2018-2019学年高中人教版物理必修二第六章+第2、3节 太阳与行星间的引力 万有引力定律+Word版含答案
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年高中人教版物理必修二第六章+第2、3节 太阳与行星间的引力 万有引力定律+Word版含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 254.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-01-07 16:28:38 | ||
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文档简介
第2、3节 太阳与行星间的引力 万有引力定律
核心素养关键词
知识体系
1.推导太阳与行星之间的引力公式时用到的物理规律有：开普勒行星运动定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律.
2.牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动.
3.自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为F＝G.
4.引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，是英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测出的.
5.万有引力定律仅适用于两个质点间万有引力的计算，对于不能看成质点的物体间仍存在万有引力，但万有引力公式不能直接使用.
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一、太阳与行星间的引力
1.太阳对行星的引力
太阳对不同行星的引力，与行星的质量m成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F∝Ｗ.
2.行星对太阳的引力
行星对太阳的吸引力，与太阳的质量M成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F′∝Ｗ.
3.太阳与行星间的引力
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者间距离的平方成反比，即F∝，引力的方向沿二者的连线.
二、月—地检验
1.牛顿的猜想
日地间引力与月地间引力以及物体与地球间引力是相同性质的力.
2.月—地检验
根据计算和观测数据可知，上述引力同样遵循“平方反比”规律，即有F∝，证明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是相同性质的力.
三、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2 的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.
2.公式
F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2 ，称为引力常量.
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一、合作探究找规律
考点一 太阳与行星间的引力
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如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动.
1.为什么行星会围绕太阳做圆周运动？
2.太阳对不同行星的引力与行星的质量什么关系？
答：1.因为行星受太阳的引力.
2.与行星的质量成正比.
考点二 万有引力与重力的关系
地球可近似看成球形，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或其他位置.
1.受到的万有引力大小一样吗？
2.受到的重力大小一样吗？
答：1.万有引力大小一样.
2.重力随纬度的升高而变大.
二、理解概念做判断
1.公式F＝GMm/r2中G是比例系数，与太阳和行星都没有关系.(√)
2.万有引力只存在于天体之间，常见的普通物体间不存在万有引力.(×)
3.引力常量是牛顿首先测出的.(×)
4.当两个物体之间的距离趋近于0时，万有引力便趋近于无穷大.(×)
5.月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡.(×)
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要点1|万有引力定律
1.定律内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.
2.公式
F＝G，其中G＝6.672 59×10－11 N·m2/kg2，称为引力常量.
3.适用条件：适用于质点间的相互作用.
4.万有引力的特性
(1)万有引力的普遍性：万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在这种相互吸引的力.
(2)万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上.
(3)万有引力的宏观性：在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义，故在分析地球表面物体受力时，不考虑地面物体对物体的万有引力，只考虑地球对地面物体的引力.
(4)万有引力的特殊性：两物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，与它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关.
5.发现万有引力定律的重大意义
万有引力定律的发现，对物理学、天文学的发展具有深远的影响.它把地面上的物体运动规律和天体运动规律统一起来.在科学文化发展上起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然界的奥秘建立了极大的信心，人们有能力理解天地间的各种事物.
6.引力常量
(1)引力常量的测定：英国物理学家卡文迪许利用如图所示的扭秤装置，
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比较准确地得出了G＝6.745×10－11N·m2/kg2.目前推荐的标准值，G＝6.672 59×10－11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
(2)理论公式：G＝，单位为N·m2/kg2.引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力.
(3)意义：正是由于卡文迪许测定了引力常量G，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用.此实验不仅证明了万有引力定律的正确性，更使得万有引力定律有了真正的实用价值.
/典例1 (多选)对于万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G为万有引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1和m2受到的引力总是大小相等，而与m1、m2是否相等无关
D．m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
【思路点拨】 解答本题时应把握以下三点：
关键点：(1)G的意义及测定；
(2)万有引力定律的适用条件；
(3)相互作用力与平衡力的区别.
