2018-2019学年高中人教版物理必修一第三章+相互作用+第4节力的合成+Word版含答案

第4节　力的合成
核心素养关键词
知识体系
1.合力与分力产生的效果相同，具有等效替代关系．
2．求几个力的合力的过程叫做力的合成．
3．两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则．
4．两个分力F1、F2与其合力F的关系：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
5．共点力的两种情形：(1)几个力同时作用在物体的同一点；(2)它们的作用线相交于同一点.
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一、合力与分力
1．定义：当一个物体受到几个力的共同作用时，如果一个力产生的效果，跟原来几个力共同作用产生的效果相同，则这个力叫那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力．
2．关系
(1)合力与分力具有等效性，即合力的作用效果与分力的作用效果相同．
(2)合力是几个分力的共同效果，并不是单独存在的力，因此受力分析中不能同时出现．
二、力的合成
1．定义：求几个力的合力的过程叫力的合成．
2．遵循法则：平行四边形定则．
3．注意点
(1)力的合成是唯一的．
(2)只有同一物体所受的力才可合成．
(3)不同性质的力也可以合成．
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一、合作探究找规律
考点一　对合力与分力关系的理解
一个成年人或两个孩子均能提起一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力的作用效果是否相同？二者能否等效替代？两个孩子共提一桶水时，要想省力，两个人拉力间的夹角应大些还是小些？为什么？
答：作用效果相同．两种情况下的作用效果均是把一桶水提起来，能够等效替代．夹角应小一些．提水时两个孩子对水桶拉力的合力的大小等于一桶水所受的重力，合力不变时，两分力的大小会随着两个力之间夹角的减小而减小，因此夹角越小越省力．
考点二　“探究求合力的方法”的实验
“探究求合力的方法”的实验中，每次实验都必须保证结点的位置保持不变，这体现了怎样的物理思想方法？若两次橡皮条的伸长长度相同但结点位置不同，能否达到实验目的？
答：每次实验保证结点的位置保持不变，是为了体现一个力拉橡皮条时的作用效果与两个力拉橡皮条时的共同作用效果相同，体现了等效替代的思想方法．由于力不仅有大小，还具有方向，所以两次橡皮条的伸长长度相同但结点位置不同时，说明两次效果不同，不满足合力与分力的关系，不能达到实验目的．
考点三　合力的求解方法
图解法和计算法求合力各有什么优点和缺点？
答：图解法简单、直观，但结果不精确；计算法结果精确，但对数学知识要求较高，经常用到直角三角形、勾股定理、三角函数等知识．
二、理解概念做判断
1．合力F一定与分力F1、F2共同作用产生的效果相同．(√)
2．分力F1、F2一定是同种性质的力．(×)
3．分力F1、F2与合力F是物体同时受到的三个力．(×)
4．合力有可能大于任何一个分力. (√)
5．合力F的大小随F1、F2之间夹角的增大而减小. (√)
/
要点1|合力的计算
1．平行四边形定则
(1)内容：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则，如图所示．
/
(2)应用范围：平行四边形定则是一切矢量的运算法则，不仅适用于力的合成，也适用于速度、加速度等矢量的合成．
2．求合力的方法
(1)图解法：利用力的图示，通过作图解决问题的方法．选择统一标度，严格作出力的图示及平行四边形，用统一标度去度量作出的平行四边形的对角线，求出合力的大小，再量出对角线与某一分力的夹角，求出合力的方向．
应注意以下四点：
①分力、合力的作用点相同，切忌弄错了表示合力的对角线；
②分力、合力的标度要一致，力的标度要适当；
③虚线、实线要分清，表示分力与合力的两条邻边和对角线画实线，并加上箭头，平行四边形的另两条边画虚线，不加箭头；
④求合力时既要求出合力的大小，还要求出合力的方向，不要忘了用量角器量出合力与某一分力间的夹角．
(2)计算法
①同一直线上的两个力F1、F2合成时，若同向时F合＝F1＋F2，方向与F1(或F2)相同，若反向时F合＝|F1－F2|，方向与较大力方向相同．
②两个互相垂直的力F1、F2合成时，可以用直角三角形求解，F合＝，方向与F1的夹角为φ，则tanφ＝.
③夹角为120°的两个等大力的合成
如下图所示，由几何关系可知，对角线OC将平行四边形OACB分为两个等边三角形，故合力的大小与分力等大，方向与每个分力夹角均为60°.
/
④夹角为θ的大小相同的两个力的合成
/
由几何关系知OACB为菱形，其对角线AB、OC垂直平分，则合力大小F＝2F1cos，方向与F1夹角为.
⑤一般情况下，互成角度θ的两个力F1、F2合成时的计算公式如下
/
(这部分内容仅供学有余力的同学参考)如右图所示，有向线段OA和OB分别表示作用在物体O点上的两个力F1和F2，OC表示它们的合力F，力F1和F2的夹角为θ.
在三角形OAC中，根据余弦定理可得
F2＝F＋F－2F1F2cos(180°－θ)＝F＋F＋2F1F2cosθ，
所以合力的大小F＝.
