2018-2019学年高中人教版物理必修一第二章+匀变速直线运动的研究+第3节+Word版含答案

第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
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一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：x＝vt.
2．x-t图象
在平面直角坐标系中，用横轴表示时间t，用纵轴表示位移x，这种图象叫做位移—时间图象，如图所示：
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二、匀变速直线运动的位移
1．位移公式：x＝v0t＋at2.
2．x-t图象
匀变速直线运动的位移—时间图象是抛物线的一部分，如图所示：
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图象是曲线，不便于分析，所以我们经常画速度—时间图象来描述匀变速直线运动的位移．
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一、合作探究找规律
考点一　位移—时间关系的应用
怎样根据位移等于平均速度与时间的乘积来推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式？
答：由于匀变速直线运动的速度是均匀改变的，因此平均速度＝，根据位移等于平均速度与时间的乘积，即x＝·t＝·t，其中v＝v0＋at，可推导出匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2.
考点二　位移—时间图象的应用
1．匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2，那么它的x-t图象应该是什么形状？
2．如何利用速度图象求解物体运动的位移？
答：1.匀变速直线运动的位移x与时间t的关系为二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x-t图象应为抛物线．
2．速度图象中，图线与坐标轴所围图形的面积表示位移的大小，若面积处于时间轴上方，则说明位移为正；若面积处于时间轴下方，则位移为负．
二、理解概念做判断
1．匀速直线运动表示任意相等的时间内，质点的位移都是相等的．(√)
2．匀变速直线运动的位移与时间成正比．(×)
3．由x-t图象能得出对应时刻物体所在的位置．(√)
4．x-t图象中的图线就是物体的实际运动轨迹．(×)
5．由x-t图象能得到某段时间内物体的位移．(√)
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要点1|理解位移公式x＝v0t＋at2
1．公式中x表示时间t内物体运动的位移，单位是m；v0表示初速度，单位是m/s；a表示加速度，单位是m/s2；t表示运动时间，单位是s.
2．公式反映了位移随时间的变化规律，公式仅适用于匀变速直线运动位移的求解．
3．公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度v0的方向为正方向．
若a与v0同向，a取正值，物体做匀加速直线运动．
若a与v0反向，a取负值，物体做匀减速直线运动．
若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同．
若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反．
4．因为公式是关于t的一元二次函数，故在x-t图象中图线是抛物线．
5．若v0＝0，则x＝at2，位移与时间的二次方成正比．
/从静止开始做匀加速直线运动的汽车，经过t＝10 s，走过位移x＝30 m．求：
(1)汽车运动的加速度大小；
(2)汽车10 s末的速度．
【思路点拨】　初速度为零的匀加速直线运动的位移公式为x＝at2，而速度公式为v＝at.
【解析】　(1)根据匀变速直线运动位移公式得，x＝at2，代入数据解得a＝＝0.6 m/s2.
(2)根据匀变速直线运动速度公式得汽车10 s末的速度v＝at＝6 m/s.
【答案】　(1)0.6 m /s2　(2)6 m /s
/一辆小轿车正在以10 m/s的速度匀速行驶，离前方路口还有24.5 m远时，看到红灯亮起，司机立即以2 m/s2的加速度刹车，问刹车6 s后是否会因闯红灯而违章？
解析：从刹车到停下的时间t＝＝ s＝5 s
刹车位移x＝·t＝×5 m＝25 m
因25 m>24.5 m，所以刹车6 s后会因闯红灯而违章．
答案：刹车6 s后会因闯红灯而违章
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利用匀变速直线运动位移—时间关系式的解题方法：
(1)选择研究对象，分析运动是否为匀变速直线运动，并选择研究过程．
(2)分析运动过程的初速度v0以及加速度a和时间t、位移x，若有三个已知量，就可用x＝v0t＋at2求第四个物理量．
(3)规定正方向(一般以v0方向为正方向)，判断各矢量正负代入公式计算．
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名师点易错
1．公式x＝v0t＋at2仅适用于匀变速直线运动．
2．应用位移公式解题时常选初速度的方向为正方向，物体若加速则加速度为正值，减速则加速度为负值．
要点2|匀变速直线运动的平均速度
1．公式：＝v＝.
2．说明：做匀变速直线运动的物体在时间t内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于初速度与末速度和的一半．
3．推导：由x＝v0t＋at2和＝ 得
＝v0＋a·＝v
又因为v＝v0＋at，可得出＝.
