2018-2019学年高中人教版物理必修二 第六章+第4节万有引力理论的成就+Word版含答案
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年高中人教版物理必修二 第六章+第4节万有引力理论的成就+Word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 347.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-01-07 16:18:51 | ||
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文档简介
第4节 万有引力理论的成就
核心素养关键词
知识体系
1.若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即mg＝G，可得地球质量M＝，该公式同样适用于其他天体.
2.根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径r和周期T，就可得太阳的质量为M＝.
3.英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶预言了海王星的存在，1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了被预言的海王星.
4.1705年英国天文学家哈雷正确预言了哈雷彗星的回归.
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一、地球质量的计算
在不考虑地球自转的情况下，地球表面物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即mg＝G，解得M＝Ｗ.在已知g、R并在卡文迪许准确测定引力常量G后，可据上式得到地球的质量.
二、天体质量的计算
计算中心天体的质量，首先观测环绕天体的轨道半径r和运动周期T，根据万有引力提供向心力，G＝mr，解得中心天体质量M＝r3Ｗ.
三、发现未知天体
海王星的发现和哈雷彗星的回归.
/
一、合作探究找规律
考点一 计算天体的质量
1.若已知卫星绕地球运动的周期T和卫星到地心的距离r，可以计算卫星的质量吗？
2.若已知地球绕太阳运动的周期T和地球到太阳的距离r，可以计算太阳的密度吗？
答：1.不可以.因为＝mr，等式两边卫星的质量消去了，只能计算中心天体的质量.
2.不可以，只能计算太阳的质量，但由于不知道太阳的半径，故无法计算太阳的密度.
考点二 发现未知天体
/
如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
1.行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
2.行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
答：1.由G＝m得v＝，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的.
2.无关.因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉.
二、理解概念做判断
1.卡文迪许测出了万有引力常量，使得万有引力定律有了实际的应用价值.(√)
2.利用万有引力可以确定天体的质量，如确定地球的质量.(√)
3.冥王星被称为“笔尖下发现的行星”.(√)
4.科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析.(√)
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要点1|计算天体的质量和密度
1.计算天体质量的思路和公式
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的，根据圆周运动的知识和牛顿第二定律可知有关天体运动的一些物理量有如下关系：
G＝ma向＝m＝mrω2＝mωv＝mr.
(2)重力近似等于其所受的万有引力，即：
mg＝G(m在M的表面上).
说明：①万有引力提供天体运动的向心力以及重力近似等于万有引力是我们研究天体运动的两大依据.
②式中的r是天体做匀速圆周运动的轨道半径，R是被环绕天体的半径.
2.计算被环绕天体质量的几种方法
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量.下面以地球质量的计算为例，介绍几种关于计算天体质量的方法：
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，即G＝m月r，可求得地球质量M地＝.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月，解得地球质量M地＝.
(3)若已知月球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月v，G＝m月，以上两式消去r，解得地球的质量为M地＝ .
说明：根据万有引力定律只能计算被环绕的中心天体的质量.
(4)利用绕地球运转的各种航天器(卫星、宇宙飞船、航天飞机、空间站)，测出其轨道半径r、周期T或线速度v等，利用万有引力提供向心力列出相关方程即可求出地球质量.
(5)求其他天体的质量的思路和方法：通过观测，寻找其卫星，测出其卫星运行的轨道半径、周期、线速度等；或者对该天体发射一环绕运转的飞行器，测出该飞行器运行的轨道半径、周期、线速度等，利用万有引力提供向心力列出相关方程求解.
3.利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程G＝mr，又M＝ρ·πR3，得ρ＝＝＝.当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.
4.利用天体表面的重力加速度来求天体的密度
由mg＝G和M＝ρ·πR3，得ρ＝，其中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径.
/典例1 1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步，在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧测力计测出质量为m的食品的重力为F；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面附近飞行一周，记下时间为T.引力常量G已知.
(1)试根据以上数据求出月球的质量；
(2)据题中所给数据求出月球的平均密度.
【思路点拨】 利用月球表面处万有引力等于重力，当用弹簧秤在月球表面处测重力时，F＝mg
再对指令舱根据万有引力提供向心力，列圆周运动的方程可以求出.
