2018-2019学年高中人教版物理必修一 第二章+匀变速直线运动的研究+第4节+Word版含答案

第4节　匀变速直线运动的速度与位移的关系
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一、 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1．公式：v2－v＝2ax.
2．说明
v0、v、a都是矢量，方向不一定相同，应先规定正方向．通常选取v0的方向为正方向，对于匀加速运动，加速度a取正，对于匀减速运动，加速度a取负．
二、匀变速直线运动的三个基本关系式
1．速度时间关系式：v＝v0＋at.
2．位移时间关系式：x＝v0t＋at2.
3．位移速度关系式：v2－v＝2ax.
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一、合作探究找规律
考点一　对速度—位移关系的理解
一个小孩从滑梯上滑下可看作匀变速直线运动，如果下滑的加速度为a，那么他滑到长为x的滑梯底端时速度为多大？能否不求时间而直接求解？
答：小孩滑到底端，可以利用位移—时间关系x＝at2求得运动时间，再利用速度—时间关系v＝at求得速度；如果利用速度—位移关系v2＝2ax，则可直接求得速度v＝.
考点二　初速度为零的匀加速直线运动的重要比例关系
初速度为零的匀加速直线运动有哪些推论？
答：1.(v＝at)T时刻末、2T时刻末、3T时刻末…瞬时速度之比为1∶2∶3∶…
2.T时间内、2T时间内、3T时间内…位移之比为1∶4∶9∶…
3.第一个T时间内、第二个T时间内、第三个T时间内…位移之比为1∶3∶5∶…
4．(v＝)通过前x、前2x、前3x…位移时的速度之比为1∶ ∶  ∶…
5.通过前x、前2x、前3x…位移所用的时间之比为1∶ ∶ ∶…
二、理解概念做判断
1．做匀加速直线运动的物体，位移越大，物体的末速度一定越大．(×)
2．确定公式v2－v＝2ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的 .(√)
3．加速度公式a＝和a＝，既适用于匀变速直线运动，又适用于非匀变速直线运动．(×)
4．计算位移的关系式x＝v0t＋at2和x＝都是只适用于匀变速直线运动．(√)
5．对于匀变速直线运动问题，若不涉及时间，应优先考虑公式v2－v＝2ax.(√)
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要点1|匀变速直线运动的速度与位移的关系
1．推导：根据匀变速直线运动的基本公式
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2
消去时间t得v2－v＝2ax
即为匀变速直线运动的速度—位移关系式．
2．对速度位移关系式v2－v＝2ax的理解
(1)公式仅适用于匀变速直线运动．
(2)式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间内的位移．
(3)v、v0、a、x均为矢量，要规定统一的正方向．
(4)当v0＝0时，公式简化为v2＝2ax；v＝0时，公式简化为－v＝2ax.
(5)该式是由匀变速直线运动的两个基本公式推导出来的，因不含时间，所以在不涉及时间的问题中应用很方便．
有一长为L的列车，正以恒定的加速度过铁路桥，桥长也为L，现已知列车车头过桥头时的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，那么，车尾过桥尾时的速度为(　　)
A．2v1－v2　 B．2v2－v1　
C.　 D.
【思路点拨】　列车和桥长均为L，则每走L均为匀加速直线运动．据v2－v＝2aL来求．
【解析】　从列车车头过桥头到车头过桥尾的过程中，根据匀变速直线运动规律可知，v－v＝2aL，设车尾过桥尾的速度为v，则v2－v＝2aL，联立解得v＝，D选项正确．
【答案】　D
/一辆汽车做匀加速运动，从某时刻开始计时，初速度为6 m/s，经28 m后速度增加到8 m/s，则下列说法正确的是(　　)
A．这段运动所用时间为4 s
B．这段时间的加速度是3.5 m/s2
C．自计时开始，2 s末的速度为6.5 m/s
D．从开始计时起，经过14 m处的速度为7 m/s
解析：根据速度位移公式v2－v＝2as，代入数据得a＝0.5 m/s2，B错误；v＝v0＋at，t＝4 s，A正确；自计时开始，2 s末的速度为7 m/s，C错误；根据速度位移公式v2－v＝2as，代入数据得v＝5 m/s，D错误．故选A.