/一个小球从长为4 m的斜面顶端无初速度下滑，接着又在水平面上做匀减速运动，直至运动6 m停止，小球共运动了10 s．则小球在运动过程中的最大速度为________m/s；小球在斜面上运动的加速度大小为________m/s2.
【思路点拨】　一个匀加速过程初速度为零，一个匀减速过程末速度为零，两过程平均速度相等均为.
【解析】　小球运动到斜面底端时速度最大，设最大速度为v，根据平均速度公式得·t1＋·t2＝s1＋s2，代入数据解得v＝2 m/s；小球在斜面上运动，根据位移公式得s1＝at，根据速度公式得v＝at1，联立解得，a＝ m/s2.
【答案】　2　
/ (多选)汽车由静止开始做匀加速直线运动，经1 s速度达到3 m/s，则(　　)
A．在这1 s内汽车的平均速度是3 m/s
B．在这1 s内汽车的平均速度是1.5 m/s
C．在这1 s内汽车通过的位移是3 m
D．汽车的加速度是3 m/s2
解析：汽车由静止开始做匀加速直线运动，则1 s内的平均速度为＝＝ m/s＝1.5 m/s，B正确，A错误；1 s内通过的位移为x＝t＝1.5×1 m＝1.5 m，C错误；a＝＝ m/s2＝3 m/s2，D正确．
答案：BD
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匀变速直线运动一段时间的平均速度等于这段时间初、末时刻速度的平均值，即＝，涉及匀变速直线运动的问题应用平均速度的公式求解，可大大简化求解过程．
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名师点易错
1.＝是矢量式，v0和v都要根据选定的正方向带上“＋”“－”号．
2．此关系式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动及曲线运动均不适用．
要点3|用v-t图象求位移
1．匀速直线运动和位移
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(1)做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt.
(2)做匀速直线运动的物体，其v-t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如右图所示．
2．匀变速直线运动的位移
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如右图所示，图线与时间轴所围的梯形的面积就代表物体在时间t内的位移，梯形的上底为v0，下底为v，对应的时间为t，则有：x＝(v0＋v)t.
又因为t时刻的速度v＝v0＋at，所以位移与时间的关系为x＝(v0＋v0＋at)t＝v0t＋at2.
/ (多选)某物体运动的v-t图象如图所示，根据图象可知，该物体(　　)
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A．在0到2 s末的时间内，加速度为1 m/s2
B．在0到5 s末的时间内，位移为10 m
C．在0到6 s末的时间内，位移为7.5 m
D．在0到6 s末的时间内，位移为6.5 m
【思路点拨】　v-t图象中可利用图象斜率求加速度，利用面积求位移．
【解析】　在0到2 s末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a＝＝ m/s2＝1m/s2，故A正确；0～5 s内物体的位移等于梯形面积x1＝×2×2＋2×2＋×1×2 m＝7 m，故B错误；在5～6 s内物体的位移等于t轴下面三角形面积x2＝－ m＝－0.5 m，故0～6 s内物体的位移x＝x1＋x2＝6.5 m，D正确，C错误．
【答案】　AD
/有一质点从x轴的坐标原点开始沿x轴正方向做直线运动，其速度随时间变化的图象如下图所示，下列四个图中a表示质点运动的加速度，x表示质点的位移，则下列四个图中可能正确的是(　　)
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解析：分析速度—时间图象可知，0～1 s时间内物体的加速度为a1＝＝2 m/s2,1～2 s内加速度为a2＝－2 m/s2，
2～3 s内加速度为a3＝－3 m/s2,3～4 s内加速度为a4＝3 m/s2，A选项错误，B选项正确；位移—时间图象的斜率表示速度，物体做变速运动，位移—时间图象应该是曲线，不是直线，C、D选项错误．
答案：B
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如右图所示，任意直线运动的位移都对应着它的v-t图线与时间轴所包围的面积．
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把某个运动过程划分为无限多段后，每一段的时间Δt→0，这时每一段都可看成匀速直线运动，每一段的位移都等于图线与时间轴在对应时间段内所夹的面积，这样图线与时间轴所夹的总面积就表示物体的位移了．
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名师点易错
在应用v-t图象时，要注意避免下列几种常见错误：
1．把v-t图象和x-t图象混淆不清．例如：把v-t图象中两条直线的交点误认为相遇，在v-t图象中根据直线向上倾斜、向下倾斜判断运动方向等等．
2．把v-t图象误认为是质点的运动轨迹．v-t图象与坐标轴围成的图形的“面积”在横轴上方为“正”，在横轴下方为“负”；这“面积”的代数和表示对应时间内发生的位移，这“面积”的绝对值之和表示对应时间内的路程．
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对点训练一　理解x＝v0t＋at2
1．某质点的位移随时间的变化规律的关系是x＝4t＋2t2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)