【解析】 (1)设月球的质量为M、半径为R、表面的重力加速度为g，根据万有引力定律，有F＝mg＝G，①
根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有an＝g＝＝R.②
联立①②求得月球质量M＝.
(2)指令舱的向心力等于月球对它的万有引力，即
G＝mR
得月球质量M＝
所以月球的平均密度ρ＝＝＝.
【答案】 (1) (2)
/变式训练1－1 (2018·济宁一模)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)( )
/
A． B．
C． D．
解析：卫星受到的万有引力提供其圆周运动的向心力，G＝mr，解得r3＝T2，对照图象可知，＝，地球的质量M＝，B选项正确.
答案：B
/
解决天体问题的思路和方法：
(1)建立两种模型
①建立质点模型：天体有自然天体(如地球、月亮)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，首先应把研究对象看做质点，人造天体直接看做一个质点，自然天体看作是位于球心位置的一个质点.
②建立匀速圆周运动模型：行星或卫星的绕行轨道大都为椭圆，但用圆周运动知识处理近圆的椭圆轨道问题，误差不大并且方便解决.
(2)抓住两条思路
天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：
思路1：利用在中心天体表面或附近万有引力近似等于重力.
G＝mg0(g0表示天体表面的重力加速度).
思路2：利用万有引力提供向心力
由此得到G＝ma＝m＝mω2r＝mωv＝mr.
/
名师点易错
1.计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体.注意方法的拓展应用.明确计算出的是中心天体的质量.
2.要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若近地轨道运行，则有R＝r.
要点2|双星模型
/
双星模型如图所示：
1.两颗星球绕中心连线的某一点做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，属于同轴转动的模型，模型中的向心力、周期、角速度相等.
2.双星的轨道半径之和等于双星之间的距离，即rA＋rB＝L.
3.每颗星做匀速圆周运动的向心力由双星之间的万有引力提供，即G＝mAω2rA＝mBω2rB，解得＝，两星做匀速圆周运动的半径与自身的质量成反比.
/典例2 冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为M、m(mA．可由G＝MRω2计算冥王星做圆周运动的角速度
B．可由G＝M计算冥王星做圆周运动的线速度
C．可由G＝mr2计算星体卡戎做圆周运动的周期
D．冥王星与星体卡戎绕O点做圆周运动的线速度大小相等
【思路点拨】 冥王星和其附近的星体卡戎依靠彼此之间的万有引力提供向心力，使它们绕连线上某点做圆周运动，两者一定具有相同的周期和角速度，对两个星体分别列方程即可求得.
【解析】 根据题意，对冥王星受力分析可以知道： G＝Mω2R＝M可以得到冥王星的角速度和线速度，故选项A、B错误；对卡戎根据万有引力定律可以得到： G＝m2r计算星体卡戎做圆周运动的周期，故选项C正确；对冥王星： G＝Mω2R，对卡戎： G＝mω2r，则： Mω2R＝mω2r.则： MvM＝mvm，即冥王星与星体卡戎绕O
点做圆周运动的线速度大小不相等，故选项D错误.
【答案】 C
/变式训练2－1 (多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统，设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示.若AO＞OB，则( )
/
A．星球A的质量小于星球B的质量
B．星球A的线速度大于星球B的线速度
C．星球A受到的向心力大于星球B受到的向心力
D．星球A的向心加速度小于星球B的向心加速度
解析：双星系统中，恒星间的万有引力提供向心力，＝mAω2rA＝mBω2rB，解得，＝，故星球A的质量小于星球B的质量，A选项正确；双星角速度相等，线速度之比＝，故星球A的线速度大于星球B的线速度，B选项正确；星球A受到的向心力等于星球B受到的向心力，C选项错误；向心加速度a＝ω2r，星球A的向心加速度大于星球B的向心加速度，D选项错误.
答案：AB
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所谓“双星”就是指两颗恒星在相互的万有引力作用下，绕两颗星连线上的某点做圆周运动的系统，如图所示.
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与花样滑冰中两运动员的转动模型类似，双星系统具有以下特点：
(1)双星彼此间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即向心力等大、反向.
(2)双星具有共同的角速度，轨道半径和线速度均与双星的质量成反比.
