1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1.下列说法正确的是( C )
(A)一个平面面积为4 m2
(B)一条直线长为5 cm
(C)正方体的面是平面的一部分,而不是整个平面
(D)三角形是一个平面
解析:直线是无限延伸的,没有长短,则选项B错;平面是无限延展的,没有面积,没有厚度.则选项A,D错.故选C.
2.如图所示的一朵花,有五片花瓣,下列叙述不正确的是( D )
(A)花瓣由曲线组成
(B)图中组成花瓣的曲线相交于一点
(C)图中只有花柄是直线段组成的
(D)组成花瓣的曲线是无限延伸的
解析:观察图中的花朵发现花瓣由曲线组成的,而花柄是一条直线段,它们都有一定长度,而不是无限延伸的,故选D.
3.空间中,下列说法正确的是( D )
(A)直线的平移只会形成平面
(B)直线绕定点旋转形成锥面
(C)曲线的平移只形成曲面
(D)点的移动会形成直线或曲线
解析:“点动成线”“线动成面”“面动成体”,直线的平移可形成平面或曲面,点的移动可以形成直线或曲线.
4.如图平面α,β,γ可将空间分成( B )
(A)五部分 (B)六部分
(C)七部分 (D)八部分
解析:由平面α,β,γ的位置关系可知,三平面将空间分成六部分,故选B.
5.在如图的长方体ABCDA′B′C′D′中,互相平行的平面共有 对,与A′A垂直的平面是 .?
解析:平面ABCD与平面A′B′C′D′平行,平面ABB′A′与平面
CDD′C′平行,平面ADD′A′与平面BCC′B′平行,共3对.与AA′垂直的平面是平面ABCD,平面A′B′C′D′.
答案:3 平面ABCD,平面A′B′C′D′
6.如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中不在同一平面内的有 对.?
解析:将展开图恢复为正方体,如图,则有AB与CD,AB与GH,EF与GH.
答案:3
7.如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C为其上三点,则在正方体盒子中,∠ABC等于( B )
(A)45° (B)60°
(C)90° (D)120°
解析:将其还原为原正方体,连接AB,BC,CA均为正方体的面对角线,故△ABC为正三角形,所以∠ABC=60°.
8.下列各图形中不是正方体表面展开图的是( B )
解析:根据正方体的结构特征,也可以实际操作,可知B不是正方体表面展开图.选B.
9.有一个正方体,在它的各个面上分别标上字母A、B、C、D、E、F,甲、乙、丙三位同学从不同的方向去观察这个正方体,观察结果如图所示.问这个正方体中F的对面是 ,E的对面是 ,D的对面是 .?
解析:将正方体展开形成一个平面图形,根据给出的各图形可得.
答案:C A B
10.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中,回答下列
问题:
(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个?
(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个?
(3)与平面BC1平行的平面有哪几个?
(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个?
解:(1)与直线B1C1平行的平面有:平面AD1,平面AC.
(2)与直线B1C1垂直的平面有:平面AB1,平面CD1.
(3)与平面BC1平行的平面有:平面AD1.
(4)与平面BC1垂直的平面有:平面AB1,平面A1C1,平面CD1,平面AC.
11.如图为一块边长为10 cm的正方形铁片,把阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点P为顶点来加工,请画出可加工成的几何体的图形.
解:可加工成的几何体的图形为
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.如图所示,下列几何体中是棱柱的有( C )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:由棱柱的结构特征可知,①③④均为棱柱,②⑤⑥不是棱柱.
2.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( D )
(A)三棱锥 (B)四棱锥 (C)五棱锥 (D)六棱锥
解析:如图,作PO⊥底面于O,连接OB、OC,则△BOC为等边三角形,一定有PB>OB=BC,即正六棱锥的侧棱大于底面边长,因此,侧棱和底面边长相等的正六棱锥不存在.
3.在正方体ABCDA′B′C′D′中,过对角线BD′的一个平面交AA′于E,交CC′于F,则以下结论中错误的是( B )
(A)四边形BFD′E一定是平行四边形
(B)四边形BFD′E有可能是正方形
(C)四边形BFD′E有可能是菱形
(D)四边形BFD′E在底面投影一定是正方形
解析:平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′的交线
BF∥D′E,同理BE∥D′F,故A正确.特别当E,F分别为棱AA′,CC′中点时,BE=ED′=BF=FD′,则四边形为菱形,其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD,所以选B.
4.如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2,E、F分别是AB、A1C1的中点,则EF的长是( C )
(A)2 (B)
(C) (D)
解析:取AC的中点G,连接EG,FG,
则易得FG=2,EG=1,
且EG⊥FG,
故EF=.
5.正四棱锥的高是,侧棱长为,则它的斜高为 .?
解析:在正四棱锥S-ABCD中,如图,M为BC中点,则SM为其斜高,
在Rt△SOB中,SO=,SB=,
所以OB==2,
所以BA=2,
在Rt△SOM中,SO=,
OM=AB=,
所以SM==.
答案:
6.如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器中灌进一些水,将容器底面一边BC置于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜程度的不同,水形成如图(1)(2)(3)的三种形状(阴影部分).请你说出这三种形状的名称,并指出其底面.
解:(1)长方体,底面为矩形ABFE,DCGH.
(2)直四棱柱,底面为梯形ABFE,DCGH.
(3)直三棱柱,底面为直角三角形EBF,HCG.
7.一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为4∶9,则此棱锥的侧棱被分为上、下两部分之比为( B )
(A)4∶9 (B)2∶1 (C)2∶3 (D)2∶
解析:设上、下两部分的长分别为a,b,则有()2=,即=,所以=2∶1,应选B.
8.正三棱台的上、下底面边长及高分别为1,2,2,则它的斜高是
.?
解析:如图,在直角梯形O1ODD1中,
O1D1=,OD=×2=,O1O=2,
所以D1D=
=
=.
答案:
9.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号).?
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析:在如图正方体ABCDA1B1C1D1中,
若所取四点共面,则只能是正方体的表面或对角面.
即正方形或长方形,所以①正确,②错误.
棱锥ABDA1符合③,所以③正确;
棱锥A1BDC1符合④,所以④正确;
棱锥AA1B1C1符合⑤,所以⑤正确.
答案:①③④⑤
10.如图,四边形ABCD为平行四边形,EF∥AB,且EF
解:方案一:如图(1)所示,此几何体可由一个三棱柱和一个四棱锥拼接而成.