A．4 m/s与2 m/s2　　　　B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
解析：匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2与质点的运动的位移随时间变化的关系式为x＝4t＋2t2相对比可以得到，物体的初速度的大小为v＝4 m/s，加速度的大小为a＝4 m/s2，故选项C正确．
答案：C
2．某质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝20t－5t2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点(　　)
A．一定做加速运动
B．第4 s末速度一定为零
C．任意1 s内的速度增量大小都是5 m/s
D．任意相邻1 s内的位移差大小都是10 m
解析：根据位移关系式得物体的初速度为v0＝20 m/s，加速度a＝－10 m/s2，该质点做减速运动，A选项错误；列出速度公式v＝v0＋at，代入数据，t＝4 s时，速度v＝－20 m/s，B选项错误；任意1 s内速度增量大小为10 m/s，C选项错误；物体做匀减速直线运动，根据推论Δx＝aT2可知，任意相邻1 s内的位移差大小都是10 m，D选项正确．
答案：D
对点训练二　匀变速直线运动的平均速度
3．(2018·大庆市铁人中学期中)做匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，已知物体AB段的位移为9 m，在BC段的位移18 m，通过每段时间都是3 s，那么物体在B点的瞬时速度大小为(　　)
A．4 m/s B．4.5 m/s
C．5 m/s D．5.5 m/s
解析：分析题意可知，B点是AB、BC段的中间时刻．匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，故vB＝＝4.5 m/s，B选项正确．
答案：B
4．一物体做匀加速直线运动，初速度为2 m/s，加速度为0.6 m/s2，则物体在运动过程前10 s内的位移为______ m，平均速度为________ m/s；物体在第10 s内的位移为________ m，平均速度为________ m/s；物体在第10 s末的速度为________ m/s；物体在第10 s初的速度为________m/s.
解析：用位移公式x＝v0t＋at2计算得到x10＝50 m，平均速度＝＝5 m/s；x9＝42.3 m，物体在第10 s内的位移为x10－x9＝7.7 m，因此物体在第10 s内的平均速度为7.7 m/s；由速度公式v＝v0＋at计算得v10＝8 m/s，v9＝7.4 m/s.
答案：50　5　7.7　7.7　8　7.4
对点训练三　用v-t图象求位移
5．如图所示是某物体做直线运动的v-t图象，则该物体(　　)
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A．做匀速直线运动
B．做匀加速直线运动
C．一直朝某一方向运动
D．在某一线段上做两个来回运动
解析：物体的v-t图象中图象在时间轴的上方表示速度为正，图象在时间轴的下方速度为负，分析本题所画图象可知，物体一直朝正方向运动，C选项正确，D选项错误；v-t图象的斜率表示加速度，故物体做周期性运动，前半个周期做匀加速直线运动，后半个周期做匀减速直线运动，然后周期性重复之前的运动，A、B选项错误．
答案：C
6．某一做直线运动的物体的v-t图象如图所示，根据图象求：
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(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体通过的路程．
解析：(1)v-t图线与时间轴围成的面积表示物体运动的位移，物体距出发点最远的距离
xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m.
(2)前4 s内的位移大小
x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m.
(3)前4 s内通过的路程
x＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m.
答案：(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
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【强化基础】
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的末速度一定与时间成正比
B．物体的位移一定与时间的平方成正比
C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比
D．若为匀加速直线运动，位移随时间的增加而增加，若为匀减速直线运动，位移随时间的增加而减小
解析：根据匀变速直线运动的速度—时间公式v＝v0＋at可知，只有v0＝0时，物体的末速度才与时间成正比，A选项错误；由位移公式x＝v0t＋at2可知，只有v0＝0时，其位移才与时间的平方成正比，B选项错误；由Δv＝a·Δt可知，匀变速直线运动的物体速度的变化与时间成正比，C选项正确；若为匀加速运动，位移与速度方向相同，位移随时间增加，若为匀减速运动，当位移与速度方向仍然相同时，位移随时间的增加仍是增加的，D选项错误．
答案：C
2．若某物体由静止开始以恒定的加速度运动，则该物体在2t s末的速度大小与物体在这2t s内中间位置的速度大小之比为(　　)
　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　
A．1∶ B．1∶
C. ∶1 D. ∶1
解析：设物体的加速度为a，则2t s末的速度大小为：v＝2at,2t s内的位移为x＝a(2t)2＝2at2，根据速度位移公式得，经过中间位置的速度为v′＝＝＝at，则有v ∶v′＝2∶＝ ∶1.故选D.