答案：A
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利用位移速度关系式的解题方法：
(1)选择匀变速直线运动的物体为研究对象，依据题意明确研究过程．
(2)分析研究过程的初、末速度v0、v以及加速度a、位移x，知道三个量可计算第四个物理量．
(3)选择正方向，判定各量的正负，代入v2－v＝2ax来计算．
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名师点易错
公式v2－v＝2ax中四个物理量均是矢量，应用它解题时要注意各物理量的正、负值．
要点2|匀变速直线运动的两个重要结论及在纸带问题中的应用
1．任意两个连续相等的时间间隔(T)内，位移之差是一恒量．即：x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝Δx＝aT 2.
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如右图所示，将匀变速直线运动分成若干时间段，每段时间都为T，设质点在每段时间内通过的位移大小分别为x1、x2、x3…
则有x1＝v0T＋aT 2　x2＝(v0＋aT)T＋aT 2
x3＝(v0＋2aT)T＋aT 2　…
得x2－x1＝x3－x2＝…＝aT 2，即Δx＝aT 2.
2．某段位移中点的瞬时速度等于初速度和末速度的平方和的一半的平方根，即v＝ .
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如右图所示，设初位置为A，末位置为C，中点为B，AC的距离为x，则对AB段有v2－v＝2a
对BC段有v2－v2＝2a，所以v2－v＝v2－v2
即2v2＝v2＋v，可得v＝ .
3．纸带问题的处理方法
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
由于相邻相等时间内物体位移差Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT 2，如果物体做匀变速直线运动，即a恒定，则Δx为一恒量，这一结论反过来也成立，即如果所打纸带在任意两个相邻相等时间内位移差相等，则说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用纸带上相邻相等时间段的位移差，计算加速度a＝.但利用一个Δx求得的加速度偶然误差太大，最好多次测量求平均值．同学们可能会想到求平均值的方法可以有两个：一是求各段Δx的平均值，用Δx求加速度，二是对每一个位移差分别求出加速度，再求加速度的平均值．但这两种求平均值的方法实质是相同的，都达不到减小偶然误差的目的．
如：＝＝＝
＝
这样求平均值的结果仍是由两段T内的位移xn＋1和x1决定，偶然误差相同．
怎样才能把纸带上各段位移都利用起来呢？
如果纸带上测得连续6个相同时间T内的位移为x1、x2、x3、…、x6，如图所示．
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则x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT 2，
x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT 2，
x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT 2，
所以a＝，
这样就把各段位移都利用上了，有效地减小了仅由两次位移测量带来的偶然误差，这种方法被称为逐差法．
/在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中，
(1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A．先释放纸带，再接通电源
B．先接通电源，后释放纸带
C．纸带上打点越密集说明纸带运动速度越大
D．利用打出的纸带可以求出打下某点时纸带的瞬时速度
(2)使用电磁打点计时器，选用________(填“直流”或“交流”)电源，若频率为50 Hz，每隔________s打一个点．某次实验中得到的一条纸带如图所示，从比较清晰的点起，每隔4个点取一个计数点，分别标明0,1,2,3,4.量得x1＝30.0 mm，x2＝36.0 mm，x3＝42.0 mm，x4＝48.0 mm，则打1和4点之间的平均速度为________m/s，打2这个点时的瞬时速度为________m/s，小车的加速度为________m/s2.
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【思路点拨】　实验中应打点稳定后再释放纸带．利用纸带上点迹可求平均速度，瞬时速度v＝，再利用Δx＝aT 2求加速度．
【解析】　(1)关于打点计时器的实验，应先接通电源，再释放纸带，A选项错误，B选项正确；纸带上打点越密集，说明纸带的运动速度越小，C选项错误；利用打出的纸带可以求出打下某点时纸带的瞬时速度，D选项正确．
(2)打点计时器使用交流电源，频率为50 Hz，每隔0.02 s打一个点.1和4点之间的平均速度为，＝＝ m/s＝0.42 m/s.打2这个点的瞬时速度为，v2＝＝ m/s＝0.39 m/s.
