2018-2019学年高中人教版物理必修二第五章+第2节平抛运动+Word版含答案

第2节　平抛运动
核心素养关键词
知识体系
1.物体被抛出后仅在重力作用下的运动叫抛体运动，初速度沿水平方向的抛体运动叫平抛运动．
2．平抛运动一般可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直方向上的自由落体运动．
3．斜抛运动与平抛运动的处理方法类似，只是竖直方向上的初速度不为0；斜上抛运动的最高点物体的瞬时速度沿水平方向.
/
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一、抛体运动
1．定义：以一定初速度将物体抛出，在忽略空气阻力，只考虑重力作用的情况下，物体所做的运动叫抛体运动．
2．分类：依据抛出时速度的方向，可将抛体运动分以下类型：
竖直抛体运动：竖直上抛运动、竖直下抛运动．
斜抛运动：斜向上抛运动、斜向下抛运动．
平抛运动：初速度v0沿水平方向．
二、平抛运动
1．定义：将物体以一定的速度水平抛出，物体只受重力作用下的运动叫平抛运动．
2．平抛运动的条件
(1)物体具有水平方向的初速度．
(2)运动过程中只受重力.
/
一、合作探究找规律
考点一　抛体运动
如图所示，一人正练习投掷飞镖，请思考：
/
1．飞镖投出后，其加速度的大小和方向是否变化？
2．飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
答：1.加速度为重力加速度g，大小和方向均不变．
2．匀变速运动．
考点二　平抛运动的研究
物体做平抛运动的轨迹如图所示，请思考以下问题：
/
1．分析曲线运动的基本思路和方法是什么？如何对平抛运动进行研究？
2．平抛运动的时间、水平位移和落地速度由哪些因素决定？
答：1.分析曲线运动的基本思路和方法是将运动分解．研究平抛运动时，可以将其分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
2．平抛运动的时间由下落高度y决定，水平位移和落地速度则由初速度v0和下落高度y共同决定．
考点三　一般的抛体运动
1．奥运会上，林丹与李宗伟的决赛堪称羽毛球比赛的经典，林丹将李宗伟的扣球轻轻向上一挑，羽毛球落在了对方场地内．被林丹斜向上挑出的羽毛球是做斜抛运动吗？
2．只要增大抛出时的速度，物体的射程就会变远吗？
答：1.不是斜抛运动；被斜向上挑出的羽毛球除了受到重力以外，还受到了不可忽略的空气阻力作用．
2．不一定．做斜抛运动的物体，其射程还与抛射角有关．
二、理解概念做判断
1．平抛运动的物体初速度越大，下落得越快．(×)
2．平抛运动的速度方向时刻变化，加速度方向也时刻变化．(×)
3．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动时间越长．(×)
4．斜抛运动和平抛运动的加速度相同．(√)
5．如果下落时间较长，平抛运动的物体的速度方向变为竖直方向．(×)
/
要点1|抛体运动的理解
1．抛体运动的性质
(1)抛体运动建立在忽略阻力的前提条件下，所以抛体运动是一种理想化运动．
(2)抛体运动只受重力作用，其加速度恒为重力加速度g，故抛体运动是匀变速运动．
(3)抛体运动在任意相等的时间内速度的改变量都相等，均为Δv＝gΔt，方向竖直向下．
2．平抛运动的性质
平抛运动所受合力为重力，合力恒定且合力方向与速度方向不在一条直线上，所以平抛运动为匀变速曲线运动．
3．平抛运动的研究方法
/
典例1　 在一次投球游戏中，将球水平抛向放在地面的小桶中，小刚同学调整好力度，结果球沿弧线飞到小桶的右方．不计空气阻力，则下次再投时，球投出方向不变，他可能做出的调整为(　　)
/
A．初速度大小不变，降低抛出点高度
B．初速度大小不变，提高抛出点高度
C．抛出点高度不变，增大初速度
D．以上方法都可行
【思路点拨】　小球做平抛运动，飞到小桶的右方，说明水平位移偏大，应减小水平位移才能使小球抛进小桶中．将平抛运动进行分解：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式得出水平位移与初速度和高度的关系式，再进行分析．
【解析】　设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离小桶的高度为h，水平位移为x，则平抛运动的时间t＝，水平位移x＝v0t＝v0；初速度大小不变，高度降低，则水平位移减小，可以落入小桶中，故A正确；初速度不变，高度增大，则水平位移增大，不能落入小桶中，故B错误；抛出点高度不变，减小抛出速度，则水平位移减小，可以落入小桶中，故C、D错误．
【答案】　A
/　对于做平抛运动的物体，以下说法中正确的是(　　)
A．抛出速度越大，飞行的时间越长
B．抛出点位置越高，飞行的时间越长
C．抛出点位置越高，飞行的水平距离越大
D．抛出速度越大，飞行的水平距离越大
解析：根据公式h＝gt2可知，做平抛运动的物体飞行时间取决于下落高度h，故A选项错误，B选项正确；根据公式x＝v0·t＝v0·可知，物体飞行的水平距离x取决于抛出速度v0和下落高度h，C、D选项错误．
答案：B
名师方法总结
应从以下几方面理解平抛运动：
(1)平抛运动的物体只受重力作用，产生恒定的加速度．相等时间内的速度改变量相同．
(2)平抛运动的物体初速度与合外力不共线，是匀变速曲线运动．
(3)平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．
名师点易错
抛体运动是一种理想化的运动，地球表面附近，重力大小和方向可认为不变，不考虑空气阻力.
