2018-2019学年高中人教版物理必修二第七章+第8节机械能守恒定律+Word版含答案

第8节　机械能守恒定律
核心素养关键词
知识体系
1.动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep.
2．在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律．
3．机械能守恒定律的表达式为Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp.
4．在只有重力做功时，重力势能与动能相互转化，二者之和保持不变；在只有系统内的弹力做功时，弹性势能和动能相互转化，二者之和保持不变．
5．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功.
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/
一、动能与势能的相互转化
1．动能的改变等于合力做的功；重力势能的改变仅由重力做功决定；弹性势能的改变仅由弹簧弹力做功决定，与其他任何外力做功无关．
2．在只有重力做功的情况下，仅有动能与重力势能的相互转化；在只有弹力做功的情况下，仅有动能与弹性势能的相互转化．
二、机械能
1．定义：物体的动能和势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能．
2．说明
(1)因为动能和势能是状态量，所以机械能也是状态量．
(2)机械能是标量，但有正负(因为重力势能有正负)．
(3)机械能具有相对性．因为重力势能、弹性势能、动能都具有相对性．比较机械能时，必须先选取统一的参考系和参考平面．
三、机械能守恒定律
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
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一、合作探究找规律
考点一　动能、势能的相互转化
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下．(忽略轨道的阻力和其他阻力)
/
1．过山车受哪些力作用？各做什么功？
2．过山车下滑时，动能和势能怎么变化？两种能的和不变吗？
答：1.忽略阻力，过山车受重力和轨道支持力作用．重力做正功，支持力不做功．
2．过山车下滑时，动能增加，重力势能减少．忽略阻力时，两种能的和保持不变．
考点二　机械能守恒定律
运动员抛出的铅球所受空气的阻力远小于其重力，请思考以下问题：
/
1．铅球在空中运动过程中，能否视为机械能守恒？
2．若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
3．在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？
答：1.由于阻力远小于重力，可以认为铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒．
2．根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关．
3．可以应用机械能守恒定律．
二、理解概念做判断
1．物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加．(×)
2．合外力做功为零，物体的机械能一定守恒．(×)
3．物体除受重力或弹力外，还存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力弹力做功，物体的机械能一定守恒．(√)
4．不计空气阻力的抛体运动，机械能一定守恒．(√)
5．机械能是物体和地球所共有的，具有系统性．(√)
/
要点1|机械能守恒定律
1．机械能守恒定律的推导
如果只有重力对物体做功，用Ek1和Ek2分别表示物体的初动能和末动能，用Ep1和Ep2分别表示物体的初势能与末势能，W表示重力所做的功，由动能定理有：W＝Ek2－Ek1.
根据重力做功等于重力势能增量的负值，
则有W＝－(Ep2－Ep1)
故有Ek2－Ek1＝－(Ep2－Ep1)
得到Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，
可见，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总机械能保持不变．
同理可以证明，当只有弹簧弹力做功时，弹性势能与动能相互转化，总的机械能也保持不变．
2．机械能守恒定律的内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
3．表达式
表达方式
说明
注意点
Ep1＋Ek1＝
Ep2＋Ek2
初状态Ⅰ的机械能等于末状态Ⅱ的机械能
需选择一合适的参考系
ΔEk＝－ΔEp
系统减少的势能等于增加的动能
从初状态Ⅰ到末状态Ⅱ的过程中
ΔEa＝－ΔEb
将一个系统分成两部分，一部分增加的机械能等于另一部分减少的机械能
①单对某一部分机械能不守恒；②从初状态Ⅰ到末状态Ⅱ的过程中
4.机械能守恒定律的适用条件