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上.
/
名师点易错
双星转动半径并不是双星之间的距离，其转动周期相同而线速度大小一般不相等.
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对点训练一 计算天体的质量和密度
1.(2018·乐山模拟)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体，物体静止时，弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A． B．
C． D．
解析：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力.重力加速度g是联系星球表面宏观物体运动和天体运动的桥梁.物体在行星表面静止时，万有引力与弹簧弹力等大反向，F＝mg，则行星表面的重力加速度g＝，万有引力提供向心力，G＝m＝mg，联立解得M＝，D选项正确.
答案：D
2.
/
如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动.已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于( )
A．sin3θ B．
C． D．
/
解析：设M、N的轨道半径分别RM、RN.据题卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，MN连线与卫星N的运行轨道应相切，如图：
根据几何关系有 RN＝RMsinθ，根据开普勒第三定律有： ＝，联立解得： ＝，故D正确，A、B、C错误.
答案：D
3.(多选)已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零；假想在地球赤道正上方高h处和正下方深为h处各修建一绕地心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面；两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，轨道对它们均无作用力，设地球半径为R，则( )
A．两物体的速度大小之比为
B．两物体的速度大小之比为
C．两物体的加速度大小之比为
D．两物体的加速度大小之比为
解析：设地球密度为ρ，则有：
在赤道上方： ＝＝a1，
在赤道下方： ＝＝a2
解得： ＝，＝， 故A、C正确；B、D错误.故选AC．
答案：AC
对点训练二 双星模型类问题
4.
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(多选)如图所示，在地月系统中，若忽略其他星球的影响，地球A和月球B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，两者中心之间的距离为L，引力常数为G.若不断把月球上的矿藏搬运到地球上，经长时间开采后，地、月仍可看作是均匀球体且地月之间的距离不变，地月的总质量不变，则下列说法正确的是( )
A．地月间的万有引力不变
B．地月的运动周期不变
C．月球的轨道半径增大
D．地球的轨道半径增大
解析：设月球质量为m，地球质量为M，月球与地球之间的距离为r，根据万有引力定律得地球与月球间的万有引力：F＝，由于不断把月球上的矿藏搬运到地球上，所以m减小，M增大.由数学知识可知，当m与M相接近时，它们之间的万有引力较大，当它们的质量之差逐渐增大时，m与M的乘积将减小，它们之间的万有引力值将减小，故A错误；设地球质量为 M，月球质量为 m，地球做圆周运动的半径为 r1 ，月球做圆周运动的半径为 r2，则：
地月间距离 r＝r1 ＋r2①
对于地球有：G＝Mr1②
对于月球有：G＝mr2③
可得双星系统的周期T＝2π，由于地月总质量M＋m不变，所以地球、月球运动的周期不变，故B正确；由②③可得：Mr1＝mr2，因M增大，m减小，则r1减小，r2变大，故C正确，D错误.故选BC．
答案：BC
/
【强化基础】
1.若已知行星绕太阳公转的半径为R，公转周期为T，万有引力常量为G，由此可求出( )
A．某行星的质量 B．太阳的质量
C．某行星的密度 D．太阳的密度
解析：由G＝mR得太阳的质量为M＝，B对；由上式可知行星的质量m被约掉，故不能求出某行星的质量及密度，A、C错；由于不知道太阳的体积，不能求出太阳的密度，D错.
答案：B
2.(2018·宿迁一模)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内太空授课时，指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图.若聂海胜的质量为m，距离地球表面的高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，则聂海胜在太空舱内受到重力的大小为( )
/
A．0 B．mg
C．G D．G
解析：聂海胜在太空舱内受到重力的大小等于万有引力，F＝G，D选项正确，A、B、C选项错误.