方案二:如图(2)所示,此几何体可由一个三棱锥和一个四棱锥拼接
而成.
方案三:如图(3)所示,此几何体可由一个三棱柱和两个四棱锥拼接
而成.
11.如图所示,正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC1的交点为N,
求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)求PC和NC的长.
解:(1)正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,如图所示,其对角线长为=.
(2)由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线,即侧面展开图中的线段MP,设PC的长为x,则在Rt△AMP中,AM=2,MP=,所以AP2=PM2-
AM2=25,
即(x+3)2=25,所以x=2,即PC=2.
因为==,
又MA=2,所以NC=.
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
1.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( B )
(A)一个棱柱中挖去一个棱柱
(B)一个棱柱中挖去一个圆柱
(C)一个圆柱中挖去一个棱锥
(D)一个棱台中挖去一个圆柱
解析:一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选B.
2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,
依条件则有2πr=πl,
如图,所以=,即∠ASO=30°,
因此圆锥顶角为60°.
3.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( C )
(A)①③ (B)②④
(C)①②③ (D)②③④
解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体的体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④.
4.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是( C )
(A)4S (B)4πS (C)πS (D)2πS
解析:因为圆柱的轴截面的一边是底面直径,另一邻边为圆柱的高,所以应满足=2r(r为底面圆半径),所以r=,故底面面积为πS.
5.已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为 .?
解析:因为AB=10,AC=6,BC=8,
所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆O1的直径,
所以r=5,如图,
所以d2=R2-r2=132-52=122,
所以d=12.
答案:12
6.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
.?
解析:5个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥的底面边长为4R,侧棱长为3R,求得它的高为R,所以小球的球心到水平桌面α的距离
是3R.
答案:3R
7.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是( D )
(A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(1)(4) (D)(1)(5)
解析:当截面不过旋转轴时,截面图形是(5),当截面过旋转轴时,截面图形是(1).故选D.
8.(2017·山西忻州一中高一测试)一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.?
解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12 cm,
BC=8-3=5(cm).
所以AB==13(cm).
答案:13
9.湖水结冰时, 一个球被冻在冰面上,取出后(未弄破冰)在冰面上留下一个直径为24 cm,深8 cm的空穴,则该球的半径为 cm.?
解析:设球的半径为R,根据题意知截面圆的半径r=12 cm,球心与截面圆的距离为d=R-8.由截面的性质得r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2,从而可得R=13 cm.
答案:13
10.圆锥母线长为8,底面半径为2,A为底面圆周上一点,从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后,再回到A,则绳长最短为 .?
解析:如图所示,将圆锥沿过A点的母线展开,设A点展开后另一点为A′点,则绳子最短长度为线段AA′的长度.因为底面半径为2,所以弧长=2π×2=4π.因为展开图对应的扇形半径R=8,所以圆心角
α==,所以AA′==8.
答案:8
11.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于圆柱底面的平面去截它,求所得截面的面积.
解:截面为一个圆环,圆环的大圆半径为R,小圆半径为l.所以截面圆环的面积为πR2-πl2=π(R2-l2).
1.1.4 投影与直观图
1.利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形;
②正方形的直观图一定是菱形;
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的是( B )
(A)①② (B)①
(C)③④ (D)①②③④
解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是( B )
(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍垂直
(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点
解析:斜二测画法保平行,保相交,保平行线段的比,但不保垂直.选B.
3.如图所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是( C )
解析:由直观图知,平面图形中靠右侧一边与y轴平行,满足这一特征的只有C.
4.△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( D )
(A)AB (B)AD (C)BC (D)AC
解析:由于直观图中,∠x′O′y′=45°,所以∠A′B′C′=45°,
故∠ABC=90°,所以AC最长.故选D.
5.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,
O′B′=3,则△AOB的周长为( A )
(A)12 (B)10 (C)8 (D)7
解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5,
所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.
6.如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则原图形的周长为 .?
解析:由于平行性不变,O′A′∥B′C′,故在原图形中,OABC,
所以四边形OABC为平行四边形,且对角线OB⊥OA,对角线OB=2,
则AB==3.
所以原图形的周长为l=3×2+1×2=8.
答案:8 cm
7.已知正三角形AOB的边长为a,如图所示,把它放在平面直角坐标系中,则它的水平放置的平面直观图的面积为( B )
(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2
解析:在直观图△A′B′O′中,O′A′=a,
O′A′边上的高为××a=a,
故△A′B′O′的面积为S=×a×a=a2.
8.如图所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点
B的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点
B′到x′轴的距离为( A )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:由斜二测画法规则画出直观图如图所示,作B′E⊥x′轴于点
E,在Rt△B′EC′中,B′C′=1,∠B′C′E=45°,B′E=B′C′
sin 45°=1×=.
9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积为 .?
解析:由图形知,原图形是一个直角梯形,上底BC=1,下底OA=×2+
1=1+,高h=OC=2,故S=×(1+1+)×2=2+.
答案:2+
10.如图,画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
解:画法:如图.
(1)在等腰梯形ABCD中,以AB所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy,并画相应的坐标系x′O′y′,使
∠x′O′y′=45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=OE,以E′为中点,过E′作D′C′平行于x′轴,并使D′C′=DC,连接
A′D′,B′C′,所得梯形A′B′C′D′即为水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
11.已知△ABC的面积为a2,它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形,根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形,并计算
△A′B′C′的面积.
解:(1)取B′C′所在的直线为x′轴,过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴,建立坐标系x′O′y′;
(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点.在△A′B′C′中,设它的边长为x,
因为O′A′=x,∠A′M′O′=45°,
所以O′A′=O′M′=x,故A′M′=x;
(3)在直角坐标系xOy中,在x轴上O点左右两侧,
取到点O距离为的点B,C,
在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M,过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA=x,连接AB,AC,
则△ABC为△A′B′C′的原图形,
由S△ABC=a2,得x×x=a2,
所以x=a,
故△A′B′C′的面积为a2.
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
1.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,且面积为,则该圆锥的全面积是( A )
(A)3π (B)3π (C)6π (D)9π
解析:设圆锥底面半径为r,则=×2r·r,
所以r=1.
所以母线l=2r=2,所以S全=S侧+S底=πrl+πr2=3π.
故选A.
2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( A )
(A)12π (B)π (C)8π (D)4π
解析:由题知正方体棱长为2,球的直径为2,半径R=,则球的表面积S=4πR2=12π.故选A.