【解析】 对各选项透析过程如下
选项
透析过程
结论
A
万有引力常量是卡文迪许通过实验得出的
√
B
公式的适用条件是质点间的引力，r→0时，条件不成立
×
C
m1和m2所受到的引力是相互作用力，遵循牛顿第三定律
√
D
m1对m2的力与m2对m1的力属相互作用力而不是平衡力
×
【答案】 AC
/变式训练1－1 (2018·江阴市期中)以下关于行星运动及万有引力的描述正确的是( )
A．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，行星在椭圆轨道上各个地方的速率均相等
B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于不同性质的力
C．牛顿提出的万有引力定律只适用于天体之间
D．卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的数值
解析：根据开普勒定律可知，开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，行星在椭圆轨道上各个地方的速率不相等，A选项错误；根据牛顿第三定律可知，牛顿发现地球对周围物体的引力与太阳对行星的引力是相同性质的力，B选项错误；牛顿发现了万有引力定律，适用于自然界中任何物体，C选项错误；卡文迪许通过扭秤实验测出引力常量的数值，D选项正确.
答案：D
/
(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力.
(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力.
/
名师点易错
虽然自然界中任何两个物体都相互吸引，但万有引力定律是有条件的，万有引力定律适用范围是质点间的相互作用，r是质点间的距离，当不满足以上条件时，万有引力定律不成立.
要点2|万有引力与重力的关系
1.重力为地球引力的分力
/
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg2.重力和万有引力间的大小关系
(1)重力与纬度的关系(考虑地球自转)
①在赤道上满足mg＝G－mRω2(物体受万有引力和地面对物体的支持力FN的作用，其合力充当向心力，FN的大小等于物体的重力的大小，ω为地球自转的角速度).
②在地球两极处，由于F向＝0，故mg＝G.
③地面上其他位置，重力mg(2)重力、重力加速度与高度的关系(忽略地球自转的影响)
①在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数.
②在距地面高h处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小.
/典例2 一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)( )
A．2倍 B．3倍
C．4倍 D．一半
【思路点拨】 对地球表面和火箭所处的高度处列方程，注意火箭在以5 m/s2运动时重力加速度并不是地球表面处的重力加速度.
【解析】 物体在地球表面时，mg＝16 N，所以m＝1.6 kg，设物体在火箭中加速度为5 m/s2时，到地面的距离为h，重力加速度为g′
则由牛顿第二定律得F－mg′＝ma
所以g′＝－a＝m/s2＝0.625 m/s2
又由万有引力定律得mg′＝G
所以＝＝，所以h＝3R，故选B．
【答案】 B
/变式训练2－1 火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg，则在火星上其质量为 kg，重力为 N.(g取9.8 m/s2)
解析：宇航员连同宇航服在火星上的质量不变，为100 kg
地球表面的重力加速度g地＝①
火星表面的重力加速度g火＝②
由①②得
g火＝·g地＝22××9.8 m/s2≈4.36 m/s2，物体在火星上的重力mg火＝100×4.36 N＝436 N.
答案：100 436
/
求解该题应注意以下三点：
(1)地球表面物体的重力等于它所受地球的万有引力.
(2)物体上升时物体的视重等于它受到的支持力.
(3)用牛顿第二定律确定加速度与力的关系.
/
名师点易错
1.物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G.
2.在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小.
要点3|物体在赤道上的失重问题
地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动，处于失重状态，以赤道上的物体为例分析：
1.物体在赤道上随地球做匀速圆周运动，处于失重状态，所受万有引力和支持力的合力提供向心力，G－FN＝mω2R.
2.物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度加快，赤道上的物体刚好处于完全失重状态，此时FN＝0，G＝mωR.
/典例3 中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大.现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体.(引力常数G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
【思路点拨】 考虑中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解.
【解析】 设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物质质量为m，则有
＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ.
由以上各式得ρ＝.代入数据解得
ρ＝1.27×1014 kg/m3.
【答案】 1.27×1014 kg/m3
/变式训练3－1 地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速就应为原来的( )
A． 倍 B． 倍
C． 倍 D． 倍
解析：赤道上的物体随地球自转时：
G－FN＝mR0ω2＝ma
其中FN＝mg，要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则应FN＝0
于是G＝mR0ω′2
可得＝ .
答案：B
/
星球不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即≥mR，有M＝πR3ρ，所以，地球的密度应为ρ≥＝18.9 kg/m3.即最小密度为ρmin＝18.9 kg/m3.地球平均密度的公认值为ρ0＝5 523 kg/m3? ρmin，足以保证地球处于稳定状态.
名师点易错
ρ＝这一公式只适用于近天体转动卫星来求天体密度.
要点4|万有引力定律的综合问题
星球表面的重力加速度一方面与星球有关，另一方面可以从它与运动的关系(平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出，重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的桥梁.
/典例4 月球质量是地球质量的，月球的半径是地球半径的.月球上空高500 m处有一质量为60 kg的物体自由下落.它落到月球表面所需要的时间是多少？ (g取10 m/s2)
【思路点拨】 利用万有引力定律确定地球表面的加速度，同理再确定月球表面的加速度，再根据自由落体运动的公式确定下落时间.
