课件27张PPT。第一章 立体几何初步本章概览
一、地位作用
本章充分注意到对学生数学思维能力的培养,要求学生对空间图形的认识不仅停留在直观感知和观察上,而是要进行空间想象、抽象概括,得到有关的定义及基本性质、定理.使学生对空间图形的认识在初中几何的基础上能适当地上升到理性的层面,基于数学本身的抽象性和科学性,本章对数量、公式的表示,体积、面积的数据处理和运算求解,以及简单命题的演绎证明都提出了恰当的要求,力求准确、严谨、简明,但不求难求全.在历年高考中,突出了对逻辑思维及空间想象能力的考查.二、内容标准
1.空间几何体
(1)利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
(2)会用斜二侧画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图.
(3)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).
2.点、线、面之间的位置关系
(1)借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的基本性质和定理.◆基本性质1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
◆基本性质2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
◆基本性质3:如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
◆基本性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.(2)以立体几何的上述定义、基本性质和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理.
◆如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
◆如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
◆如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.
◆如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直.
通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明.
◆如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.
◆如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
◆如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
◆如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.(3)能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
三、核心素养
1.立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力,发展学生直观想象素养.本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则,教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、实验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题.3.立体几何初步的教学中,要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明:对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认.
4.有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形,为理解和掌握图形几何性质(包括证明)的教学提供形象的支持,提高学生的几何直观能力.教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择课题,进行探究.1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.几何体与长方体
(1)只考虑一个物体占有空间部分的 和 ,而不考虑其他因素,则这个空间部分叫做一个几何体.
(2)长方体由 个矩形(包括它的内部)围成,围成长方体的各个矩形叫做长方体的 ;相邻两个面的公共边,叫做长方体的 ;棱和棱的公共点叫做长方体的 .形状大小六面棱顶点2.构成空间几何体的基本元素
(1)构成空间几何体的基本元素:
、 、 是构成几何体的基本元素.
(2)平面及其表示方法:
①平面的概念:
平面是处处平直的面,它是无限延展的.点线面②平面的表示方法:一个平行四边形 (3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系:③面动成体:面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个 .几何体【拓展延伸】
对平面的理解
(1)平面与日常生活中见到的平面不同,立体几何中所说的平面是从生活中常见的平面中抽象出来的,生活中的平面是比较平的,且是有界的,而立体几何中的平面是:平直的、无限延展的、无大小、无边界、无厚薄的.
(2)平面通常用平行四边形来表示,水平放置的平面往往把平行四边形的锐角画为45°角,横边是邻边的2倍;平面也可用其他平面图形来表示,如三角形、梯形、圆等,但不能说平面图形就是平面,平面与平面图形是两个完全不同的概念.
(3)平面的表示:通常用小写的希腊字母表示,如α,β,γ,也可用表示平面的多边形的顶点字母表示或对角线的端点字母表示,如:平面ABCD,平面AC等.自我检测1.已知下列4个命题:①铺得很平的一张白纸是一个平面;②一个平面的面积可以等于6 m2;③平面的形状是矩形或平行四边形;④两个平面重合在一起比一个平面厚.其中正确命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3A解析:平面是绝对平的,无厚薄,无边界,向四周无限延展,通常用平行四边形来表示平面.故选A.2.下列各元素不属于构成几何体的基本元素的是( )
(A)点 (B)线 (C)面 (D)体D解析:点、线、面是构成几何体的基本元素,故选D.3.下列结论正确的个数有( )
①曲面上可以存在直线 ②平面上可存在曲线 ③曲线运动的轨迹可形成平面 ④直线运动的轨迹可形成曲面 ⑤曲面上不能画出直线
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)2个解析:因为直线运动的轨迹可形成曲面,也可形成平面,故①②③④均正确,⑤不正确,故选B.B4.在长方体ABCD-A′B′C′D′中,互相平行的平面共有 对,与AA′垂直的平面是 .?解析:互相平行的平面为平面ABCD∥平面A′B′C′D′,平面ADD′A′∥平面BCC′B′,平面ABB′A′∥平面DCC′D′,共3对;与A′A垂直的平面是平面AC,平面A′C′.答案:3 平面AC和平面A′C′类型一构成几何体的基本元素课堂探究·素养提升【例1】 下列元素属于构成几何体的基本元素的有( )
①点 ②线 ③曲面 ④平行四边形(不含内部的点) ⑤长方体 ⑥线段
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个解析:①②③⑥均为构成几何体的基本元素,只有④⑤不属于构成几何体的基本元素,故选B.方法技巧 点、线、面是构成几何体的基本元素,任何一个几何体都是由这些基本元素组成的,而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体,但是不能称之为基本元素.变式训练1-1:以下结论中不正确的是( )
(A)平面上一定有直线 (B)平面上一定有曲线
(C)曲面上一定无直线 (D)曲面上一定有曲线解析:曲面上是可以有直线的(圆锥面的母线就是直线),故选C.类型二 平面的概念【例2】 有以下结论:①平面是处处平直的面;②平面是无限延展的;③平面的形状是平行四边形;④一个平面的厚度可以为0.001 mm.其中正确结论的个数为( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个解析:①②两种说法正确,③④不正确,故选B.方法技巧 搞清平面与平面图形的区别与联系是解决此类问题的关键.变式训练2-1:下列语句是对平面的深层理解的描述:
①平面是绝对平的;②平面没有厚度,也可理解成其厚度为0;③平面和点、直线一样,是我们以后研究空间图形的基本对象之一,也是空间图形的一个重要的组成部分;④一个平面将无限的空间分成两部分,如果想从平面的一侧到另一侧,必须穿过这个平面;⑤平面可以看作空间的点的集合,它当然是一个无限集.
上述关于平面的相关描述,你认为正确的有 .?解析:由平面的性质可知:①②③④⑤均正确.答案:①②③④⑤类型三 几何体中线面位置关系【例3】 如图是课桌的大致轮廓,(1)请你从这个几何体中寻找一些点、线、面,并将它们列举出来.解:(1)点列举如下:
点A,点A1,点B,点B1,点C,点C1,点D,点D1,点A2,点B2,点C2,点D2.
线列举如下:
直线AA1,直线BB1,直线CC1,直线DD1,直线A2B2,直线C2D2等.
面列举如下:
平面A1A2B2B1,平面A1A2D2D1,平面C1C2D2D1,平面B1B2C2C1,平面A1B1C1D1,平面A2B2C2D2.(2)判断下列说法是否正确.
①直线AA1与直线CC1平行;
②直线AA1与平面C1D1D2C2相交;
③直线AA1与平面A1B1C1D1垂直;
④点A1与点B1到平面A2B2C2D2的距离相等.解:(2)①正确,由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内,且没有交点,因此直线AA1与直线CC1平行.②不正确,直线AA1与平面C1D1D2C2没有交点,因此直线AA1与平面C1D1D2C2平行.③正确,直线AA1与平面A1B1C1D1内的两条相交直线A1B1,A1D1垂直,因此直线AA1与平面A1B1C1D1垂直.④正确,点A1到平面A2B2C2D2的距离为A2A1,点B1到平面A2B2C2D2的距离为B2B1,又A2A1=B2B1,因此距离相等.方法技巧 以长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系,有助于形成空间观念,可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系.变式训练3-1:观察图,请指出它由哪些面和线组成?这些面和线具有什么特点?解:图中的几何体由三个矩形和两个三角形组成.其交线共有9条,其中的两个三角形面互相平行,其余三个矩形面两两相交,其交线(即棱)互相平行.谢谢观赏！课件27张PPT。1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.多面体的有关概念
(1)多面体是由 所围成的几何体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的 , 叫做多面体的棱,棱和棱的公共点叫做多面体的 ,连接 叫做多面体的对角线.若干个平面多边形 面相邻的两个面的公共边顶点不在同一个面上的两个顶点的线段(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则这样的多面体叫做 .多面体至少有 个面.多面体按照
分别叫做四面体、五面体、六面体…….
(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做这个几何体的 .