要点2|平抛运动的研究
1．平抛运动的速度
/
若以抛出点为原点，取水平方向为x轴，正方向与初速度v0的方向相同，竖直方向为y轴，正方向向下，物体在任一时刻t的速度v：
(1)水平分速度vx＝v0.
(2)竖直分速度vy＝gt.
(3)t时刻平抛物体的速度大小和方向：v＝＝；设v与v0夹角为θ，则tanθ＝＝.
(4)物体做平抛运动的速度特点
由v＝知道，时间越长，速度越大，由tanθ＝知道，时间越长，v与水平方向的夹角θ越大，物体的速度方向越来越接近竖直向下的方向，但由于水平方向v0不变，所以平抛运动任意时刻(或位置)的速度一定不会沿竖直方向．
/
(5)平抛运动中的速度变化的特点
水平方向分速度保持vx＝v0不变．竖直方向，加速度恒为g，速度vy＝gt，从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点：
①任意时刻速度的水平分量均等于初速度v0；
②任意相等时间间隔Δt内的速度改变量方向均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt.
2．平抛运动的位移
以抛出点为坐标原点，竖直向下为y轴正方向，沿初速度方向为x轴正方向，建立直角坐标系(如图所示)，
/
根据平抛运动在水平方向上是匀速直线运动和在竖直方向上是自由落体运动的规律可知：
(1)分运动
水平分位移：x＝v0t；竖直分位移：y＝gt2.
(2)合运动
t时间内合位移的大小s＝.
设合位移s与x轴正方向的夹角为θ，则
tanθ＝＝＝.
(3)轨迹方程
平抛物体在任意时刻的位置坐标x和y所满足的方程，叫轨迹方程．
由x＝v0t和y＝gt2消去t可得：
y＝x2或x2＝y.
3．平抛运动的几个重要推论
(1)平抛运动的时间
由y＝gt2得t＝ 知平抛运动的物体在空中运动的时间，只与下落的高度有关，与初速度大小无关．
(2)平抛运动的水平距离
由x＝v0t＝v0知平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落高度y共同决定．
(3)落地速度：v＝＝，即落地速度也是由初速度v0和下落高度y共同决定．
(4)平抛运动的两个重要结论
①平抛运动的速度偏向角为α，如图所示，
/
则tanα＝＝＝＝.
平抛运动的位移偏向角为θ，则tanα＝2tanθ.
可见位移偏向角与速度偏向角不等．
②如图所示，从O点抛出的物体，经时间t到达P点．
/
则OB＝v0t
AB＝PBcotθ＝gt2·＝gt2·＝v0t.
可见AB＝OB，A为OB的中点，即v的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点．
典例2　 在距地面20 m高处，某人以10 m/s的速度水平抛出一物体(g取10 m/s2)，求物体
(1)抛出多长时间落到地面？
(2)落地的速度大小和方向；
(3)落地点与抛出点的距离大小．
【思路点拨】　水平方向上物体做匀速直线运动，满足匀速直线运动的规律方程x＝v0t，竖直方向上做自由落体运动，满足h＝gt2，对水平方向、竖直方向分别列方程，再根据运动的合成和分解即可以求出落地时速度的大小和方向．
【解析】　(1)小球竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2，得t＝＝ s＝2 s.
(2)落地竖直分速度大小vy＝gt＝20 m/s，速度大小为v＝＝10 m/s，与水平方向的夹角为θ，则tanθ＝＝2.
(3)在水平方向上发生的位移为x＝v0t＝20 m，在竖直方向上发生的位移为h＝20 m，故落地点与抛出点的距离为＝20 m.