答案：D
3.比邻星是离太阳系最近(距离太阳4.2光年)的一颗恒星，根据报道：2016年天文学家在比邻星的宜居带发现了一颗岩石行星——比邻星b，理论上在它的表面可以维持水的存在，甚至有可能拥有大气层.若比邻星b绕比邻星的公转半径是地球绕太阳公转半径的p倍，比邻星b绕比邻星的公转周期是地球绕太阳公转周期的q倍，则比邻星与太阳的质量之比为( )
A．p3q2 B．p3q－2
C．p－3q2 D．p2q－3
解析：根据＝mbr1，得M比邻＝ .根据G＝m地r2，解得M日＝.则＝·＝p3q－2 .故B正确，A、C、D错误.故选B．
答案：B
4.(2018·江西一模)地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响.根据下表，火星和地球相比( )
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A．火星表面的重力加速度较大
B．火星的公转周期较大
C．火星的第一宇宙速度较大
D．火星做圆周运动的加速度较大
解析：分析可知，物体在星球表面受到的重力近似等于万有引力，mg＝G，解得g＝，分析表格数据可知，火星表面重力加速度g火＝＝3.7 m/s2，小于地球表面的重力加速度，A选项错误；星球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝mr，解得T＝2π，火星的轨道半径大于地球公转轨道半径，公转周期较大，B选项正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，重力充当向心力，mg＝m，解得v＝，火星表面重力加速度和星球半径均小于地球，第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C选项错误；＝ma，解得a＝，火星的轨道半径大于地球的轨道半径，圆周运动的加速度较小，D选项错误.
答案：B
5.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为( )
A． B．
C． D．
解析：地球绕太阳运动的周期为T，万有引力提供向心力，G＝m·r，质量为m′的物体在地球表面受到的万有引力近似等于重力，G＝m′g，联立解得太阳的质量M＝，D选项正确.
答案：D
【巩固易错】
6.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( )
/
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
解析：任意两个星星之间的万有引力F＝ ，每一颗星星受到的合力， F1＝F，
由几何关系知：它们的轨道半径r＝R①
合力提供它们的向心力： ＝ ②
联立①②，解得 v＝，故A正确；角速度ω＝＝，故B正确；由T＝ 可得每颗星做圆周运动的周期为T＝2π，选项C正确；任意两个星体之间的万有引力F＝，每一颗星星受到的合力就是其向心力，F1＝F，故向心加速度与质量有关，故D错误.故选ABC．
答案：ABC
7.(2018·石景山区一模)双星是两颗相距较近的天体，在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动.对于两颗质量不等的天体构成的双星，下列说法中正确的是( )
A．质量较大的天体做匀速圆周运动的向心力较大
B．质量较大的天体做匀速圆周运动的角速度较大
C．两颗天体做匀速圆周运动的周期相等
D．两颗天体做匀速圆周运动的线速度大小相等
解析：两天体在两者万有引力的作用下做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，双星做匀速圆周运动的向心力相等，A选项错误；双星属于同轴转动模型，角速度相等，周期相等，B选项错误，C选项正确；万有引力提供向心力，G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，两星质量不等，转动半径不等，线速度大小不等，D选项错误.
答案：C
【能力提升】
8.由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.若地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体，球体的体积为V＝πR3.求：
(1)地球半径R及地球的平均密度；
(2)若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，求地球自转周期T′.
解析：(1)在两极： F万＝mg0，在赤道处： F万－mg＝m2R，可得 R＝.
在地球表面两极＝mg0，由密度公式： ρ＝
解得： ρ＝ .
(2)赤道上的物体恰好能“飘”起来，物体受到的万有引力恰好提供向心力， 由牛顿第二定律可得： ＝mg0＝mR，解得 T′＝＝T.
答案：(1) (2)T
9.(2018·北京市海淀区期末)现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星.它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起.如图所示，设某双星系统中的两星S1、S2的质量分别为m和2m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动.已知引力常量G，求：
/
(1)S1、S2两星之间的万有引力大小；
(2)S2星到O点的距离；
(3)它们运动的周期.
解析：(1)根据万有引力定律可知，S1、S2两星之间的万有引力大小F万＝G·＝.
(2)(3)双星受到的万有引力提供向心力.
设O点距S2星的距离为x，双星运动的周期为T
G＝2mx
G＝m(L－x)
联立解得x＝L，T＝2πL .
答案：(1) (2)L (3)2πL
核心素养关键词
知识体系
1.若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的引力，即mg＝G，可得地球质量M＝，该公式同样适用于其他天体.
2.根据万有引力提供行星做圆周运动的向心力，只要测得某行星绕太阳运行的轨道半径r和周期T，就可得太阳的质量为M＝.