2.棱柱
棱柱的主要结构特征:有两个面 ;其余每相邻两个面的交线都 .棱柱的 叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两侧面的
叫做棱柱的侧棱, 叫做棱柱的高.棱柱按底面多边形边数分为 等,侧棱与底面 的棱柱叫做斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,底面是 的直棱柱叫做正棱柱;底面是 的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体, 的长方体是正方体.凸多面体4围成它的面的个数 截面互相平行 互相平行两个互相平行的面 公共边 两底面之间的距离 三棱柱、四棱柱 不垂直 正多边形平行四边形棱长都相等 3.棱锥
(1)棱锥的主要结构特征:有一个面是 ;其余各面都是有
的三角形;棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面; 叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱; 叫做棱锥的底面; 叫做棱锥的高.
(2)棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等.如果棱锥的底面是
,且它的顶点在过底面中心且与底面 的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是 ; .
叫做棱锥的斜高. 多边形一个公共顶点 各侧面的公共顶点 多边形顶点到底面的距离 正多边形垂直全等的等腰三角形等腰三角形底边上的高 4.棱台
(1)棱锥被 的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台. .
分别叫做棱台的下底面、上底面;其他各面叫做棱台的侧面;
叫做棱台的侧棱;两底面间的距离叫做棱台的高.平行于底面 原棱锥的底面与截面 相邻两侧面的公共边 (2)由 截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是 ,这些等腰梯形的高叫做棱台的 .正棱锥 全等的等腰梯形斜高【拓展延伸】
1.棱柱的结构特征
棱柱有两个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面每相邻两面的公共边都互相平行.这两个特征保证了棱柱的底面全等,侧棱互相平行,二者缺一不可.若说有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱,则是错误的说法.如图,此几何体就不是棱柱.2.棱锥的结构特征
棱锥是多面体中较重要的一种,它有两个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的各面是有一个公共顶点的三角形.二者缺一不可.因此要注意“有一个面是多边形,其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥,如图,此多面体有一面是四边形,其余各面都是三角形,但它不是棱锥.一个棱锥至少有四个面,所以三棱锥也叫四面体.
正棱锥是一种特殊棱锥,判断一棱锥是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正多边形,二是底面水平放置时,它的顶点与底面正多边形的中心都在铅垂线上.这也是掌握正棱锥定义的两个要点.3.棱台
棱台是用平行于棱锥底面的平面截得的,因此判断一个几何体是否为棱台,关键是看侧棱延长后能否交于一点.另外,棱台的上下底面是相似的多边形,因此就产生了一系列的比例问题,是考查的重点内容.诠释:正棱锥具有如下性质:各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等.棱锥的高、斜高和斜足与底面中心的连线组成一个直角三角形;棱锥的高,侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形.自我检测1.下列命题中正确的是( )
(A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
(B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
(C)一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱
(D)棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等C解析:根据棱柱的概念性质可知.2.下列说法中正确的是( )
(A)由五个面围成的多面体只能是四棱锥
(B)棱锥的高线可能在几何体之外
(C)仅有一组对面平行的六面体是棱台
(D)有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥B解析:对A,五面体也可能是三棱柱;对C,仅有一组对面平行的六面体也可能是四棱柱,对D,棱锥的定义中其余各面都有一个公共顶点;故B正确,选B.类型一多面体的概念课堂探究·素养提升【例1】 (1)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为四边形,则此几何体为棱柱”是否正确?
(2)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为梯形,则此几何体为棱台”是否正确?解:(1)不正确,其余各面为四边形,不能反映出夹在两平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行.(2)不正确,棱台是由平行于棱锥底面的平面所截,即如果是棱台,则各侧棱延长必交于一点,此命题不能反映出侧棱延长后交于一点.如图满足命题条件,但不是棱台.方法技巧 棱柱是多面体中最简单的一种,对棱柱的概念应正确理解,准确把握,它有两个本质特征:①有两个面(底面)互相平行;②其余各面(侧面)中每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱.变式训练1-1:下面四个几何体中,是棱台的为( )解析:棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得而成,故棱台具有(1)侧棱延长后交于一点.(2)有两个互相平行的底面.(3)侧面均为梯形.由以上分析可知选C.类型二 棱柱、棱锥、棱台的概念及其结构特征【例2】 一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
(A)底面是正方形,有两个侧面是矩形
(B)底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
(C)底面是菱形,且有一个顶点处的两条棱互相垂直
(D)底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形解析:对于A,满足了底面是正方形,但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧面也是矩形.对于B,垂直于底面的侧面中不是所有直线都垂直于底面,因此,不能保证侧棱垂直于底面.对于C,底面是菱形但不一定是正方形,同时侧棱也不一定和底面垂直.对于D,侧面全等且为矩形,保证了侧棱与底面垂直,底面是正方形,保证了底面是正多边形,因而符合正棱柱的定义和基本特征.故选D.方法技巧 判断正棱柱,要严格按照定义及它们的基本特征去分析,正棱柱的基本特征是:(1)底面是正多边形;(2)侧棱与底面垂直.变式训练2-1:下列结论中①正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等;②有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;③两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;④底面是正三角形,其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥.正确结论的序号是 .?解析:①正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心,也是三角形的外心,是各边中垂线的交点,满足到各顶点的距离相等,故①正确.
②如图1在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面AA1D1D,面BB1C1C
为矩形,但不满足侧棱与底面垂直,故②错误.③根据棱台的定义可知,棱台各侧棱的延长线交于一
点,而③不能保证各侧棱的延长线交于一点,故③错误.
④如图2的三棱锥P-ABC中,△ABC为正三角形,PA=PB=AB=BC=AC≠PC,此三棱锥满足④中的条件,但显然不是正三棱锥,故④错误.答案:①类型三 棱柱、棱锥、棱台中的有关计算【例3】 如图,正四棱台AC′的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm,求这个棱台的侧棱长和斜高.方法技巧 解决此类与正棱台有关的基本量(如侧棱、斜高、高等)计算,常有如下两种策略:
(1)充分利用正棱台中的3个直角梯形化成平面图形处理,即:
①斜高、上下底的边心距以及上下底中心的连线组成的直角梯形.
②侧棱、两底面相应的外接圆半径和两底面中心连线组成的直角梯形.
③斜高、侧棱和上下两底面相应边的一半组成的直角梯形.
(2)棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得到的,所以可以还台于锥来解决有关棱台的问题,即“补形”的思想.问题可转化为棱锥中的直角三角形处理.变式训练3-1:已知一个正三棱锥的高为h,侧棱长为l,求这个正三棱锥的底面边长和斜高.类型四 多面体的截面图与展开图【例4】 如图所示,正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,∠ASB=30°,M,N为棱SB和SC上的点,求△AMN的周长的最小值.思路点拨:将侧面展开化归为平面几何问题.将正三棱锥沿侧棱SA剪开,然后将其侧面展开在一个平面上,如图所示.连接AA′,设AA′交SB于M,交SC于N.显然△AMN的周长l=AM+MN+NA′≥AA′,也就是说当AM、MN、NA(NA′)在一条直线上时,对应的截面三角形周长最短,则AA′的长就是截面△AMN周长的最小值.方法技巧 求几何体表面上两点之间的最短距离可通过将几何体表面展开为平面图形,利用平面上两点间距离来求解,但应注意展开的方法和技巧.变式训练4-1:如图,直三棱柱ABB1-DCC1中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,
DC上有一动点P,则△APC1周长的最小值是 .?谢谢观赏！课件26张PPT。1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.圆柱、圆锥、圆台的有关概念
圆柱、圆锥、圆台可以分别看作以 、 、
所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.旋转轴叫做所围成的几何体的 ;在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的 ;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的 ;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的 ,无论旋转到什么位置,这条边都叫做 .矩形一边直角三角形的一直角边直角梯形中垂直于底边的腰 底面侧面侧面的母线轴高2.球的有关概念
(1)球面可看作一个 绕着它的 旋转一周所形成的曲面,球面围成的几何体,叫做 ,形成球的半圆的圆心叫做 ;连接球面上一点和球心的线段叫做球的 ;连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的 .
(2)球可以用表示它的 的字母来表示.
(3)球面也可以看作空间中 .
(4)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的 ;被不经过球心的平面截得的圆叫做球的 .半圆直径所在的直线球球心半径直径球心到一个定点的距离等于定长的点的集合 大圆小圆 (5)在球面上,两点之间的最短距离,就是 .
