2018-2019学年高中人教版物理必修二第七章+专题机械能守恒定律的综合应用+Word版含答案

专题　机械能守恒定律的综合应用
要点1|机械能守恒定律在链条类问题中的应用
关于绳索、链条之类的问题，由于在研究过程中物体常发生形变，重心位置相对物体来说并不是固定不变的，正确确定重心的位置，往往是解决该类问题的关键，一般情况下，先分段考虑各部分的重力势能，然后将各部分的重力势能之和作为整体的重力势能．
典例1　 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，
铁链的速度为多大？
【解析】　设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为参考平面，
则铁链初态的机械能为E1＝Ep1＝mg＝ρgL2，
末态的机械能为E2＝Ek2＝mv2＝ρLv2，根据机械能守恒定律有E2＝E1，即ρLv2＝ρgL2，解得v＝ .
【答案】　
　如图所示，一
长为L、质量为m的匀质柔软链条，放在光滑的水平桌面上，有悬于桌外，求：放手后链条由静止开始运动至其左端刚要离开桌面的瞬间链条的速度是多少？
解析：为了使解答情景清晰，我
们将链条末位置图画在初位置旁边，并分别找出两段的重心位置O1和O2.
选水平桌面为零势能参考平面，则初状态机械能为E1＝EpAC＋EpCB＝－mg·L＋0＝－mgL
末状态机械能为E2＝EpAC′＋EpCB′＋Ek
＝－mg·－mg·L＋mv2
＝－mgL＋mv2
由机械能守恒定律有E1＝E2
即－mgL＝－mgL＋mv2
解得所求速度v＝ .
答案：
名师方法总结
此类问题关键是确定初、末位置系统的重力势能，合理选取零势能参考平面，找出每一部分的等效重心，由机械能守恒定律列方程．
要点2|系统机械能守恒问题
解决机械能守恒的问题，应注意以下几点：
(1)对研究对象所参与的运动过程进行准确的分析，判断机械能是否守恒，哪个过程守恒．
(2)选用合适的关系式求解．研究单个物体采用公式E初＝E末和ΔEk＝－ΔEp，研究多个物体组成的系统时，采用公式E初＝E末、ΔEk＝－ΔEp以及ΔEA＝－ΔEB．
典例2　 如图所示是一个横截面为半圆，半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端分别连接物体A、B，且mA＝2mB，从图示位置由静止开始释放A物体，求当B物体到达半圆顶点时的速度v.
【解析】　释放后，AB系统机械能守恒．A的重力势能减少量为mAg.B的重力势能增加了mBgR.A的动能增加mAv2，B的动能增加mBv2，根据机械能守恒定律mAg＝mBgR＋mAv2＋mBv2
又因为mA＝2mB，可得v＝ .
【答案】　
　(多选)如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物块M和m，且M的质量大于m的质量，不计摩擦和定滑轮质量，两物块由静止开始运动过程中(　　)
A．M、m各自的机械能分别守恒
B．M减少的机械能等于m增加的机械能
C．M减少的重力势能等于m增加的机械能
D．M和m组成的系统机械能守恒
解析：对单个物体进行受力分析可知，除了受重力外还受到绳子的拉力，绳子拉力对M做负功，M的机械能减小；拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；D对两个物体系统进行受力分析，只受重力，故系统机械能守恒，所以M减少的机械能等于m增加的机械能，B、D正确；M重力势能减小，动能增加，m重力势能和动能都增加，故M减小的重力势能等于m增加的重力势能和两个物体增加的动能之和，C错误．故选BD．
答案：BD
名师方法总结
对于多个物体组成的系统，研究对象的选取是解题的关键环节，有的问题，选单个物体为研究对象机械能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象时，机械能却是守恒的．此类问题通常用－ΔEp＝ΔEk列方程．
要点3|机械能守恒定律与圆周运动的综合题
对于物体在轻绳、光滑轨道等的约束下在竖直平面内做圆周运动的问题，物体不仅要遵循机械能守恒，还要受向心力大小的制约．
典例3　 如图所示，半径为R的光滑半圆轨道与高为10R的光滑斜轨道处于同一竖直平面内，两轨道之间用光滑轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上轻弹簧被a、b两小球挤压(不栓接)处于静止状态，现同时释放两小球，a恰好能通过最高点A；b恰好能到达B点．已知a的质量为ma；b的质量为mb；求：
(1)a球离开弹簧时的速度va；
(2)b球离开弹簧时的速度vb；
(3)弹簧的弹性势能Ep.