【解析】 设月球表面的“重力加速度”为g月，由于物体在月球表面附近，物体在月球上的“重力”等于月球对它的引力.
由万有引力提供物体的重力得： G＝mg月
物体在地球表面时，万有引力提供物体的重力得：
G＝mg地
两式相比得： ＝×2
即 g月＝ m/s2
所以物体在月球上空500 m处自由落下到达月球表面所需要的时间t＝＝22.5 s.
【答案】 22.5 s
/变式训练4－1 (多选)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．火星表面的重力加速度约为0.2g
B．火星表面的重力加速度约为0.4g
C．在地球与火星上分别以相同初速度竖直抛出两个物体，它们上升的最大高度之比为
D．在地球与火星上分别以相同初速度从相同高度平抛两个物体，它们的水平射程之比为
解析：物体在行星表面受到的重力近似等于万有引力，mg＝，解得表面重力加速度g＝，故火星表面重力加速度约为0.4g，A选项错误，B选项正确；物体做竖直上抛运动，最大高度h＝，故在地球与火星上分别以相同初速度竖直抛出两个物体，它们上升的最大高度之比为，C选项正确；物体做平抛运动，水平射程x＝v0，故在地球与火星上分别以相同初速度从相同高度平抛两个物体，它们的水平射程之比为 ，D选项错误.
答案：BC
/
对于解决万有引力定律与各种运动(如平抛、竖直上抛、自由落体等)综合的问题，要先由运动学公式、牛顿运动定律等求天体表面的重力加速度，进而求出天体的质量等.
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名师点易错
在地球以外的天体上抛体规律与地球上规律相同，但加速度并不是9.8 m/s2，其值与该天体半径和质量有关.
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对点训练一 万有引力定律
1.关于万有引力定律的发现，符合历史事实的是( )
A．开普勒通过分析第谷的天文观测数据发现了万有引力定律
B．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测出了万有引力常量
C．牛顿发现了万有引力定律，笛卡儿测出了万有引力常量
D．牛顿发现了万有引力定律并测出了万有引力常量
解析：牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量，B选项正确.
答案：B
对点训练二 万有引力与重力的关系
2.两颗行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )
A．1 B．
C． D．
解析：行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝ma，向心加速度a＝，故两颗行星的向心加速度之比为，D选项正确.
答案：D
对点训练三 万有引力的计算
3.(2018·乌鲁木齐一模)设行星的质量为m，太阳的质量为M，行星到太阳的距离为r.牛顿在研究太阳与行星间的引力过程中( )
A．先得出的行星对太阳的引力F∝，再得出太阳对行星的引力F′∝
B．先得出的行星对太阳的引力F∝，再得出太阳对行星的引力F′∝
C．先得出的太阳对行星的引力F∝，再得出行星对太阳的引力F′∝
D．先得出的太阳对行星的引力F∝，再得出行星对太阳的引力F′∝
解析：牛顿认为行星绕太阳运行，太阳对行星的引力提供向心力，F＝mr，根据开普勒第三定律可知，＝k，解得F＝∝，太阳对行星的引力正比于行星质量，则行星对太阳的引力也应该正比于太阳质量，F′∝，根据牛顿第三定律可知，F＝F′∝，D选项正确.
答案：D
4.火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为50 kg的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的物体受到火星引力的多少倍？
解析：设火星半径为R，地球半径为2R；火星质量为M，地球质量为9M.
在地球上F＝G，
在火星上F′＝G，
所以同质量的人在地球表面受到的吸引力是在火星表面受到的吸引力的倍.
答案：
对点训练四 万有引力定律的综合问题
5.若某天体和地球的密度相同，在这个天体表面附近，一质量为4 kg的小球在A点由静止开始下落16 m到达该天体表面，速度达到16 m/s.地球表面的重力加速度为10 m/s2.
(1)求此天体半径与地球的半径之比为多少？
(2)若在A点将小球水平抛出，小球的落地点与A点间的距离为20 m，求小球抛出的初速度是多少？
解析：(1)设该星球表面的重力加速度为g′.在小球下落过程有2g′h＝v2
解得g′＝8 m/s2.
在星球表面附近有mg＝，得g＝
所以该天体与地球半径之比：＝＝.
(2)由题意知，小球的水平射程x为12 m
x＝v0t
y＝g′t2
解得v0＝6 m/s.