,这个弧长叫做两点的球面距离.经过这两点的大圆在这两点间的(6)球的小圆的圆心为O′,球心为O,|OO′|=d,球的小圆的半径为r,球半径为R,则d= .一段劣弧的长度 3.旋转体与组合体
(1)旋转体:圆柱、圆锥、圆台、球等几何体,都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体,这类几何体叫做 ,这条直线叫做旋转体的 .
(2)组合体:由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做 .旋转体轴组合体【拓展延伸】
1.侧面展开图
将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后放在平面上展开,它们分别是一个矩形、扇形和扇环,如图.2.球的性质
(1)球的截面性质:①球心和截面圆心的连线垂直于截面.②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆半径r有如下关系:d2+r2=R2.③大圆与小圆:球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.
(2)球面距离:球面上两点间的球面距离,必须是在球的过此两点的大圆中两点所对应的劣弧的长度,而不是在过此两点的球的小圆中,由球面距离的概念知,求球面距离的一般步骤:先求经过这两点的弦长,再求得这两点对应球心角的大小,然后代入弧长公式即得球面距离,在现实生活中,飞机、轮船都是尽可能以地球大圆弧为航线航行,可使两地之间行程最短.(3)地球上的经纬线
当把地球看作一个球时,经线是球面上从北极到南极的半个大圆.赤道是一个大圆,其余纬线都是小圆.下面用图示说明地球上的经度、纬度(如图):
0°经线也叫本初子午线.东经180°和西经180°同在一条经线上,那就是180°经线.自我检测1.如图将图A,B,C,D所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到如图E所示的几何体的是哪一个图中的三角形( )B解析:图E所示的几何体是由两个同底的圆锥叠放在一起形成的组合体,而直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周会得到圆锥,图B旋转后符合E图,
A,C,D旋转后均不符合.故选B项.2.下列说法中正确的是( )
(A)圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的
(B)圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的
(C)圆柱不是旋转体
(D)圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的D解析:直角梯形必须绕其垂直于底边的腰旋转才形成圆台;直角三角形必须绕直角边旋转才形成圆锥;圆柱是由矩形绕其一边旋转而形成的几何体,因而它是旋转体,易知圆锥、圆台也是旋转体;类比棱台的定义,圆台也可以看成是一个圆锥被一个平行于底面的平面所截得到的.3.过球面上两点,可作球的大圆的个数( )
(A)有且只有一个 (B)1个或无数个
(C)无数个 (D)不存在这种大圆B解析:当球面上两点的连线过球心时,过这两点的平面可得无数个大圆,当两点的连线不过球心时,球心与这两点不共线,则可确定一个平面截球可得唯一一个大圆.4.点O1为圆锥高中靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的 倍.?类型一 圆柱、圆锥、圆台的有关概念课堂探究·素养提升【例1】 下列叙述正确的个数是( )
①以直角三角形一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台 ③用平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面均为圆面 ④用一平面截圆锥可得的是一个圆锥和一个圆台
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:①应以直角三角形的一直角边为轴旋转可得圆锥,②应以直角梯形的垂直于底边的一腰为轴旋转方可得到圆台,③用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面才是圆面,④用平行于圆锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台,否则得不到.故选A.方法技巧 判别旋转体应从旋转体的定义出发,从不同角度考虑,特别是从反面入手(举反例),从而更易找出正确的选项.变式训练1-1:下列命题中正确的有( )
①圆台的所有平行于底面的截面都是圆;②圆台是直角梯形绕其一边旋转一周而成的;③在圆台的上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线一定是圆台的母线;④圆台可看成是平行于底面的平面截圆锥得到的
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个解析:本题主要考查圆台的有关概念,正确理解圆台的特点是关键.由圆台特点知①④正确;对于②,当这一边是梯形中的一条底边和斜腰时,形成的不是圆台;由圆台的母线延长后交于一点知③错,故选B.类型二 圆柱、圆锥、圆台中的有关计算【例2】 已知圆台的母线长为8,母线与轴的夹角为30°,下底面半径是上底面半径的2倍,求两底面面积和轴截面面积.方法技巧 处理旋转体问题,借助于轴截面,更易找出各量之间的关系,但应注意截面图中的量与实际图形中的对应关系.变式训练2-1:已知,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱,那么圆柱的底面半径为 .?答案:1类型三 旋转体的侧面展开图【例3】 用一张4×8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,求轴截面的面积.(接头忽略不计)变式训练3-1:边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面,求从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离.类型四 截面圆的性质及应用【例4】 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)0.5方法技巧 (1)球的半径、截面圆的半径及球心到截面圆的距离构成直角三角形.设球心为O,截面圆的圆心为O′,球的半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面圆的距离为d,则①OO′⊥平面☉O′;②d= .
(2)球的两个平行截面圆问题要注意,球心在同侧还是异侧.变式训练4-1:在球内有相距9 cm的两个平行截面,面积分别为49π cm2,
400π cm2,求此球的半径.谢谢观赏！课件21张PPT。1.1.4 投影与直观图目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.直观图
用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的 .
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
运用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,主要步骤如下:
①在已知图形中取水平平面,作相互垂直的轴 ,使∠xOy=90°;
②画直观图时,把轴Ox,Oy画成对应的轴 ,使
(或135°),x′O′y′所确定的平面表示水平平面;直观图Ox,OyO′x′,O′y′ ∠x′O′y′=45° ③已知图形中,平行于 轴、 轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴.并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
④已知图形中,平行于 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 轴的线段,长度变为原来的一半.
⑤画图完成后,擦去作为轴助线的坐标轴,就得到了水平放置的平面图形的直观图.xyxy自我检测1.如图,直观图表示的平面图形是( )
(A)任意三角形
(B)锐角三角形
(C)直角三角形
(D)钝角三角形C解析:平面图形的原图形与其直观图具有可逆性,可将此直观图还原为原图形,因为A′B′∥y′轴,B′C′∥x′轴,所以还原后,仍保持平行性不变,故原图形中AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形.2.如果一个三角形用斜二测画法画出来的是一个边长为2的正三角形,则此三角形的面积是( )A3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为 .?解析:直观图对应的原图形,如图,
则由斜二测画法规则知
AC=3,BC=4,所以AB=5,
所以斜边AB上的中线长为 .答案:类型一水平放置的平面图形直观图的画法课堂探究·素养提升【例1】 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.解:法一 (1)如图(1)所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.(2)画对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.
在x′轴上截取O′B′=O′C′=2 cm,在y′轴上截取O′A′= OA,连接A′B′,A′C′,则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,如图(2)所示.法二 (1)如图(3)所示,以BC边所在的直线为y轴,以BC边上的高AO所在的直线为x轴.(3) (4)(2)画对应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°.
在x′轴上截取O′A′=OA,在y′轴上截取O′B′=O′C′= OC=1 cm,连接A′B′,A′C′,
则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图,
如图(4)所示.方法技巧 此类问题的解题步骤是:建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点O,能使整个作图变得简便.另外,从本题的两种解法可知,坐标系选取的不同,可得到不同的直观图.变式训练1-1:用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图.解:(1)如图(1)所示,在已知正五边形ABCDE中,取中心O为原点,对称轴FA为y轴,过点O与y轴垂直的是x轴,分别过B、E作GB∥y轴,HE∥y轴,与x轴分别交于点G、H.画对应的轴O′x′、O′y′,使∠x′O′y′=45°.(3)连接A′B′、B′C′、D′E′、E′A′,所得正五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图,如图(3)所示.类型二 空间几何体的直观图的画法【例2】 试画出底面边长为1.2 cm,高为1.5 cm的正四棱锥的直观图.解:画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,
∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图(1).(1) (2)(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内画出正方形直观图ABCD,使AB=1.2 cm.(3)画顶点. 在Oz轴上截取OP,使OP=1.5 cm.
(4)成图.顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得正四棱锥的直观图,如图(2).方法技巧 (1)用斜二测画法作空间图形的直观图时,应建立适当的空间直角坐标系,常寻找原图中两两共点且互相垂直的三条直线为坐标轴,或利用图形的对称性建系.