3.英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶预言了海王星的存在，1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了被预言的海王星.
4.1705年英国天文学家哈雷正确预言了哈雷彗星的回归.
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一、地球质量的计算
在不考虑地球自转的情况下，地球表面物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即mg＝G，解得M＝Ｗ.在已知g、R并在卡文迪许准确测定引力常量G后，可据上式得到地球的质量.
二、天体质量的计算
计算中心天体的质量，首先观测环绕天体的轨道半径r和运动周期T，根据万有引力提供向心力，G＝mr，解得中心天体质量M＝r3Ｗ.
三、发现未知天体
海王星的发现和哈雷彗星的回归.
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一、合作探究找规律
考点一 计算天体的质量
1.若已知卫星绕地球运动的周期T和卫星到地心的距离r，可以计算卫星的质量吗？
2.若已知地球绕太阳运动的周期T和地球到太阳的距离r，可以计算太阳的密度吗？
答：1.不可以.因为＝mr，等式两边卫星的质量消去了，只能计算中心天体的质量.
2.不可以，只能计算太阳的质量，但由于不知道太阳的半径，故无法计算太阳的密度.
考点二 发现未知天体
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如图，行星在围绕太阳做匀速圆周运动.
1.行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
2.行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
答：1.由G＝m得v＝，可见行星线速度的大小是由恒星的质量和行星的轨道半径共同决定的.
2.无关.因为在等式G＝man＝m＝mω2r＝mr各项中都含有m，可以消掉.
二、理解概念做判断
1.卡文迪许测出了万有引力常量，使得万有引力定律有了实际的应用价值.(√)
2.利用万有引力可以确定天体的质量，如确定地球的质量.(√)
3.冥王星被称为“笔尖下发现的行星”.(√)
4.科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析.(√)
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要点1|计算天体的质量和密度
1.计算天体质量的思路和公式
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的，根据圆周运动的知识和牛顿第二定律可知有关天体运动的一些物理量有如下关系：
G＝ma向＝m＝mrω2＝mωv＝mr.
(2)重力近似等于其所受的万有引力，即：
mg＝G(m在M的表面上).
说明：①万有引力提供天体运动的向心力以及重力近似等于万有引力是我们研究天体运动的两大依据.
②式中的r是天体做匀速圆周运动的轨道半径，R是被环绕天体的半径.
2.计算被环绕天体质量的几种方法
应用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量.下面以地球质量的计算为例，介绍几种关于计算天体质量的方法：
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，即G＝m月r，可求得地球质量M地＝.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月，解得地球质量M地＝.
(3)若已知月球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G＝m月v，G＝m月，以上两式消去r，解得地球的质量为M地＝ .
说明：根据万有引力定律只能计算被环绕的中心天体的质量.
(4)利用绕地球运转的各种航天器(卫星、宇宙飞船、航天飞机、空间站)，测出其轨道半径r、周期T或线速度v等，利用万有引力提供向心力列出相关方程即可求出地球质量.
(5)求其他天体的质量的思路和方法：通过观测，寻找其卫星，测出其卫星运行的轨道半径、周期、线速度等；或者对该天体发射一环绕运转的飞行器，测出该飞行器运行的轨道半径、周期、线速度等，利用万有引力提供向心力列出相关方程求解.
3.利用天体的卫星来求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程G＝mr，又M＝ρ·πR3，得ρ＝＝＝.当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.
4.利用天体表面的重力加速度来求天体的密度
由mg＝G和M＝ρ·πR3，得ρ＝，其中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径.
/典例1 1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步，在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧测力计测出质量为m的食品的重力为F；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面附近飞行一周，记下时间为T.引力常量G已知.
(1)试根据以上数据求出月球的质量；
(2)据题中所给数据求出月球的平均密度.
【思路点拨】 利用月球表面处万有引力等于重力，当用弹簧秤在月球表面处测重力时，F＝mg
再对指令舱根据万有引力提供向心力，列圆周运动的方程可以求出.
【解析】 (1)设月球的质量为M、半径为R、表面的重力加速度为g，根据万有引力定律，有F＝mg＝G，①
根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有an＝g＝＝R.②
联立①②求得月球质量M＝.