答案：(1)4∶5 (2)6 m/s
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【强化基础】
1.(多选)(2018·太原期中)将行星的轨道当作圆来处理，追寻牛顿的足迹，用自己的手和脑重新“发现”万有引力定律的部分过程如下，其中正确的是( )
A．根据牛顿运动定律，行星绕太阳的向心力与行星的速度成正比
B．用天文观测的行星周期，可推知行星的向心力与其周期的平方成反比
C．根据开普勒第三定律和推理可知，太阳对行星的引力与行星质量成反比
D．从行星与太阳的作用看，两者地位相等，故它们间的引力与两者质量的乘积成正比
解析：根据太阳对行星的引力提供行星圆周运动的向心力，F＝m，分析可知，行星绕太阳的向心力与行星的速度不成正比，A选项错误；根据F＝mr可知，行星的向心力与其周期的平方成反比，B选项正确；根据开普勒第三定律可知，太阳对行星的引力与行星质量成正比，C选项错误；根据万有引力定律可知，行星和太阳间的引力与两者质量的乘积成正比，D选项正确.
答案：BD
2.(2018·盐城学业测试)2018年，我国将发射一颗火星探测卫星.在探测卫星离开地球的过程中，用R表示卫星到地心的距离，用F表示卫星受到地球的引力.下列图象中正确的是( )
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解析：万有引力定律的内容是，自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.根据万有引力定律公式，F＝G，F-是直线，A、B、C选项错误，D选项正确.
答案：D
3.(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面的加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为在地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
解析：月球和苹果的质量相差巨大，地球吸引月球的力远大于地球吸引苹果的力，A选项错误；苹果在地球表面受到的重力近似等于万有引力，G＝mg，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝ma，解得月球公转的加速度与苹果落向地面的加速度之比＝，B选项正确；月球半径未知，无法得到自由落体在月球表面的加速度，C选项错误；同理，月球半径未知，无法得到苹果在月球表面的引力，D选项错误.
答案：B
4.已知一个均匀球壳对放入其中的质点的引力为零，而计算对球壳外质点的引力时可认为球壳的质量集中在球心.P、Q是关于地面对称的两点，且到地面的距离均为地球半径的四分之一，如图所示.则P、Q两点处的重力加速度之比为( )
/
A．9∶25 B．5∶3
C．75∶64 D．1∶1
解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有： g＝G，由于地球的质量为：M＝ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成： g＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在离地面R 的P点，受到地球的万有引力即为半径等于R的球体在其表面产生的万有引力，故P点重力加速度gP＝πGρR＝g；在Q点的重力加速度gQ＝g＝g ；则＝，故选C．
答案：C
5.地球表面的重力加速度为g，则离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度为( )
A．0.25g B．0.5g
C．2g D．4g
解析：地面上方高h处： mg′＝G，地面上mg＝G，联立解得g′＝g，所以A正确，B、C、D错误.
答案：A
【巩固易错】
6.某行星可看作一个均匀的球体，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星的自转周期为(引力常量为G)( )
A． B．
C． D．
解析：物体对行星表面的压力恰好为零时，行星对物体的万有引力提供向心力，G＝mr，根据密度公式得M＝πr3ρ，联立解得行星的自转周期为T＝，C选项正确.
答案：C
7.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示.在x轴上各位置的重力加速度用g表示，则下图中能描述g随x的变化关系图正确的是( )
/
/
解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有： g＝.由于地球的质量为M＝πR3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成： g＝.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则在壳内R－r处，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力， g′＝.当r＜R时，g与r成正比，当r＞R后，g与r平方成反比.故选A．
答案：A
【能力提升】
8.宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度g大小；
(2)小球落地时的速度大小；
(3)该星球的质量.
解析：(1)做平抛运动的小球在竖直方向的运动可看作是自由落体，所以由h＝gt2得g＝即为星球表面的重力加速度大小.
(2)做平抛运动的小球竖直方向速度vy＝gt＝·t＝
水平方向的速度不变vx＝v0
所以落地时速度大小v＝＝.
(3)设星球质量为M，物体质量为m，处在星球表面的物体的重力和所受的万有引力相等，所以有mg＝G，
M＝＝.
答案：(1) (2) (3)
9.宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M.
解析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则
x2＋h2＝L2.①
同理对于第二次平抛过程有
(2x)2＋h2＝(L)2.②
由①②解得h＝ .③
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得：
h＝gt2.④
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
G＝mg.⑤
由③④⑤可解得M＝.