合力的方向可以用合力跟任一分力的夹角表示．设F与F1的夹角为φ，利用直角三角形ODC可求出角φ的正切值：tanφ＝＝＝.
根据以上两式，可以算出两个共点力的大小和方向．
/　在电线杆的两侧常用钢丝绳把它固定在地上(如图)．如果钢丝绳与地面的夹角∠A＝∠B＝60°，每条钢丝绳的拉力都是300 N，求两根钢丝绳作用在电线杆上的合力．
/
【思路点拨】　两钢丝绳对杆的拉力的合力即为所求，可做出力的合成图，再利用三角形知识求出合力．
【解析】　(1)作图法，自O点引两条有向线段OC和OD，夹角为60°，设定每单位长度表示100 N．则OC和OD的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OCED，其对角线OE就表示两个拉力F1、F2的合力F，量得OE长为5.2个单位长度，所以合力F＝100×5.2 N＝520 N．用量角器量得∠COE＝∠DOE＝30°，所以合力方向竖直向下，如图甲所示．
/
(2)计算法，先画出力的平行四边形，如图乙所示，由于OC＝OD，得到的平行四边形是菱形，连接CD，两对角线垂直且平分，OC表示300 N，∠COO′＝30°，在三角形OCO′中，OO′＝OC·cos30°.在力的平行四边形中，各线段的长表示力的大小，则有＝F1·cos30°，所以合力F＝2F1·cos30°＝2×300× N≈520 N，方向竖直向下．
【答案】　520 N，方向竖直向下
/　大小均为10 N的两个共点力，当其夹角为120°时，合力的大小为多少？若再增加一个大小为12 N的力，三个力共点且在同一个平面内，并且互成120°角，则这三个力的合力大小为多少？
/
解析：我们可依据题给条件作出平行四边形，如右图所示，由示意图可看出每一个力与合力间的夹角为60°，根据几何知识可知，代表合力F的线段长与代表F1、F2的线段长是相等的，因此合力大小应为10 N．当再加一个12 N的力，且均与F1、F2夹角为120°，由图可分析，这个力应与F1、F2的合力F在一条直线上，且方向相反，故可将三个力的合力看成是12 N的力与F合成的结果，即三个力的合力大小为2 N.
答案：10 N　2 N
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(1)
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(2)在计算合力时要尽可能利用、构造直角三角形，这样更方便求解．
/
名师点易错
在同一个图上的各个力的图示，必须采用同一标度，并且所选力的标度的比例要适当，绳子的拉力大小与绳子长度无关，绳子长，力不一定大．绳子短，力也不一定小，其大小据力的合成图来求．
要点2|合力的大小范围
由平行四边形定则可知，F1、F2的夹角变化时，F的大小和方向也发生变化．
1．两分力同向时，合力最大，Fmax＝F1＋F2.
2．两分力反向时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|，其方向与较大的一个分力相同．
3.两个力夹角为θ时，如图所示，三角形AOC的AO边对应力F1，AC边对应力F2，由三角形知识可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|F1－F2|/
综上所述，合力的范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
/　三个力作用在一个物体上，其大小分别为7 N、8 N、9 N，其合力不可能是(　　)
A．0　　 B．7 N　　　
C．15 N　　 D．25 N
【思路点拨】　求出三个力的合力的范围，不在该范围内的力便是不可能的．
【解析】　当三个力方向相同时，合力最大Fmax＝7 N＋8 N＋9 N＝24 N，因7 N和8 N两个力的合力范围为1 N≤F≤15 N，其中合力可以为9 N，则当此合力与9 N的力在同一直线上，且方向相反时，合力为零，所以三力的合力范围为0≤F合≤24 N，因此答案为D.
【答案】　D
/　(多选)F1、F2两个共点力的合力为F，则下列说法中正确的是(　　)
A．合力F一定大于任一分力
B．合力的大小既可等于F1，也可等于F2
C．合力有可能小于任何一个分力
D．合力F的大小随F1、F2间的夹角增大而减小
解析：根据平行四边形定则，合力可以大于分力、或小于分力、或等于分力．故A错误，B、C正确；根据平行四边形定则可知，当F1、F2间的夹角增大，则合力F的大小会减小，故D正确．
答案：BCD
/
(1)两个力的合力范围：由于合力大小随两分力之间夹角θ的增大而减小，所以合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
(2)三个力的合力范围：Fmax＝F1＋F2＋F3；最小值：先求其中任意两个力的合力范围，若第三个力在其范围内，则为零，否则用较大的减去两个较小的．
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名师点易错
1．有的同学误认为合力一定等于两分力的代数和，合力的大小一定比每个分力都大．
2．求合力时忘记求合力的方向，力是矢量，不仅要求出合力的大小，还要求出合力的方向．
要点3|共点力
1．共点力的概念：作用在同一物体上的几个力作用于同一点或延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力．
2．共点力的合成：平行四边形定则只能计算几个共点力的合力，对于非共点力，合力没有意义．
/　有五个力作用于一点O，这五个力构成一个正六边形的两邻边和三角对角线，如图所示，设F3＝20 N，则这五个力的合力大小为________N.