(2)指令舱的向心力等于月球对它的万有引力，即
G＝mR
得月球质量M＝
所以月球的平均密度ρ＝＝＝.
【答案】 (1) (2)
/变式训练1－1 (2018·济宁一模)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)( )
/
A． B．
C． D．
解析：卫星受到的万有引力提供其圆周运动的向心力，G＝mr，解得r3＝T2，对照图象可知，＝，地球的质量M＝，B选项正确.
答案：B
/
解决天体问题的思路和方法：
(1)建立两种模型
①建立质点模型：天体有自然天体(如地球、月亮)和人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，首先应把研究对象看做质点，人造天体直接看做一个质点，自然天体看作是位于球心位置的一个质点.
②建立匀速圆周运动模型：行星或卫星的绕行轨道大都为椭圆，但用圆周运动知识处理近圆的椭圆轨道问题，误差不大并且方便解决.
(2)抓住两条思路
天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：
思路1：利用在中心天体表面或附近万有引力近似等于重力.
G＝mg0(g0表示天体表面的重力加速度).
思路2：利用万有引力提供向心力
由此得到G＝ma＝m＝mω2r＝mωv＝mr.
/
名师点易错
1.计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体.注意方法的拓展应用.明确计算出的是中心天体的质量.
2.要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若近地轨道运行，则有R＝r.
要点2|双星模型
/
双星模型如图所示：
1.两颗星球绕中心连线的某一点做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，属于同轴转动的模型，模型中的向心力、周期、角速度相等.
2.双星的轨道半径之和等于双星之间的距离，即rA＋rB＝L.
3.每颗星做匀速圆周运动的向心力由双星之间的万有引力提供，即G＝mAω2rA＝mBω2rB，解得＝，两星做匀速圆周运动的半径与自身的质量成反比.
/典例2 冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为M、m(m
B．可由G＝M计算冥王星做圆周运动的线速度
C．可由G＝mr2计算星体卡戎做圆周运动的周期
D．冥王星与星体卡戎绕O点做圆周运动的线速度大小相等
【思路点拨】 冥王星和其附近的星体卡戎依靠彼此之间的万有引力提供向心力，使它们绕连线上某点做圆周运动，两者一定具有相同的周期和角速度，对两个星体分别列方程即可求得.
【解析】 根据题意，对冥王星受力分析可以知道： G＝Mω2R＝M可以得到冥王星的角速度和线速度，故选项A、B错误；对卡戎根据万有引力定律可以得到： G＝m2r计算星体卡戎做圆周运动的周期，故选项C正确；对冥王星： G＝Mω2R，对卡戎： G＝mω2r，则： Mω2R＝mω2r.则： MvM＝mvm，即冥王星与星体卡戎绕O
点做圆周运动的线速度大小不相等，故选项D错误.
【答案】 C
/变式训练2－1 (多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统，设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示.若AO＞OB，则( )
/
A．星球A的质量小于星球B的质量
B．星球A的线速度大于星球B的线速度
C．星球A受到的向心力大于星球B受到的向心力
D．星球A的向心加速度小于星球B的向心加速度
解析：双星系统中，恒星间的万有引力提供向心力，＝mAω2rA＝mBω2rB，解得，＝，故星球A的质量小于星球B的质量，A选项正确；双星角速度相等，线速度之比＝，故星球A的线速度大于星球B的线速度，B选项正确；星球A受到的向心力等于星球B受到的向心力，C选项错误；向心加速度a＝ω2r，星球A的向心加速度大于星球B的向心加速度，D选项错误.
答案：AB
/
所谓“双星”就是指两颗恒星在相互的万有引力作用下，绕两颗星连线上的某点做圆周运动的系统，如图所示.
/
与花样滑冰中两运动员的转动模型类似，双星系统具有以下特点：
(1)双星彼此间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即向心力等大、反向.
(2)双星具有共同的角速度，轨道半径和线速度均与双星的质量成反比.
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上.
/
名师点易错
双星转动半径并不是双星之间的距离，其转动周期相同而线速度大小一般不相等.