答案：
核心素养关键词
知识体系
1.推导太阳与行星之间的引力公式时用到的物理规律有：开普勒行星运动定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律.
2.牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动.
3.自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比，这就是万有引力定律，其表达式为F＝G.
4.引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，是英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测出的.
5.万有引力定律仅适用于两个质点间万有引力的计算，对于不能看成质点的物体间仍存在万有引力，但万有引力公式不能直接使用.
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一、太阳与行星间的引力
1.太阳对行星的引力
太阳对不同行星的引力，与行星的质量m成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F∝Ｗ.
2.行星对太阳的引力
行星对太阳的吸引力，与太阳的质量M成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F′∝Ｗ.
3.太阳与行星间的引力
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者间距离的平方成反比，即F∝，引力的方向沿二者的连线.
二、月—地检验
1.牛顿的猜想
日地间引力与月地间引力以及物体与地球间引力是相同性质的力.
2.月—地检验
根据计算和观测数据可知，上述引力同样遵循“平方反比”规律，即有F∝，证明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是相同性质的力.
三、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2 的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.
2.公式
F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2 ，称为引力常量.
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一、合作探究找规律
考点一 太阳与行星间的引力
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如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动.
1.为什么行星会围绕太阳做圆周运动？
2.太阳对不同行星的引力与行星的质量什么关系？
答：1.因为行星受太阳的引力.
2.与行星的质量成正比.
考点二 万有引力与重力的关系
地球可近似看成球形，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或其他位置.
1.受到的万有引力大小一样吗？
2.受到的重力大小一样吗？
答：1.万有引力大小一样.
2.重力随纬度的升高而变大.
二、理解概念做判断
1.公式F＝GMm/r2中G是比例系数，与太阳和行星都没有关系.(√)
2.万有引力只存在于天体之间，常见的普通物体间不存在万有引力.(×)
3.引力常量是牛顿首先测出的.(×)
4.当两个物体之间的距离趋近于0时，万有引力便趋近于无穷大.(×)
5.月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡.(×)
/
要点1|万有引力定律
1.定律内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.
2.公式
F＝G，其中G＝6.672 59×10－11 N·m2/kg2，称为引力常量.
3.适用条件：适用于质点间的相互作用.
4.万有引力的特性
(1)万有引力的普遍性：万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在这种相互吸引的力.
(2)万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上.
(3)万有引力的宏观性：在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义，故在分析地球表面物体受力时，不考虑地面物体对物体的万有引力，只考虑地球对地面物体的引力.
(4)万有引力的特殊性：两物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，与它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关.
5.发现万有引力定律的重大意义
万有引力定律的发现，对物理学、天文学的发展具有深远的影响.它把地面上的物体运动规律和天体运动规律统一起来.在科学文化发展上起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然界的奥秘建立了极大的信心，人们有能力理解天地间的各种事物.
6.引力常量
(1)引力常量的测定：英国物理学家卡文迪许利用如图所示的扭秤装置，
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比较准确地得出了G＝6.745×10－11N·m2/kg2.目前推荐的标准值，G＝6.672 59×10－11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
(2)理论公式：G＝，单位为N·m2/kg2.引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力.
(3)意义：正是由于卡文迪许测定了引力常量G，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用.此实验不仅证明了万有引力定律的正确性，更使得万有引力定律有了真正的实用价值.
/典例1 (多选)对于万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G为万有引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
B．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
C．m1和m2受到的引力总是大小相等，而与m1、m2是否相等无关
D．m1与m2受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
【思路点拨】 解答本题时应把握以下三点：
关键点：(1)G的意义及测定；
(2)万有引力定律的适用条件；
(3)相互作用力与平衡力的区别.
【解析】 对各选项透析过程如下
选项
透析过程
结论
A
万有引力常量是卡文迪许通过实验得出的
√
B
公式的适用条件是质点间的引力，r→0时，条件不成立
×
C
m1和m2所受到的引力是相互作用力，遵循牛顿第三定律
√
D
m1对m2的力与m2对m1的力属相互作用力而不是平衡力
×
【答案】 AC
/变式训练1－1 (2018·江阴市期中)以下关于行星运动及万有引力的描述正确的是( )
A．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，行星在椭圆轨道上各个地方的速率均相等
B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于不同性质的力
C．牛顿提出的万有引力定律只适用于天体之间
D．卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的数值
解析：根据开普勒定律可知，开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，行星在椭圆轨道上各个地方的速率不相等，A选项错误；根据牛顿第三定律可知，牛顿发现地球对周围物体的引力与太阳对行星的引力是相同性质的力，B选项错误；牛顿发现了万有引力定律，适用于自然界中任何物体，C选项错误；卡文迪许通过扭秤实验测出引力常量的数值，D选项正确.