【解析】　(1)a球恰好通过圆轨道最高点A时，有
mag＝ma
则得vA＝
a球从C运动到A，由机械能守恒定律得
mav＝mav＋2magR
由以上两式求出：va＝vC＝.
(2)b球从D运动到B，由机械能守恒定律得
mbv＝mbg×10R
求得vb＝vD＝2.
(3)弹簧的弹性势能为Ep＝mav＋mbv
解得Ep＝2.5magR＋10mbgR.
【答案】　(1)　(2)2
(3)2.5magR＋10mbgR
　(2018·厦门期末)如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”．它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所示．在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点．质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝ 通过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.
(1)求质点的质量；
(2)质点能做完整的圆周运动过程中，若磁性引力大小恒定，试证明质点对A、B两点的压力差为定值．
解析：(1)质点运动到A点时，合力提供向心力．
根据牛顿第二定律可知，F＋mg－FA＝m
其中FA＝7mg
联立解得m＝.
(2)质点做完整的圆周运动，
在A点，F＋mg－NA＝m
在B点，F－mg－NB＝m
从A点到B点过程，根据机械能守恒定律，
mg·2R＝mv－mv
联立解得NA－NB＝6mg为定值．
答案：(1)　(2)见解析
物体在内轨道做圆周运动的模型中，通过最高点的临界条件是重力提供向心力．
对点训练一　机械能守恒定律在链条类问题中应用
1．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
解析：设斜面的最高点所在的水平面为零势能面，链条的总质量为m，开始时斜面上部分的重力势能为：Ep1＝－g×sinθ
竖直部分的重力势能Ep2＝－g×
机械能E1＝Ep1＋Ep2＝－gL(1＋sinθ)
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能Ep＝－mg×
动能Ek＝mv2
机械能E2＝Ep＋Ek＝－L＋mv2
由机械能守恒定律，得E1＝E2
即－(1＋sinθ)＝－＋mv2
整理得v＝.
答案：
对点训练二　系统机械能守恒问题
2．如图所示，一轻质弹簧竖直放置在水平地面上，下端固定，将一质量为m的物体A从弹簧原长处紧挨弹簧上端由静止释放，物体能下降的最大高度为h，弹簧始终处于弹性限度内．若将物体A换为另一质量为2m的物体B，同样从弹簧原长处紧挨弹簧上端由静止释放，当物体B下降h高度时B的速度为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C．2 D．0
解析：A物体压缩弹簧，重力势能全部转化为弹性势能，有Ep＝mgh；B物体压缩弹簧，弹簧形变量相同，产生的弹性势能也为Ep，根据机械能守恒定律有2mgh＝Ep＋×2mv2，解得v＝＝，故A正确，B、C、D错误．
答案：A
【强化基础】
1．如图，小球从高处下落到竖直放置的轻质弹簧上，从小球接触到弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，下列关于能量叙述正确的是(　　)
A．小球的动能逐渐减小
B．弹簧的弹性势能逐渐增大
C．小球的机械能不变
D．弹簧和小球组成的系统机械能总和逐渐增大
解析：在刚接触弹簧的时候小球的加速度等于重力加速度，在压缩的过程中，弹簧的弹力越来越大，小球的加速度越来越小，直到弹簧的弹力等于小球所受到的重力，这个时候小球的加速度为0，要注意在小球刚接触到加速度变0的过程中，小球一直处于加速状态，由于惯性的原因，小球还是继续压缩弹簧，这个时候弹簧的弹力大于小球受到的重力，小球减速，直到小球的速度为0，这个时候弹簧压缩的最短．所以小球的动能先增大后减小，弹簧的弹性势能是不断增加的，所以A错误，B正确；对于小球从接触弹簧到将弹簧压缩到最短的过程中，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能这三种形式的能量相互转化，没有与其他形式的能发生交换，也就说小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持不变．在小球下降的过程中，弹性势能变大，故小球的机械能是不断的减小的，所以C、D错误．故选B．