/
对点训练一 计算天体的质量和密度
1.(2018·乐山模拟)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体，物体静止时，弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A． B．
C． D．
解析：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力.重力加速度g是联系星球表面宏观物体运动和天体运动的桥梁.物体在行星表面静止时，万有引力与弹簧弹力等大反向，F＝mg，则行星表面的重力加速度g＝，万有引力提供向心力，G＝m＝mg，联立解得M＝，D选项正确.
答案：D
2.
/
如图，人造卫星M、N在同一平面内绕地心O做匀速圆周运动.已知M、N连线与M、O连线间的夹角最大为θ，则M、N的运动周期之比等于( )
A．sin3θ B．
C． D．
/
解析：设M、N的轨道半径分别RM、RN.据题卫星M、N连线与M、O连线间的夹角最大时，MN连线与卫星N的运行轨道应相切，如图：
根据几何关系有 RN＝RMsinθ，根据开普勒第三定律有： ＝，联立解得： ＝，故D正确，A、B、C错误.
答案：D
3.(多选)已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零；假想在地球赤道正上方高h处和正下方深为h处各修建一绕地心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面；两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，轨道对它们均无作用力，设地球半径为R，则( )
A．两物体的速度大小之比为
B．两物体的速度大小之比为
C．两物体的加速度大小之比为
D．两物体的加速度大小之比为
解析：设地球密度为ρ，则有：
在赤道上方： ＝＝a1，
在赤道下方： ＝＝a2
解得： ＝，＝， 故A、C正确；B、D错误.故选AC．
答案：AC
对点训练二 双星模型类问题
4.
/
(多选)如图所示，在地月系统中，若忽略其他星球的影响，地球A和月球B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，两者中心之间的距离为L，引力常数为G.若不断把月球上的矿藏搬运到地球上，经长时间开采后，地、月仍可看作是均匀球体且地月之间的距离不变，地月的总质量不变，则下列说法正确的是( )
A．地月间的万有引力不变
B．地月的运动周期不变
C．月球的轨道半径增大
D．地球的轨道半径增大
解析：设月球质量为m，地球质量为M，月球与地球之间的距离为r，根据万有引力定律得地球与月球间的万有引力：F＝，由于不断把月球上的矿藏搬运到地球上，所以m减小，M增大.由数学知识可知，当m与M相接近时，它们之间的万有引力较大，当它们的质量之差逐渐增大时，m与M的乘积将减小，它们之间的万有引力值将减小，故A错误；设地球质量为 M，月球质量为 m，地球做圆周运动的半径为 r1 ，月球做圆周运动的半径为 r2，则：
地月间距离 r＝r1 ＋r2①
对于地球有：G＝Mr1②
对于月球有：G＝mr2③
可得双星系统的周期T＝2π，由于地月总质量M＋m不变，所以地球、月球运动的周期不变，故B正确；由②③可得：Mr1＝mr2，因M增大，m减小，则r1减小，r2变大，故C正确，D错误.故选BC．
答案：BC
/
【强化基础】
1.若已知行星绕太阳公转的半径为R，公转周期为T，万有引力常量为G，由此可求出( )
A．某行星的质量 B．太阳的质量
C．某行星的密度 D．太阳的密度
解析：由G＝mR得太阳的质量为M＝，B对；由上式可知行星的质量m被约掉，故不能求出某行星的质量及密度，A、C错；由于不知道太阳的体积，不能求出太阳的密度，D错.
答案：B
2.(2018·宿迁一模)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内太空授课时，指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图.若聂海胜的质量为m，距离地球表面的高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，则聂海胜在太空舱内受到重力的大小为( )
/
A．0 B．mg
C．G D．G
解析：聂海胜在太空舱内受到重力的大小等于万有引力，F＝G，D选项正确，A、B、C选项错误.