【答案】　(1)2 s　(2)10 m/s　速度与水平方向夹角满足tanθ＝2　(3)20 m
/　
/
(2018·牡丹江市期末)物体做平抛运动的轨迹如图所示，O为抛出点，物体经过点P(x1，y1)时的速度方向与水平方向的夹角为θ，x1、y1为已知，重力加速度为g，求：
(1)物体抛出时的初速度v0的大小(用x1、y1、g表示)；
(2)tanθ的值(用x1、y1、g表示)．
解析：(1)平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，y1＝gt2
水平方向上，v0＝
联立解得v0＝x1 .
(2)经过P点时的竖直分速度vy＝gt
速度与水平方向夹角的正切值tanθ＝
联立解得tanθ＝ .
答案：(1)x1　(2)
名师方法总结
(1)处理平抛运动问题要养成画示意图的习惯，将平抛运动分解为水平方向和竖直方向的两个分运动，求出两个分运动的物理量，然后利用运动的合成求合运动的物理量．
(2)研究平抛运动时要先分析物体在水平和竖直两个方向上的运动情况，根据运动的等时性和矢量关系列方程．
(3)研究竖直方向的运动时，利用自由落体运动的一些推论会起到事半功倍的效果．
名师点易错
有的同学误认为既然平抛运动为匀变速运动，则以v0平抛一物体，t时刻的速度v＝v0＋gt.
要点3|斜抛运动的研究
1．斜抛运动的定义：斜向上或斜向下抛出的物体只在重力(不考虑空气阻力)作用下的运动叫做斜抛运动．
2．斜抛运动的特点：水平方向分速度不变，竖直方向仅受重力作用，加速度恒为g.
3．斜抛运动的分解
/
4．斜抛运动的规律：(以斜上抛为例)
如图所示，斜上抛物体初速度为v0，与水平方向夹角为θ，则
/


所以t＝，
代入y的表达式可得：y＝xtanθ－.
这就是斜抛物体的轨迹方程．
可以看出：y＝0时，
①x＝0是抛出点位置；
②x＝＝是水平射程．
对应飞行时间：t＝.
典例3　 (多选)如图所示，一物体以初速度v0做斜抛运动，v0与水平方向成θ角．AB连线水平，则从A到B的过程中下列说法正确的是(　　)
/
A．上升时间t＝
B．最大高度h＝
C．在最高点速度为零
D．AB间位移xAB＝
【思路点拨】　斜抛运动的处理方式都是分解成为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动来处理，对水平、竖直方向分别列方程即可．
【解析】　物体做斜抛运动，水平方向上做匀速直线运动，vx＝v0cosθ，竖直方向上做竖直上抛运动，vy＝v0sinθ，上升时间t＝＝，A选项正确；最大高度h＝＝，B选项正确；在最高点水平速度不为零，C选项错误；AB间位移xAB＝vx·2t＝，D选项正确．
【答案】　ABD
/　从某高处以6 m/s的初速度、30°抛射角斜向上方抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，求石子在空中运动的时间和抛出点离地面的高度(g取10 m/s2)．
解析：如图所示，石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则＝，即vy＝vx＝v0cos30°＝×6× m/s＝9 m/s.
/
取向上为正方向，落地时竖直速度向下，则－vy＝v0sin30°－gt，得t＝1.2 s.
由竖直方向位移公式得：h＝v0sin30°·t－gt2＝3×1.2 m－5×1.22 m＝－3.6 m，负号表示落地点比抛出点低．即抛出点离地面的高度为3.6 m.
答案：1.2 s　3.6 m
名师方法总结
(1)斜抛运动的处理方法与平抛运动类似，首先分解为水平和竖直方向上的两个分运动，然后分别对分运动求解，需要求合运动时，再对分运动合成．
(2)斜抛运动如从最高点分析则变为平抛运动．
名师点易错
斜抛运动在最高点时速度和加速度均不为零.