3.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的全面积为( C )
(A)6π(4π+3)
(B)8π(3π+1)
(C)6π(4π+3)或8π(3π+1)
(D)6π(4π+1)或8π(3π+2)
解析:圆柱侧面积为6π×4π=24π2
①以边长为6π的边为高时,S全=24π2+8π,
②以边长为4π的边为高时,S全=24π2+18π.故选C.
4.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( A )
(A) (B)
(C) (D)
解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,
所以S全=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π)
又S侧=h2=4π2r2,所以=.故选A.
5.圆台的较小底面半径为1,母线长为2,一条母线和底面的一条半径有交点且成60°,则圆台的侧面积为 .?
解析:画出圆台,则r1=1,r2=2,l=2,
S圆台侧面=π(r1+r2)l=6π.
答案:6π
6.正六棱柱的一条最长的对角线长是13,侧面积为180,求棱柱的全面积.
解:如图,设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长为h,易知CF′是正六棱柱的一条最长的对角线,即CF′=13.
因为CF=2a,FF′=h,
所以CF′===13. ①
因为正六棱柱的侧面积为180,
所以S侧=6a·h=180, ②
联立①②解得或
当a=6,h=5时,S底=6×a2×2=108.
所以S全=180+108.
当a=,h=12时,S底=6×a2×2=,
所以S全=180+.
7.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .?
解析:因为圆柱的底面周长为2π,
所以底面半径r=1,
又高h=2,所以表面积S=2πr2+2πrh=6π.
答案:6π
8.正四棱台的两底面边长分别是6 cm和10 cm,高为4 cm,它的表面积为 cm2.?
解析:如图,设上、下底面中心分别为O1,O,边A1D1,AD的中点分别为E1,E,连接O1O,O1E1,E1E,EO,作O1F∥E1E交OE于点F,则O1E1=3 cm,OE=
5 cm,OO1=4 cm,
所以OF=OE-O1E1=2 cm.
在Rt△OO1F中,
O1F===2(cm),
所以EE1=2 cm.
所以S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底
=4×(A1D1+AD)·EE1+A1+AD2
=4×(6+10)×2+62+102
=(64+136)(cm2).
答案:64+136
9.一个正四面体的所有棱长均为,四个顶点在同一球面上,求此球的表面积.
解:如图所示,设正四面体ABCD的高为AO1,设球的球心为O,半径为R,则O1B=BC=.
在Rt△AO1B中,
AO1=
==.
在Rt△OO1B中,O1O2=R2-()2=R2-.
所以AO1=R+=,所以R=,
所以S球=4π×()2=3π.
10.有一塔形几何体由3个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).
解:易知由下向上三个正方体的棱长依次为2,,1.
考虑该几何体在水平面的投影,可知其水平面的面积之和为下底面最大正方体的底面面积的二倍.
所以S表=2S下+S侧=2×22+4×[22+()2+12]=36.
所以该几何体的表面积为36.
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1.已知高为3的直棱柱ABCA′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示).则三棱锥B′ABC的体积为( D )
(A) (B)
(C) (D)
解析:依题意:=×3××12=.故选D.
2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( C )
(A)1∶1 (B)1∶6 (C)1∶7 (D)1∶8
解析:如图,设圆锥底半径OB=R,高PO=h,
因为O′为PO为中点,所以PO′=,
因为==,所以O′A=,
所以V圆锥PO′=π·()2·
=πR2h.
V圆台O′O=·(()2+R2+·R)·=πR2h.
所以=,故选C.
3.一球的体积扩大为原来的8倍,则此球的表面积扩大为原来的( B )
(A)2倍 (B)4倍 (C)2倍 (D)8倍
解析:设球半径为r,扩大后半径为R,
则有πR3=8×πr3,所以R=2r.
所以扩大后球表面积为4πR2=4π×(2r)2=16πr2,
而原球表面积为4πr2.
故扩大为原来的4倍.
4.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成),所有的棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为,故正八面体的体积V=2V正四棱锥=2××12×=.故选B.
5.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( C )
(A)36π (B)64π (C)144π (D)256π
解析:由题意知当三棱锥的三条棱两两垂直时,其体积最大.设球的半径为r,则×r2·r=36,
解得r=6,
所以球O的表面积S=4πr2=144π,选C.
6.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是( D )
(A)6π (B)5π (C)4π (D)3π
解析:如图所示,所形成的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥剩下的部分,这两个圆锥的底面半径r=AD=ABsin 60°=2×=,小圆锥的高是BD=ABcos 60°=2×=1,大圆锥的高是CD=BD+BC=1+3=4,则所形成的几何体的体积是×π×()2×4-×π×()2×1=3π.
7.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为28 cm,则这个简单几何体的总高度为( A )
(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm
解析:在题图(2)和题图(3)中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为h,则有π×12(h-20)=π×32(h-28),解得h=29(cm).
8.如图所示,扇形所在圆的圆心角为90°,弦AB将这个扇形分成两个部分,这两部分各以AO所在直线为轴旋转一周,则这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比为 .?
解析:△ABO绕AO所在直线旋转一周得圆锥,
扇形ABO绕AO所在直线旋转一周得半球体,
设AO=R,V半球=πR3,
V圆锥=·R·R2=R3,
所以V1∶V2=V圆锥∶(V半球-V圆锥)=1∶1.
答案:1∶1
9.如图(1),一个正三棱柱形容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,现将容器放倒,把一个侧面作为底面,这时水面恰好为中截面,如图(2),则原来容器内水面的高度为 .?
图(1) 图(2)
解析:设题图(1)中容器内水面的高度为h,水的体积为V,
则V=S△ABCh.
又题图(2)中水组成了一个直四棱柱,
其底面积为S△ABC,高度为2a,
则V=S△ABC·2a,
所以h==a.
答案:a
10.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.
(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;
(2)求三棱锥B1DBQ的体积;
(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S.
解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,
理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,
所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,
所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.
(2)==×(×2×2)×2=.
(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,
所以梯形APQD1为所求截面,
梯形APQD1的高为=,
S=(+2)×=.
11.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.
解:如图作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为
V=V圆锥-V球
=π(r)2·3r-πr3
=πr3.
将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是
V′=π(h)2h=πh3.由V=V′得h=r.
