2018_2019学年高中数学第二章推理与证明滚动训练二（§2.1～§2.2）新人教B版选修1_2

第二章 推理与证明
滚动训练二(§2.1～§2.2)
一、选择题
1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
考点　反证法及应用
题点　如何正确进行反设
答案　B
解析　根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”，即假设正确的是：假设a，b，c都不是偶数，故选B.
2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
考点　“三段论”及其应用
题点　大前提错误导致结论错误
答案　A
解析　任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0，
大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0.故选A.
3．“已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝1，求的最大值”时，可理解为在以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆上找一点，使它到原点距离最远问题，据此类比到空间，试分析：已知实数x，y，z满足(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＝1，求的最大值是(　　)
A.＋1 B.－1 C.＋1 D.－1
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　由题意，根据类比思想，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＝1，球心(1,1,1)到原点的距离为，∴的最大值是球心(1,1,1)到原点的距离加上半径，即＋1，故选C.
4．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
考点　演绎推理的综合应用
题点　演绎推理在其他方面中的应用
答案　C
解析　若甲当选，则都说假话，不合题意．
若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁当选，则甲、丙、丁都说假话，乙说真话，不符合题意．
故当选的同学是丙，故选C.
5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是(　　)
A．各正三角形内的任一点
B．各正三角形的中心
C．各正三角形边上的任一点
D．各正三角形的某中线的中点
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　B
解析　正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．
6．设{an}，{bn}是两个等差数列，若cn＝an＋bn，则{cn}也是等差数列，类比上述性质，设{sn}，{tn}是等比数列，则下列说法正确的是(　　)
A．若rn＝sn＋tn，则{rn}是等比数列
B．若rn＝sntn，则{rn}是等比数列
C．若rn＝sn－tn，则{rn}是等比数列
D．以上说法均不正确
考点　类比推理的应用
题点　等差数列与等比数列之间的类比
答案　B
解析　在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘．故由“{an}，{bn}是两个等差数列，若cn＝an＋bn，则{cn}是等差数列”，
类比推理可得：“设{sn}，{tn}是等比数列，若rn＝sntn，则{rn}是等比数列”．故选B.
7．观察下列数表规律：
2→3　6→7　10→11
↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓
0→1 4→5　8→9 12→…
则数2 018的箭头方向是(　　)
A．2 018→
↑
B．↓
2 018→
C． ↑
→2 018
D．→2 018
↓
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　A
解析　因上行偶数是首项为2，公差为4的等差数列，若2 018在上行，则2 018＝2＋(n－1)·4，得n＝505∈N＋.故2 018在上行，又因为在上行偶数的箭头为→，故选A.
8．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值一定(　　)
A．大于零 B．等于零
C．小于零 D．正负都有可能
考点　演绎推理的综合应用
题点　演绎推理在函数中的应用
答案　A
解析　∵f(x)＝x3＋x，∴f(x)是增函数且是奇函数．
∵a＋b>0，∴a>－b，
∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.
二、填空题
9．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.
考点　类比推理的应用
题点　类比推理的方法、形式和结论
答案　44.5
解析　设S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，
则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，
两式倒序相加，得
2S＝ (sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89，∴S＝44.5.
10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________．
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
解析　由所给等式可得，等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下，
1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，
即左边底数的和等于右边的底数，故第五个等式为
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
11．已知点A(x1,)，B(x2,)是函数y＝3x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论>成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)是函数y＝tan x的图象上任意不同两点，则类似地有________________成立．
考点　类比推理的应用
题点　平面曲线之间的类比
答案　解析　因为y＝tan x图象是上凸的，
因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝tan x图象上的点
的纵坐标，即有12．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　201
解析　因为三个关系中只有一个正确，分三种情况讨论：若①正确，则②③不正确，得到由于集合{a，b，c}＝{0,1,2}，所以解得a＝b＝1，c＝0或a＝1，b＝c＝0或b＝1，a＝c＝0，与互异性矛盾；
若②正确，则①③不正确，得到与互异性矛盾；
若③正确，则①②不正确，得到则符合题意，所以100a＋10b＋c＝201.
三、解答题
13．1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
解　假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则1＝－md,2＝＋nd，m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.
∵m为有理数，(＋1)n为无理数．
∴左边为有理数，右边为无理数，m＝(＋1)n不成立，矛盾．
∴假设不成立，即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
四、探究与拓展
14．已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B为锐角．
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　分析法：
要证明B为锐角，B为三角形的内角，
则只需证cos B>0.
又cos B＝，只需证a2＋c2－b2>0.
即证a2＋c2>b2.
又a2＋c2≥2ac，只需证2ac>b2.
由已知＝＋，即2ac＝b(a＋c)，
只需证b(a＋c)>b2，即证a＋c>b成立，
在△ABC中，a＋c>b显然成立．
所以B为锐角．
综合法：
由题意得＝＋＝，
则b＝，b(a＋c)＝2ac>b2(因为a＋c>b)．
因为cos B＝≥>0，
又0所以015．(1)用分析法证明：当a>2时，＋<2.
(2)设a，b是两个不相等的正数，且＋＝1，用综合法证明：a＋b>4.
考点　分析法和综合法的综合应用
题点　分析法和综合法的综合应用
证明　(1)要证＋<2，
只要证(＋)2<(2)2，
只要证2a＋2<4a，
只要证∵a2－4∴＋<2成立．
(2)∵a>0，b>0，且a≠b，
∴a＋b＝(a＋b)
＝1＋1＋＋>2＋2＝4，
∴a＋b>4.