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对点训练一　抛体运动的理解
1．(多选)(2018·佛山市高明区测试)关于平抛运动，下列说法中正确的是(　　)
A．平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动是变速运动
B．平抛运动是一种匀变速曲线运动
C．平抛运动的水平射程x由初速度v0决定，与下落的高度h无关
D．平抛运动的落地时间t由初速度v0决定，v0越大，t越大
解析：平抛运动的轨迹是曲线，加速度不变，做匀变速曲线运动，A、B选项正确；平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，x＝v0t＝v0，与初速度和高度有关，C选项错误；时间由高度决定，与初速度无关，D选项错误．
答案：AB
2．(多选)消防队员手持水枪灭火，水枪跟水平面有一仰角．关于水枪射出水流的射高和射程下面说法中正确的是(　　)
A．初速度大小相同时，仰角越大，射程也越大
B．初速度大小相同时，仰角越大，射高也越高
C．仰角相同时，初速度越大，射高越高，射程不一定大
D．仰角相同时，初速度越大，射高越高，射程也一定大
解析：水枪射出的水流做斜抛运动，将初速度分解，水平速度vx＝vcosθ，竖直速度vy＝vsinθ，初速度大小相同时，仰角越大，水平速度越小，竖直速度越大，竖直方向上的运动时间越长，根据射程公式x＝vxt可知，水平射程不一定大，A选项错误；初速度大小相同时，仰角越大，竖直速度越大，射高越高，B选项正确；仰角相同时，初速度越大，竖直速度越大，射高越高，竖直方向上的运动时间越长，根据射程公式x＝vxt可知，射程越大，C选项错误，D选项正确．
答案：BD
对点训练二　平抛运动的研究
3．(多选)以速度v0水平抛出一物体，当其竖直分位移等于其水平分位移时，此物体的(　　)
A．竖直分速度等于其水平分速度
B．瞬时速度为v0
C．运动时间为
D．发生的位移为
解析：当竖直位移和水平位移相等时，有v0t＝gt2，解得t＝，则竖直分速度vy＝gt＝2v0，与水平分速度不等，故A错误，C正确；根据平行四边形定则知，瞬时速度的大小v＝＝v0，故B正确；水平位移x＝v0t＝，则位移s＝x＝，故D正确．故选BCD．
答案：BCD
4．(2018·乐山期末)如图所示，一小球从平台上水平拋出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的固定斜面顶端，并刚好沿斜面下滑，斜面摩擦因数μ＝0.5，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
/
(1)小球水平拋出的初速度是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
(3)若平台与斜面底端高度差H＝6.8 m，则：小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？
解析：(1)小球做平抛运动，刚好落到斜面顶端时，下落高度为h
/
竖直方向上，v＝2gh
根据运动的合成与分解知识可知，
tan37°＝
联立解得v0＝3 m/s.
(2)小球在竖直方向上，h＝gt
水平方向上，s＝v0t1
联立解得s＝1.2 m，t1＝0.4 s.
(3)小球在斜面上加速下滑时，根据牛顿第二定律可知，mgsin53°－μmgcos53°＝ma
根据几何关系可知，sin53°＝
小球刚落到斜面上时的速度v合＝
小球在斜面上运动的过程，L＝v合t2＋at
联立解得t2＝1 s
总时间t总＝t1＋t2＝1.4 s.
答案：(1)3 m/s　(2)1.2 m　(3)1.4 s
对点训练三　斜抛运动的研究
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5．有A、B两小球，B的质量为A的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)
A．①　　　　　　　　　　　 B．②
C．③ D．④
解析：由题意知A、B两小球抛出的初速度相同，由牛顿第二定律知，两小球运动的加速度相同，所以运动的轨迹相同，故A正确；B、C、D错误．
答案：A
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【强化基础】
1．(多选)(2018·广州一模)t＝0时刻一质点开始做平抛运动，用下列图象反映其水平分速度大小vx、竖直分速度大小vy、合速度大小v与时间t的关系，合理的是(　　)
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解析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，则水平分速度vx恒定不变，A选项正确；竖直方向上做自由落体运动，竖直分速度vy＝gt，图象为过原点的倾斜直线，C选项正确；合速度大小v＝＝，随着t的延长，v增大，t＝0时v≠0，B、D选项错误．
答案：AC
2．(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．由t＝可知，物体平抛的初速度越大，飞行时间越短
B．由t＝ 可知，物体下落的高度越大，飞行时间越长
C．任意连续相等的时间内，物体下落高度之比为1∶3∶5…
D．任意连续相等的时间内，物体运动速度的改变量相等
解析：由h＝gt2得t＝ ，即平抛运动的时间仅由下落的高度决定，下落的高度越大，飞行时间越长， 选项A错， 选项B对；只有在平抛运动开始计时的任意连续相等的时间内，物体下落高度之比才为1∶3∶5…， 选项C错；根据Δv＝gt可知，任意连续相等的时间内，平抛运动速度的改变量都相等， 选项D对．
答案：BD
3．甲、乙两物体做平抛运动的初速度之比为2∶1，若它们的水平射程相等，则它们抛出点离地面的高度之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶1
C．4∶1 D．1∶4
解析：根据x＝vt知，水平射程相等，初速度之比为2∶1，则运动的时间之比为1∶2，根据h＝gt2知，抛出点离地的高度之比为1∶4，故D正确，A、B、C错误．故选D．
答案：D
4．物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切tanα随时间t变化的图象是图中的(　　)
/
解析：根据几何关系：tanα＝＝，则tanα与t成正比例函数关系．
答案：B
【巩固易错】
5．水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为α1，t＋t0秒末的总位移方向与水平方向的夹角为α2，重力加速度为g，忽略空气阻力，则小球初速度的大小可表示为(　　)
A． B．
C． D．
解析：t秒末的速度方向与水平方向的夹角为α1，则tanα1＝＝，①，t＋t0秒内位移方向与水平方向的夹角为α2，则tanα2＝＝，②，联立解得v0＝，D正确．
答案：D
6.