1.2.1 平面的基本性质与推论
1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为( A )
(A)A∈α,a?α,A?a (B)A∈α,a∈α,A?a
(C)A?α,a?α,A?a (D)A∈α,a?α,A?a
解析:点与线、面的关系用∈、?;线与面的关系用?、?.B项中,
“a∈α”错;C项中“A?α”错;D项中“A?a”错.
故选A.
2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF的延长线交于一点,此点在直线( B )
(A)AD上
(B)B1C1上
(C)A1D1上
(D)BC上
解析:由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.
3.下列推断中,错误的是( C )
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α
(B)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB
(C)l?α,A∈l?A?α
(D)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α,β重合
解析:选项A即为直线l上有两点在平面内,则直线在平面内;选项B即为两平面的公共点在公共直线上;选项D为不共线的三点确定一个平面,故D也对.选C.
4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么( A )
(A)M一定在直线AC上
(B)M一定在直线BD上
(C)M可能在直线AC上,也可能在直线BD上
(D)M既不在直线AC上,也不在直线BD上
解析:点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上.选A.
5.不共线三点A,B,P且P?平面α,AP∩α=A1,BP∩α=B1,AB∩α=O,当点P在空间中变动时,定点O与动直线A1B1的位置关系是 .?
解析:由题意知平面ABP∩α=A1B1,AB∩α=O,
所以O∈平面ABP,且O∈α,所以O∈A1B1.
答案:O∈A1B1
6.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α,
Q∈l,Q∈α.
解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图(1);
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图(2);
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图(3).
7.如图,已知直线AB和AC都在平面α内,直线BC与直线AB,AC分别相交于B,C两点,试判断直线BC与平面α的位置关系.
解:因为AB∩BC=B,所以B∈AB?α,即B∈α;
同理,AC∩BC=C,
所以C∈AC?α,即C∈α,
即直线BC上有两点B,C在平面α内,
由基本性质1,得直线BC?平面α.
8.已知m,n为异面直线,m?平面α,n?平面β,α∩β=l,则l( B )
(A)与m、n都相交 (B)与m、n中至少一条相交
(C)与m、n都不相交 (D)与m、n中的一条相交
解析:假设m,n都不与l相交,由m?α,n?β得:m∥l,n∥l,所以
m∥n∥l.这与m,n为异面直线矛盾,因此结合图形可得l与m,n至少一条相交,故选B.
9.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是 .?
解析:把平面图形还原为正方体如图所示.观察图形,可知:BM与ED是异面直线,CN与BE是平行直线,故①③错误.
答案:②④
10.正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么过P、Q、R的截面图形是 .?
解析:如图所示,取C1D1中点E,连接RE,则REPQ,
所以P、Q、E、R共面.
记这个平面为α,
延长QP与CB,延长线交于M,
连接MR,交B1B于F,则F∈α.
由平面几何知识得F是B1B的中点,
同理D1D的中点G∈α,
连接PF,QG,GE,
则正六边形EGQPFR就是截面图形,如图所示.
答案:正六边形
11.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=
P,A1C1∩EF=Q.
求证:(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明:(1)如图.连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点,
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C.
所以R∈α,且R∈β,则R∈PQ.
故P,Q,R三点共线.
12.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P三点分别是AB,A1D1,BB1的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.
解:(1)设M、N、P三点确定的平面为α,则α与平面AB1交于MP.
设MP∩A1B1=R.
则RN是α与平面A1B1C1D1的交线.
设RN∩B1C1=Q,
则PQ是α与平面BB1C1C的交线.
(2)由正方体的棱长为8 cm,
M、P分别为AB、BB1的中点,
得B1R=BM=4 cm.
在△RA1N中,=,
所以B1Q=×4=.
在Rt△PB1Q中,
因为PB1=4,B1Q=,
所以PQ==(cm).
所以PQ的长为 cm.
第一课时 平行直线 直线与平面平行
1.下列命题正确的是( D )
(A)若直线l上有无数点不在平面α内,则l∥α
(B)若直线l与平面α平行,则直线l与α内任一条直线平行
(C)如果两条平行线中的一条与平面α平行,则另一条也与α平行
(D)若直线l与平面α平行,则直线l与平面α无公共点
解析:A.直线l与α相交,l上有无数点不在平面α内,故A不正确;C.当另一条直线在平面α内时,不平行,故C不正确;B显然不正确,因为除平行外,还有异面,所以选D.
2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别是BC,CD的中点,则( D )
(A)BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
(B)HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
(C)HE∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
(D)EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
解析:由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知,EFBD,
由H,G为BC,CD中点知HGBD,
故EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH为梯形,
又因为EF?平面BCD,HG?平面BCD,
所以EF∥平面BCD.
3.已知在三棱锥ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( D )
(A)MN≥(AC+BD)
(B)MN≤(AC+BD)
(C)MN=(AC+BD)
(D)MN<(AC+BD)
解析:设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN4.已知△ABC,△DBC分别在平面α,β内,E∈AB,F∈AC,M∈DB,N∈DC,且EF∥MN,则EF与BC的位置关系是( A )
(A)平行 (B)相交或平行
(C)平行或异面 (D)平行或异面或相交
解析:因为EF∥MN,EF?平面BCD,MN?平面BCD,
所以EF∥平面BCD,
又EF?平面ABC,
且平面ABC∩平面BCD=BC,
所以EF∥BC,故选A.
5.设m,n为平面α外的两条直线,给出下面三个论断:①m∥n,②m∥α,③n∥α,以其中两个作为条件,另一个作为结论,构成一个命题,写出你认为正确的命题: .?
解析:由m,n为平面α外的直线,且m∥n可得:若m∥α,
则n∥α,或若n∥α则m∥α.
答案:①②?③(或①③?②)
6.如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,E,F分别是棱AD,PC的中点.
证明:EF∥平面PAB.
证明:如图,取PB的中点M,连接MF,AM.因为F为PC的中点,
故MF∥BC且MF=BC.
由已知有BC∥AD,BC=AD.
又由于E为AD的中点,
因而MF∥AE且MF=AE,
故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM?平面PAB,而EF?平面PAB,所以EF∥平面PAB.
7.(2017·全国Ⅰ卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( A )
解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在△ACB中,OQ为中位线,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选A.
8.下列四个命题:①直线a∥直线b,则a平行于经过b的任何平面;②若直线a∥平面α,那么a与α内无数条直线平行;③若直线a,b都平行于平面α,则a∥b;④若直线a∥b,a∥平面α,则b∥α.其中正确的命题个数为( A )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①不正确,因为a有可能在经过直线b的平面内;②正确;③不正确,因为a,b可以平行、相交,也可以异面;④不正确,有可能b?α,故选A.