答案：D
/
(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力.
(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对附近或表面的物体的万有引力.
/
名师点易错
虽然自然界中任何两个物体都相互吸引，但万有引力定律是有条件的，万有引力定律适用范围是质点间的相互作用，r是质点间的距离，当不满足以上条件时，万有引力定律不成立.
要点2|万有引力与重力的关系
1.重力为地球引力的分力
/
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况下mg
(1)重力与纬度的关系(考虑地球自转)
①在赤道上满足mg＝G－mRω2(物体受万有引力和地面对物体的支持力FN的作用，其合力充当向心力，FN的大小等于物体的重力的大小，ω为地球自转的角速度).
②在地球两极处，由于F向＝0，故mg＝G.
③地面上其他位置，重力mg
①在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数.
②在距地面高h处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小.
/典例2 一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9 N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)( )
A．2倍 B．3倍
C．4倍 D．一半
【思路点拨】 对地球表面和火箭所处的高度处列方程，注意火箭在以5 m/s2运动时重力加速度并不是地球表面处的重力加速度.
【解析】 物体在地球表面时，mg＝16 N，所以m＝1.6 kg，设物体在火箭中加速度为5 m/s2时，到地面的距离为h，重力加速度为g′
则由牛顿第二定律得F－mg′＝ma
所以g′＝－a＝m/s2＝0.625 m/s2
又由万有引力定律得mg′＝G
所以＝＝，所以h＝3R，故选B．
【答案】 B
/变式训练2－1 火星半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg，则在火星上其质量为 kg，重力为 N.(g取9.8 m/s2)
解析：宇航员连同宇航服在火星上的质量不变，为100 kg
地球表面的重力加速度g地＝①
火星表面的重力加速度g火＝②
由①②得
g火＝·g地＝22××9.8 m/s2≈4.36 m/s2，物体在火星上的重力mg火＝100×4.36 N＝436 N.
答案：100 436
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求解该题应注意以下三点：
(1)地球表面物体的重力等于它所受地球的万有引力.
(2)物体上升时物体的视重等于它受到的支持力.
(3)用牛顿第二定律确定加速度与力的关系.
/
名师点易错
1.物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，认为重力约等于万有引力，即mg＝G.
2.在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小.
要点3|物体在赤道上的失重问题
地球上的物体随地球自转做匀速圆周运动，处于失重状态，以赤道上的物体为例分析：
1.物体在赤道上随地球做匀速圆周运动，处于失重状态，所受万有引力和支持力的合力提供向心力，G－FN＝mω2R.
2.物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度加快，赤道上的物体刚好处于完全失重状态，此时FN＝0，G＝mωR.
/典例3 中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大.现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝ s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体.(引力常数G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
【思路点拨】 考虑中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解.
【解析】 设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物质质量为m，则有
＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ.
由以上各式得ρ＝.代入数据解得
ρ＝1.27×1014 kg/m3.
【答案】 1.27×1014 kg/m3
/变式训练3－1 地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速就应为原来的( )
A． 倍 B． 倍
C． 倍 D． 倍
解析：赤道上的物体随地球自转时：
G－FN＝mR0ω2＝ma
其中FN＝mg，要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则应FN＝0
于是G＝mR0ω′2
可得＝ .
答案：B
/
星球不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即≥mR，有M＝πR3ρ，所以，地球的密度应为ρ≥＝18.9 kg/m3.即最小密度为ρmin＝18.9 kg/m3.地球平均密度的公认值为ρ0＝5 523 kg/m3? ρmin，足以保证地球处于稳定状态.
名师点易错
ρ＝这一公式只适用于近天体转动卫星来求天体密度.
要点4|万有引力定律的综合问题
星球表面的重力加速度一方面与星球有关，另一方面可以从它与运动的关系(平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出，重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的桥梁.
/典例4 月球质量是地球质量的，月球的半径是地球半径的.月球上空高500 m处有一质量为60 kg的物体自由下落.它落到月球表面所需要的时间是多少？ (g取10 m/s2)
【思路点拨】 利用万有引力定律确定地球表面的加速度，同理再确定月球表面的加速度，再根据自由落体运动的公式确定下落时间.
【解析】 设月球表面的“重力加速度”为g月，由于物体在月球表面附近，物体在月球上的“重力”等于月球对它的引力.