(2)在画棱柱、棱台的直观图时,可确定下底面的直观图,确定好高度后,再把坐标系平移上来再画上底面的直观图即可.变式训练2-1:已知一个正四棱台的上底面边长为2 cm,下底面边长为6 cm,高为4 cm.用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.解:(1)画轴.以底面正方形ABCD的中心为坐标原点,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4 cm,过O1点作O1x′∥Ox、O1y′∥Oy,使∠x′O1y′=45°,建立坐标系x′O1y′,在x′O1y′中重复(2)的步骤画出上底面的直观图A1B1C1D1.图1 (4)再连接AA1、BB1、CC1、DD1,并擦去辅助线,将被遮部分改为虚线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图2). 图2类型三 平面图形的直观图与原图形之间的关系【例3】 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,则它的原平面图形的面积是( )方法技巧 (1)由直观图还原为原图是画直观图的逆过程,有两个量发生了变化,一是∠x′O′y′由45°恢复为∠xOy=90°,二是与O′y′平行的线段,在平面xOy中的长度是原来的2倍.(2)通过计算可知,设原图面积S,直观图面积S′,则S′= S.变式训练3-1:一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,如图,若O′B′=1,那么原三角形的面积与直观图的面积之比为 .?类型四 易错辨析【例4】 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 .?纠错:导致上述错解的原因为:在计算梯形面积时忽视了直观图边长的变化,误认为原图形的高就是直观图的高的2倍.谢谢观赏！课件20张PPT。1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
(1)设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则直棱柱侧面积计算公式S直棱柱侧=
,即直棱柱的侧面积等于它的 .底面周长和高的乘积ch(2)设正n棱锥的底面边长为a,底面周长为c,斜高为h′,则正n棱锥的侧面积的计算公式S正棱锥侧= = .即正棱锥的侧面积等于它的
.底面的周长和斜高乘积的一半 (3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c,上底面边长为a′,周长为c′,斜高为h′,则正n棱台的侧面积公式:
S正棱台侧= = .(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于 与 的和,即S表= .
(5)由球的半径R计算球表面积的公式:S球= .即球面面积等于它的大圆面积的 倍.底面积侧面积S底+S侧 4πR2四2.圆柱、圆锥、圆台的侧面积(1)S圆柱侧= (r为底面半径,l为母线长),
(2)S圆锥侧= (r为底面圆半径,l为母线长).
(3)S圆台侧= (R,r分别为上、下底面半径,l为母线长).
(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的 与 的和,即S表= + .2πrlπrlπ(R+r)l底面积侧面积S底 S侧3.球的表面积
公式为S球= ,即:球面面积等于它的大圆面积的四倍.4πR2自我检测1.若球的大圆周长为C,则该球的表面积为( )C2.一正四棱锥各棱长均为a,则其表面积为( )B3.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是( )A4.已知正四棱台上底面边长为4 cm,侧棱和下底面边长都是8 cm,则它的表面积是 .?类型一 直棱柱的侧面积课堂探究·素养提升【例1】 直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为Q1,Q2,求直平行六面体的侧面积.解:如图所示,设底面边长为a,侧棱长为l,两条底面对角线的长分别为c,d,即BD=c,AC=d,则类型二 正棱锥的表面积【例2】 设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积.方法技巧 利用棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影构成的直角三角形,可找出各量之间的关系.类型三 正棱台的侧面积【例3】 已知正四棱台的高为12 cm,两底面边长之差为10 cm,全面积为512 cm2,求底面边长.方法技巧 正棱台的计算要抓住正棱台中的几个特殊图形,即棱台中的三个侧面和两个底面,它们分别是三个直角梯形和两个直角三角形,含有正棱台的所有基本量.类型四 球的表面积【例4】 已知一个球内切于圆柱,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:
(1)球的表面积等于圆柱的侧面积;
(2)球的表面积等于圆柱表面积的 .证明:(1)如图所示,设球的半径为R,
则圆柱的底面半径为R,高为2R,
所以S球=4πR2,S圆柱侧=2πR·2R=4πR2,
所以S球=S圆柱侧.变式训练4-1:有三个球,第一个球内切于正方体;第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.谢谢观赏！课件29张PPT。1.1.7 柱、锥、台和球的体积目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.祖暅原理:幂势既同,则积不容异
这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.应用祖暅原理可说明: 、 的两个柱体或锥体的体积相等.
2.长方体的体积
长方体的长、宽和高分别为a,b,c,长方体的体积V长方体= .等底面积 等高 abc3.棱柱和圆柱的体积
(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积,即V柱体= .
(2)底面半径是r,高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱= .
4.棱锥和圆锥的体积
(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S,高是h,那么它的体积V锥体= .
(2)如果圆锥的底面半径是r,高是h,则它的体积是V圆锥= .Shπr2h5.棱台和圆台的体积
(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′,S,高是h,则它的体积是V台体=
.(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r,高是h,则它的体积是V圆台=
.6.球的体积
如果球的半径为R,那么球的体积V球= .【拓展延伸】
1.球的体积
球的体积公式也可以用祖暅原理推导.
如图所示,从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖出一个以圆柱的上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,所得到的几何体被与圆柱下底面平行且相距为l的平面所截,截得的截面是圆环,其面积为π(R2-l2).2.柱、锥、台体与球体的体积公式之间的关系自我检测(A)6 (B)12 (C)24 (D)48D 2.若球的大圆面积扩大为原来的3倍,则它的体积扩大为原来的( )
(A)3倍 (B)9倍 (C)27倍 (D)3 倍D3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3.?答案:64.一正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 .?类型一 柱体的体积课堂探究·素养提升【例1】 已知直四棱柱的底面是菱形,两个对角面的面积分别为2 cm2,
2 cm2,侧棱长为2 cm,求其体积.方法技巧 求柱体的体积关键是求底面积和高,而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理.熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键.变式训练1-1:已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积.类型二 锥体的体积【例2】 求棱长为a的正四棱锥的体积.方法技巧 利用锥体内直角三角形,寻求各量之间的关系,从而求出底面积和高,进而求出锥体体积.变式训练2-1:若△ABC的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=2,以AB所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的体积.类型三 台体的体积【例3】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积.方法技巧 在求台体的体积时,关键是根据题设条件,分析得出所求问题需要哪些量,现在已知哪些量,然后归纳到正棱台的直角梯形中列式求解,最后代入体积公式求解体积.变式训练3-1:体积为52 cm3的圆台,一个底面面积是另一个底面面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )
(A)54 cm3 (B)54π cm3 (C)58 cm3 (D)58π cm3解析:由底面面积之比为1∶9知,体积之比为1∶27,截得小圆锥与圆台体积比为1∶26,所以小圆锥体积为2 cm3,故原来圆锥的体积为54 cm3,故选A.类型四 球的体积【例4】 一个正方体的顶点都在球面上,且棱长为a,那么这个球的体积是多少?方法技巧 (1)有关球面“内接”问题,要通过作截面找出球的半径与几何体的棱长、体对角线长、母线、底面半径之间的数量关系;
(2)正方体、长方体的外接球直径即是其体对角线;
(3)正四面体,三条棱两两垂直的三棱锥问题一般转化为求其所在正方体或长方体的外接球的直径.变式训练4-1:已知棱长为a的正四面体,求其内切球的体积和外接球的体积.类型五 组合体的体积【例5】 如图在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,
EF=2,EF与平面AC的距离为3,求该多面体的体积.方法技巧 不规则几何体的体积可通过对几何体分割,使每部分能够易求得其体积,或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何体体积.变式训练5-1:三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,
C-A1B1C1的体积之比为( )
(A)1∶1∶1 (B)1∶1∶2
(C)1∶2∶4 (D)1∶4∶4谢谢观赏！课件26张PPT。1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.平面的基本性质
(1)基本性质1 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.
(2)基本性质2 经过 的三点,有且只有一个平面,也可简单地说成, 的三点确定一个平面.两点不在同一条直线上 不共线 (3)基本性质3 如果不重合的两个平面有 公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.
2.平面基本性质的推论
(1)推论1 经过一条直线和 的一点,有且只有一个平面.
(2)推论2 经过两条 直线,有且只有一个平面.
(3)推论3 经过两条 直线,有且只有一个平面.
【拓展延伸】
(1)基本性质1的作用是判定直线在平面内的依据.