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如图，可视为质点的小球，位于半径为 m半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度为g＝10 m/s2)(　　)
A． m/s B．4 m/s
C．3 m/s D． m/s
解析：飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，知速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则有：tanθ＝＝因为tanθ＝＝则竖直位移为y＝R，v＝2gy＝gR，所以，tan30°＝，联立以上各式解得：v0＝ ＝3 m/s，故选项C正确．
答案：C
【能力提升】
7．(2018·扬州市广陵区期末)第十六届中国崇礼国际滑雪节在张家口市崇礼区的长城岭滑雪场隆重举行．如图1所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点．A、B两点间的竖直高度h＝45 m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力(取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2)．求：
/
(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小；
(2)设运动员从A点以不同的水平速度v0飞出，落到斜坡上时速度大小为v，请通过计算确定v与v0的关系式，并在图2中画出v-v0的关系图象．
解析：(1)运动员离开A点后做平抛运动，竖直方向上，h＝gt2
根据几何关系可知，水平位移x＝＝60 m
水平方向上，v0＝＝20 m/s.
(2)竖直方向上的位移y＝gt2
水平方向上位移x＝v0t
根据平抛运动规律可知tanα＝＝
竖直分速度vy＝gt
根据平行四边形定则可知，合速度v＝
联立解得v＝ v0，作图如下．
/
答案：(1)20 m/s　(2)v＝ v0　图见解析
8．一轰炸机在海面上方h＝500 m高处沿水平直线飞行，以v1＝100 m/s的速度追赶一艘位于正前下方以v2＝20 m/s的速度逃跑的敌舰，如图所示．要准确击中敌舰，飞机应在离敌舰水平距离为s处释放炸弹，释放炸弹时，炸弹与飞机的相对速度为零，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)炸弹从被投出到落到水面的时间；
(2)炸弹刚落到水面时的速度大小；
(3)要能准确击中敌舰，s应为多大？
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解析：(1)投下的炸弹做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，代入数据解得：t＝10 s.
(2)炸弹刚落到水面时竖直方向的速度大小为vy＝gt＝10×10＝100 m/s，则炸弹刚落到水面时的速度大小为v＝＝200 m/s.
(3)炸弹从被投出到落到水面时的水平位移为x1＝v1t＝100×10 m＝1 732 m，在这段时间内敌舰前进的位移为x2＝v2t＝20×10 m＝200 m，所以飞机投弹时与敌舰在水平方向上距离为s＝x1－x2＝1 732 m－200 m＝1 532 m.
答案：(1)10 s　(2)200 m/s　(3)1 532 m
专题　平抛运动规律的综合应用
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要点1|类平抛运动的处理方法
类平抛运动的处理方法与平抛运动基本上是一致的，在解题时仍然将其分解为一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动，只不过匀加速直线运动的加速度不再是重力加速度g，方向也不一定在竖直方向上．
典例1　
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如图所示，光滑斜面宽为c，长为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求物块入射的初速度为多大？
【解析】　物体在光滑的斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体受到的合外力大小为F合＝mgsinθ，方向沿斜面向下．根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度为a＝＝gsinθ①
又由于物体的初速度与a垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即物体在水平方向上以速度v0做匀速直线运动，沿斜面方向上做初速度为0的向下的匀加速直线运动．所以在水平方向上：c＝v0t②
沿斜面向下的方向上：b＝at2 ③
联立①②③得：v0＝＝ ＝c .
【答案】　c
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质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)，今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示．求飞机受到的升力大小．
解析：飞机水平方向速度不变，则l＝v0t，竖直方向上飞机
加速度恒定，则有h＝at2，解得a＝v.根据牛顿第二定律F－mg＝ma得F＝mg＋ma＝mg.