9.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)?
解析:①如图a,连MN,则平面MNP扩展与正方体的各面相交得截面图MNPQ,再连接QN,则AB∥QN,所以AB∥平面MNP;②不能得出;③能,如图b.连接EC,则EC∥MP,AB∥EC,所以AB∥MP,从而可得AB∥平面MNP;④如图c,连接ND,MC,即为平面MNP扩展后的截面图,将直线AB平移到ED,则ED∥AB,而ED与平面MNP相交,即AB与平面MNP相交.
答案:①③
10.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
求证:GF∥平面ADE.
证明:如图,取AE的中点H,连接HG,HD,
又G是BE的中点,所以GH∥AB,且GH=AB.
又F是CD的中点,
所以DF=CD.
由四边形ABCD是矩形得,AB∥CD,AB=CD,
所以GH∥DF,且GH=DF,
从而四边形HGFD是平行四边形,所以GF∥DH.
又DH?平面ADE,GF?平面ADE,所以GF∥平面ADE.
11.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)若平面APD∩平面PBC=直线l.
证明:l∥BC.
证明:(1)连接BD交AC于点O,连结EO.
因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
又EO?平面AEC,PB?平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,
又BC?平面APD,AD?平面APD,
所以BC∥平面APD,
又BC?平面PBC,平面APD∩平面PBC=l,
所以l∥BC.
第二课时 平面与平面平行
1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是( A )
(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)不确定
解析:两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行.
2.α和β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( D )
(A)α内有无数条直线平行于β
(B)α内不共线三点到β的距离相等
(C)l,m是平面α内的直线,且l∥β,m∥β
(D)l,m是异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β
解析:l,m是异面直线又分别与α,β平行,故可在平面α取一点作l,m的平行线l′,m′,则l′,m′为相交直线且与平面β平行,故
α∥β.
3.给出下列结论,正确的有( B )
①平行于同一条直线的两个平面平行;②平行于同一平面的两个平面平行;③过平面外两点,不能作一个平面与已知平面平行;④若a,b为异面直线,则过a与b平行的平面只有一个.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:②④正确,①③不正确.
4.a,b,c为三条不重合的直线, α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题.
①a∥c,b∥c?a∥b;②a∥γ,b∥γ?a∥b;
③α∥c,β∥c?α∥β;④α∥γ,β∥γ?α∥β;
⑤α∥c,a∥c?α∥a;⑥a∥γ,α∥γ?α∥a.
其中正确的命题是( C )
(A)①②③ (B)①④⑤ (C)①④ (D)①③④
解析:①正确;②a、b可以平行,相交、异面;③α、β可平行或相交;④正确;⑤a与α可以平行,也可以a?α;⑥a∥α或a?α.故选C.
5.有下列几个命题:①平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β;②α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b(α,β,γ分别表示平面,a,b表示直线),则γ∥β;③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边,则α∥β;④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则α∥β.其中正确的是 .?
解析:①不正确,因为当两平面相交时,在一个平面两侧分别有无数点满足条件;②不正确,当平面β与γ相交时也可满足条件;③正确,满足平面平行的判定定理;④不正确,当两平面相交时,也可满足条件.
答案:③
6.下列说法中正确的是 .?
①两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等;②两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
解析:①正确.由平行平面的性质可得;②不正确;③不正确,因为它可能在另一平面内;④正确.
答案:①④
7.设E,F,G分别为四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱有( C )
(A)0条 (B)1条 (C)2条 (D)3条
解析:如图,显见EF是△BCD的中位线,BD∥EF,
所以BD∥平面EFG,
同理GF∥AC,所以AC∥平面EFG.
8.夹在两平行平面α,β间的线段AB,CD相交于S点,A∈α,C∈α,
B∈β,D∈β且AS=1,BS=2,CD=6,则DS等于( C )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)3
解析:如图,由于AB∩CD=S,
所以AB,CD可确定一个平面γ,
又因为α∥β,
所以γ与α,β的交线AC,BD平行,
从而△ASC∽△BSD,
设DS=x,则有=,得x=4.
9.给出四种说法:
①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面α∥平面γ
②若平面α∥平面β,直线a与α相交,则a与β相交
③若平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则PQ?α
④若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a∥b
其中正确说法的序号是 .?
解析:①正确,因为平面α与γ没有公共点.②正确.若直线a与平面β平行或a?β,则由平面α∥平面β知a?α或a与α无公共点,这与直线a与α相交矛盾.所以a与β相交.③正确.如图,过直线PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β得a∥b.因为PQ∥β,PQ?γ,所以PQ∥b,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ重合.因为a?α,所以PQ?α.④错误.若直线
a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a与b平行、相交和异面都有可能.
答案:①②③
10.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为BC,CC1,C1D1,A1A的中点.求证:
(1)BF∥HD1;
(2)EG∥平面BB1D1D;
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明:由已知画图.
(1)取BB1的中点M,连接C1M,HM,
易证HMC1D1是平行四边形,所以HD1∥MC1,
又由已知可得四边形MBFC1是平行四边形,
所以MC1∥BF,所以BF∥HD1.
(2)取BD的中点O,连接OE,D1O,则OEDC,
又D1GDC,所以OED1G,
所以OEGD1是平行四边形,所以GE∥D1O.
又D1O?平面BB1D1D,EG?平面BB1D1D,
所以EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知D1H∥BF,
又BD∥B1D1,B1D1,HD1?平面HB1D1,BF,BD?平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,
BD∩BF=B,
所以平面BDF∥平面B1D1H.
11.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
解:取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.
因为F,G为DP,DA的中点,所以FG∥PA.
因为FG?平面PAB,PA?平面PAB,
所以FG∥平面PAB.
因为AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,
所以EF∥CD,EF∥AB.
而EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
因为EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面PAB.
又GH∥CD,所以GH∥EF.
所以平面EFG即平面EFGH.
所以平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD,
所以点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD).即点Q∈GH.
所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.
第一课时 直线与平面垂直
1.在下列四个正方体中,满足AB⊥CD的是( A )
解析:在选项B、C、D图中,分别平移AB使之与CD相交,则交角都不是直角,可排除选项B、C、D.故选A.
2.经过平面α外一点作平面α的垂线,则( A )
(A)有且只有1条 (B)可作无数条
(C)1条或无数条 (D)最多2条
解析:利用直线和平面垂直的性质可知只有1条.