(2)基本性质2及它的三个推论的作用是确定平面的依据.
(3)基本性质3的作用是判定两平面相交的依据,也是证明点共线或线共点的依据.一个直线外 相交平行3.共面与异面直线
(1)两条直线共面,那么它们 或者 .
(2)既不 又不 的两条直线叫做异面直线.
(3)判定两条直线为异面直线的一种方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内 的直线是异面直线.
【拓展延伸】
三种语言
我们可以把空间看作点的集合.这就是说,点是空间的基本元素,直线和平面都是空间的子集,直线是它所在平面的子集.于是,我们可以用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.例如,
点A在平面α内,记作A∈α;点A不在α内,记作A?α(A∈α也称作平面α经过点A);
直线l在平面α内,记作l?α;直线l不在平面α内,记作l?α(l?α也称作平面α经过直线l);
平面α与平面β相交于直线a,记作α∩β=a.
直线l和m相交于点A,记作l∩m={A},简记为l∩m=A.平行相交相交平行不经过交点 自我检测1.下列命题:
①公理1可用集合符号叙述为:若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则必有l∈α;
②四边形的两条对角线必相交于一点;
③用平行四边形表示的平面,以平行四边形的四条边作为平面边界线;
④梯形是平面图形.
其中,正确的命题个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4A 解析:对于①,因为直线可视为点集,平面也是点集,应表示为l?α,所以①错误;对于②,当四边形是平面图形时,两对角线必相交于一点;当四边形的四个顶点不共面时,两条对角线不能相交,所以②错误;对于③,平面是无限延展的,表示平面的平行四边形也是无限延展的(需要时可向四周延展),故③错误;对于④,梯形有两条边互相平行,由推论3知其为平面图形,故④正确,选A.2.若点M在直线a上,直线a在平面α内,用数学符号记为( )
(A)M∈a,a∈α (B)M∈a,a?α
(C)M?a,a∈α (D)M?a,a?αB解析:由于点看作元素,线面看作集合.故选B.3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
(A)一定平行 (B)一定相交
(C)一定异面 (D)相交或异面解析:由异面直线的定义可知,选D.D4.在空间中,下列条件能够确定一个平面的是: .?
①两条直线,②一个点和一条直线,③三个点,④两条相交直线,⑤圆上不同的三个点,⑥两条平行直线.解析:由平面的基本性质和推论可知只有④⑤⑥可以确定一个平面.答案:④⑤⑥类型一 用图形符号语言表示点、线、面之间的位置关系课堂探究·素养提升【例1】 据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;
(3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC;
(5)直线AB与直线BC;(6)直线AB与平面AC;
(7)平面A1B与平面AC.解:(1)点P∈直线AB;(2)点C?直线AB;
(3)点M∈平面AC;(4)点A1?平面AC;
(5)直线AB∩直线BC于点B;(6)直线AB?平面AC;
(7)平面A1B∩平面AC于直线AB.方法技巧 (1)正确理解点、线、面表示的含义,点表示元素,线、面都是点的集合.
(2)注意区别代数与几何表示法.类型二 线共面问题的证明【例2】 已知,AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C,如图所示.求证:直线AB,BC,
AC共面.证明:法一 因为AB∩AC=A,
所以直线AB,AC确定一个平面α(推论2).
因为B∈AB,C∈AC,
所以B∈α,C∈α,
故BC?α(公理1).
因此直线AB,BC,CA共面.法二 因为A?直线BC,
所以过点A和直线BC确定平面α(推论1).
因为A∈α,B∈α.
故AB?α,
同理AC?α,
所以AB,AC,BC共面.
法三 因为A,B,C三点不在同一条直线上,
所以过A,B,C三点可以确定平面α(公理3).
因为A∈α,B∈α,
所以AB?α(公理1).
同理BC?α,AC?α,
所以AB,BC,CA三直线共面.方法技巧 解决共面问题的基本方法是:(1)由条件确定一个平面,然后再由公理1证明其余的线也在该平面内;(2)由一部分线确定一个平面,由另一部分线确定另一个平面,然后证明两个平面重合.变式训练2-1:如图所示,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c,l共面.证明:法一 先由a∥b确定一个平面,然后证l,c都在这个平面内.
因为a∥b,所以a,b确定平面α.
又因为l∩a=A,l∩b=B,所以l上有两点A,B在α内,
即直线l?α.
于是a,b,l共面.
换句话说,若a,l确定平面α,过l上一点B,作b∥a,则b?α.
同理,过l上一点C作c∥a,则c也在a,l确定的平面内.
故a,b,c,l共面.法二 因为a∥b,所以a,b确定平面α,
又A∈a,B∈b.
所以AB?α,即l?α.
又因为b∥c,所以b,c确定平面β,
而B∈b,C∈c,所以BC?β.
即l?β,于是a,l?α,b,l?β,而b∩l=B.
所以故α与β重合,所以a,b,c,l共面.
法三 因为a∥b,所以a,b确定平面α,
又因为A∈a,B∈b.所以AB?α,即l?α,设c?α.
过C在平面α内作c′∥b,c′∩c=C,
又b∥c,所以c∥c′与c′∩c=C矛盾,
所以c?α,故a,b,c,l共面.类型三 点共线问题的证明【例3】 已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平面α于P,
Q,R(如图),求证:P,Q,R三点共线.证明:法一 因为AB∩α=P,
所以P∈AB,P∈平面α.又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本性质3可知,
点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
又因为两相交平面的交线有且只有一条,所以P,Q,R三点共线.法二 因为AP∩AR=A,
所以直线AP与直线AR确定平面APR,
又因为AB∩α=P,AC∩α=R,
所以平面APR∩平面α=PR.
因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC?平面APR,
又因为Q∈直线BC,
所以Q∈平面APR,
又Q∈α,所以Q∈PR,
所以P,Q,R三点共线.方法技巧 证明点共线问题常用方法:
(1)先找出两个平面,再证明这三个点都是这两个平面的公共点,从而根据基本性质3判定它们都在交线上.
(2)选择两点确定一条直线,再证另一点在这条直线上.变式训练3-1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于Q,求证:B,Q,D1三点共线.证明:因为A1C∩平面ABC1D1=Q,
所以Q∈平面ABC1D1,Q∈A1C.
又A1C?平面A1BCD1,
所以Q∈平面A1BCD1.
而平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1,
所以Q∈BD1,
即B,Q,D1三点共线.类型四 线共点问题的证明【例4】 在三棱锥S-ABC的边SA,SC,AB,BC上分别取点E,F,G,H,若EF∩GH=
P,求证:EF,GH,AC三条直线交于点P.证明:因为E∈SA,SA?平面SAC,F∈SC,SC?平面SAC,
所以EF?平面SAC.
同理,GH?平面ABC.
因为EF∩GH=P,所以P∈平面SAC,P∈平面ABC.
因为平面SAC∩平面ABC=AC,所以P∈AC.
即直线EF,GH,AC交于一点P.变式训练4-1:如图所示,已知M,N,P,Q分别为正方体中棱AB,BC,C1D1,C1C的中点,求证:PQ,MN,DC三线共点.证明:如图所示,连接MN,并延长MN交DC的延长线于O,
则△MBN≌△OCN,所以CO=MB.
连接PQ并延长PQ交DC的延长线于O1,
则△PC1Q≌△O1CQ,所以CO1=PC1.
又因为MB=PC1,
所以CO=CO1,所以O与O1重合.
所以PQ,MN,DC相交于一点,即直线PQ,MN,DC三线共点.类型五 几何体的截面作法【例5】 已知P,Q,R三点分别在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1,DD1上,试画出过P,Q,R三点的截面.解:如图,(1)连接QP,QR并延长,分别交CB,CD的延长线于点E,F.
(2)连接EF,交AB于T,交AD于S.
(3)连接RS,TP,则多边形PQRST为所求.方法技巧 作几何体的截面,即作几何体与平面的交线,即找截面与几何体表面的公共点,只需找到两个,连接即可画该面上的交线,其依据为平面的基本性质,注意平面的延展性.谢谢观赏！课件22张PPT。1.2.2 空间中的平行关系
第一课时 平行直线 直线与平面平行目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.基本性质4
平行于同一条直线的两条直线互相 ,用符号语言表示 .
