2018_2019学年高中数学第1章计数原理章末检测（B）新人教B版选修2_3

第一章　计数原理(B)
(时间∶120分钟　满分∶150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有(　　)
A．10个 B．16个 C．20个 D．32个
2．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3．某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数理化单科竞赛，每人参加一种，共有90种不同的参赛方法，则男女生的人数应是(　　)
A．男生6名，女生2名
B．男生5名，女生3名
C．男生3名，女生5名
D．男生2名，女生6名
4. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有(　　)
A．288种 B．264种
C．240种 D．168种
5．掷4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有(　　)
A．C＋C＋C种
B．A＋A＋A种
C.×24种
D．不同于A，B，C的结论
6．(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)
A．－1 B. C．1 D．2
7．在(＋)100的展开式中，有理项的个数是(　　)
A．15个 B．33个 C．17个 D．16个
8．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝6
9．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)等于(　　)
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
10．若a∈{1,2,3,5}，b∈{1,2,3,5}，则方程y＝x表示的不同直线条数为(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
11．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B．121 C．－74 D．－121
12．设an(n＝2,3,4，…)是(3－)n的展开式中x的一次项的系数，则＋＋…＋的值是(　　)
A．16 B．17 C．18 D．19
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有__________种．
14．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．
15．7777－7被19除所得的余数是________．
16．若(x3＋)n的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x的项为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)教育局派5名调研员到3所学校去调研学生作业负担问题，每校至少1人，有多少种不同的派遣方法？
18．(12分)已知∠AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，用这些点和O点为顶点，能构成多少个不同的三角形？
19．(12分)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
20．(12分)(1)7个相同的球任意地放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
(2)7个相同的球任意地放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
(3)7个不同的球任意地放入4个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？
(4)7个不同的球任意地放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球的不同放法一共有多少种？
21．(12分)某地现有耕地10 000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩？(精确到1亩)
22．(12分)规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(n、m是正整数，且m≤n)的一种推广．
(1)求C的值；
(2)设x>0，当x为何值时，取得最小值？
(3)组合数的两个性质：
①C＝C.②C＋C＝C.
是否都能推广到C(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
第一章　计数原理(B)
答案
1．D　[两个数的和等于11的情况有(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以满足条件的子集有C·C·C·C·C＝32(个)．]
2．A　[设有女生x人，则男生有(6－x)人，则有C－C＝16，即(6－x)(5－x)(4－x)＝24，将各选项代入检验即可得x＝2.故选A.]
3．C
4．B　[分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A×2＝48(种)方法；
第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A种方法，再涂点B，C，F有3C种方法，故共有A·3C＝216(种)方法．
由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法．]
5．A　[至少有2枚正面朝上有三种情况：两枚正面朝上C，三枚正面朝上C，四枚正面朝上C，所以共有C＋C＋C(种)．]
6．D　[由二项式定理，得Tr＋1＝Cx5－r·()r＝C·x5－2r·ar，∴5－2r＝3，∴r＝1，
∴C·a＝10，∴a＝2.]
7．C
8．C　[由Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅有C适合．]
9．D　[f(x)＝C(2x＋1)5·(－1)0＋C(2x＋1)4·(－1)1＋C(2x＋1)3·(－1)2＋C(2x＋1)2(－1)3＋C(2x＋1)1·(－1)4＋C(2x＋1)0·(－1)5＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.]
10．C
11．D　[含x3项的系数是C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121，故选D.]
12．B　[an＝C·3n－2＝n(n－1)·3n－2，
则＝＝18(－)，
所以原式＝18×(1－＋－＋…＋－)＝18×(1－)＝17.]
13．362 880
解析　8辆车共有A种停法，将所有空位看作一个整体，插入8辆车形成的9个空中的一个即可，共有A×9＝362 880(种)方法．
14．336
解析　当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法有AC＋CCC＝210＋126＝336(种)．
15．13
16．210
解析　由题意知，展开式各项的系数即为各项的二项式系数．第六项系数最大，即第六项为中间项，故n＝10.
∴通项为Tr＋1＝C·(x3)10－r·()r＝C·x30－5r.
令30－5r＝0，得r＝6.∴常数项为T7＝C＝210.
17．解　5人去3所学校每校至少去1人的派遣方法有两类：
(1)某一学校去1人，另外两校分别去2人，有C·C·C＝30(种)；
(2)某一学校去3人，另外两校分别去1人，有C·C·C＝20(种)．
故共有30＋20＝50(种)派遣方法．
18．解　以O为三角形顶点，其余两顶点分别在OA和OB上取，能构成C·C＝30(个)三角形；O不为顶点，又可分为两类：即在OA上取两点，OB上取一点；或在OA上取一点，OB上取两点，则能构成C·C＋C·C＝10×6＋5×15＝135(个)三角形．
故能构成不同的三角形共有30＋135＝165(个)．
19．解　(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝27－67＝－279 808.
∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.
20．解　(1)可以把7个球分成四份，有1、1、3、2或1、1、1、4或1、2、2、2三种不同的放法，即不同放法共有3种．
(2)当把7个球分成1、1、3、2四份时，有C·C＝12(种)不同放法；
当把7个球分成1、1、1、4四份时，有C＝4(种)不同放法；
当把7个球分成1、2、2、2四份时，有C＝4(种)不同放法；
故不同放法共有C·C＋C＋C＝20(种)．
(3)当把7个不同球分成1、1、3、2四份时，有＝210(种)不同放法；
当把7个不同球分成1、1、1、4四份时，有＝35(种)不同放法；
当把7个不同球分成1、2、2、2四份时，有＝105(种)不同放法．
故有不同放法210＋35＋105＝350(种)．
(4)由(3)可知不同放法共有350·A＝350×24＝8 400(种)．
21．解　设耕地平均每年减少x亩，现有人口为p人，粮食单产为m吨/亩，依题意
≥(1＋10%)，
化简：x≤103×[1－]
＝103[1－(1＋C×0.01＋C×0.012＋…)]
≈103[1－×1.104 5]≈4.1，∴x≤4(亩)．
答　耕地平均每年至多只能减少4亩．
22．解　(1)C＝＝－680.
(2)＝＝(x＋－3)．
∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立．
∴当x＝时，取得最小值．
(3)性质①不能推广，例如当x＝时，有定义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是C＋C＝C，x∈R，m是正整数．
事实上，当m＝1时，有C＋C＝x＋1＝C.
当m≥2，C＋C＝＋
＝·[＋1]
＝＝C.