答案：B
2．(2018·内江一模)如图所示，质量为m的物体置于粗糙的质量为M(m＜M)的斜面体上，斜面体M置于光滑的水平面上，当物体m以速度v0沿斜面体M底端冲上顶端的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物体m受到的力的个数比斜面体M受到的力的个数要少
B．物体m和斜面体M组成的系统机械能守恒
C．斜面体M对物体m的作用力不做功
D．物体m向右运动的水平距离小于斜面体M水平向右运动的距离
解析：分析物体和斜面的受力情况可知，物体m受到重力、斜面的支持力和摩擦力作用，斜面体M受到重力、地面的支持力、物体的压力和摩擦力作用，物体m受到力的个数少，A选项正确；物体m向上运动的过程中，系统产生内能，系统的机械能不守恒，B选项错误；水平面光滑，在物体m向上运动的过程中，斜面体M水平向右运动，斜面体M对物体m的支持力与m的速度不垂直，成钝角，支持力对物体m做负功，摩擦力对m做负功，斜面体M对物体m的作用力对物体m做负功，C选项错误；由于物体m沿斜面体M向上运动，物体m向右运动的水平距离大于斜面体M水平向右运动的距离，D选项错误．
答案：A
3．如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：圆环沿杆滑下过程中，弹簧的拉力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，故A错误；图中弹簧水平时恰好处于原长状态，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L，可得物体下降的高度为h＝L，根据系统的机械能守恒得，弹簧的弹性势能增大量为ΔEp＝mgh＝mgL，故B正确；圆环所受合力为零，速度最大，此后圆环继续向下运动，则弹簧的弹力增大，圆环下滑到最大距离时，所受合力不为零，故C错误；根据圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，知圆环的动能先增大后减小，则圆环重力势能与弹簧弹性势能之和先减小后增大，故D错误．故选B．
答案：B
4.
(多选)(2018·苏州一模)如图，两质量均为m的小球，通过长为L的不可伸长轻绳水平相连，从h高处自由下落，下落过程中绳处于水平伸直状态，若下落时绳中点碰到水平放置的光滑钉子O，重力加速度为g，则(　　)
A．小球从开始下落到刚到达最低点的过程中，机械能守恒
B．从轻绳与钉子相碰到小球刚达到最低点过程中，重力的功率一直减小
C．小球刚到最低点速度大小为
D．小球刚到达最低点时的加速度大小为g
解析：小球从开始下落到刚到达最低点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，A选项正确；轻绳与钉子相碰后，开始时，重力大于绳子沿竖直方向的分力，故小球继续向下加速运动，重力的功率增大，当两球到达最低点时，竖直方向速度为零，重力的功率为零，故重力的瞬时功率先增大后减小，B选项错误；从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒可知，mg＝mv2，解得v＝，C选项错误；根据向心加速度公式，a＝＝g，D选项正确．
答案：AD
5．如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(　　)
A．h　　　　　　　 B．1.5h
C．2h D．2.5h
解析：释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，ab系统的机械能守恒，若b落地瞬间速度为v，则3mgh＝mgh＋mv2＋(3m)v2，可得v＝.b落地后，a向上做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h′＝＝.所以a达到的最大高度为1.5h，B正确．
答案：B
【巩固易错】
6．如图所示，圆弧形光滑轨道ABC固定在竖直平面内，O是圆心，OC竖直，OA水平．A点紧靠一足够长的平台MN，D点位于A点正上方．如果从D点无初速度释放一个小球，从A点进入圆弧轨道，有可能从C点飞出，做平抛运动，落到平台MN上，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．只要D点距A点的高度合适，小球可以落在MN上任意一点
B．在由D点运动到A点和由C点运动到P点的过程中重力功率都越来越小
C．由D点经A、B、C三点到P点的过程中机械能守恒