答案：mg
名师方法总结
欲求平抛运动规律研究直线运动规律获得曲线运动规律．
要点2|平抛运动中的临界和相遇问题
平抛运动临界问题的处理，可以通过“逆向思维”、“等效思想”和“画临界轨迹”的方法来突破．明确平抛运动的基本性质，确定临界状态，在轨迹示意图中寻找出几何关系即可求解此类问题．
典例2　 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝10 m，小球从房顶a点水平飞出，(取g＝10 m/s2)
/
(1)若小球落在墙外的马路上，求小球在空中运动的时间t；
(2)若小球恰好经过墙顶b点后落在马路上，求小球离开房顶时的速度v0；
(3)若小球落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0的取值范围．
【解析】　(1)小球做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，H＝gt2，解得小球在空中运动的时间t＝1 s.
(2)小球运动到墙顶b点的过程中，竖直方向上，H－h＝gt，水平方向上，v0t1＝L，联立解得v0＝5 m/s.
(3)小球恰好经过墙顶b点后落在马路上时，初速度较小，小球落在马路的最右端时，初速度较大．竖直方向上，H＝gt2，水平方向上，L＋x＝vmt，联立解得v0＝13 m/s，小球抛出时的速度v0取值范围大小为5 m/s≤v0≤13 m/s.
【答案】　(1)1 s　(2)5 m/s　(3)5 m/s≤v0≤13 m/s
/　如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，则v的取值范围是(　　)
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A．v＞7 m/s 　　　　　　 B．v＞2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
解析：小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，水平方向上，L＝vmaxt，竖直方向上，h＝gt2，联立解得vmax＝7 m/s.恰好擦着窗口下沿左侧时v最小，L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，联立解得vmin＝3 m/s，v的取值范围是3 m/s＜v＜7 m/s，C选项正确．
答案：C
名师方法总结
求解平抛运动中的临界问题的关键有三点：
(1)确定运动性质——平抛运动；
(2)确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，并画出轨迹示意图．
要点3|平抛运动推论的应用
1．速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角的正切值的二倍，即： tanθ＝2tanα.
2．做平抛运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过水平位移的中点．
典例3　 如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两者相距为d.假设运动时飞镖总是指向运动方向，不计空气阻力，求射出点离墙壁的距离．
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【解析】　设射出点到墙壁之间的水平距离为x，如图所示，飞镖速度的反向延长线与OB交于A点，可以证明AB＝x，故有d＝xcot37°－xcot53°，所以x＝＝d.
【答案】　d
/ (多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
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A．若小球在击中P点时速度与水平方向所夹锐角为φ，则tanθ＝2tanφ
B．若小球在击中P点时速度与水平方向所夹锐角为φ，则tanφ＝2tanθ
C．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1
D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
解析：小球A沿斜面平抛，斜面倾角等于位移夹角，根据平抛运动规律可知，tanφ＝2tanθ，A选项错误，B选项正确；小球A运动时间tA＝＝，小球B对着斜面平抛，斜面倾角与速度夹角互为余角，运动时间tB＝＝，小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ∶1，C选项正确，D选项错误．
答案：BC
名师方法总结
典例3中首先要明确两只飞镖的水平位移是相同的，由推论：平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．所以，它们进入墙壁的速度方向反向延长线必交于同一点，且这一点到墙壁的水平距离为射出点到墙壁水平距离的一半．
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对点训练一　平抛运动的处理方法
1．水平抛出的小球，t秒末的速度方向与水平方向的夹角为θ1，t＋t0秒末速度方向与水平方向的夹角为θ2，忽略空气阻力，则小球初速度的大小为(　　)
A．gt0(cosθ1－cosθ2)　　　　 B．
C．gt0(tanθ1－tanθ2) D．