.
2.定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ,并且 ,那么这两个角相等.平行若a∥b,c∥b,则a∥c 平行方向相同 3.空间四边形
顺次连接不共面的四点所构成的图形,叫做 .这四个点叫空间四边形的 ;所连接的相邻顶点间的线段叫空间四边形的 ;连接不相邻的顶点的线段叫空间四边形的 .空间四边形 顶点边对角线4.直线与平面的位置关系
如果一条直线与一个平面有两个公共点,则 .如果一条直线与一个平面只有一个公共点,则 .如果一条直线与平面无公共点,则 .
5.直线与平面平行的判定定理
如果 的一条直线和 的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
6.直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行, ,那么这条直线就和两平面的交线平行.这条直线在这个平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 不在一个平面内 平面内 经过这条直线的平面和这个平面相交【拓展延伸】
1.直线与平面平行的判定方法
(1)定义法:如果一条直线与平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行.
(2)直线和平面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行,符号表示为:a?α,b?α,a∥b
?a∥α.
①在判定定理中,要特别注意“不在一个平面内的一条直线”这个条件,很容易忽略,如果缺少了这个条件,直线和平面将可能会有另外一种位置关系:直线在平面内.
②这个定理告诉我们,今后要证明平面外一条直线与平面平行时,只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行,就可判定这条已知直线必与这个平面平行.③直线与平面平行的判定定理实质上是将直线与平面平行的判定转化成直线与直线平行的判定,这是立体几何中的一种常用方法,将线面平行的关系转化成线线平行的关系来处理.
④根据定理,画一条直线与已知平面平行,通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行.
2.直线与平面平行的性质
(1)定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.
符号表示为:l∥α,l?β,α∩β=m?l∥m.(2)直线与平面平行的性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据,当证明线线平行时,可以通过证明其中一条直线平行于一个平面,另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线,从而得到两直线平行.在空间中,经常应用这个定理,由“线面平行”去判定“线线平行”.
②作为画一条直线与已知直线平行的依据,如果一条直线平行于一个平面,在平面内要画一条直线与已知直线平行,可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交,交线就是所要画的直线.
③定理中有三个条件:①l∥α;②α∩β=m;③l?β.这三个条件缺一不可,否则将出现错误.自我检测1.已知:直线a平行于平面α,则直线a与平面α内的直线b的位置关系是( )
(A)平行 (B)异面
(C)相交 (D)异面或平行D解析:由定义知:直线与平面平行,则直线与平面无公共点,从而直线与平面内的直线无公共点,故选D.2.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )
(A)OB∥O1B1且方向相同 (B)OB∥O1B1
(C)OB与O1B1不平行 (D)OB与O1B1不一定平行D解析:因∠AOB与∠A1O1B1可以绕OA、O1A1转动,所以OB与O1B1不一定平行,故选D.3.在下列命题中正确命题的个数是( )
①若直线a平行于平面α,直线b?平面α,则a∥b;
②如果点P是直线a上的点,且P?平面α,那么a∥α;
③一条直线和一个平面内的无数条直线都异面,则这条直线和这个平面平行;
④过平面α外一点可作无数条直线和平面α平行.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②③不正确,④正确.B4.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA上的一点,且四边形EFGH为菱形,若AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,则AE∶BE= .?答案:m∶n类型一 直线与平面平行的判定课堂探究·素养提升【例1】 已知空间四边形ABCD,P,Q分别是△ABC和△BCD的重心.求证:PQ∥平面ACD.证明:如图所示,取BC的中点E.
因为P是△ABC的重心,连接AE,
所以AE过点P,且AE∶PE=3∶1.
因为Q为△BCD的重心,连接DE,
所以DE过点Q,且DE∶QE=3∶1,连接PQ,
所以在△AED中,PQ∥AD.
又AD?平面ACD,PQ?平面ACD,所以PQ∥平面ACD.方法技巧 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.首先要看是否有直接可用的平行线,若无,则考虑根据已知条件作出所需要的平行线,其口诀是“见分点连分点,找出平行线”,有时的分点是中点,通常考虑三角形中位线.变式训练1-1:如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:
GH∥平面PAD.证明:如图,连接AC交BD于点O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点.
又M是PC的中点,所以PA∥MO.
而AP?平面BDM,OM?平面BDM,所以PA∥平面BMD.
又因为PA?平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,所以PA∥GH.
又PA?平面PAD,GH?平面PAD,所以GH∥平面PAD.类型二 直线与平面平行的性质 【例2】 如图,四面体A-BCD被一平面所截,截面与四条棱AB,AC,CD,BD分别相交于E,F,G,H四点,且截面EFGH是一个平行四边形,求证:棱BC∥平面EFGH.证明:因为平面EFGH是平行四边形,
所以EF∥GH,又EF?平面BCD,
GH?平面BCD,所以EF∥平面BCD,
又EF?平面ABC,且平面ABC∩平面BCD=BC,所以EF∥BC,
又BC?平面EFGH,EF?平面EFGH.所以BC∥平面EFGH.方法技巧 已知线∥面,借助辅助平面得线∥线,有时线面难以找出联系,要作出辅助平面,实际证题时往往把线∥线?线∥面?线∥线反复使用才能达到证明的目标.变式训练2-1:已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行于这个平面.证明:已知:直线a∥b,a∥α,且b?α,求证:b∥α.
如图所示,过a及平面α内一点A作平面β.
设β∩α=c,因为a∥α,所以a∥c.因为a∥b,所以b∥c.又因为b?α,c?α,所以b∥α.类型三 直线与平面平行的综合运用【例3】 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.解:已知α∩β=l,a∥α,a∥β,求证:a∥l.
证明:过a作平面γ交α于b,如图,
因为a∥α,a?γ,γ∩α=b,
所以a∥b(直线和平面平行性质定理).
同样,过a作平面δ交平面β于c,
因为a∥β,所以a∥c(直线和平面平行性质定理),所以b∥c.
又因为b?β,且c?β,所以b∥β.
又因为平面α经过b交β于l,所以b∥l(直线和平面平行性质定理).
因为a∥b,所以a∥l(公理4).方法技巧 (1)本题多次应用线面平行的性质定理,揭示了线面平行与线线平行的内在联系与相互转化关系.为利用线面平行的性质,本题构造两个辅助面产生平面内的直线,起到转化的作用.
(2)证明两条直线平行的方法:
①利用平行线的定义;②利用平行关系的传递性;③利用直线与平面平行的性质定理;另外在同一平面内,可利用平面几何的方法来证明线线平行,如三角形中位线,平行线分线段成比例等.求证:(1)当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形;
(2)当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形.(2)当λ≠μ时,EH≠FG,故四边形EFGH是梯形.谢谢观赏！课件21张PPT。第二课时 平面与平面平行目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.两个不重合平面的位置关系有两种,即 和 .
如果两个平面有且仅有一条公共直线,则称这两个平面 ,这条公共直线叫做两个平面的 .记作α∩β=a,如图.
如果两个平面 ,那么这两个平面叫做平行平面,平面α平行于平面β,记作 .如图.平行相交相交交线没有公共点 α∥β 2.两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有 平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表示: ,
如图.两条相交直线 a?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β?α∥β 利用直线与平面平行的判定定理,我们可以得到:
推论:如果一个平面内有 分别平行于另一个平面内的
,则这两个平面平行.两条相交直线 两条直线 3.两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的 平行.
符号表示: ?a∥b,
如图:交线α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b 4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段 .
5.如果两个平面平行,其中一个平面内的 平行于另一个平面.