由万有引力提供物体的重力得： G＝mg月
物体在地球表面时，万有引力提供物体的重力得：
G＝mg地
两式相比得： ＝×2
即 g月＝ m/s2
所以物体在月球上空500 m处自由落下到达月球表面所需要的时间t＝＝22.5 s.
【答案】 22.5 s
/变式训练4－1 (多选)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．火星表面的重力加速度约为0.2g
B．火星表面的重力加速度约为0.4g
C．在地球与火星上分别以相同初速度竖直抛出两个物体，它们上升的最大高度之比为
D．在地球与火星上分别以相同初速度从相同高度平抛两个物体，它们的水平射程之比为
解析：物体在行星表面受到的重力近似等于万有引力，mg＝，解得表面重力加速度g＝，故火星表面重力加速度约为0.4g，A选项错误，B选项正确；物体做竖直上抛运动，最大高度h＝，故在地球与火星上分别以相同初速度竖直抛出两个物体，它们上升的最大高度之比为，C选项正确；物体做平抛运动，水平射程x＝v0，故在地球与火星上分别以相同初速度从相同高度平抛两个物体，它们的水平射程之比为 ，D选项错误.
答案：BC
/
对于解决万有引力定律与各种运动(如平抛、竖直上抛、自由落体等)综合的问题，要先由运动学公式、牛顿运动定律等求天体表面的重力加速度，进而求出天体的质量等.
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名师点易错
在地球以外的天体上抛体规律与地球上规律相同，但加速度并不是9.8 m/s2，其值与该天体半径和质量有关.
/
对点训练一 万有引力定律
1.关于万有引力定律的发现，符合历史事实的是( )
A．开普勒通过分析第谷的天文观测数据发现了万有引力定律
B．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测出了万有引力常量
C．牛顿发现了万有引力定律，笛卡儿测出了万有引力常量
D．牛顿发现了万有引力定律并测出了万有引力常量
解析：牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量，B选项正确.
答案：B
对点训练二 万有引力与重力的关系
2.两颗行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( )
A．1 B．
C． D．
解析：行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝ma，向心加速度a＝，故两颗行星的向心加速度之比为，D选项正确.
答案：D
对点训练三 万有引力的计算
3.(2018·乌鲁木齐一模)设行星的质量为m，太阳的质量为M，行星到太阳的距离为r.牛顿在研究太阳与行星间的引力过程中( )
A．先得出的行星对太阳的引力F∝，再得出太阳对行星的引力F′∝
B．先得出的行星对太阳的引力F∝，再得出太阳对行星的引力F′∝
C．先得出的太阳对行星的引力F∝，再得出行星对太阳的引力F′∝
D．先得出的太阳对行星的引力F∝，再得出行星对太阳的引力F′∝
解析：牛顿认为行星绕太阳运行，太阳对行星的引力提供向心力，F＝mr，根据开普勒第三定律可知，＝k，解得F＝∝，太阳对行星的引力正比于行星质量，则行星对太阳的引力也应该正比于太阳质量，F′∝，根据牛顿第三定律可知，F＝F′∝，D选项正确.
答案：D
4.火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为50 kg的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的物体受到火星引力的多少倍？
解析：设火星半径为R，地球半径为2R；火星质量为M，地球质量为9M.
在地球上F＝G，
在火星上F′＝G，
所以同质量的人在地球表面受到的吸引力是在火星表面受到的吸引力的倍.
答案：
对点训练四 万有引力定律的综合问题
5.若某天体和地球的密度相同，在这个天体表面附近，一质量为4 kg的小球在A点由静止开始下落16 m到达该天体表面，速度达到16 m/s.地球表面的重力加速度为10 m/s2.
(1)求此天体半径与地球的半径之比为多少？
(2)若在A点将小球水平抛出，小球的落地点与A点间的距离为20 m，求小球抛出的初速度是多少？
解析：(1)设该星球表面的重力加速度为g′.在小球下落过程有2g′h＝v2
解得g′＝8 m/s2.
在星球表面附近有mg＝，得g＝
所以该天体与地球半径之比：＝＝.
(2)由题意知，小球的水平射程x为12 m
x＝v0t
y＝g′t2
解得v0＝6 m/s.