根据匀变速直线运动的规律可知，a＝＝ m/s2＝0.6 m/s2.
【答案】　(1)BD　(2)交流　0.02　0.42　0.39　0.6
/一个向正东方向做匀变速直线运动的物体，在第3 s内发生的位移为8 m，在第5 s内发生的位移为5 m，则关于物体运动加速度的描述正确的是(　　)
A．大小为3 m/s2，方向为正东方向
B．大小为3 m/s2，方向为正西方向
C．大小为1.5 m/s2，方向为正东方向
D．大小为1.5 m/s2，方向为正西方向
解析：由题意，物体做匀变速直线运动，已知第3 s内发生的位移为 x1＝8 m，在第5 s内发生的位移为 x2＝5 m，两段相等的时间为t＝1 s．根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，得x2－x1＝2aT2，则a＝＝＝－1.5 m/s2，负号表示加速度方向为正西方向，加速度大小为1.5 m/s2，故A、B、C错误，D正确．故选D.
答案：D
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Δx＝aT2仅适用于匀变速直线运动中已知相同时间间隔T内位移或位移差的问题，此类题常见于匀变速直线运动的实验数据分析或频闪照片数据分析，xm－xn＝(m－n)aT2，其中xm和xn分别为第m个和第n个T时间内的位移．
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名师点易错
1．对于某段匀变速直线运动过程，其中间时刻对应位置和中间位置不是同一点，且两者速度大小也不相等，且v≥v.
2．当物体做匀速直线运动时，速度不变，此时v＝v.
要点3|初速度为零的匀加速直线运动的几个比例
1．1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比为
v1∶v2∶v3∶… ∶vn＝1∶2∶3∶… ∶n.
2．1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为
x1∶x2∶x3∶… ∶xn＝12∶22∶32∶… ∶n2.
3．第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比为
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶… ∶xn＝1∶3∶5∶… ∶(2n－1)．
4．通过前x、前2x、前3x…时的速度比为
v1∶v2∶v3∶… ∶vn＝1∶ ∶ ∶… ∶.
5．通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间的比为
t1∶t2∶t3∶… ∶tn＝1∶ ∶ ∶… ∶.
6．通过连续相等的位移所用时间之比为
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶… ∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶… ∶(－)．
/一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内位移．
【思路点拨】　此题最基本的解法是利用运动学公式，但运用初速度为零的匀加速运动的比例来解更为简单．
【解析】　(1)解法一：由v1＝at1得a＝＝ m/s2＝1 m/s2，则第6 s末的速度v2＝at2＝6 m/s.
解法二：因v∝t，则第4 s末与第6秒末的速度之比
v1∶v2＝t1∶t2＝4∶6＝2∶3得v2＝6 m/s.
(2)解法一：前6 s内位移x6＝at2＝18 m.
解法二：第1 s内位移x1＝at2＝0.5 m
因x∝t2，则第1 s内与前6 s内的位移之比得x1∶x6＝1∶62，得x6＝36·x1＝18 m.
(3)第1 s内与第6 s内位移之比
xⅠ∶xⅥ＝1∶(2n－1)＝1∶(2×6－1)＝1∶11，
得第6 s内位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.
【答案】　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m
/一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：
(1)第4 s末的速度；
(2)运动后7 s内的位移；
(3)第3 s内的位移．
解析：(1)因为v0＝0，所以v＝at，即v∝t
故v4∶v5＝4∶5
第4 s末的速度v4＝v5＝×6 m/s＝4.8 m/s.
(2)因为v0＝0，v5＝6 m/s则加速度a＝＝ m/s2＝1.2 m/s2，所以7 s内的位移s7＝at2＝×1.2×72 m＝29.4 m.
(3)第3 s内的平均速度等于2.5 s末的瞬时速度，与前5 s的平均速度相等，即3＝＝3 m/s
故第3 s内的位移s3＝3t＝3×1 m＝3 m.