(1)从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，则系统机械能守恒．如物体间发生相互碰撞、物体间发生相对运动，又有相互间的摩擦作用时有内能的产生，机械能一般不守恒．
(2)从机械能的定义看：动能与势能之和是否变化．如一个物体沿斜面匀速(或减速)滑下，动能不变(或减小)，势能减小，机械能减小，一个物体沿水平方向匀速运动时机械能守恒，沿竖直方向匀速运动时机械能不守恒．
(3)从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
/
①只受重力(或系统内的弹力)．如：所有做抛体运动的物体(不计阻力)．
②还受其他力，但只有重力(或系统内的弹力)做功其他力不做功．如图甲、乙所示．
③有系统的内力做功，但是做功代数和为零，系统机械能守恒．如图丙中拉力对A、对B做功不为零，但代数和为零，AB组成的系统机械能守恒．如图丁所示，A、B间及B与接触面之间均光滑，A自B的上端自由下滑时，B沿地面滑动，A、B之间的弹力做功，对A或B机械能均不守恒，但对A、B组成的系统机械能守恒．
/
/　(多选)质量为m的物体，在距地面h高处以g的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是(　　)
A．物体重力势能减少mgh
B．物体的机械能减少mgh
C．物体的动能增加mgh
D．重力做功mgh
【思路点拨】　当物体做自由落体运动时机械能守恒，物体下落的加速度比重力加速度小，所用机械能一定不守恒，根据加速度可以求出阻力大小，再根据动能定理、功的计算公式可以分析．
【解析】　物体下落的高度为h，故重力做功mgh，所以重力势能减小mgh，A错误，D正确；下落过程中受到重力和阻力作用，根据牛顿第二定律可得mg－f＝mg，解得f＝mg，所以阻力做功Wf＝mgh，机械能减小mgh，B正确；根据动能定理可得mgh－mgh＝ΔEk，即ΔEk＝
mgh，C错误．
【答案】　BD
/　(2018·顺义区测试)在下列所述实例中，若不计空气阻力，机械能守恒的是(　　)
A．抛出的铅球在空中运动的过程
B．木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程
C．汽车在关闭发动机后自由滑行的过程
D．电梯加速上升的过程
解析：单个物体机械能守恒的条件是只有重力做功，抛出的铅球在空中运动的过程中，只受到重力的作用，机械能守恒，A选项正确；木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程中，摩擦力做负功，机械能减小，B选项错误；汽车在关闭发动机后自由滑行的过程中，阻力对汽车做负功，机械能减小，C选项错误；电梯加速上升的过程，动能和重力势能均增大，机械能增大，D选项错误．
答案：A
名师方法总结
判断机械能是否守恒的判定方法如下：
(1)确定研究对象；(2)对研究对象做受力分析；(3)若是单个物体就看是否只有重力(或弹力)做功，或者虽受其他力，但其他力不做功；若是几个物体组成的系统，用能量的观点研究，看是否只发生动能和势能的相互转化，如无其他形式能量之间的转化，则系统机械能守恒．
名师点易错
1．机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，而不是合力为零或合力做的功为零．
2．机械能守恒的条件是只有重力和弹力做功，当除了重力和弹力之外，其他力不做功或其他力做功的代数和为零时机械能也守恒.
要点2|机械能守恒定律的应用
1．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件；
(3)恰当选取参考平面，确定研究对象在运动过程中的起始状态和末状态的机械能；
(4)根据机械能守恒定律列方程求解．
2．机械能守恒定律和动能定理的异同点
机械能守恒定律
动能定理
不同点
适用
条件
只有重力或弹力做功
没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功
分析
思路
只需分析研究对象初、末状态的动能和势能即可
不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功
不同点
研究
对象
一般是物体组成的系统
一般是一个物体(质点)
书写
方式
有多种书写方式，一般常用等号两边都是动能与势能的和
等号左边一定是合力的总功，右边则是动能的变化
mgh与
kl2的
意义
分别是重力势能和弹性势能出现在等号的两边，如果某一边没有，说明在那个状态的重力势能或弹性势能为0
写在等号左边的是重力和弹力所做的功
相同点
(1)思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度，来研究物体在力的作用下状态的变化
(2)表达这两个规律的方程都是标量式
典例2　 某人在距离地面2.6 m的高处，将质量为 0.2 kg的小球以v0＝12 m/s的速度斜向上抛出，小球的初速度方向与水平方向之间的夹角为30°，g取10 m/s2，求：若不计空气阻力，小球落地时的速度大小是多少？
【思路点拨】　抛体运动不计阻力时机械能守恒，可以选取地面为参考平面，列机械能守恒定律的方程求解．
【解析】　选地面为零势面
在高处的机械能为：E1＝mgh＋mv
落地时的机械能为：E2＝mv2
小球在空中运动过程中，机械能守恒E1＝E2
即：mgh＋mv＝mv2
代入数据可得v＝14 m/s.