答案：D
3.比邻星是离太阳系最近(距离太阳4.2光年)的一颗恒星，根据报道：2016年天文学家在比邻星的宜居带发现了一颗岩石行星——比邻星b，理论上在它的表面可以维持水的存在，甚至有可能拥有大气层.若比邻星b绕比邻星的公转半径是地球绕太阳公转半径的p倍，比邻星b绕比邻星的公转周期是地球绕太阳公转周期的q倍，则比邻星与太阳的质量之比为( )
A．p3q2 B．p3q－2
C．p－3q2 D．p2q－3
解析：根据＝mbr1，得M比邻＝ .根据G＝m地r2，解得M日＝.则＝·＝p3q－2 .故B正确，A、C、D错误.故选B．
答案：B
4.(2018·江西一模)地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响.根据下表，火星和地球相比( )
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A．火星表面的重力加速度较大
B．火星的公转周期较大
C．火星的第一宇宙速度较大
D．火星做圆周运动的加速度较大
解析：分析可知，物体在星球表面受到的重力近似等于万有引力，mg＝G，解得g＝，分析表格数据可知，火星表面重力加速度g火＝＝3.7 m/s2，小于地球表面的重力加速度，A选项错误；星球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝mr，解得T＝2π，火星的轨道半径大于地球公转轨道半径，公转周期较大，B选项正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，重力充当向心力，mg＝m，解得v＝，火星表面重力加速度和星球半径均小于地球，第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C选项错误；＝ma，解得a＝，火星的轨道半径大于地球的轨道半径，圆周运动的加速度较小，D选项错误.
答案：B
5.为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T.则太阳的质量为( )
A． B．
C． D．
解析：地球绕太阳运动的周期为T，万有引力提供向心力，G＝m·r，质量为m′的物体在地球表面受到的万有引力近似等于重力，G＝m′g，联立解得太阳的质量M＝，D选项正确.
答案：D
【巩固易错】
6.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( )
/
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
解析：任意两个星星之间的万有引力F＝ ，每一颗星星受到的合力， F1＝F，
由几何关系知：它们的轨道半径r＝R①
合力提供它们的向心力： ＝ ②
联立①②，解得 v＝，故A正确；角速度ω＝＝，故B正确；由T＝ 可得每颗星做圆周运动的周期为T＝2π，选项C正确；任意两个星体之间的万有引力F＝，每一颗星星受到的合力就是其向心力，F1＝F，故向心加速度与质量有关，故D错误.故选ABC．
答案：ABC
7.(2018·石景山区一模)双星是两颗相距较近的天体，在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点做匀速圆周运动.对于两颗质量不等的天体构成的双星，下列说法中正确的是( )
A．质量较大的天体做匀速圆周运动的向心力较大
B．质量较大的天体做匀速圆周运动的角速度较大
C．两颗天体做匀速圆周运动的周期相等
D．两颗天体做匀速圆周运动的线速度大小相等
解析：两天体在两者万有引力的作用下做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，双星做匀速圆周运动的向心力相等，A选项错误；双星属于同轴转动模型，角速度相等，周期相等，B选项错误，C选项正确；万有引力提供向心力，G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，两星质量不等，转动半径不等，线速度大小不等，D选项错误.
答案：C
【能力提升】
8.由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.若地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体，球体的体积为V＝πR3.求：
(1)地球半径R及地球的平均密度；
(2)若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，求地球自转周期T′.
解析：(1)在两极： F万＝mg0，在赤道处： F万－mg＝m2R，可得 R＝.
在地球表面两极＝mg0，由密度公式： ρ＝
解得： ρ＝ .
(2)赤道上的物体恰好能“飘”起来，物体受到的万有引力恰好提供向心力， 由牛顿第二定律可得： ＝mg0＝mR，解得 T′＝＝T.
答案：(1) (2)T
9.(2018·北京市海淀区期末)现代观测表明，由于引力的作用，恒星有“聚焦”的特点，众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星.它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力的作用而吸引在一起.如图所示，设某双星系统中的两星S1、S2的质量分别为m和2m，两星间距为L，在相互间万有引力的作用下，绕它们连线上的某点O转动.已知引力常量G，求：
/
(1)S1、S2两星之间的万有引力大小；
(2)S2星到O点的距离；
(3)它们运动的周期.
解析：(1)根据万有引力定律可知，S1、S2两星之间的万有引力大小F万＝G·＝.
(2)(3)双星受到的万有引力提供向心力.
设O点距S2星的距离为x，双星运动的周期为T
G＝2mx
G＝m(L－x)
联立解得x＝L，T＝2πL .
答案：(1) (2)L (3)2πL