答案：(1)4.8 m/s　(2)29.4 m　(3)3 m
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(1)以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动．
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化．
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名师点易错
对于初速度不为零的匀变速直线运动不可应用上述比例关系．
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对点训练一　匀变速直线运动的速度与位移关系
1．对于公式x＝，下列说法正确的是(　　)
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀变速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
解析：公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误．
答案：B
2．如图所示，一辆以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车加速行驶了18 m时的速度为(　　)
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A．8 m/s　　　　　　　B．12 m/s
C．10 m/s D．14 m/s
解析：汽车做匀加速直线运动，初速度为8 m/s，位移为18 m，加速度为1 m/s2，根据速度位移关系公式，有：v2－v＝2ax，解得：v＝＝＝10 m/s，C正确．
答案：C
对点训练二　匀变速直线运动的比例关系
3．(2018·济宁市期中)从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为(　　)
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶2∶3 D．1∶ ∶
解析：根据初速度为零的匀变速直线运动的规律可知，第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，根据平均速度定义式可知，＝ ，三段时间间隔相等，故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5，A正确．
答案：A
4．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，以T为时间间隔，物体在第2个T时间内位移大小是1.8 m，第2个T时间末的速度为2 m/s，则以下结论正确的是(　　)
A．物体的加速度a＝ m/s2
B．时间间隔T＝1.0 s
C．物体在前3T时间内位移大小为4.5 m
D．物体在第1个T时间内位移的大小是0.8 m
解析：从静止开始做匀加速直线运动相邻相等时间的位移比为1∶3∶5，则第1个T内的位移x1＝xⅡ＝0.6 m，D选项错误；前3T时间内位移大小x3＝9x1＝5.4 m，C选项错误；第1个T末的瞬时速度v1＝v2＝1 m/s，x1＝v1T，所以T＝ s，B选项错误；加速度a＝＝ m/s2，A选项正确．
答案：A
对点训练三　匀变速直线运动的两结论及应用
5．物体做方向不变的直线运动，若在任意相等的位移内速度的变化量Δv均相等，则下列说法中正确的是(　　)
A．若Δv＝0，则物体做匀加速直线运动
B．若Δv＞0，则物体做匀加速直线运动
C．若Δv＞0，则物体做加速度逐渐增大的加速直线运动
D．若Δv＜0，则物体做加速度逐渐增大的减速直线运动
解析：任意相等的位移内速度的变化量Δv＝0，说明物体速度不变，做匀速直线运动，A选项错误；Δv＞0，物体做加速直线运动，通过任意相等位移的所用时间Δt逐渐减小，由加速度定义式a＝可知，加速度逐渐增大，B选项错误，C选项正确；Δv＜0，物体做减速直线运动，通过任意相等位移的所用时间Δt逐渐增大，由加速度定义式a＝可知，加速度逐渐减小，D选项错误．
答案：C
6．(2018·重庆铜梁区模拟)某同学测定匀变速直线运动的加速度时，得到在不同拉力作用下的A、B、C三条较为理想的纸带，并在纸带上每5个点取一个计数点，即相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，将每条纸带上的计数点都记为0、1、2、3、4、5、…，如图甲、乙、丙所示的三段纸带，分
别是从A、B、C三条不同纸带上撕下的．
(1)在甲、乙、丙三段纸带中，属于从A纸带撕下的是________．
(2)打A纸带时，物体的加速度大小是________m/s2(保留2位小数)．
(3)打点计时器打计数点1时小车的速度为________m/s(保留2位小数)．
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解析：(1)根据匀变速直线运动的规律可知，相邻的相等时间间隔内位移之差为常量，x34－x23＝x23－x12＝x12－x01，代入数据解得x34＝10.53 cm，属于纸带A的是甲图．
(2)根据匀变速直线运动的规律可知，Δx＝aT2，a＝＝2.51 m/s2.
(3)匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，v1＝≈0.43 m/s.