符号表示: ?a∥β.成比例 任一直线 α∥β,a?α 【拓展延伸】
空间中的平行关系之间的相互转化
空间中:线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质可相互转化,其关系可用下图表示:自我检测1.设直线l?平面α,则过l作平面β,使β∥α,这样的β( )
(A)只能作一个 (B)至多可作一个
(C)不存在 (D)至少可作一个B 解析:若l与平面α相交于一点,则不存在这样的平面;若l∥α,则存在唯一满足条件的平面β.故选B.2.平面α与平面β平行,直线a?α,直线b?β,则a与b的位置关系是( )
(A)无公共点 (B)平行
(C)相交 (D)异面A解析:由平面与平面平行定义知,两平面无公共点,从而两平面内的直线也无公共点.3.给出下列命题(m,n为直线,α,β为平面)
①m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β;②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③α∥β,l?α?l∥β;④α内任一条直线都平行于平面β?α∥β.其中正确的是( )
(A)①③ (B)②④ (C)③④ (D)②③解析:①不正确,m,n应为相交直线;②不正确,m与n可能平行,也可能异面;③正确,因为α∥β,所以α与β无公共点,因而α内的直线l与β无公共点,所以l∥β;④正确,由判定定理可以判断.C4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .?解析:由面面平行的性质定理可知:l∥A1C1.答案:平行类型一平面与平面平行的判定课堂探究·素养提升【例1】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,AA1的中点,求证:平面BDE∥平面B1D1F.方法技巧 在证明两平面平行中,是先证“线线平行”,进而证“线面平行”,最后得证“面面平行”,这是立体几何中按层次逐步的转化,证明平行问题要经常反复的进行转化,掌握它们之间转化的技巧是证题的关键.变式训练1-1:如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C;
(2)若E,F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD.证明:(1)由BB1∥DD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,所以B1D1∥BD,又BD?平面B1D1C,B1D1?平面B1D1C,
所以BD∥平面B1D1C.同理,A1D∥平面B1D1C.
而A1D∩BD=D,所以平面A1BD∥平面B1D1C.
(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G,连接AG,GF,则AE∥B1G且AE=B1G,
从而得B1E∥AG,因为GF∥AD且GF=AD,从而得AG∥DF,所以B1E∥DF,又B1E?平面EB1D1,DF?平面EB1D1,
所以DF∥平面EB1D1,又BD∩DF=D,所以平面EB1D1∥平面FBD.类型二 平面与平面平行的性质【例2】 如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?并证明你的结论.解:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC,证明如下:
取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE①
由EM= PE=ED,知E是MD的中点,连接BM,BD,设BD∩AC=O,则O为BD的中点,连接OE,则BM∥OE②
由①②可知,平面BFM∥平面AEC,又BF?平面BFM,
所以BF∥平面AEC.方法技巧 本题是一道探索型问题,实际上是求过B点平行于平面AEC的直线.解这类探索型问题的基本思路是:先假设所研究的对象存在,然后以此为条件进行推理,得出存在的结论或得出矛盾.变式训练2-1:如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2CD,
E,E1分别是棱AD,AA1上的点.设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.证明:因为F为AB的中点,所以AB=2AF,
又因为AB=2CD,所以CD=AF,因为AB∥CD,所以CD∥AF,
所以四边形AFCD为平行四边形,
所以FC∥AD,又FC?平面ADD1A1,AD?平面ADD1A1,所以FC∥平面ADD1A1,
因为CC1∥DD1,CC1?平面ADD1A1,DD1?平面ADD1A1,
所以CC1∥平面ADD1A1,又FC∩CC1=C,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1?平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.类型三 空间中平行关系的综合应用【例3】 如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,
△BCD的重心.
(1)求证:平面MNG∥平面ACD;(2)求S△MNG∶S△ACD.方法技巧 (1)线面、面面平行的判定和性质常常结合在一起进行考查,解题中要注意性质和判定交替应用.
(2)利用判定或性质解题时,应注意解题过程的规范性,即要准确地使用数学语言及符号来表示出定理的有关内容.谢谢观赏！课件21张PPT。1.2.3 空间中的垂直关系
第一课时 直线与平面垂直目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入 情境导学知识探究1.两条直线互相垂直
如果两条直线相交于一点或 ,并且 ,则称这两条直线互相垂直.
2.空间直线与平面垂直
如果一条直线和一个平面相交于一点,并且和这个平面内过交点的 .
,我们说这条直线和这个平面互相垂直,这条直线叫 ,这个平面叫 ,交点叫 ,垂线上任意一点到垂足间的线段,叫这个点到平面的 ,垂线段的长度叫这个点到平面的距离.经过平移后相交于一点 交角为直角任何直线都垂直平面的垂线直线的垂面 垂足垂线段 3.直线与平面垂直的判定定理
定理:如果 ,则这条直线与这个平面垂直.
推论1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么 .
.
推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么 .一条直线与平面内的两条相交直线垂直 另一条直线也垂直于这个平面 这两条直线平行 4.直线与平面垂直的性质定理
如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的 .任意一条直线垂直 【拓展延伸】
直线和平面的垂直
1.直线与平面垂直定义的理解
(1)定义中的“任何直线”是必不可少的,它与“所有直线”是有相同的含义,但与“无数直线”表达的意义不相同,要注意区分.
(2)由定义可知,直线与平面垂直时,这条直线与平面内的每一条直线都垂直,这也是在立体几何中证明线线垂直常用的而且是重要的判定方法.
(3)直线与平面垂直时,直线与平面必相交.
2.直线与平面垂直的判定
(1)判定方法:①线面垂直的定义;②判定定理;③判定定理的推论.
其中主要方法是判定定理,即在平面内,找两条相交直线与已知直线垂直,从而转化为证明直线与直线的垂直.(2)与线面垂直有关的两个结论:
①垂直于同一平面的两条直线平行(证明线线平行的方法);
②垂直于同一直线的两个平面平行(证明面面平行的方法).自我检测1.若直线l不垂直于平面α,那么平面α内( )
(A)不存在与l垂直的直线
(B)只存在一条与l垂直的直线
(C)存在无数条直线与l垂直
(D)以上都不对C 解析:直线与平面不垂直也可以垂直于平面内的无数条直线,这些直线都相互平行.故选C.2.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( )
(A)①③ (B)② (C)②④ (D)①②④C解析:①因为三角形两边是两条相交线,可得直线与平面垂直;②梯形两边,若是平行的两边则直线不一定与平面垂直;③圆的两条直径一定是相交线,故可得直线与平面垂直;④正六边形的两边若是一组平行线则不一定垂直.故选C.3.若m⊥α,l⊥m,则l与α的位置关系是( )
(A)l?α (B)l⊥α
(C)l∥α (D)l∥α或l?α解析:通过作图(图略)可知:l?α或l∥α.故选D.D4.设O为平行四边形ABCD对角线交点,P为平面AC外一点,且满足PA=PC,PB=PD,则PO与平面ABCD的关系是 .?解析:因为PA=PC,PB=PD,O为AC,BD中点,
所以PO⊥AC,PO⊥BD,
又AC∩BD=O,
所以PO⊥平面ABCD.答案:垂直类型一 直线与平面垂直的判定课堂探究·素养提升【例1】 已知PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC.证明:因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.
又因为AB是☉O的直径,所以BC⊥AC.
而PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,
又因为AE在平面PAC内,所以BC⊥AE.
又因为PC⊥AE,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.变式训练1-1:如图,PA⊥平面ABC,△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形有( )
(A)4个 (B)3个
(C)2个 (D)1个解析:因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.
因为BC⊥AC,AC∩PA=A,
所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,
所以△PAC、△PAB、△ABC、△PBC均是直角三角形.选A.类型二 直线与平面垂直的性质【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别在A1D、AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC.
求证:EF∥BD1.证明:如图所示,
连接AB1,B1C、BD,B1D1,
因为DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC.
又因为AC⊥BD且BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1.
因为BD1?平面BDD1B1,所以BD1⊥AC.
同理可证BD1⊥B1C,又B1C∩AC=C,所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D,A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.
又EF⊥AC且AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1.方法技巧 线面垂直的性质常用来证明线线垂直以及线线平行;由此要重视线面垂直与线线垂直及平行的内在联系,能够进行它们之间的相互转化.变式训练2-1:如图,已知点P为平面ABC外一点,PA⊥BC,PC⊥AB,求证:PB⊥AC.证明:过P作PO⊥平面ABC于O,连接OA、OB、OC.
因为BC?平面ABC,所以PO⊥BC.
又因为PA⊥BC,PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO.
又因为OA?平面PAO,所以BC⊥OA.
同理,可证AB⊥OC.所以O是△ABC的垂心.所以OB⊥AC.
又因为PO⊥AC,OB∩PO=O,所以AC⊥平面PBO.