D．如果D、A间的距离为h，则小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为2mg＋
解析：球恰好通过C点时，有mg＝m，得小球通过C点的最小速度为vC＝，小球离开C点后做平抛运动，由R＝gt2，得 ，小球离开C点做平抛运动的水平距离最小值为x＝vCt＝R，所以小球只有落在平台MN上距M点距离为(－1)R的右侧位置上，故A错误；在由D运动到M的过程中，速度增大，由P＝mgv知，重力功率增大，由C运动到P的过程中，由P＝mgvy，知vy增大，则重力功率增大，故B错误；小球由D经A，B、C到P的过程中，轨道对小球不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C正确；小球从D运动到B的过程中，由机械能守恒得mg(h＋R)＝mv，在B点，由牛顿第二定律得N－mg＝m，解得N＝3mg＋，由牛顿第三定律得知，小球经过B点时对轨道的压力为N′＝N＝3mg＋，故D错误．
答案：C
7．(多选)如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根足够长的光滑直杆，杆上P处固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套一质量m＝2 kg的物体A．半径R＝0.3 m的光滑半圆形轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m＝2 kg的小球B．用一条不可伸长的轻质柔软细绳通过定滑轮将A、B连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，A、B均可看作质点，且不计滑轮大小的影响．现给物体A施加一个水平向右、大小为50 N的恒力F，则下列说法正确的是(　　)

A．把小球B从地面拉到P点的正下方C处的过程中力F做功为20 J
B．小球B运动到C处时的速度大小为0
C．小球B被拉到与物体A速度大小相等时sin∠OPB＝
D．把小球B从地面拉到P的正下方过程中小球B的机械能增加了6 J
解析：把小球B从地面拉到C处的过程中，力F的作用点位移x＝PB－PC＝0.4 m，根据恒力做功公式得W＝Fx＝20 J，A选项正确；根据投影定理可知，小球B运动到C点时，物体A的速度为零，由功能关系可知力F做功增加了小球B的机械能，W＝mv2＋mgR，解得v＝ m/s，B、D选项错误；小球B被拉到与物体A速度大小相等时，细线与半圆形轨道相切，根据几何关系可知sin∠OPB＝，C选项正确．
答案：AC
【能力提升】
8．如图所示，质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C，用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上，A球恰能从斜面顶端外竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，小球落地后均不再反弹．由静止开始释放它们，不计所有摩擦，求：
(1)A球刚要落地时的速度大小；
(2)C球刚要落地时的速度大小．
解析：(1)A球落地的过程中，三个小球速度大小相等，系统机械能守恒，3mgL－3mgL·sin30°＝×6m·v，解得v1＝ .
(2)B球落地的过程中，B、C小球组成的系统机械能守恒，2mgL－mgL·sin30°＝×3mv－×3mv，解得v2＝ .C球落地的过程中，机械能守恒，mgL＝mv－mv，解得v3＝.
答案：(1) 　(2)
9．如图所示，质量分别为mA和mB的两球(可视为质点)用长为L的轻杆连接紧靠墙壁竖直立于水平面上，已知A、B两球的质量之比为mA∶mB＝5∶3，B球与水平面之间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．轻微扰动，A球将在图示平面内向右倾倒，已知重力加速度为g，sin53°＝，cos53°＝，求：
(1)在B球移动前，A球绕B球转过角度为θ时，A球的速度大小；
(2)A球绕B球转动角度为何值时，B球将离开墙壁．
解析：(1)分析可知，在B球移动前，A球的机械能守恒．
mAgL(1－cosθ)＝mAv2.
解得v＝.
(2)设A球绕B球转动角度为α时，B球将离开墙壁．
分析B球的受力情况，杆的作用力为F，如图：
Fsinα＝μ(mBg－Fcosα)
A球做圆周运动，根据牛顿第二定律可知，
mAgcosα＋F＝mA
在转动过程中，A球机械能守恒，
mAgL(1－cosα)＝mAv2
联立解得，θ＝53°.
答案：(1)　(2)53°