2018_2019学年高中数学模块综合试卷（二）新人教B版选修1_2

模块综合试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理(　　)
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
考点　三段论
题点　三段论的结论
答案　C
解析　因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．
2．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋i的模等于(　　)
A. B. C. D.
考点　复数的模的定义及应用
题点　利用定义求复数的模
答案　C
解析　由题意得＝ti(t≠0)，∴2－i＝－t＋tai，
∴解得
∴z＝2a＋i＝1＋i，|z|＝，故选C.
3．已知变量x与y之间的回归直线方程为＝－3＋2x，若xi＝17，则yi的值等于(　　)
A．3 B．4 C．0.4 D．40
考点　回归直线方程
题点　求回归直线方程
答案　B
解析　依题意＝＝1.7，而直线＝－3＋2x一定经过样本点的中心(，)，所以＝－3＋2＝－3＋2×1.7＝0.4，所以yi＝0.4×10＝4.
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
考点　程序框图
题点　循环结构的程序框图
答案　B
解析　程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4，故选B.
5．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如表所示：
开业天数
10
20
30
40
50
销售额/天(万元)
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的回归直线方程为 ＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为(　　)
A．67 B．68
C．68.3 D．71
考点　回归直线方程
题点　样本点的中心的性质
答案　B
解析　设表中模糊看不清的数据为m.因为＝＝30，又样本点的中心(，)在回归直线 ＝0.67x＋54.9上，所以＝＝0.67×30＋54.9，得m＝68，故选B.
6．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是(　　)
A. B.
C. D.
考点　归纳推理
题点　归纳推理在图形中的应用
答案　B
解析　由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n，∴总个数为.
7．设i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数乘除法的综合应用
答案　C
解析　∵＝＝－i＝a＋bi，
∴∴lg(a＋b)＝lg 1＝0.
8．我们知道：在平面内，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为(　　)
A．3 B．5
C. D．3
考点　类比推理
题点　类比推理的方法、形成和结论
答案　B
解析　类比点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝，可知在空间中，点P(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d＝，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝＝5.故选B.
9．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．0
考点　复数的几何意义
题点　复数与向量的对应关系
答案　A
解析　由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，
＝(1，－1)，
由＝λ＋μ，得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴
解得
∴λ＋μ＝1.
10．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数的乘除法运算法则
答案　D
解析　依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.
11．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且回归直线方程为 ＝0.6x＋1.2，若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为(　　)
A．66% B．67%
C．79% D．84%
考点　线性回归分析
题点　回归直线的应用
答案　D
解析　∵y与x具有线性相关关系，满足回归直线方程 ＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为＝84%.
12．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　)
A．2b－ B.b－
C．0 D．b2－b3
考点　
题点　
答案　A
解析　f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－30，得x2，由f′(x)<0，得b二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a∈R，若为实数，则a＝________.
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
答案　－
解析　＝＝＝＋i，
∵为实数，∴＝0，∴a＝－.
14．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 017(x)的表达式为________．
考点　合情推理的应用
题点　合情推理在函数中的应用
答案　f2 017(x)＝
解析　f1(x)＝，f2(x)＝＝，
f3(x)＝＝，…，
归纳可得f2 017(x)＝.
15．古希腊的数学家研究过各种多边形数，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　N(n,3)＝n2＋n
四边形数　N(n,4)＝n2
五边形数　N(n,5)＝n2－n
六边形数　N(n,6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________．
考点　归纳推理
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　2 490
解析　原已知式子可化为N(n,3)＝n2＋n
＝n2＋n；
N(n,4)＝n2＝n2＋n；
N(n,5)＝n2－n＝n2＋n；
N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n.
故N(n，k)＝n2＋n，
N(20,15)＝×202＋×20＝2 490.
16．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是________．
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
答案　
解析　假设函数f(x)存在好点，即x2＋2ax＋1＝x，
∴x2＋(2a－1)x＋1＝0，∴Δ＝(2a－1)2－4≥0，
解得a≤－或a≥.
∴f(x)不存在好点时，a∈.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：
(1)z为实数；
(2)z对应的点位于复平面的第二象限．
考点　
题点　
解　(1)由题意得
解得m＝3(m＝－2舍去)．
故当m＝3时，z是实数．
(2)由题意得
即
即
得
解得－5＜m＜－1－.
故当－5＜m＜－1－时，z对应的点位于复平面内的第二象限．
18．(12分)已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
考点　反证法及应用
题点　反证法的应用
证明　假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
19．(12分)要分析学生中考的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表：
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
表中x是学生入学成绩，y是高一年级期末考试数学成绩．
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)若某学生的入学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩．
考点　线性回归分析
题点　回归直线的应用
解　(1)作出散点图如图，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．
(2)列表如下：
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
x2
3 969
4 489
2 025
7 744
6 561
5 041
2 704
9 801
3 364
5 776
y2
4 225
6 084
2 704
6 724
8 464
7 921
5 329
9 604
3 136
5 625
xy
4 095
5 226
2 340
7 216
7 452
6 319
3 796
9 702
3 248
5 700
可求得＝×(63＋67＋…＋76)＝70，
＝×(65＋78＋…＋75)＝76，
＝51 474，iyi＝55 094.
∴＝≈0.765 56.
≈76－0.765 56×70≈22.41，
故所求的回归直线方程为＝22.41＋0.765 56x.
(3)若学生入学成绩为80分，代入上面回归直线方程＝22.41＋0.765 56x，可求得≈84(分)．
故该同学高一期末数学成绩预测为84分．
20．(12分)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：
未发病
发病
总计
未注射疫苗
20
x
A
注射疫苗
30
y
B
总计
50
50
100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为.
(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；
(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
(3)能够有多大把握认为疫苗有效？
考点　独立性检验思想的应用
题点　独立性检验在分类变量中的应用
解　(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E，由已知得P(E)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60.
(2)未注射疫苗发病率为＝，注射疫苗发病率为＝，
发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．
(3)χ2＝＝≈16.667>6.635.
所以至少有99%的把握认为疫苗有效．
21．(12分)设函数f(x)＝＋2ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)如果对所有的x≥1，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．
考点　
题点　
解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
所以当0时，f′(x)>0，
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)当x≥1时，f(x)≤ax?a≥＋，
令h(x)＝＋(x≥1)，
则h′(x)＝－＝，
令m(x)＝x－xln x－1(x≥1)，则m′(x)＝－ln x，
当x≥1时，m′(x)≤0，所以m(x)在[1，＋∞)上为减函数，
所以m(x)≤m(1)＝0，因此h′(x)≤0，
于是h(x)在[1，＋∞)上为减函数，
所以当x＝1时，h(x)有最大值h(1)＝1，故a≥1，
即a的取值范围是[1，＋∞)．
22．(12分)已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝anan＋1(n∈N＋)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn<.
考点　综合法及应用
题点　利用综合法解决数列问题
证明　(1)由已知可得，当n∈N＋时，an＋1＝，
两边取倒数得，＝＝＋3，
即－＝3，所以数列是首项为＝2，
公差为3的等差数列，
其通项公式为＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知an＝，
故bn＝anan＋1＝
＝.
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝×＋×＋…＋×＝＝－·.
因为>0，所以Tn<.