解析：t秒末的速度方向与水平方向的夹角为θ1，竖直分速度vy1＝v0tanθ1，t＋t0秒末速度方向与水平方向的夹角为θ2，竖直分速度vy2＝v0tanθ2，根据vy2－vy1＝gt0，得v0＝，B选项正确．
答案：B
2．如图为湖边一倾角为30°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O.一人站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO＝40 m，g取10 m/s2.下列说法正确的是(　　)
/
A．若v0＝18 m/s，则石块可以落入水中
B．若石块能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大
C．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
D．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小
解析：根据h＝gt2得，t＝＝ s＝2 s．则石块落入水中的最小初速度v0＝＝＝10 m/s<18 m/s.可知v0＝18 m/s，则石块可以落入水中，故A正确；若石块能落入水中，则下落的高度一定，可知竖直分速度一定，根据tanα＝知，初速度越大，则落水时速度方向与水平面的夹角越小，故B错误；若石块不能落入水中，速度方向与水平方向的夹角的正切值tanα＝，位移方向与水平方向夹角的正切值tanθ＝＝，可知tanα＝2tanθ，因为θ一定，则速度与水平方向的夹角一定，可知石块落到斜面时速度方向与斜面的夹角一定，与初速度无关，故C、D错误．故选A．
答案：A
对点训练二　平抛运动中的临界和相遇问题
3．如图所示，离地面高h处有甲、乙两个小球，甲以速度v0水平抛出，同时乙以大小相同的初速度v0沿倾角为30°的光滑斜面滑下．若甲、乙同时到达地面，不计空气阻力，则甲运动的水平距离是(　　)
/
A．h B．h 　　　C．h　　 D．2h
解析：平抛运动的时间为t＝；乙在斜面下滑的加速度为：a＝＝g.根据2h＝v0t＋at2，代入数据得：v0t＝2h－×g×＝h.甲的水平距离为x甲＝v0t＝h.故A正确，B、C、D错误．故选A．
答案：A
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4．(2018·黄冈期末)某同学将小球从P点水平抛向固定在水平地面上的圆柱形桶，小球沿着桶的直径方向恰好从桶的左侧上边沿进入桶内并打在桶的底角，如图所示，已知P点到桶左边沿的水平距离s＝0.80 m，桶的高度h0＝0.45 m，直径d＝0.20 m，桶底和桶壁的厚度不计，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)P点离地面的高度h1和小球抛出时的速度大小v0；
(2)小球经过桶的左侧上边沿时的速度大小及速度方向与水平方向的夹角正切值(结果可以带根号)．
解析：(1)小球离开P点后，做平抛运动．
从P点运动到圆桶上沿过程中，h1－h0＝gt
s＝v0t1
从P点运动到桶的底角过程中，h1＝gt
根据几何知识可知，s＋d＝v0t2
联立解得，h1＝1.25 m，v0＝2.0 m/s.
(2)小球运动到桶的左侧上沿时，根据平抛运动的规律可知
竖直方向的速度vy＝gt1
此时小球的速度v1＝
与水平方向的夹角，tanθ＝
联立解得，v1＝2 m/s，tanθ＝2.
答案：(1)1.25 m　2.0 m/s
(2)2 m/s，速度方向与水平方向的夹角正切值为2
对点训练三　平抛运动推论的应用
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5．如图所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出(即v0平行CD)，小球沿斜面运动到B点．已知A点的高度为h，则小球在斜面上运动的时间为多少？小球到达B点时的速度大小为多少？
解析：小球在光滑斜面上做类平抛运动，沿斜面向下的加速度a＝gsinθ.设由A运动到B的时间为t，则有＝at2，解得：t＝.设小球到达B点沿斜面向下的速度为vy，则vy＝at＝gsinθ· ＝，水平方向上的速度为v0，所以小球在B点的速度为v＝＝.
答案：  　　
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【强化基础】
1.
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在同一平台上的O点抛出的两个物体，做平抛运动的轨迹如图所示，则两个物体做平抛运动的初速度vA、vB的关系及落地时间tA、tB的关系分别是(　　)
A．vA＞vB，tA＞tB
B．vA＞vB，tA＜tB
C．vA＜vB，tA＞tB
D．vA＜vB，tA＜tB
解析：由下落高度确定时间：h＝gt2，则t＝，则可知tA＞tB，水平位移x＝v0t，而tA＞tB，xA＜xB，则可知vA＜vB，故C正确．故选C．
答案：C
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2．(多选)一同学在玩闯关类的游戏，他站在如图所示平台的边缘，想在2 s内水平跳离平台后落在支撑物P上，人与P的水平距离为3 m，人跳离平台的最大速度为6 m/s，则支撑物距离人的竖直高度可能为(g取10 m/s2)(　　)
A．1 m　　　　　　　　 B．9 m
C．17 m D．20 m
解析：人以最大速度跳离平台时，用时0.5 s，下落的高度为h＝1.25 m；在2 s内，下落的最大高度为20 m，人要跳到P上，高度差满足1.25 m≤h≤20 m.