3.在四面体PABC中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,下列结论中不成立的是( D )
(A)BC∥平面PDF
(B)BC⊥平面PAE
(C)DF⊥平面PAE
(D)AE⊥平面APC
解析:因为D,F分别为AB,AC的中点,
所以DF∥BC,
因为DF?平面PDF,BC?平面PDF,
故BC∥平面PDF,故A项正确,
又AB=AC,PB=PC,E为BC的中点,
所以AE⊥BC,PE⊥BC,
而AE∩PE=E,
所以BC⊥平面PAE,
又DF∥BC,
所以DF⊥平面PAE,故B、C项正确,
由于AE与AP不垂直,
故AE与平面APC不垂直.选D.
4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,E为BD上一点,PE⊥DE,则PE的长为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图所示,连接AE.
因为PA⊥平面ABCD,
BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.
又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,
所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.
所以AE==.
所以在Rt△PAE中,
由PA=1,AE=,得PE=.
5.已知下列命题(其中a,b为直线,α为平面):
①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;
②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;
③若a∥α,b⊥α,则a⊥b;
④若a⊥b,则过b有唯一一个平面α与a垂直.
其中真命题有: .?
解析:①不正确,因为这无数条直线可能是一组平行线;②不正确,和此直线垂直的直线与平面可能平行也可能相交;③正确;④正确.
答案:③④
6.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 .?
解析:因为PA⊥平面ABCD,
所以PA⊥QD,
又因为PQ⊥QD,PA∩PQ=P,
所以QD⊥平面PAQ.
所以AQ⊥QD,
即Q在以AD为直径的圆上,当圆与BC相切时,点Q只有一个,
故BC=2AB=2.
答案:2
7.已知直线a,b和平面α,下列推论不正确的是( D )
(A)?a⊥b (B)?b⊥α
(C)?a∥α或a?α (D)?a∥b
解析:D不正确,因为直线与平面平行,直线不一定与平面内的所有直线平行.
8.已知平面α∩平面β=l,EA⊥α于A,EB⊥β于B,a?α,a⊥AB,则直线a与l的位置关系是 .?
解析:由EA⊥α,EB⊥β知l⊥EA,l⊥EB,
从而l⊥平面EAB,
而a⊥AB,a⊥EA,
所以a⊥平面EAB,
所以l∥a.
答案:平行
9.如图所示,PA⊥平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,使得MN⊥AC的一个条件为 .?
解析:取AC中点Q,连接MQ,NQ,
则MQ∥AP,NQ∥BC,
由已知条件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,则NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,所以AC⊥MN.
答案:AC⊥BC
10.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F.
解:连接A1B、CD1,
则AB1⊥A1B,
所以AB1⊥平面A1BCD1.
又D1E?平面A1BCD1,
所以D1E⊥AB1.
于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.
连接DE,
又D1D⊥AF,D1E∩D1D=D1,
所以AF⊥平面EDD1,
所以DE⊥AF.
因为四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,
所以,当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.
11.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,
BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:
(1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
解:(1)如图,连接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,
知AD1∥BC1,
因为F,P分别是AD,DD1的中点,
所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ,
且BC1?平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图,连接AC,BD,
则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,
BD?平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1?平面ACC1,所以BD⊥AC1.
连接B1D1,因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,
所以MN∥B1D1,
故MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.
12.(2017·全国Ⅲ卷)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,
AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
解:(1)取AC的中点O,连接DO,BO.
因为AD=CD,所以AC⊥DO,
又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO,
从而AC⊥平面DOB,又BD?平面DOB,所以AC⊥BD.
(2)连接EO.
由(1)及题设知∠ADC=90°,所以DO=AO.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2,
又AB=BD,
所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,
故∠DOB=90°,
由题设知△AEC为直角三角形,所以EO=AC,
又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.
故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面ACDE的体积之比为1∶1.
第二课时 平面与平面垂直
1.设直线m,n,平面α,β,则下列命题正确的是( B )
(A)若m⊥n,m?α,n?β,则α⊥β
(B)若m∥n,n⊥β,m?α,则α⊥β
(C)若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β
(D)若m⊥n,α∩β=m,n?α,则α⊥β
解析:B中,因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β,
又因为m?α,故α⊥β.
2.在三棱锥ABCD中,如果AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD是锐角三角形,那么( C )
(A)平面ABD⊥平面ADC (B)平面ABD⊥平面ABC
(C)平面BCD⊥平面ADC (D)平面ABC⊥平面BCD
解析:因为AD⊥BC,BD⊥AD,且BC∩BD=B,所以AD⊥平面BCD,所以平面BCD⊥平面ADC.故选C.
3.如图所示,在立体图形DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是( C )
(A)平面ABC⊥平面ABD
(B)平面ABD⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
(D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析:因为AB=BC,E为AC中点,
所以BE⊥AC,同理可证:DE⊥AC.
因为DE∩BE=E,所以AC⊥平面BDE,
又AC?平面ACD,AC?平面ABC.
所以平面ACD⊥平面BDE,平面ABC⊥平面BDE,故选C.
4.在空间中,l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列结论不正确的是( D )
(A)若α∥β,α∥γ,则β∥γ
(B)若l∥α,l∥β,α∩β=m,则l∥m
(C)若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=l,则l⊥α
(D)若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,l⊥m,l⊥n,则m⊥n
解析:根据平面平行的传递性可知选项A中的结论正确;如果一条直线平行于两个相交平面,那么该直线平行于它们的交线,可知选项B中的结论正确;如果两个相交平面均垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,可知选项C中的结论正确.故选D.
5.已知两条直线a,b与两个平面α,β,b⊥α,则下列命题中正确的是①若a∥α,则a⊥b;②若a⊥b,则a∥α;③若b⊥β,则α∥β;④若α⊥β,则b∥β.( A )
(A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③
解析:对于①,a∥α,在α内存在a′∥a,
又b⊥α,所以b⊥a′,所以b⊥a,正确;
对于②,a还可以在α内,所以②错;
对于③,b⊥β,b⊥α,所以α∥β,正确;
对于④,b?β或b∥β,故错误.故选A.
6.如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,则平面PBD与平面PAC的关系是 .?
解析:因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以BD⊥AP.
又ABCD为正方形,
所以BD⊥AC,又AC∩AP=A,
所以BD⊥平面PAC,而BD?平面PBD,
所以平面PBD⊥平面PAC.
