上运动时,动点P的z坐标不变.
2.4.2 空间两点的距离公式
1.若两点A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值等于( C )
(A)19 (B)-
(C) (D)
解析:因为A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),所以|AB|=
=,
所以当|AB|取最小值时,x的值等于.
故选C.
2.以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)三点为顶点的三角形的形状是( B )
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形
解析:因为|AC|=,|BC|=,
|AB|=.
所以△ABC是等腰三角形.
3.点P(x,y,z)满足=2,则点P在( C )
(A)以点(1,1,-1)为球心以为半径的球面上
(B)以点(1,1,-1)为中心以为棱长的正方体内
(C)以点(1,1,-1)为球心以2为半径的球面上
(D)无法确定
解析:动点P(x,y,z)到定点(1,1,-1)的距离为2,故选C.
4.已知A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在z轴上且到A,B两点的距离相等,则M点坐标为( C )
(A)(-3,0,0) (B)(0,-3,0)
(C)(0,0,-3) (D)(0,0,3)
解析:设点M(0,0,z),
因为A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在z轴上且到A,B两点的距离相等.
所以=,
所以z=-3,
所以M点坐标为(0,0,-3),故选C.
5.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则x= .?
解析:|AB|2=(2-1)2+(1-1)2+(1-2)2=2,
|BC|2=(x-1)2+(0-1)2+(1-2)2,
|AC|2=(x-2)2+(0-1)2+(1-1)2,
因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,
所以2+(x-2)2+1=(x-1)2+2,所以x=2.
答案:2
6.若点P(x,y,z)到平面xOz与到y轴距离相等,则P点坐标满足的关系式为 .?
解析:由题意得|y|=,
即x2+z2-y2=0.
答案:x2+z2-y2=0
7.在空间直角坐标系中,到三条坐标轴距离相等且到坐标原点距离为的点的个数为( D )
(A)4个 (B)6个
(C)7个 (D)8个
解析:设点P(x,y,z)满足条件,x2+y2=y2+z2=x2+z2且x2+y2+z2=3,所以x2+y2=y2+z2=x2+z2=2,即x2=y2=z2=1,所以x=±1,y=±1,z=±1,
故共有8个点:(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1), (-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1),每个卦限各有1个点.
8.在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(1,-2,3),其中心M的坐标为(0,2,1),则该正方体的棱长等于
.?
解析:因为正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(1,-2,3),其中心M的坐标为(0,2,1),所以|AM|==,所以该正方体对角线|AC1|=2,设该正方体的棱长为x,则3x2=,解得x=2,即该正方体的棱长为2.
答案:2
9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),则该四面体的体积为 .?
解析:由题意得四面体是一个边长为的正四面体,体积为1-4×=.
答案:
10.在三棱柱ABO-A′B′O′中,∠AOB=90°,侧棱OO′⊥平面OAB, OA=OB=OO′=2.
(1)若C为线段O′A的中点,在线段BB′上求一点E,使|EC|最小;
(2)若E为线段BB′中点,在O′A上求一点C,使|EC|最小.
解:如图所示,以三棱柱的O点为坐标原点,以OA,OB,OO′所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
由OA=OB=OO′=2,得A(2,0,0),B(0,2,0),O(0,0,0),A′(2,0,2),B′(0,2,2),O′(0,0,2).
(1)由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1),
设E点坐标为(0,2,z),
根据空间两点间距离公式得
|EC|==,
故当z=1时,|EC|的最小值为,
此时E(0,2,1)为线段BB′的中点.
(2)E为线段BB′的中点,则点E的坐标为(0,2,1),
设线段O′A上的点C的坐标为(x,0,z),
因为四边形A′AOO′为正方形,C点在其对角线上,
故z=2-x,
于是|EC|=
=
=.
当x=时,|EC|取得最小值为,
此时C点为(,0,).
11.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问:
(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?若存在,试求出点M的坐标.
解:(1)假设在y轴上存在点M满足|MA|=|MB|,
设M(0,y,0),则有=,
由于此式对任意y∈R恒成立,
即y轴上所有点均满足条件|MA|=|MB|.
(2)存在.
假设在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形.
由(1)可知,y轴上任一点都满足|MA|=|MB|,
所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.
因为|MA|==,
|AB|==,
所以=,
解得y=或y=-.
故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形,点M的坐标为(0,,0)或(0,-,0).
第二章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在斜率为k的直线上,若|AB|=a,则|y2-y1|等于( D )
(A)a (B)
(C)|ak| (D)
解析:设AB的方程为y=kx+b,
则y1=kx1+b,y2=kx2+b.
所以a=|AB|=
=·|y2-y1|,
所以|y2-y1|=.
故选D.
2.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移一个单位,所得的直线的方程为( A )
(A)y=-x+ (B)y=-x+1
(C)y=3x-3 (D)y=x+1
解析:由于旋转后得到的直线与原直线互相垂直,故所得直线斜率为-,直线的方程为y=-x,再向右平移1个单位,得y=-(x-1).故选A.
3.已知A(-4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1,A关于z轴的对称点为A2,则|A1A2|等于( A )
(A)8 (B)12
(C)16 (D)19
解析:由题可知A1(-4,-2,3),A2(4,-2,3),
所以|A1A2|==8.
故选A.
4.直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆(x-2)2+ y2=3的位置关系是( A )
(A)直线与圆相切
(B)直线与圆相交但不过圆心
(C)直线与圆相离
(D)直线过圆心
解析:直线x+y=0的斜率为-,倾斜角为150°,绕原点按顺时针方向旋转30°,所得直线的倾斜角为120°,斜率为-,所以直线方程为x+y=0.圆(x-2)2+y2=3的圆心(2,0)到直线x+y=0的距离d== =r,所以直线与圆相切.故选A.