/
【思路点拨】　如果根据平行四边形一个一个的合成会非常的麻烦，我们可以观察正六边形，其对边相互平行且相等，可以把力平移，再利用三角形定则合成．
【解析】　由图可知，最大恒力为F3，根据平行四边形定则，F1与F4的合力为F3，F2与F5的合力为F3，这五个力的合力为三倍的F3，所以合力的大小为60 N.
【答案】　60
/　六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，如图所示．试确定它们的合力的大小和方向．
/
解析：本题若将六个共点力依次逐步合成，无论是计算法还是作图法，都相当繁琐．然而，仔细研究这六个共点力的特点，则不难发现其中的奥秘——同一直线上的两个力的合力均为3F，利用这一点将可大大简化求解过程．先将六个共点力在
同一直线上的两两合成，再根据平行四边形定则，将两侧的两个3F合成，它们的合力应与中间的3F重合．从而最终可求得这六个力的合力为6F，方向与大小为5F的那个力同向．
答案：6F，与大小为5F的那个力同向
/
多个力求合力的方法：
(1)把所研究的力的箭尾都画在一起．
(2)先把其中两个力求合力，再把该合力和第三个力合成，一直合成到最后一个力．
(3)观察分析各个力的大小及方向，灵活合成力的途径以简化处理过程．
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名师点易错
所谓共点力不一定是所有的力均作用在同一点，也可以是力的作用线的延长线交于一点，如图所示，甲图中F1、F2、F3作用于同一点O1，是共点力；乙图中杆AB所受重力G、拉力F1和F2并未作用在同一点，但作用线的延长线交于同一点O2，则G、F1、F2也是共点力．
/
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对点训练一　合力的计算
1．(2018·辽宁学业测试)如图所示，一个重60 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝20 N的力竖直向上拉物体时，物体所受的合力为(　　)
/
A．0 N B．40 N，方向竖直向下
C．40 N，方向竖直向上 D．80 N，方向竖直向上
解析：物体的重力为60 N，用20 N的力竖直向上拉物体，则地面对物体的支持力为40 N，物体受到的合力为零，A选项正确．
答案：A
2．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F，以下说法正确的是(　　)
A．若F1和F2的大小不变，θ越小，合力F就越大
B．若F1和F2的大小不变，θ越大，合力F就越大
C．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
D．合力F可能比分力F1和F2中的任何一个力都小
解析：根据力的合成规律可知，分力F1和F2的大小不变，θ越小，合力F就越大，θ越大，合力F就越小，A选项正确，B选项错误；合力F可能比分力F1和F2中的任何一个力都小，也可能比任何一个力都大，C选项错误，D选项正确．
答案：AD
3．下列关于合力和分力的说法中，正确的是(　　)
A．合力的大小等于它的分力的大小之和
B．合力的大小一定大于任何一个分力的大小
C．合力的方向一定与分力中较大的一个的方向相同
D．一个力替代另外几个力且作用效果相同时，就把这个力说成那几个力的合力
解析：求合力满足平行四边形定则，所以合力的大小可能比分力大，也可能比分力小，故选项A、B错误；合力的方向为以两个分力为邻边的平行四边形对角线的方向，选项C错误；合力和分力的作用效果相同，是一种等效替代，故选项D正确．
答案：D
对点训练二　合力的范围
4．(2018·上饶市期末)有三只豹子在抢食一猎物，三只豹子沿水平方向用大小分别为300 N、400 N和500 N的力拖动猎物．若豹子的方位不确定，则这三个力的合力的最小值和最大值分别为(　　)
A．0　1 200 N B．100 N　1 200 N
C．200 N　1 000 N D．400 N　1 000 N
解析：猎物受三个力作用，根据力的合成规律可知，三个力的合力的最大值为1 200 N，最小值为0，A选项正确．
答案：A
5．已知两个力的合力F＝10 N，其中一个分力F1＝16 N，则另一个分力F2可能是(　　)
A．1 N B．3 N
C．5 N D．7 N
解析：有两个共点力的合力大小为10 N，若其中一个分力大小为16 N，另一个分力的大小应在6 N≤F≤26 N范围，所以可能为7 N，只有选项D符合要求．
答案：D
对点训练三　共点力
6．如图所示，AO、BO、CO是完全相同的绳子，并将钢梁水平吊起，若钢梁足够重时，绳子AO先断，则(　　)
/
A．θ<120°
B．θ＝120°
C．θ>120°
D．不论θ为何值，AO总是先断
解析：分析O点的受力，如图所示：
/
绳子BO和CO的拉力的合力与绳子AO拉力等大反向，根据对称性可知，BO绳与CO绳拉力大小相等，＝FBOcos，若钢梁足够重时，绳子AO先断，则FAO>FBO，联立解得，θ<120°，A选项正确．
答案：A
/
【强化基础】
1．重为2 N的苹果从树上落下来的过程中，受到重力和空气阻力的作用．关于苹果所受合力的大小和方向，下列说法中正确的是(　　)