答案：(1)4∶5 (2)6 m/s
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【强化基础】
1.(多选)(2018·太原期中)将行星的轨道当作圆来处理，追寻牛顿的足迹，用自己的手和脑重新“发现”万有引力定律的部分过程如下，其中正确的是( )
A．根据牛顿运动定律，行星绕太阳的向心力与行星的速度成正比
B．用天文观测的行星周期，可推知行星的向心力与其周期的平方成反比
C．根据开普勒第三定律和推理可知，太阳对行星的引力与行星质量成反比
D．从行星与太阳的作用看，两者地位相等，故它们间的引力与两者质量的乘积成正比
解析：根据太阳对行星的引力提供行星圆周运动的向心力，F＝m，分析可知，行星绕太阳的向心力与行星的速度不成正比，A选项错误；根据F＝mr可知，行星的向心力与其周期的平方成反比，B选项正确；根据开普勒第三定律可知，太阳对行星的引力与行星质量成正比，C选项错误；根据万有引力定律可知，行星和太阳间的引力与两者质量的乘积成正比，D选项正确.
答案：BD
2.(2018·盐城学业测试)2018年，我国将发射一颗火星探测卫星.在探测卫星离开地球的过程中，用R表示卫星到地心的距离，用F表示卫星受到地球的引力.下列图象中正确的是( )
/
解析：万有引力定律的内容是，自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.根据万有引力定律公式，F＝G，F-是直线，A、B、C选项错误，D选项正确.
答案：D
3.(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面的加速度的
C．自由落体在月球表面的加速度约为在地球表面的
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
解析：月球和苹果的质量相差巨大，地球吸引月球的力远大于地球吸引苹果的力，A选项错误；苹果在地球表面受到的重力近似等于万有引力，G＝mg，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝ma，解得月球公转的加速度与苹果落向地面的加速度之比＝，B选项正确；月球半径未知，无法得到自由落体在月球表面的加速度，C选项错误；同理，月球半径未知，无法得到苹果在月球表面的引力，D选项错误.
答案：B
4.已知一个均匀球壳对放入其中的质点的引力为零，而计算对球壳外质点的引力时可认为球壳的质量集中在球心.P、Q是关于地面对称的两点，且到地面的距离均为地球半径的四分之一，如图所示.则P、Q两点处的重力加速度之比为( )
/
A．9∶25 B．5∶3
C．75∶64 D．1∶1
解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有： g＝G，由于地球的质量为：M＝ρπR3，所以重力加速度的表达式可写成： g＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在离地面R 的P点，受到地球的万有引力即为半径等于R的球体在其表面产生的万有引力，故P点重力加速度gP＝πGρR＝g；在Q点的重力加速度gQ＝g＝g ；则＝，故选C．
答案：C
5.地球表面的重力加速度为g，则离地面高度等于地球半径的地方，重力加速度为( )
A．0.25g B．0.5g
C．2g D．4g
解析：地面上方高h处： mg′＝G，地面上mg＝G，联立解得g′＝g，所以A正确，B、C、D错误.
答案：A
【巩固易错】
6.某行星可看作一个均匀的球体，密度为ρ，若在其赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星的自转周期为(引力常量为G)( )
A． B．
C． D．
解析：物体对行星表面的压力恰好为零时，行星对物体的万有引力提供向心力，G＝mr，根据密度公式得M＝πr3ρ，联立解得行星的自转周期为T＝，C选项正确.
答案：C
7.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示.在x轴上各位置的重力加速度用g表示，则下图中能描述g随x的变化关系图正确的是( )
/
/
解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有： g＝.由于地球的质量为M＝πR3·ρ，所以重力加速度的表达式可写成： g＝.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则在壳内R－r处，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力， g′＝.当r＜R时，g与r成正比，当r＞R后，g与r平方成反比.故选A．
答案：A
【能力提升】
8.宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t 后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面的重力加速度g大小；
(2)小球落地时的速度大小；
(3)该星球的质量.
解析：(1)做平抛运动的小球在竖直方向的运动可看作是自由落体，所以由h＝gt2得g＝即为星球表面的重力加速度大小.
(2)做平抛运动的小球竖直方向速度vy＝gt＝·t＝
水平方向的速度不变vx＝v0
所以落地时速度大小v＝＝.
(3)设星球质量为M，物体质量为m，处在星球表面的物体的重力和所受的万有引力相等，所以有mg＝G，
M＝＝.
答案：(1) (2) (3)
9.宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M.
解析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则
x2＋h2＝L2.①
同理对于第二次平抛过程有
(2x)2＋h2＝(L)2.②
由①②解得h＝ .③
设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得：
h＝gt2.④
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
G＝mg.⑤
由③④⑤可解得M＝.
答案：