5.圆x2+y2+2x+4y+3=0的切线在x轴、y轴上的截距的绝对值相等,则这样的切线有( D )
(A)3条 (B)4条
(C)5条 (D)6条
解析:因为圆的圆心坐标为(-1,-2),半径r=,可得符合条件的直线有6条.故选D.
6.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )
(A)5-4 (B)-1
(C)6-2 (D)
解析:两圆的圆心均在第一象限,作点C1关于x轴的对称点C′1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C′1C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)= 5-4.故选A.
7.过直线y=2x上一点P作圆M:(x-3)2+(y-2)2=的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线y=2x对称时,则∠APB等于( C )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:过圆M的圆心M(3,2)向直线y=2x作垂线,设垂足为N,易知当点P与点N重合时,直线l1与l2关于直线y=2x对称,此时|MP|==.又因为圆M的半径长为,所以sin∠MPA=,则∠MPA=30°,故∠APB= 60°.
8.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( D )
(A)x2+y2-2x-3=0 (B)x2+y2+4x=0
(C)x2+y2+2x-3=0 (D)x2+y2-4x=0
解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=4(a>0),
由已知得=2.
解得a=2或a=-(舍去).故选D.
9.若点P(x,y)在圆x2+y2+4x+3=0上,则的最大值为( A )
(A) (B)
(C)- (D)-
解析:表示圆上的点与原点连线的斜率,
设=k,y=kx,即kx-y=0,
当直线与圆相切时k值最大或最小,
此时=1,k=±.故选A.
10.已知:直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则以|a|,|b|, |c|为三边长的三角形为( B )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不存在
解析:因为直线与圆相切,
所以圆心到直线的距离等于半径,
d==1,即a2+b2=c2,
故以|a|,|b|,|c|为三边长的三角形为直角三角形.
故选B.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.已知两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P,Q两点,若点P的坐标为(1,2),则点Q的坐标为 .?
解析:由两圆的方程,可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过两圆圆心的直线方程为=,即y=-x.根据圆的几何性质,可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称,故点P与点Q关于直线y=-x对称.又因为P(1,2),所以Q(-2,-1).
答案:(-2,-1)
12.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,则点D的坐标为 .?
解析:设D(x,y),因为kAB==1,kBC==-,kCD=,kAD=,由AB⊥CD,AD∥BC,得kAB·kCD=-1,kAD=kBC,所以解得所以D(10,-6).
答案:(10,-6)
13.由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为 .?
解析:若使切线长最小,则直线上的点到圆心的距离d最小,又dmin= =3,
此时切线长为=.
答案:
14.若直线x+y+m=0上存在点P可作圆O:x2+y2=1的两条切线PA,PB,切点为A,B,且∠APB=60°,则实数m的取值范围为 .?
解析:若∠APB=60°,则|OP|=2,直线x+y+m=0上存在点P可作圆O: x2+y2=1的两条切线PA,PB,由圆心到直线的距离公式可得≤2,解得m∈[-2,2].
答案:[-2,2]
15.已知p+2q-1=0,则直线px-3y+q=0恒过定点A的坐标为 .?
解析:直线方程可化为(1-2q)x-3y+q=0,
即:(x-3y)-q(2x-1)=0.
若直线过定点,则有
所以所以A(,).
答案:(,)
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
试在坐标平面yOz内的直线2y-z=1上确定一点P,使P到Q(-1,0,4)的距离最小.
解:因为点P在yOz平面内,所以可设P(0,y,2y-1),
由两点间的距离公式得
|PQ|=
=
=.
显然当y=2时,|PQ|取最小值,这时点P(0,2,3).
17.(本小题满分12分)
已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.求k的取值范围.
解:由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为直线l与圆C交于两点,
所以<1.解得所以k的取值范围为(,).
18.(本小题满分12分)
有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的2倍.若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是:运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?
解:以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.
若P地居民选择在A地购买此商品,
则2a整理得(x+)2+y2<()2,
即点P在圆C:(x+)2+y2=()2的内部.
也就是说,圆C内的居民应在A地购物,圆C外的居民应在B地购物,圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物.
19.(本小题满分12分)
已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)求圆心的坐标及半径r;
(2)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(3)从圆C外一点P(x,y)向圆引切线,切点为M,O为坐标原点,且有PM=OP,求点P的轨迹方程.
解:(1)圆心C坐标为(-1,2),半径为.
(2)因为切线在两坐标轴上的截距相等且不为零.
设直线l的方程为x+y=a,
因为圆C与直线l相切,
所以圆心(-1,2)到切线的距离等于半径,
即=,
所以a=-1或a=3.
所以直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(3)因为切线PM与半径CM垂直,
所以PM2=PC2-CM2,
又PM=OP.
所以PC2-CM2=OP2,
即(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,
所以点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.
20.(本小题满分13分)
已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;
(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的 方程.
解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,
又a=,
所以圆心C为(-2,3),
直线l:3x+2y+6=0,
圆心C到直线l的距离
d==,
所以|AB|=2=.
(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得
(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0(*),
所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,
因为a>0,所以a=,
所以此时圆心C为(-2,2),方程(*)的解为x=-,
所以切点坐标为(-,),
根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为
(x+5)2+(y-)2=3.
21.(本小题满分14分)
已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4,
设M(x,y),则=(x,y-4),
=(2-x,2-y),
由题设知·=0,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
则(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,
所以l的斜率为-,
故l的方程为y=-x+.
又|OM|=|OP|=2,
O到l的距离为,|PM|=,
所以△POM的面积为.