A．大于2 N，方向竖直向上 B．小于2 N，方向竖直向上
C．大于2 N，方向竖直向下 D．小于2 N，方向竖直向下
解析：苹果向下运动，重力大于空气阻力，合力小于2 N，方向竖直向下，D选项正确．
答案：D
2．有三个共点力F1、F2、F3作用于某一点，其合力为零．已知F3＝5 N，现保持其余两力大小和方向不变，只将F3的方向沿逆时针方向绕作用点转动90°，则这三个力的合力大小变为(　　)
A．10 N B．5 N
C．5 N D．仍为零
解析：如图所示，因F3＝5 N，故F1与F2的合力也为5 N，方向与F3的方向相反；转动F3后，F1与F2的合力不变，则可以合力与转后的F3合成，故合力为5 N，故选项C正确．
/
答案：C
3．(2018·重庆市綦江模拟)如图所示，A、B为同一水平线上的两个相同的绕绳轮子．现按箭头方向以相同的速度缓慢转动A、B，使重物C缓慢上升．在此过程中绳上的拉力大小(　　)
/
A．保持不变
B．逐渐减小
C．逐渐增大
D．先减小后增大
解析：绳子拉力的合力与物体的重力等大反向，在重物C缓慢上升的过程中，两绳夹角逐渐增大，合力一定，夹角越大，分力越大，故绳上拉力逐渐增大，C选项正确．
答案：C
4.如图所示，物块在力F作用下向右沿水平方向匀速运动，则物块所受的摩擦力Ff与拉力F的合力方向应该是(　　)
/
A．水平向右 B．竖直向上
C．向右偏上 D．向左偏上
解析：分析物块的受力情况：重力、地面的支持力、摩擦力和力F，根据平衡条件则知，摩擦力Ff与拉力F的合力方向与重力、支持力的合力方向相反，而重力、支持力的合力方向竖直向下，则物块受的摩擦力Ff与拉力 F的合力方向竖直向上．故选B.
答案：B
5．(2018·德州市模拟)如图，弹性杆AB的下端固定，上端固定一个质量为m的小球，用水平力缓慢拉球，使杆发生弯曲．逐渐增大水平力F的大小，则弹性杆AB对球的作用力的方向如何变化__________________________．
/
解析：分析球的受力情况：重力、水平拉力和AB杆对球的作用力，如图所示：
/
根据平行四边形定则，逐渐增大水平力F的大小，重力和水平力的合力大小逐渐增大，方向向右下方，则杆AB的弹力斜向左上方，与竖直方向夹角增大.
答案：斜向左上方，与竖直方向夹角增大
【巩固易错】
6．(多选)下列哪组力作用在物体上，有可能使物体所受合力为零的是(　　)
A．3 N,4 N,8 N　　　　　 B．3 N,5 N,1 N
C．4 N,7 N,8 N D．7 N,9 N,6 N
解析：两个大小不变的共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，三个大小不变的共点力的合力最小值能否为零要看任意一个力的大小是否在其他两个力的合力范围之内，据此可知，C、D选项正确．
答案：CD
7．(2018·成都期末)如图，5个力的合力为F1.若其他力不变，只将大小为6 N的那个力沿顺时针方向旋转60°，旋转后，5个力的合力为F2.则关于F1、F2的大小及方向，表述正确的是(　　)
/
A．F1＝0，F2＝0
B．F1＝6 N，方向与6 N的力方向相反，F2＝0
C．F1＝0，F2＝6 N，方向与5 N的力方向相同
D．F1＝0，F2＝6 N，方向与2 N的力方向相同
解析：一条直线上的两个力先求和，然后再根据平行四边形定则求解合力，5个力的合力F1＝0，多力的合力为0时，任一力与其他各力的合力大小相等，方向相反，故将大小为6 N的那个力沿顺时针方向旋转60°后，合力F2＝6 N，方向与5 N的力方向相同，C选项正确．
答案：C
【能力提升】
8．如图所示，三个共点力F1、F2与F3作用在同一个质点上，其中，F1与F2共线且反向，F3与F1垂直，F1＝6 N、F2＝2 N、F3＝3 N．则质点所受的合力大小是多大？
/
解析：F1与F2的合力F12＝F1－F2＝4 N
F12与F3垂直，其合力F合＝＝5 N .
答案：5 N
9．如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果钢索所能承受的最大拉力是2 000 N，演员和独轮车的总质量为80 kg，两侧的钢索最大成150°夹角，钢索能安全使用吗？(钢索自重不计，cos75°＝0.259，取g＝10 N/kg)
/
解析：对钢索上与车轮接触的点受力分析，如图所示．
/
其中FT1、FT2为两侧钢索对O点的拉力，且FT1＝FT2，FN为O点受到的独轮车的压力，FT1和FT2的合力FT的大小与FN的大小相等，FN在数值上等于人和车的重力mg.由几何关系得2FT1cos75°＝mg，所以FT1＝＝ N＝1 544 N，即FT1<2 000 N，故钢索能安全使用．
答案：钢索能安全使用

第4节　力的合成
核心素养关键词
知识体系
1.合力与分力产生的效果相同，具有等效替代关系．
2．求几个力的合力的过程叫做力的合成．
3．两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则．
4．两个分力F1、F2与其合力F的关系：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
5．共点力的两种情形：(1)几个力同时作用在物体的同一点；(2)它们的作用线相交于同一点.