【答案】　14 m/s
/　如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B为零势面，一切阻力可忽略不计．求运动员：
/
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)能到达的最大高度．(g＝10 m/s2)
解析：(1)以最低点B为零势面，运动员在A点时的机械能E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝10 500 J.
(2)运动员从A运动到B的过程中，根据机械能守恒定律得，E＝ mv，解得vB＝10 m/s.
(3)运动员从A运动到斜坡上最高点的过程，根据机械能守恒得E＝mgH，解得H＝15 m.
答案：(1)10 500 J　(2)10  m/s　(3)15 m
名师方法总结
当题目给出一个物体时，判断是否满足机械能守恒的条件，若满足机械能守恒的条件，可选取适当的参考平面，由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2列方程，求解要求的问题．
名师点易错
由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及到功能关系问题时应是优先考虑动能定理．尽量不通过牛顿定律来分析.
/
对点训练一　机械能守恒定律
1．当物体的速度发生变化时，下列说法正确的是(　　)
A．物体的动能一定发生变化
B．物体的机械能一定发生变化
C．一定有外力对物体做功
D．物体的合外力一定不为零
解析：当物体的速度发生变化时可能是速度的方向发生变化，而速度的大小不变，则物体的动能不变，故A错误；只有重力做功时，物体的速度即使发生变化，机械能也不变，故B错误；当物体的速度发生变化时，一定受外力的作用，而合外力的方向与速度的方向垂直时，外力不做功，故C错误；力是改变物体运动状态的原因，故只要物体的速度发生了变化，则说明物体一定受到了外力，故D正确．
答案：D
2．(2018·如东县学业测试)如图所示，弹簧上端固定在天花板上，下端悬挂一钢球，处于静止状态．现将钢球竖直向下拉一小段距离后释放，钢球上下往复运动一段时间后又处于静止状态．则在运动过程中(　　)
/
A．钢球的重力势能逐渐增大
B．弹簧的弹性势能逐渐减小
C．能量逐渐消失
D．系统的机械能逐渐减小
解析：钢球上下往复运动过程中，重力势能发生变化，向上运动过程中重力势能增加，向下运动过程中重力势能减小，A选项错误；弹簧的弹性势能与弹簧的形变量有关，在原长处弹性势能最小，形变量越大，弹性势能越大，B选项错误；根据能量守恒定律可知，能量不能消失，C选项错误；钢球最终处于静止状态，机械能逐渐转化为内能，系统的机械能逐渐减小，D选项正确．
答案：D
对点训练二　机械能守恒定律的应用
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3．(多选)如图所示，物体在斜面上受到平行于斜面向下拉力F作用，沿斜面向下运动，已知拉力F大小恰好等于物体所受的摩擦力，则物体在运动过程中(　　)
A．做匀速运动
B．做匀加速直线运动
C．机械能保持不变
D．机械能增加
解析：物体运动过程中，受到重力作用，拉力大小等于摩擦力大小，做匀加速直线运动，A选项错误，B选项正确；物体除重力外，其他力做功之和为零，机械能守恒，C选项正确，D选项错误．
答案：BC
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4．(多选)如图所示，是一儿童游戏机的工作示意图．光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P.将球投入AB管内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹槽里，根据入槽情况可以获得不同的奖励．假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠视为质点．某次缓慢下拉手柄，使弹珠距B点为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点时速度为v，下列说法正确的是(　　)
A．弹珠从释放手柄开始到触碰障碍物之前的过程中机械能不守恒
B．调整手柄的位置，可以使弹珠从C点离开后做匀变速直线运动，直到碰到障碍物
C．弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能和重力势能之和达到最大
D．此过程中，弹簧的最大弹性势能为mg(L＋R)sinθ＋mv2
解析：弹珠从释放手柄到脱离弹簧的过程，弹簧对弹珠做正功，其机械能增加，弹珠脱离弹簧瞬间，动能和重力势能之和达到最大，故A、C正确；弹珠从C点离开后初速度水平向左，合力等于重力沿斜面向下的分力，两者垂直，所以弹珠做匀变速曲线运动，直到碰到障碍物，故B错误；根据系统的机械能守恒得，弹簧的最大弹性势能等于弹珠在全过程中增加的机械能，从开始运动到上升到C点过程中弹珠增加的机械能为mg(L＋R)sinθ＋mv2，故D正确，故选ACD．
答案：ACD
5.