答案：(1)甲　(2)2.51　(3)0.43
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【强化基础】
1．(2018·济南市历下区模拟)一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时速度为v，再运动到C点时的速度为2v，则AB与BC的位移大小之比为(　　)
A．1∶3　 　 B．1∶4
C．1∶2　 　 D．1∶1
解析：根据匀变速直线运动的速度—位移的关系式可知，AB段，v2＝2axAB.BC段，(2v)2－v2＝2axBC.联立解得xAB∶xBC＝1∶3，A选项正确．
答案：A
2．一质点做匀加速直线运动，第三秒内的位移是2 m，第四秒内的位移是2.5 m，那么，下列选项中不正确的是(　　)
A．这两秒内的平均速度是2.25 m/s
B．第三秒末瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
解析：平均速度等于位移除以时间，故有＝＝ m/s＝2.25 m/s，选项A正确；匀变速直线运动中某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，选项B正确；第三秒内的平均速度为v1＝＝ m/s＝2 m/s，第4秒内的平均速度为v2＝＝ m/s，故加速度为a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，选项C错误，D正确．
答案：C
3．(2018·睢宁县期末)滑块以某一初速度从斜面底端冲上斜面做匀减速直线运动，到达斜面顶端时的速度为零．已知滑块通过斜面中点时的速度为v，则滑块的初速度为(　　)
A. v B．(＋1)v
C. v D. 
解析：根据匀变速直线运动的规律可知，一段位移中点的瞬时速度等于初、末速度平方和一半的平方根，即v＝，解得滑块的初速度v0＝v，C选项正确．
答案：C
4．物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，CD＝4 m．且物体通过AB、BC、CD所用时间相等，则OA之间的距离为(　　)
/
A．1 m B．0.5 m
C．1.125 m D．1.2 m
解析：设物体的加速度为a，物体从O到A的时间为t1，从A到B的时间为T，由Δx＝aT 2和Δx＝xBC－xAB，则有aT 2＝1 m，物体经过B点的瞬时速度vB等于AC段的平均速度vB＝，再由xOB＝联立得xOB＝3.125 m，则xOA＝xOB－xAB＝1.125 m，故C选项正确．
答案：C
5．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t2.则物体运动的加速度为(　　)
A. B.
C. D.
解析：第一段Δx的中间时刻的速度为v1＝，第二段Δx的中间时刻的速度为v2＝，则加速度a＝＝，A正确．
答案：A
【巩固易错】
6．做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点，在它们中点位置的速度为v1，在中间时刻的速度为v2，则(　　)
A．物体做加速运动或减速运动时，都有v1>v2
B．物体做加速运动或减速运动时，都有v1C．物体做加速运动时，v1>v2；物体做减速运动时，v1D．物体做加速运动时，v1v2
解析：当物体做匀加速直线运动时，速度图象如图1，设C是AB的中点，则AC＝CB，AC与CB的位移相等，图线与时间轴所围面积相等，由数学知识得知v1>v2.
/
当物体做匀减速直线运动时，速度图象如图2，AC与CB的位移相等，图线与时间轴所围面积相等，由数学知识得知，v1>v2，故A正确，B、C、D错误．
答案：A
7．如图所示，物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中|AB|＝2 m，|BC|＝3 m．若物体通过
AB和BC这两段位移的时间相等，则O、A两点之间的距离等于(　　)
/
A. m B. m
C. m D. m
解析：设物体通过AB、BC所用时间分别为T，则B点的速度：vB＝＝ .
根据Δx＝aT2，得：a＝＝，则vB＝vA＋aT，vA＝，
则xOA＝＝ m，所以A正确，B、C、D错误．
答案：A
【能力提升】
8．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时的位移是x，则它的速度从2v增加到4v时经过的位移是________．
解析：根据匀变速直线运动的速度位移公式，得
速度从v增加到2v时有(2v)2－v2＝2ax
速度从2v增加到4v时有(4v)2－(2v)2＝2ax′
联立两式得x′＝4x.
答案：4x
9．(2018·邯郸市模拟)一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度和末速度及其加速度．
解析：根据匀变速直线运动规律可知，连续相等的时间间隔内的位移之差为恒量，即Δx＝aT2.
代入数据解得加速度a＝＝2.5 m/s2.
根据匀变速直线运动的位移—时间公式可知，
x1＝vAT＋aT2.
根据匀变速直线运动的速度—时间公式可知，
vC＝vA＋a·2T.
联立解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
答案：1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2