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一、合力与分力
1．定义：当一个物体受到几个力的共同作用时，如果一个力产生的效果，跟原来几个力共同作用产生的效果相同，则这个力叫那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力．
2．关系
(1)合力与分力具有等效性，即合力的作用效果与分力的作用效果相同．
(2)合力是几个分力的共同效果，并不是单独存在的力，因此受力分析中不能同时出现．
二、力的合成
1．定义：求几个力的合力的过程叫力的合成．
2．遵循法则：平行四边形定则．
3．注意点
(1)力的合成是唯一的．
(2)只有同一物体所受的力才可合成．
(3)不同性质的力也可以合成．
/
一、合作探究找规律
考点一　对合力与分力关系的理解
一个成年人或两个孩子均能提起一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力的作用效果是否相同？二者能否等效替代？两个孩子共提一桶水时，要想省力，两个人拉力间的夹角应大些还是小些？为什么？
答：作用效果相同．两种情况下的作用效果均是把一桶水提起来，能够等效替代．夹角应小一些．提水时两个孩子对水桶拉力的合力的大小等于一桶水所受的重力，合力不变时，两分力的大小会随着两个力之间夹角的减小而减小，因此夹角越小越省力．
考点二　“探究求合力的方法”的实验
“探究求合力的方法”的实验中，每次实验都必须保证结点的位置保持不变，这体现了怎样的物理思想方法？若两次橡皮条的伸长长度相同但结点位置不同，能否达到实验目的？
答：每次实验保证结点的位置保持不变，是为了体现一个力拉橡皮条时的作用效果与两个力拉橡皮条时的共同作用效果相同，体现了等效替代的思想方法．由于力不仅有大小，还具有方向，所以两次橡皮条的伸长长度相同但结点位置不同时，说明两次效果不同，不满足合力与分力的关系，不能达到实验目的．
考点三　合力的求解方法
图解法和计算法求合力各有什么优点和缺点？
答：图解法简单、直观，但结果不精确；计算法结果精确，但对数学知识要求较高，经常用到直角三角形、勾股定理、三角函数等知识．
二、理解概念做判断
1．合力F一定与分力F1、F2共同作用产生的效果相同．(√)
2．分力F1、F2一定是同种性质的力．(×)
3．分力F1、F2与合力F是物体同时受到的三个力．(×)
4．合力有可能大于任何一个分力. (√)
5．合力F的大小随F1、F2之间夹角的增大而减小. (√)
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要点1|合力的计算
1．平行四边形定则
(1)内容：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，这个法则叫做平行四边形定则，如图所示．
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(2)应用范围：平行四边形定则是一切矢量的运算法则，不仅适用于力的合成，也适用于速度、加速度等矢量的合成．
2．求合力的方法
(1)图解法：利用力的图示，通过作图解决问题的方法．选择统一标度，严格作出力的图示及平行四边形，用统一标度去度量作出的平行四边形的对角线，求出合力的大小，再量出对角线与某一分力的夹角，求出合力的方向．
应注意以下四点：
①分力、合力的作用点相同，切忌弄错了表示合力的对角线；
②分力、合力的标度要一致，力的标度要适当；
③虚线、实线要分清，表示分力与合力的两条邻边和对角线画实线，并加上箭头，平行四边形的另两条边画虚线，不加箭头；
④求合力时既要求出合力的大小，还要求出合力的方向，不要忘了用量角器量出合力与某一分力间的夹角．
(2)计算法
①同一直线上的两个力F1、F2合成时，若同向时F合＝F1＋F2，方向与F1(或F2)相同，若反向时F合＝|F1－F2|，方向与较大力方向相同．
②两个互相垂直的力F1、F2合成时，可以用直角三角形求解，F合＝，方向与F1的夹角为φ，则tanφ＝.
③夹角为120°的两个等大力的合成
如下图所示，由几何关系可知，对角线OC将平行四边形OACB分为两个等边三角形，故合力的大小与分力等大，方向与每个分力夹角均为60°.
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④夹角为θ的大小相同的两个力的合成
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由几何关系知OACB为菱形，其对角线AB、OC垂直平分，则合力大小F＝2F1cos，方向与F1夹角为.
⑤一般情况下，互成角度θ的两个力F1、F2合成时的计算公式如下
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(这部分内容仅供学有余力的同学参考)如右图所示，有向线段OA和OB分别表示作用在物体O点上的两个力F1和F2，OC表示它们的合力F，力F1和F2的夹角为θ.
在三角形OAC中，根据余弦定理可得
F2＝F＋F－2F1F2cos(180°－θ)＝F＋F＋2F1F2cosθ，
所以合力的大小F＝.
合力的方向可以用合力跟任一分力的夹角表示．设F与F1的夹角为φ，利用直角三角形ODC可求出角φ的正切值：tanφ＝＝＝.