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(2018·山东济宁市月考)2017年11月，波士顿动力(BostonDynamics)研制的机器人Atlas(可视为质点)从A点起跳后，运动轨迹如图中ABC所示，B为最高点，C为落地点．机器人质量为m，B与A、C间的高度差分别为h1、h2，B、C间的
水平距离为L，重力加速度为g，忽略空气阻力．求：
(1)机器人从B点运动到C点的时间t；
(2)机器人落地时的速度vC；
(3)机器人起跳时获得的动能EkA．
解析：(1)机器人从B点开始做平抛运动，
竖直方向上，h2＝gt2
解得t＝.
(2)从B点到C点的过程中，
水平方向上，L＝vBt
根据机械能守恒定律可知，mgh2＝mv－mv
联立解得vC＝
(3)机器人运动的全过程中，根据机械能守恒定律可知，
mv－EkA＝mg(h2－h1)
解得EkA＝mgh1＋.
答案：(1) 　(2)　(3)mgh1＋
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【强化基础】
1．竖直向上抛出一物体，已知受到的空气阻力大小不变，在物体从抛出到落回抛出点的过程中(　　)
A．物体的机械能守恒
B．物体上升时机械能减小，下降时机械能增大
C．物体的动能减小
D．上升过程克服重力做功大于下降过程重力做功
解析：过程中阻力做功，机械能不守恒，A错误；因为整个过程中物体受到的阻力一直做负功，所以机械能一直减小，B错误；根据动能定理，从抛出点到物体回到抛出点时，重力做功为零，阻力做功不为零，一部分动能转化为内能，故动能减小，C正确；上升过程和下降过程中位移大小相等，所以上升过程克服重力做功等于下降过程重力做功，D错误．
答案：C
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2．(多选)在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面．若以地面为参考平面且不计空气阻力，则 (　　)
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
解析：物体抛出后运动的全过程机械能守恒，以地面为参考平面，物体的机械能表示为mv，也等于全过程中任意位置的机械能，选项D正确；由动能定理知：mgh＝mv2－mv，所以在海平面上的动能为mgh＋mv，选项C正确；重力做的功WG＝mgh，所以选项B正确；到达海平面时的重力势能Ep＝－mgh，选项A错误．
答案：BCD
3．(2018·浦东新区一模)在深井里的同一点以相同的初动能将两个质量不同的物体竖直向上抛向井口，选取地面为零势能面，不计空气阻力，在它们各自达到最大高度时，下列说法中正确的是(　　)
A．质量大的物体势能一定大
B．质量小的物体势能一定大
C．两个物体的势能一定相等
D．两个物体的势能可能相等
解析：不计空气阻力，物体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，对任一位置，都有Ek＋Ep＝E机，两个物体的机械能守恒，到最大高度时，动能为零，此时重力势能等于E机，选取地面为零势能面，质量小的机械能大，物体势能也一定大，A、C、D选项错误，B选项正确．
答案：B
4．取水平地面为重力势能零点．一物块从地面以初速度v0竖直向上运动，不计空气阻力，当物块运动到某一高度时，它的重力势能和动能恰好相等，则在该高度时物块的速度大小为(　　)
A．v0　　 B．v0　　　
C．v0　　 D．v0
解析：物块竖直向上运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，运动到某一高度时，重力势能和动能恰好相等，此时速度大小为v，根据机械能守恒得，mgh＋mv2＝mv，其中mgh＝mv2，解得v＝v0，C选项正确．
答案：C
/
5．(多选)两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧斜面的顶点滑向底部，如图所示，如果它们的初速度都为零，则下列说法正确的是(　　)
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时动能相等
C．它们到达底部时速率相等
D．它们在下滑过程中各自机械能不变
解析：小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，由＝mv2得v＝，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D正确；由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误．
答案：CD
【巩固易错】
6.
