2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入滚动训练三（§3.1～§3.2）新人教B版选修1_2

第三章 数系的扩充与复数的引入
滚动训练三(§3.1～§3.2)
一、选择题
1．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　e2i＝cos 2＋isin 2，
由于<2<π，
因此cos 2<0，sin 2>0，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选B.
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　B
解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　A
解析　当“a＝b＝1”时，“(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i”成立，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分条件；
当“(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i”时，
“a＝b＝1”或“a＝b＝－1”，
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的不必要条件；
综上所述，“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．
4．设复数z＝，则z·等于(　　)
A．1 B.
C．2 D．4
考点　复数四则运算的综合应用
题点　复数的混合运算
答案　C
解析　∵z＝＝
＝－1＋i，
∴＝－1－i，∴z·＝(－1＋i)(－1－i)＝2.
5．若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－1 B．0
C．i D．1
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　B
解析　∵z(i＋1)＝，
∴z＝＝＝－1，
∴z的虚部为0.
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a等于(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．－
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　B
解析　由题意可得＝－＋i，
即＝＝＋i＝－＋i，
∴＝－，＝，∴a＝－2，故选B.
7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
考点　共轭复数的定义及应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　D
解析　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，
所以1＝2为真；
对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，
所以1＝z2为真；
对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，
则＝，z1·1＝a＋b，z2·2＝a＋b，
所以z1·1＝z2·2为真；
对于D，若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z＝1，z＝－1，所以z＝z为假．故选D.
二、填空题
8．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　－2i
解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，
所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
9．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝________.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　
解析　由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，
即5|z|＝5，解得|z|＝.
10．设复数z1＝i，z2＝，z＝z1＋z2，则z在复平面内对应的点位于第________象限．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的几何意义
答案　一
解析　z2＝＝＝＝－i，z1＝i，
则z＝z1＋z2＝i＋－i＝＋i.
∴z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
11．已知复数z＝(2a＋i)(1－bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a＋1－b的最小值为________．
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　2
解析　复数z＝(2a＋i)(1－bi)＝2a＋b＋(1－2ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a＋b＝2，∴b＝2－2a.
则4a＋1－b＝4a＋21－2a＝4a＋
≥2＝2，
当且仅当a＝，b＝时取等号．
三、解答题
12．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
考点　复数四则运算的综合运算
题点　复数的混合运算
解　(1)
＝＝＝－1－3i.
(2)
＝＝
＝＝＋i.
(3)＋
＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝
＝＝－－i.
13．复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
解　方法一　|z＋3－i|≥||z|－|3－i||，
又∵|z＋3－i|＝，
|3－i|＝＝2，
∴||z|－2|≤，
即≤|z|≤3，
∴|z|的最大值为3，最小值为.
方法二　|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，
则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，
|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
四、探究与拓展
14．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)
A.＋ B.＋
C.－ D.－
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
答案　C
解析　复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分．
y≥x的图形是图形中阴影部分，如图，
复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，
则y≥x的概率为＝－.
15．设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1解　∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，
则w＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋
＝＋i.
∵w是实数且y≠0，
∴y－＝0，
即x2＋y2＝1，∴|z|＝1，此时w＝2x.
由－1∴－