答案:垂直
7.若三棱锥三个侧面两两垂直,则顶点在底面上的射影是底面三角形的( D )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
解析:三棱锥三个侧面两两垂直,则三条侧棱也两两垂直,可证侧棱与对底棱垂直,从而侧棱在底面上的射影与侧棱的对底棱垂直,故顶点在底面上的射影为三角形的垂心.
8.如图,若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直,则cos α∶cos β= .?
解析:由题意,两个矩形的对角线长分别为5,2,
所以cos α==,
cos β=,所以cos α∶cos β=∶2.
答案:∶2
9.如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下面四个结论:
①三棱锥AD1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确结论的序号是 .(写出所有你认为正确结论的序号)?
解析:连接AC,A1C1,A1B,AD1,D1C.
因为AA1∥CC1,AA1=CC1,
所以四边形AA1C1C是平行四边形,
所以AC∥A1C1.
又因为AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,
所以AC∥平面A1BC1.
同理可证AD1∥平面A1BC1,
又因为AC?平面ACD1,AD1?平面ACD1,
且AC∩AD1=A,
所以平面ACD1∥平面A1BC1.
因为A1P?平面A1BC1,
所以A1P∥平面ACD1,故②正确.
因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面ACD1,
所以点P到平面ACD1的距离不变.
又因为=,
所以三棱锥AD1PC的体积不变,故①正确.
连接DB,DC1,DP.
因为DB=DC1,
所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1,故③错误.
因为BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以AC⊥BB1.
又因为AC⊥BD,BB1∩BD=B,
所以AC⊥平面BB1D1D.
连接B1D,
又因为B1D?平面BB1D1D,
所以B1D⊥AC.
同理可证B1D⊥AD1.
又因为AC?平面ACD1,AD1?平面ACD1,
AC∩AD1=A,
所以B1D⊥平面ACD1.
又因为B1D?平面PDB1,
所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④正确.
答案:①②④
10.(2017·山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.
(1)证明:A1O∥平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.
证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
由于ABCDA1B1C1D1为四棱柱,
所以A1O1∥OC,A1O1=OC,
因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.
又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,
所以A1O∥平面B1CD1.
(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EM⊥BD.
又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以A1E⊥BD.
因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.
又 A1E, EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1?平面B1CD1,
所以 平面A1EM⊥平面B1CD1.
11.如图所示,在四棱锥SABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点.
(1)求证:CD⊥平面SAD;
(2)求证:PQ∥平面SCD;
(3)若SA=SD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD,并证明你的结论.
证明:(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD,
且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.
(2)取SC的中点R,连接QR,DR.由题意知PD∥BC且PD=BC.
在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,
所以QR∥BC且QR=BC.所以QR∥PD且QR=PD,
则四边形PDRQ为平行四边形,所以PQ∥DR.
又PQ?平面SCD,DR?平面SCD,
所以PQ∥平面SCD.
(3)解:存在点N为SC的中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.
连接PC、DM交于点O,连接PM、SP、NM、NO,
因为PD∥CM且PD=CM,
所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO.
又因为N为SC的中点,所以NO∥SP.
因为SA=SD,所以SP⊥AD.
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,所以SP⊥平面ABCD,
所以NO⊥平面ABCD.
又因为NO?平面DMN,所以平面DMN⊥平面ABCD.
12.如图所示,已知在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1).求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.
证明:因为AB⊥平面BCD,
所以AB⊥CD.
因为CD⊥BC且AB∩BC=B,
所以CD⊥平面ABC.
又因为==λ(0<λ<1),
所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,
所以EF⊥平面ABC.
又EF?平面BEF,
所以不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
第一章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.若a?α,b?β,α∩β=c,a∩b=M,则( A )
(A)M∈c (B)M?c (C)M?c (D)M?c
解析:因为M=a∩b,所以M∈a且M∈b.
而a?α,b?β,
所以M∈α,且M∈β,
所以M∈(α∩β),
因为α∩β=c,所以M∈c.
2.下列三个命题,其中正确的有( A )
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:①错,因截面不一定平行于底面;②错,因为各侧棱延长后不一定相交于一点;③错,因为即使各侧面为等腰梯形,各侧棱延长后也不一定交于一点,故选A.
3.给出以下几种说法:
①和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内;
②三条两两相交的直线在同一个平面内;
③有三个不同公共点的两个平面重合;
④两两平行的三条直线确定三个平面.
其中正确说法的个数是( A )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①错,这两条直线可能为异面直线;②错,相交于一点的三条直线,可以确定三个平面;③错,若这三个公共点在一条直线上,则两个平面可能是相交的;④错,这三条平行线可以在一个平面内.故选A.
4.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,DC+CC1=8,CB=4,M是AB的中点,点N是平面A1B1C1D1上的点,且满足C1N=,当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时,线段MN的最小值是( C )
(A)6 (B)8 (C) (D)4
解析:依题意,=CB·DC·CC1=4DC·CC1≤4×=64,当且仅当DC=CC1=4时等号成立.因为M为线段AB的中点,如图,记M在A1B1上的投影为M′,连接M′C1交圆C1于点N,连接MN,此时MN的长度即为所求最小值,因为B1C1=4,B1M′=2,所以M′C1=2,M′N=M′C1-C1N=,故MN===,故MN的最小值为.故选C.
5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是( D )
(A)平面ABD⊥平面ABC
(B)平面ADC⊥平面BDC
(C)平面ABC⊥平面BDC
(D)平面ADC⊥平面ABC
解析:由原来的平面图形,易知CD⊥BD,由于平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,所以CD⊥平面ABD.所以CD⊥AB,而AB⊥AD,CD∩AD=D,所以
AB⊥平面ADC,因为AB?平面ABC,所以平面ADC⊥平面ABC.故选D.
6.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起的位置为D1,且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,其中有n对平面相互垂直,则n等于( B )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:如图,由已知D1O⊥平面ABC,D1O?平面D1AB.
所以平面D1AB⊥平面ABC,
又BC⊥AB,BC?平面D1BC,
所以平面D1BC⊥平面D1AB,
在Rt△D1BC中,BC=1,D1C=,
所以D1B=,
在平面D1AB中,AD1=1,AB=,
所以A+B=AB2,所以AD1⊥D1B,
而AD1⊥D1C,所以AD1⊥平面D1BC,
又AD1?平面AD1C,
所以平面AD1C⊥平面D1BC,
共3对平面互相垂直,故选B.