答案：BCD
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3．甲乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高h，如图所示，将甲乙两球分别以v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是(　　)
A．甲先抛出，且v1＜v2 B．甲先抛出，且v1＞v2
C．甲后抛出，且v1＜v2 D．甲后抛出，且v1＞v2
解析：甲球位置高，要使两球相碰，需要先抛出．乙球击中甲球时，两者在同一位置，即水平位移相等，甲球运动时间长，初速度小，v1＜v2，A选项正确．
答案：A
4．一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点，如图所示．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看作质点，已知O、M、N、P四点距水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是 (　　)
A．三把刀在击中木板时速度相同
B．三次飞行时间之比为1∶ ∶
C．三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1>θ2>θ3
解析：初速度为零的匀变速直线运动推论：①静止起通过连续相等位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…＝1∶(－1)∶(－)∶….②前h、前2h、前3h…所用的时间之比为1∶ ∶ ∶…，对末速度为零的匀变速直线运动，也可以运用这些规律倒推．三把刀在击中木板时速度不等，选项A错误；飞刀击中M点所用时间长一些，选项B错误；三次初速度的竖直分量之比等于 ∶ ∶1，选项C错误．只有选项D正确．
答案：D
5．(2018·江苏二模)如图为某游戏示意图，O点放置筐，参赛者沿规定的直轨道AB以一定的速度运动，并以身高的高度沿垂直AB的方向水平抛出，将网球投入筐中者获胜．B点是轨道上离筐最近的点，空气阻力不计．高个子甲选手以较小的速度运动到A点将网球水平抛出后恰好投入筐内．当矮个子乙选手以较大的速度向前运动并投球时，则(　　)
/
A．乙应在到达A点之前将网球水平抛出才有可能投入筐中
B．乙应在到达A点之后将网球水平抛出才有可能投入筐中
C．乙应将网球以更大的速度水平抛出才有可能投入筐中
D．两选手抛出的网球无论是否被投入筐中，它们在空中运动的时间都相等
解析：网球抛出后，做平抛运动，竖直方向上，h＝gt2，解得t＝，网球沿AB方向做匀速直线运动，s＝vt，乙的身高小，抛出的网球运动时间变短，乙沿AB方向的速度大于甲，故无法判断沿AB方向的距离，A、B、D选项错误；对于平抛运动，由x＝v0t知，网球要投入筐中，垂直AB方向的水平位移一定，t变小，则v0变大，乙应将网球以更大的速度水平抛出才有可能投入筐中，C选项正确．
答案：C
【巩固易错】
6．(2018·无锡市模拟)如图所示，以速度v将小球沿与水平方向成θ＝37°角斜向上抛出，结果球刚好能垂直打在竖直的墙面上，球反弹后的速度方向水平，速度大小为碰撞前瞬间速度的倍，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，空气阻力不计，则反弹后小球的速度大小再次为v时，速度与水平方向夹角的正切值为(　　)
/
A． B．
C． D．
解析：把小球的运动看作平抛运动，小球运动速度与水平方向的夹角θ＝37°时，速度大小为v，根据平抛运动规律可知，初速度v0＝vcosθ＝v，则球反弹后的速度v0′＝v0＝v，当小球的速度大小再次为v时，速度与水平方向夹角的正切值为tanα＝＝，B选项正确．
答案：B
7．(2018·安徽一模)一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，求：
(1)任意改变初速度v的大小，求小球落在第四台阶上的长度范围是多少？(答案可保留根号)
(2)当速度v＝5 m/s，小球落在哪个台阶上？(要有计算过程)
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解析：(1)小球以水平速度v飞出，欲打在第四级台阶上，求出两个临界情况：速度最小时打在第三级台阶的边缘上，速度最大时，打在第四级台阶的边缘上．
小球打在第三台阶的末端时初速度为v1
3h＝gt
3x＝v1t1
联立解得，v1＝ m/s
以速度v1打到第四台阶的水平距离为x′
4h＝gt
x′＝v1t2
联立解得，x′＝ m
小球落在第四台阶上的长度范围
Δx＝4x－x′＝ m.
(2)当速度v＝5 m/s，小球落在第n个台阶上
竖直方向上，nh＝gt2
水平方向上，nx＝vt
联立解得，n＝12.5
即小球落到第13个台阶上．
答案：(1) m　(2)13
【能力提升】
8．水平地面上有一个竖直的障碍物，在距离地面高为h＝1.2 m处有一个矩形的小孔，横截面如图所示，小孔的高d＝0.6 m，在同一个竖直平面内高H＝2 m处以水平速度v0＝4 m/s抛出一个质点，若要这个质点能够通过这个矩形的小孔，求小孔的宽度L最大值．
/
解析：质点做平抛运动，竖直方向上，到达小孔左上沿所用时间为t1，到达小孔右下沿所用时间为t2，t1＝，
t2＝，水平方向上，L＝v0(t2－t1)，代入数据解得L的最大值为0.8 m.
答案：0.8 m