2018_2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测试卷新人教B版选修1_2

第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
答案　B
2．设z1，z2为复数，则下列结论中正确的是(　　)
A．若z＋z＞0，则z＞－z
B．|z1－z2|＝
C．z＋z＝0?z1＝z2＝0
D．z1－是纯虚数或零
答案　D
解析　举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z＝15＋8i，z＝－8i，z＋z＞0，但z与－z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z＝3＋4i，z＝－3－4i，z＋z＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，故z1－＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．
3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)
A．A B．B C．C D．D
答案　B
解析　由共轭复数的定义可得．
4．复数等于(　　)
A．i B．－i
C．2－i D．－2＋i
答案　A
解析　＝＝＝＝i.
5.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i是虚数单位)，则z等于(　　)
A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i
答案　D
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋＝2a＝2，得a＝1.
(z－)i＝2bi2＝2，得b＝－1，
∴z＝1－i.
6．设复数z满足＝i，则|1＋z|的值为(　　)
A．0 B．1 C. D．2
答案　C
解析　由＝i，得z＝＝－i，
∴|1＋z|＝|1－i|＝.
7．已知f(n)＝in－i－n(n∈N＋)，则集合{f(n)}的元素个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．无数个
答案　B
解析　f(n)有三个值0,2i，－2i.
8．已知关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为(　　)
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p2，p4 D．p3，p4
答案　D
解析　z＝＝＝1－i，
p1：|z|＝＝.
p2：z2＝(1－i)2＝－2i.
p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．
p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.
9．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(0,1)，B(－1,3)，则等于(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－1＋3i D．－3－i
答案　A
解析　z1＝i，z2＝－1＋3i，＝＝3＋i.
10．已知是复数z的共轭复数，z＋＋z·＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案　A
解析　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝2x，z·＝x2＋y2，所以由z＋＋z·＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.
11．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则的值为(　　)
A．1 B．0 C．1＋i D．1－i
考点　
题点　
答案　D
解析　复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
可得a＝1，＝＝＝1－i.
12．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　A
解析　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意可得定义运算＝ad－bc，
所以＝z(1＋i)－(1＋2i)(1－i)＝0，
代入整理可得(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，
解得a＝2，b＝－1，
所以z＝2－i，所以＝2＋i，
所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限．
故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
答案　(3,4)
解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴解得314．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
答案　
解析　＝＝＝
＝＋i，
∵为纯虚数，
∴∴a＝.
15．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|答案　(－1,1)
解析　由题意知，a＝0，故z1＝bi，z2＝1.
∵|z1|∴－116．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有②2＋i>1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
答案　⑤
解析　由y∈?CR知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时：
(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解　(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或m＝－1.
即当m＝－2或m＝－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；(2).
解　z2＝＝＝
＝＝1－3i，
则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝
＝＝＋i.
19．(12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z.
(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标；
(2)求的共轭复数．
解　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由已知，得＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i.
由得所以z＝－4＋3i.
其在复平面上对应的点的坐标为(－4,3)．
(2)由(1)知z＝－4＋3i，
所以＝＝＝＝＝3＋4i，共轭复数为3－4i.
20．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
21．(12分)已知复数z＝，ω＝z＋ai(a∈R)，当≤时，求a的取值范围．
解　因为z＝＝＝1－i，
所以|z|＝.
又≤，所以|ω|≤2.
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i(a∈R)，
则≤2?(a－1)2≤3，
所以－≤a－1≤，1－≤a≤1＋.
22．(12分)求同时满足下列条件的所有的复数z.
(1)z＋∈R，且1(2)z的实部和虚部都是整数．
解　设z＝x＋yi(x，y∈Z)，
则z＋＝x＋yi.
因为z＋∈R，所以y＝0.
所以y＝0或x2＋y2＝10.
又1①当y＝0时，可以化为1x＋<0，当x>0时，x＋≥2>6，故当y＝0时，无解．
②当x2＋y2＝10时，可化为1<2x≤6，即因为x，y∈Z，故可得z＝1＋3i或z＝1－3i或z＝3＋i或z＝3－i.