7.已知正方体ABCDA1B1C1D1,平面α过直线BD,α⊥平面AB1C,α∩平面AB1C=m,平面β过直线A1C1,β∥平面AB1C,β∩平面ADD1A1=n,则m,n所成角的余弦值为( D )
(A)0 (B) (C) (D)
解析:如图,由已知,m为直线B1O,n为直线A1D,又A1D∥B1C,所以m,n所成角即是B1O与B1C所成的角,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在Rt△B1OC中,B1C=,OC=,所以B1O==,cos∠OB1C=
==,
即m,n所成角的余弦值为.故选D.
8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( D )
(A)AC⊥BE
(B)EF∥平面ABCD
(C)三棱锥ABEF的体积为定值
(D)△AEF的面积与△BEF的面积相等
解析:可证AC⊥平面D1DBB1,从而AC⊥BE,故A项正确;由B1D1∥平面ABCD,可知EF∥平面ABCD,B项也正确;连接BD交AC于O,则AO为三棱锥ABEF的高,S△BEF=××1=,三棱锥ABEF的体积为××=为定值,C项正确;A到B1D1的距离与B到B1D1的距离不相等.故选D.
9.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的体积为( A )
(A)π (B)π (C)8π (D)24π
解析:该旋转体是具有公共底面的两个圆锥,且底面半径为,则体积V=×()2×5=π.故选A.
10.如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为28 cm2 ,则平行线EH,FG间的距离为( A )
(A)8 cm (B)6 cm (C)4 cm (D)9 cm
解析:由题知,EH=BD=3 cm,FG=BD=4 cm.
设平行线EH,FG之间距离为d,
则28=×(3+4)×d,所以d=8 cm,故选A.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.如图所示,ABCDA1B1C1D1是正方体,若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的位置关系是 .?
解析:易知AC∥平面A1C1,
而AC?平面ACB1,平面ACB1∩平面A1C1=l,故l∥AC.
答案:平行
12.若球的表面积为16π,球心到一截面的距离为,则这个截面圆的面积是 .?
解析:设截面圆的半径为r,由题知,球的半径为2,
则有r2=22-()2=1,故截面圆的面积为πr2=π.
答案:π
13.周长为12的矩形,绕其一边旋转360°,得一圆柱,其最大侧面积为 .?
解析:设矩形一边长为x,则另一边长为=6-x,
S侧=2πx(6-x)=-2π(x-3)2+18π,
当x=3时侧面积最大,最大为18π.
答案:18π
14.已知一水平放置梯形的直观图是一等腰梯形(如图),其面积为6,则原梯形面积为 .?
解析:设直观图的高为h,
则h(2+4)=6,所以h=2.
所以原梯形的高在直观图中对应的线段长为
==2,
所以原梯形的高为4,
又两底边长不变,所以S原梯形=×4×(2+4)=12.
答案:12
15.如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条
线段,且EF=b(b .?
解析:==S△QEF·DD1
=×b×a×a=a2b.
答案:a2b
三、解答题(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)
如图(1),在△MBC中,MA是BC边上的高,MA=3,AC=4,如图(2),将△MBC沿MA进行翻折,使得∠BAC=90°,再过点B作BD∥AC,连接AD,CD,MD,且AD=2,∠CAD=30°.
(1)求证:CD⊥平面MAD;
(2)求点A到平面MCD的距离.
(1)证明:在△ADC中,AC=4,AD=2,∠CAD=30°,
利用余弦定理可得CD=2,所以∠ADC=90°,即CD⊥AD.
因为MA⊥AB,MA⊥AC,AB∩AC=A,
故MA⊥平面ABDC.
因为CD?平面ABDC,所以CD⊥MA.
又AD∩MA=A,所以CD⊥平面MAD.
(2)解:因为△ACD的面积S=×2×2=2.
故三棱锥MACD的体积V=×2×3=2.
又由(1)CD⊥平面MAD知MD⊥CD,得MD=,
故△MCD的面积S=××2=,
由=可得×2×3=×h,
所以h=,故点A到平面MCD的距离为.
17.(本小题满分12分)
如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=12,BC=10,AA1=8,过点A1,D1的平面α与棱AB和CD分别交于点E,F,四边形A1EFD1为正方形.
(1)在图中请画出这个正方形(不必写作法),并求AE的长;
(2)问平面α右侧部分是什么几何体,并求其体积.
解:(1)正方形A1EFD1如图所示.
因为A1E=A1D1=AB=10,A1A=8,
在Rt△A1AE中,由勾股定理知AE=6.
(2)平面α右侧部分几何体是以A1EBB1为底面的直四棱柱,由棱柱体积公式得V=×(6+12)×8×10=720.
18.(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD′=2,求五棱锥D′ABCFE的体积.
(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得=,故AC∥EF.
所以EF⊥HD,EF⊥HD′,
所以AC⊥HD′.
(2)解:由EF∥AC得==.
由AB=5,AC=6得DO=BO==4.
所以OH=1,D′H=DH=3.
于是OD′2+OH2=(2)2+12=9=D′H2,
故OD′⊥OH.
由(1)知AC⊥HD′,
又AC⊥BD,BD∩HD′=H,
所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.
又由=得EF=.
五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.
所以五棱锥D′ABCFE的体积V=××2=.
19.(本小题满分12分)
有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少?
解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器内时,水面的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π·(r)2·3r-πr3=πr3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为,从而容器内水的体积为
V′=π··h=πh3,由V=V′,可得h=r.
20.(本小题满分13分)
如图所示,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.
(1)求证:PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC为直角三角形.
证明:(1)如图,在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F,作DG⊥AB
于G,
因为平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,
所以DF⊥平面PAC,
所以DF⊥AP,同理可证DG⊥AP.
又DG∩DF=D,DG?平面ABC,
DF?平面ABC,
所以PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于H,
因为E为△PBC的垂心,所以PC⊥BE.
因为AE⊥平面PBC,所以PC⊥AE.
又BE∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,所以PC⊥AB.
又PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.
又PC∩PA=P,所以AB⊥平面PAC.
所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
21.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC,
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.
(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.
所以AB⊥平面PAC.
所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解:棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.理由如下:
取PB中点F,
连接EF,CE,CF.
因为E为AB的中点,
所以EF∥PA.
又因为PA?平面CEF,EF?平面CEF,所以PA∥平面CEF.