根据以上两式，可以算出两个共点力的大小和方向．
/　在电线杆的两侧常用钢丝绳把它固定在地上(如图)．如果钢丝绳与地面的夹角∠A＝∠B＝60°，每条钢丝绳的拉力都是300 N，求两根钢丝绳作用在电线杆上的合力．
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【思路点拨】　两钢丝绳对杆的拉力的合力即为所求，可做出力的合成图，再利用三角形知识求出合力．
【解析】　(1)作图法，自O点引两条有向线段OC和OD，夹角为60°，设定每单位长度表示100 N．则OC和OD的长度都是3个单位长度，作出平行四边形OCED，其对角线OE就表示两个拉力F1、F2的合力F，量得OE长为5.2个单位长度，所以合力F＝100×5.2 N＝520 N．用量角器量得∠COE＝∠DOE＝30°，所以合力方向竖直向下，如图甲所示．
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(2)计算法，先画出力的平行四边形，如图乙所示，由于OC＝OD，得到的平行四边形是菱形，连接CD，两对角线垂直且平分，OC表示300 N，∠COO′＝30°，在三角形OCO′中，OO′＝OC·cos30°.在力的平行四边形中，各线段的长表示力的大小，则有＝F1·cos30°，所以合力F＝2F1·cos30°＝2×300× N≈520 N，方向竖直向下．
【答案】　520 N，方向竖直向下
/　大小均为10 N的两个共点力，当其夹角为120°时，合力的大小为多少？若再增加一个大小为12 N的力，三个力共点且在同一个平面内，并且互成120°角，则这三个力的合力大小为多少？
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解析：我们可依据题给条件作出平行四边形，如右图所示，由示意图可看出每一个力与合力间的夹角为60°，根据几何知识可知，代表合力F的线段长与代表F1、F2的线段长是相等的，因此合力大小应为10 N．当再加一个12 N的力，且均与F1、F2夹角为120°，由图可分析，这个力应与F1、F2的合力F在一条直线上，且方向相反，故可将三个力的合力看成是12 N的力与F合成的结果，即三个力的合力大小为2 N.
答案：10 N　2 N
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(1)
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(2)在计算合力时要尽可能利用、构造直角三角形，这样更方便求解．
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名师点易错
在同一个图上的各个力的图示，必须采用同一标度，并且所选力的标度的比例要适当，绳子的拉力大小与绳子长度无关，绳子长，力不一定大．绳子短，力也不一定小，其大小据力的合成图来求．
要点2|合力的大小范围
由平行四边形定则可知，F1、F2的夹角变化时，F的大小和方向也发生变化．
1．两分力同向时，合力最大，Fmax＝F1＋F2.
2．两分力反向时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|，其方向与较大的一个分力相同．
3.两个力夹角为θ时，如图所示，三角形AOC的AO边对应力F1，AC边对应力F2，由三角形知识可知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即|F1－F2|/
综上所述，合力的范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
/　三个力作用在一个物体上，其大小分别为7 N、8 N、9 N，其合力不可能是(　　)
A．0　　 B．7 N　　　
C．15 N　　 D．25 N
【思路点拨】　求出三个力的合力的范围，不在该范围内的力便是不可能的．
【解析】　当三个力方向相同时，合力最大Fmax＝7 N＋8 N＋9 N＝24 N，因7 N和8 N两个力的合力范围为1 N≤F≤15 N，其中合力可以为9 N，则当此合力与9 N的力在同一直线上，且方向相反时，合力为零，所以三力的合力范围为0≤F合≤24 N，因此答案为D.
【答案】　D
/　(多选)F1、F2两个共点力的合力为F，则下列说法中正确的是(　　)
A．合力F一定大于任一分力
B．合力的大小既可等于F1，也可等于F2
C．合力有可能小于任何一个分力
D．合力F的大小随F1、F2间的夹角增大而减小
解析：根据平行四边形定则，合力可以大于分力、或小于分力、或等于分力．故A错误，B、C正确；根据平行四边形定则可知，当F1、F2间的夹角增大，则合力F的大小会减小，故D正确．
答案：BCD
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(1)两个力的合力范围：由于合力大小随两分力之间夹角θ的增大而减小，所以合力大小的范围是：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
(2)三个力的合力范围：Fmax＝F1＋F2＋F3；最小值：先求其中任意两个力的合力范围，若第三个力在其范围内，则为零，否则用较大的减去两个较小的．
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名师点易错
1．有的同学误认为合力一定等于两分力的代数和，合力的大小一定比每个分力都大．
2．求合力时忘记求合力的方向，力是矢量，不仅要求出合力的大小，还要求出合力的方向．
要点3|共点力
1．共点力的概念：作用在同一物体上的几个力作用于同一点或延长线交于一点，这样的一组力叫做共点力．
2．共点力的合成：平行四边形定则只能计算几个共点力的合力，对于非共点力，合力没有意义．
/　有五个力作用于一点O，这五个力构成一个正六边形的两邻边和三角对角线，如图所示，设F3＝20 N，则这五个力的合力大小为________N.