答案：D
3．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2秒(汽车未停下)，汽车行驶了36 m．汽车开始减速时的速度是多少(　　)
A．9 m/s B．18 m/s
C．20 m/s D．12 m/s
解析：根据位移—时间公式x＝v0t＋at2
解得v0＝20 m/s，C正确．
答案：C
4．一辆汽车以20 m/s的速度沿平直路面行驶，当汽车以5 m/s2的加速度刹车时，则刹车2 s内与刹车6 s内的位移之比为(　　)
A．3∶4 B．1∶1
C．3∶1 D．3∶5
解析：设汽车刹车后t时间停止，根据速度公式v＝v0－at得，t＝＝4 s，故刹车6 s内的位移等于刹车4 s内的位移，x2＝v0t2－at＝30 m，x6＝v0t6－at＝40 m，解得，x2 ∶x6＝3∶4，A选项正确．
答案：A
5．物体甲的速度—时间图象和物体乙的位移—时间图象分别如图所示，则这两个物体的运动情况是(　　)
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A．甲在0～4 s时间内有往返运动，它通过的总路程为12 m
B．甲在0～4 s时间内做匀变速直线运动
C．乙在t＝2 s时速度方向发生改变，与初速度方向相反
D．乙在0～4 s时间内通过的位移为零
解析：甲在2 s末运动方向变为反向，总路程为6 m，选项A错误；甲在0～4 s时间内加速度不变，大小等于1.5 m/s2，做匀变速直线运动，B正确；在位移—时间图象中，图象的斜率不变，则速度不变，运动方向不变，乙在整个t＝4 s时间内一直做匀速直线运动，速度大小等于1.5 m/s，通过的总位移为6 m，选项C、D错误．故选B.
答案：B
【巩固易错】
6．某物体做直线运动，其速度—时间图象如图所示，若初速度的大小为v0，末速度的大小为v′，则在时间t1内物体的平均速度 (　　)
/
A．等于 B．小于
C．大于 D．条件不足，无法比较
解析：若物体做初速度为v0、末速度为v′的匀变速直线运动，其平均速度为＝.由图中v-t图线和时间轴所围面积可知，物体做该图象所示的直线运动时，在时间t1内的位移要比物体在时间t1内做初速度为v0、末速度为v′的匀变速直线运动的位移大，因此，该物体运动的平均速度要比相应的匀变速直线运动的平均速度大，即＞，C项正确．
答案：C
7．(2018·临沂市期中)物体做匀加速直线运动，第1 s末的速度为6 m/s，第2 s末的速度为8 m/s，以下说法正确的是(　　)
A．物体的初速度为3 m/s
B．物体的加速度为2 m/s2
C．第1 s内的平均速度为3 m/s
D．第2 s内的位移为8 m
解析：根据加速度的定义式可知，物体的加速度a＝＝2 m/s2，B选项正确；根据速度—时间关系可知，物体的初速度v0＝v1－at1＝4 m/s，A选项错误；匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于初、末速度矢量和的一半，物体在前1 s内的平均速度＝＝5 m/s，C选项错误；根据平均速度的定义可知，物体在第2 s内的位移x2＝·Δt＝7 m，D选项错误．
答案：B
【能力提升】
8．一物体做匀加速直线运动，初速度为v0＝5 m/s，加速度为a＝0.5 m/s2，求：
(1)物体在3 s内的位移；
(2)物体在第3 s内的位移．
解析：(1)根据匀变速直线运动的位移—时间公式，3 s内物体的位移
x3＝v0t3＋at＝5×3 m＋×0.5×32 m＝17.25 m.
(2)根据匀变速直线运动位移—时间公式可知，2 s内物体的位移x2＝v0t2＋at＝5×2 m＋×0.5×22 m＝11 m.
第3 s内的位移x＝x3－x2＝17.25 m－11 m＝6.25 m.
答案：(1)17.25 m　(2)6.25 m
9．甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．
解析：设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a；在第二段时间间隔内行驶的路程为s2.由运动学公式得
v＝at0　
s1＝at　
s2＝vt0＋(2a)t　
设汽车乙在时刻t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′.同样有
v′＝(2a)t0　
s1′＝(2a)t　
s2′＝v′t0＋at　
设甲、乙两汽车行驶的总路程分别为s、s′，则有
s＝s1＋s2　
s′＝s1′＋s2′　
联立以上各式解得，甲、乙两汽车各自行驶的总路程之比为＝.
答案：见解析