又PB?平面PBO,所以PB⊥AC.类型三 线面垂直关系的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明G是AB的中点;(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,
所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.
又PD∩DE=D,
所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.
又由已知可得PA=PB,从而G是AB的中点.(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.方法技巧 与空间中垂直关系有关的综合问题要根据已知条件和有关性质定理、判定定理、定义等综合判别,利用它们之间的相互转化关系进行证明.变式训练3-1:如图所示,△ABC中,∠B为直角,P是△ABC外一点,且PA=PB,
PB⊥BC.若M是PC的中点,试确定AB上点N的位置,使得MN⊥AB.解:因为CB⊥AB,CB⊥PB,AB∩PB=B,所以CB⊥平面APB.过M作ME∥CB,
则ME⊥平面APB,所以ME⊥AB.
若MN⊥AB,因为ME∩MN=M,则AB⊥平面MNE,所以AB⊥EN.
取AB中点D,连接PD,因为PA=PB,所以PD⊥AB,所以NE∥PD.
又M为PC的中点,ME∥BC,所以E为PB的中点.
因为EN∥PD,所以N为BD的中点,
故当N为AB的四等分点(AN=3BN)时,MN⊥AB.谢谢观赏！课件23张PPT。第二课时 平面与平面垂直目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成知识探究1.平面与平面垂直
如果两个相交平面的交线与 ,又这两个平面与第三个平面相交所得的 ,就称这两个平面互相垂直.第三个平面垂直 两条交线互相垂直 2.判定定理
如果一个平面过另一个平面的 ,则两个平面互相垂直.
3.性质定理
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于另一个平面.一条垂线 垂直于它们交线的直线【拓展延伸】
平面与平面垂直的判定
1.证明面面垂直的一般思路:在一个平面内寻找一条直线或作一条直线使之与另一个平面垂直,把问题转化为直线与平面垂直.2.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直?线面垂直?面面垂直来实现的,因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化,其转化关系如图所示:自我检测1.空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,那么有( )
(A)平面ABC⊥平面ADC (B)平面ABC⊥平面ADB
(C)平面ABC⊥平面DBC (D)平面ADC⊥平面DBCD2.平面α,β以及直线l满足α⊥β,且l∥α,则一定有( )
(A)l∥β (B)l?β
(C)l与β相交 (D)l∥β或l?β或l与β相交D解析:因为α⊥β且l∥α,故l与平面β可以平行、可以相交,也可以在平面β内.3.下列命题错误的是( )
(A)若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这平面上所有直线
(B)若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直
(C)若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线必平行于这个平面
(D)若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直C解析:由线面垂直的定义知,A正确;由面面垂直的判定定理知,B正确;若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线可能平行于这个平面,也可能在这个平面内,C错误;由线面垂直的判定定理知,D正确.故选C.4.已知α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .?解析:由m⊥n,m⊥α,n?α,知n∥α,
又n⊥β,所以α⊥β;
由α⊥β,n⊥β,n?α,知n∥α,
又m⊥α,所以m⊥n.答案:①③④?②(或②③④?①)类型一平面与平面垂直的判定课堂探究·素养提升【例1】 (2017·北京卷)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,
PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,
所以PA⊥平面ABC,
又因为BD?平面ABC,
所以PA⊥BD.(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.
由(1)知,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.
所以平面BDE⊥平面PAC.方法技巧 证明面面垂直的关键是将证明的问题转化为线面垂直的问题.在处理时,应从已知入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手,分析要证明的垂直关系,从而架起已知与未知之间的“桥梁”.变式训练1-1:如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.法二 (利用判定定理)
因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面SBC.类型二 平面与平面垂直的性质【例2】 如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.求证:BC⊥AC.证明:如图所示,在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D,
因为平面PAC⊥平面PBC,AD?平面PAC,
且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AD⊥平面PBC,
又BC?平面PBC,所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.
因为AD∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BC⊥AC.方法技巧 已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直应将两条直线中的一条纳入一平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间几何图形中,高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到:面面垂直?线面垂直?线线垂直.变式训练2-1:已知:α,β,γ是三个不同的平面,α⊥γ,β ⊥γ,α∩β=l,求证:l⊥γ.证明:法一 设α∩γ=a,β∩γ=b,在α内作m⊥a,在β内作n⊥b,如图所示.
因为α⊥γ,β⊥γ,所以m⊥γ,n⊥γ,
所以m∥n,
又n?β,m?β,所以m∥β,
又α∩β=l,m?α,所以m∥l,则l⊥a,l⊥b,所以l⊥γ.法二 设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内任取一点P,过P在γ内作直线m⊥a,
n⊥b,如图所示,因为α⊥γ,β⊥γ,所以m⊥α,n⊥β,又因为α∩β=l,所以m⊥l,n⊥l,所以l⊥γ.类型三 线线、线面、面面垂直的综合应用【例3】 (2017·全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=
∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得
AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAD.变式训练3-1:如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=
2BD,M是EA的中点.求证:
(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.(3)由(2)知DM∥BN,BN⊥平面ECA.所以DM⊥平面ECA.
因为DM?平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.谢谢观赏！课件14张PPT。章末总结网络建构名师导学本章要解决的主要问题是:(1)熟练画出空间几何体的直观图;(2)能够求解空间几何体的表面积与体积;(3)利用定义、定理、性质判断、证明空间中的线线、线面、面面的平行和垂直关系,利用转化思想,进行平行或垂直间的相互转化.
解决上述问题的关键是:(1)掌握几何体的直观图的画法规则及应用技巧;(2)掌握几何体的表面积、体积公式的由来和使用方法;(3)空间中的平行与垂直要用转化与化归思想,化为平面上的问题来解决,从中培养空间想象能力及分析、解决问题的能力,建立空间观念.题型探究·素养提升题型一 求几何体的体积、表面积【例1】 (1)(2018·山东烟台高一测试)将圆心角为120°,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积为 .?答案:4π(2)①已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为4π和2π的矩形,求这个圆柱的体积;(2)解:①设圆柱的底面半径为R,高为h,当圆柱的底面周长为2π时,h=4π,
由2πR=2π,得R=1,
所以V圆柱=πR2h=4π2.
当圆柱的底面周长为4π时,h=2π,
由2πR=4π,得R=2,
所以V圆柱=πR2h=4π·2π=8π2.
所以圆柱的体积为4π2或8π2.②如图,圆台高为3,轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°,轴截面中一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.题型二 空间中的平行关系与垂直关系【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB= BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,
所以BC∥AD.
又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD.方法技巧 要证明线面平行,可以考虑先证明线线平行再转化为线面平行.要证明面面垂直就要先找面的一条垂线,然后利用面面垂直的判定定理.本题即是利用线面垂直证明面面垂直.题型三 易错辨析【例3】 如图所示,直线a、b是异面直线,直线MN⊥a,MN⊥b,a、b都平行于平面α.
求证:MN⊥α.错解:在α内作两条直线c、d,
使c∥a,d∥b.
因为MN⊥a,MN⊥b,所以MN⊥c,MN⊥d.
又因为a、b是异面直线,
所以c、d一定相交.所以MN⊥α.纠错:“在α内作直线,使c∥a,d∥b”是不妥的,因为该直线既要保证在平面α内,又要保证与直线a,b平行,并非随意就可以作出的,必须作辅助平面,再用直线和平面平行的性质定理加以证明.同时,还必须证明c和d是相交直线.
正解:分别过直线a、b作平面β,γ,
分别交α于直线c、d(图略),
因为a∥α,b∥α,所以c∥a,d∥b.
因为MN⊥a,MN⊥b,所以MN⊥c,MN⊥d.
因为a、b是异面直线,所以c、d一定相交(若c∥d,
则a∥b,与a、b是异面直线相矛盾).
所以MN⊥α.【例4】 如图所示,E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、CC1上的点,且AE=C1F.求证:四边形BED1F是平行四边形.错解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1ADD1∥平面B1BCC1,由两平行平面与第三个平面相交,交线平行知,D1E∥FB.同理,D1F∥BE.故四边形BED1F为平行四边形.
纠错:四边形BED1F是否为平面四边形并不知道,哪来的第三个平面,误解的条件或自加的条件不能做证题依据的.谢谢观赏！