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【思路点拨】　如果根据平行四边形一个一个的合成会非常的麻烦，我们可以观察正六边形，其对边相互平行且相等，可以把力平移，再利用三角形定则合成．
【解析】　由图可知，最大恒力为F3，根据平行四边形定则，F1与F4的合力为F3，F2与F5的合力为F3，这五个力的合力为三倍的F3，所以合力的大小为60 N.
【答案】　60
/　六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，如图所示．试确定它们的合力的大小和方向．
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解析：本题若将六个共点力依次逐步合成，无论是计算法还是作图法，都相当繁琐．然而，仔细研究这六个共点力的特点，则不难发现其中的奥秘——同一直线上的两个力的合力均为3F，利用这一点将可大大简化求解过程．先将六个共点力在
同一直线上的两两合成，再根据平行四边形定则，将两侧的两个3F合成，它们的合力应与中间的3F重合．从而最终可求得这六个力的合力为6F，方向与大小为5F的那个力同向．
答案：6F，与大小为5F的那个力同向
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多个力求合力的方法：
(1)把所研究的力的箭尾都画在一起．
(2)先把其中两个力求合力，再把该合力和第三个力合成，一直合成到最后一个力．
(3)观察分析各个力的大小及方向，灵活合成力的途径以简化处理过程．
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名师点易错
所谓共点力不一定是所有的力均作用在同一点，也可以是力的作用线的延长线交于一点，如图所示，甲图中F1、F2、F3作用于同一点O1，是共点力；乙图中杆AB所受重力G、拉力F1和F2并未作用在同一点，但作用线的延长线交于同一点O2，则G、F1、F2也是共点力．
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对点训练一　合力的计算
1．(2018·辽宁学业测试)如图所示，一个重60 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝20 N的力竖直向上拉物体时，物体所受的合力为(　　)
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A．0 N B．40 N，方向竖直向下
C．40 N，方向竖直向上 D．80 N，方向竖直向上
解析：物体的重力为60 N，用20 N的力竖直向上拉物体，则地面对物体的支持力为40 N，物体受到的合力为零，A选项正确．
答案：A
2．(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F，以下说法正确的是(　　)
A．若F1和F2的大小不变，θ越小，合力F就越大
B．若F1和F2的大小不变，θ越大，合力F就越大
C．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
D．合力F可能比分力F1和F2中的任何一个力都小
解析：根据力的合成规律可知，分力F1和F2的大小不变，θ越小，合力F就越大，θ越大，合力F就越小，A选项正确，B选项错误；合力F可能比分力F1和F2中的任何一个力都小，也可能比任何一个力都大，C选项错误，D选项正确．
答案：AD
3．下列关于合力和分力的说法中，正确的是(　　)
A．合力的大小等于它的分力的大小之和
B．合力的大小一定大于任何一个分力的大小
C．合力的方向一定与分力中较大的一个的方向相同
D．一个力替代另外几个力且作用效果相同时，就把这个力说成那几个力的合力
解析：求合力满足平行四边形定则，所以合力的大小可能比分力大，也可能比分力小，故选项A、B错误；合力的方向为以两个分力为邻边的平行四边形对角线的方向，选项C错误；合力和分力的作用效果相同，是一种等效替代，故选项D正确．
答案：D
对点训练二　合力的范围
4．(2018·上饶市期末)有三只豹子在抢食一猎物，三只豹子沿水平方向用大小分别为300 N、400 N和500 N的力拖动猎物．若豹子的方位不确定，则这三个力的合力的最小值和最大值分别为(　　)
A．0　1 200 N B．100 N　1 200 N
C．200 N　1 000 N D．400 N　1 000 N
解析：猎物受三个力作用，根据力的合成规律可知，三个力的合力的最大值为1 200 N，最小值为0，A选项正确．
答案：A
5．已知两个力的合力F＝10 N，其中一个分力F1＝16 N，则另一个分力F2可能是(　　)
A．1 N B．3 N
C．5 N D．7 N
解析：有两个共点力的合力大小为10 N，若其中一个分力大小为16 N，另一个分力的大小应在6 N≤F≤26 N范围，所以可能为7 N，只有选项D符合要求．
答案：D
对点训练三　共点力
6．如图所示，AO、BO、CO是完全相同的绳子，并将钢梁水平吊起，若钢梁足够重时，绳子AO先断，则(　　)
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A．θ<120°
B．θ＝120°
C．θ>120°
D．不论θ为何值，AO总是先断
解析：分析O点的受力，如图所示：
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绳子BO和CO的拉力的合力与绳子AO拉力等大反向，根据对称性可知，BO绳与CO绳拉力大小相等，＝FBOcos，若钢梁足够重时，绳子AO先断，则FAO>FBO，联立解得，θ<120°，A选项正确．
答案：A
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【强化基础】