/
一根轻质弹簧下端固定，竖立在水平面上．其正上方A位置有一只小球．小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．小球下降阶段下列说法中正确的是(　　)
A．在B位置小球动能最大
B．从A→D位置的过程中小球机械能守恒
C．从A→D位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加
D．从A→C位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加
解析：球从B至C过程，重力大于弹簧的弹力，合力向下，小球加速运动；C到D过程，重力小于弹力，合力向上，小球减速运动，故在C点动能最大，A错误；下降过程中小球受到的弹力做功，所以机械能不守恒，应该是小球和弹簧组成的系统机械能守恒，即小球的重力势能、动能和弹簧的弹性势能总和保持不变，从A→D位置，动能变化量为零，根据系统的机械能守恒知，小球重力势能的减小等于弹性势能的增加，从A→C位置小球减小的重力势能一部分转化为动能，一部分转化为弹簧的弹性势能，故从A→C位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加，D正确．
答案：D
7．一物体仅受重力和竖直向上的拉力作用，沿竖直方向向上做减速运动．此过程中物体速度的平方和上升高度的关系如图所示．若取h＝0处为重力势能等于零的参考平面，则此过程中物体的机械能随高度变化的图象可能正确的是(　　)
/
解析：拉力竖直向上，与物体的位移方向相同，则拉力对物体做正功，由功能关系知物体的机械能增加，故A、B错误；由匀变速运动的速度位移关系公式v2－v＝2ah得v2＝v＋2ah；由数学知识可知，v2-h图象的斜率等于2a，直线的斜率一定，则物体的加速度a一定，因此物体向上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律知拉力恒定．由功能关系知FΔh＝ΔE，即得＝F，所以E-h图象的斜率等于拉力F，F一定，因此E-h图象应是向上倾斜的直线，故C错误，D正确．故选D．
答案：D
【能力提升】
8．如图所示，质量为m的物体以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，
/
半圆弧轨道半径为R，不计空气阻力，若物体通过最低点B的速度为3，求：
(1)物体在A点时的速度v0大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高？
解析：(1)从A到B物体机械能守恒，以B点为零势能面，3mgR＋＝，v0＝.
(2)以C点为零势能面，mgh＝2mgR＋，h＝3.5R.
答案：(1)　(2)3.5R
9．滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱．如图所示是滑板运动的轨道，AB和CD是一段圆弧形轨道，BC是一段长7 m的水平轨道．一运动员从AB轨道上P点以6 m/s的速度下滑，经BC轨道后冲上CD轨道，到Q点时速度减为零，已知运动员的质量为50 kg，h＝1.4 m，H＝1.8 m，不计圆弧轨道上的摩擦．求：(g＝10 m/s2)
/
(1)运动员第一次经过B点、C点时的速度各是多少？
(2)运动员与BC轨道的动摩擦因数．
解析：(1)对P→B过程中，
由机械能守恒得mgh＝mv－mv.
代入数据得vB＝8 m/s
同理，对C→Q过程mv＝mgH
所以，vC＝6 m/s.
(2)对B→C过程，由动能定理得：
－μmg·xBC＝mv－mv
代入数据得μ＝0.2.
答案：(1)8 m/s 　6 m/s　 (2)0.2