1．重为2 N的苹果从树上落下来的过程中，受到重力和空气阻力的作用．关于苹果所受合力的大小和方向，下列说法中正确的是(　　)
A．大于2 N，方向竖直向上 B．小于2 N，方向竖直向上
C．大于2 N，方向竖直向下 D．小于2 N，方向竖直向下
解析：苹果向下运动，重力大于空气阻力，合力小于2 N，方向竖直向下，D选项正确．
答案：D
2．有三个共点力F1、F2、F3作用于某一点，其合力为零．已知F3＝5 N，现保持其余两力大小和方向不变，只将F3的方向沿逆时针方向绕作用点转动90°，则这三个力的合力大小变为(　　)
A．10 N B．5 N
C．5 N D．仍为零
解析：如图所示，因F3＝5 N，故F1与F2的合力也为5 N，方向与F3的方向相反；转动F3后，F1与F2的合力不变，则可以合力与转后的F3合成，故合力为5 N，故选项C正确．
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答案：C
3．(2018·重庆市綦江模拟)如图所示，A、B为同一水平线上的两个相同的绕绳轮子．现按箭头方向以相同的速度缓慢转动A、B，使重物C缓慢上升．在此过程中绳上的拉力大小(　　)
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A．保持不变
B．逐渐减小
C．逐渐增大
D．先减小后增大
解析：绳子拉力的合力与物体的重力等大反向，在重物C缓慢上升的过程中，两绳夹角逐渐增大，合力一定，夹角越大，分力越大，故绳上拉力逐渐增大，C选项正确．
答案：C
4.如图所示，物块在力F作用下向右沿水平方向匀速运动，则物块所受的摩擦力Ff与拉力F的合力方向应该是(　　)
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A．水平向右 B．竖直向上
C．向右偏上 D．向左偏上
解析：分析物块的受力情况：重力、地面的支持力、摩擦力和力F，根据平衡条件则知，摩擦力Ff与拉力F的合力方向与重力、支持力的合力方向相反，而重力、支持力的合力方向竖直向下，则物块受的摩擦力Ff与拉力 F的合力方向竖直向上．故选B.
答案：B
5．(2018·德州市模拟)如图，弹性杆AB的下端固定，上端固定一个质量为m的小球，用水平力缓慢拉球，使杆发生弯曲．逐渐增大水平力F的大小，则弹性杆AB对球的作用力的方向如何变化__________________________．
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解析：分析球的受力情况：重力、水平拉力和AB杆对球的作用力，如图所示：
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根据平行四边形定则，逐渐增大水平力F的大小，重力和水平力的合力大小逐渐增大，方向向右下方，则杆AB的弹力斜向左上方，与竖直方向夹角增大.
答案：斜向左上方，与竖直方向夹角增大
【巩固易错】
6．(多选)下列哪组力作用在物体上，有可能使物体所受合力为零的是(　　)
A．3 N,4 N,8 N　　　　　 B．3 N,5 N,1 N
C．4 N,7 N,8 N D．7 N,9 N,6 N
解析：两个大小不变的共点力的合力范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2，三个大小不变的共点力的合力最小值能否为零要看任意一个力的大小是否在其他两个力的合力范围之内，据此可知，C、D选项正确．
答案：CD
7．(2018·成都期末)如图，5个力的合力为F1.若其他力不变，只将大小为6 N的那个力沿顺时针方向旋转60°，旋转后，5个力的合力为F2.则关于F1、F2的大小及方向，表述正确的是(　　)
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A．F1＝0，F2＝0
B．F1＝6 N，方向与6 N的力方向相反，F2＝0
C．F1＝0，F2＝6 N，方向与5 N的力方向相同
D．F1＝0，F2＝6 N，方向与2 N的力方向相同
解析：一条直线上的两个力先求和，然后再根据平行四边形定则求解合力，5个力的合力F1＝0，多力的合力为0时，任一力与其他各力的合力大小相等，方向相反，故将大小为6 N的那个力沿顺时针方向旋转60°后，合力F2＝6 N，方向与5 N的力方向相同，C选项正确．
答案：C
【能力提升】
8．如图所示，三个共点力F1、F2与F3作用在同一个质点上，其中，F1与F2共线且反向，F3与F1垂直，F1＝6 N、F2＝2 N、F3＝3 N．则质点所受的合力大小是多大？
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解析：F1与F2的合力F12＝F1－F2＝4 N
F12与F3垂直，其合力F合＝＝5 N .
答案：5 N
9．如图所示，一名骑独轮车的杂技演员在空中钢索上表演，如果钢索所能承受的最大拉力是2 000 N，演员和独轮车的总质量为80 kg，两侧的钢索最大成150°夹角，钢索能安全使用吗？(钢索自重不计，cos75°＝0.259，取g＝10 N/kg)
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解析：对钢索上与车轮接触的点受力分析，如图所示．
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其中FT1、FT2为两侧钢索对O点的拉力，且FT1＝FT2，FN为O点受到的独轮车的压力，FT1和FT2的合力FT的大小与FN的大小相等，FN在数值上等于人和车的重力mg.由几何关系得2FT1cos75°＝mg，所以FT1＝＝ N＝1 544 N，即FT1<2 000 N，故钢索能安全使用．
答案：钢索能安全使用