22.1 比例线段
第1课时 相似多边形
知|识|目|标
1．通过对几何图形的观察、操作、比较和交流，了解相似图形的概念．
2．联系实际生活，通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．
目标一 能识别相似图形
例1 ［教材补充例题］如图22－1－1，用放大镜将图①放大成图②，则两个图形的形状相同．那么图①与图②之间的图形关系是________．
图22－1－1
目标二 能判定相似多边形，了解相似比
例2 ［教材补充例题］如图22－1－2，有一块矩形草地，其外围有等宽的小路，其中草地长100 m，宽60 m，小路宽2 m，则内、外两个矩形相似吗？
图22－1－2
【归纳总结】判定两个多边形相似“两注意”：
(1)两个边数不同的多边形，一定不相似；
(2)两个边数相同的多边形，要判断它们是否相似，一要看对应角是否相等，二要看对应边长度的比是否相等，两个条件缺一不可．
例3 ［教材补充例题］如图22－1－3，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x，y的长度和角α的大小．
图22－1－3
【归纳总结】理解相似多边形的性质“三注意”：
(1)相似多边形的对应角相等，注意内角的对应位置；
(2)相似多边形的比必须是对应边之比，并且要注意比的顺序；
(3)相似比等于1时，这两个多边形全等．
知识点一 相似图形的概念
形状相同的两个图形是相似图形．判定两个图形相似要抓住相似图形的本质——形状相同，但大小不一定相同．
知识点二 相似多边形、相似比的概念
两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形______________叫做相似比或相似系数．
已知两个矩形相似，其中一个矩形的两邻边长分别为3和2，另一个矩形的两邻边长分别为1.5和x，求x的值．
解：由题意得，3与1.5是对应边的长，
∴＝，解得x＝1.
上面的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法．
教师详解详析
【目标突破】
例1 相似
例2 解：∵AB＝CD＝A′B′＋2×2＝64(m)，
BC＝AD＝B′C′＋2×2＝104(m)，
∴＝＝，＝＝.
∵≠，∴内、外两个矩形不相似．
例3 解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝＝，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°，
∴x＝12，y＝，α＝∠C＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－62°－75°－140°＝83°.
【总结反思】
[小结] 知识点二 对应边长度的比
[反思] 不正确．分类讨论：①当3与1.5是对应边的长时，由题意得＝，解得x＝1.
②当3与x是对应边的长时，由题意得＝，解得x＝2.25.
综上可得，x的值为1或2.25.
22.1 第2课时 比例线段
知|识|目|标
1．结合现实情境，知道学习线段的比的必要性，了解线段的比的概念．
2．借助几何图形，通过观察、交流，直观地理解成比例线段的概念，会根据概念进行相关计算．
3．通过对成比例线段的学习，能理解比例中项的概念，会根据概念进行相关的计算．
目标一 会根据线段的比的概念计算
例1 ［教材补充例题］在Rt△ABC中，如图22－1－4，∠C＝90°，∠A＝30°，若设BC＝t，则AB＝______，AC＝＝＝______，故＝________＝________，＝________＝________．
图22－1－4
【归纳总结】求两条线段的比“三注意”：
(1)两条线段的比是指其长度的比，与长度单位无关，但要是同一个长度单位；(2)若题目中线段的长度没有给出单位，默认为单位统一；(3)线段的比有顺序性．
目标二 会根据成比例线段的概念计算
例2 ［教材补充例题］(1)已知a＝4 cm，c＝9 cm，且a，b，b，c是成比例线段，试求线段b的长；
(2)已知线段a＝2 cm，b＝30 m，c＝6 cm，d＝10 m，试判断它们是不是成比例线段．
【归纳总结】判断四条线段是不是成比例线段的步骤：
(1)一排：将线段长度统一单位并按长度的大小排序；
(2)二算：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等，或判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等；
(3)三判：若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段．
目标三 会利用比例中项的概念计算
例3 ［教材补充例题］如果线段a，b满足a∶b＝3∶5，且线段b是a，c的比例中项，那么b∶c的值是( )
A．3∶2 B．5∶3 C．3∶5 D．2∶3
【归纳总结】
(1)当已知两条线段的比值时，可先用参数表示出这两条线段的长度，再进行计算．
(2)比例式中第一个比的后项与第二个比的前项相等时，这一项才是比例中项．已知一条线段是另外两条线段的比例中项，可转化为比例式进行计算．
知识点一 线段的比
用______________去度量两条线段a，b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或a∶b.
知识点二 成比例线段的相关概念
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的比，等于另外两条线段c，d的比，即＝(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项．
知识点三 比例中项的概念
如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c之间有__________，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．
下列说法是否正确，不正确的说明理由．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知线段b是线段a，c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝2.( )
(2)已知一个数是2和5的比例中项，那么这个数是.( )
(3)已知M是直线AB上的点，且AM∶BM＝5∶2，则AB∶BM＝3∶2.( )
(4)已知a，b，d，c是成比例线段，a＝4 cm，b＝6 cm，d＝9 cm，则c＝12 cm.( )
教师详解详析
【目标突破】
例1 2t 2t t t
例2 解：(1)∵a，b，b，c是成比例线段，
∴a∶b＝b∶c.
又∵a＝4 cm，c＝9 cm，
∴4∶b＝b∶9，即b2＝36，
∴b＝6(cm)(负值已舍去)．
(2)∵a＝2 cm，c＝6 cm，d＝10 m＝1000 cm，b＝30 m＝3000 cm，
∴＝，＝＝，则＝，
∴a，c，d，b是成比例线段．
例3 [解析] C ∵a∶b＝3∶5，∴可设a＝3k，b＝5k.∵b是a，c的比例中项，∴a∶b＝b∶c，即3∶5＝5k∶c，解得c＝k.∴b∶c＝5k∶k＝3∶5.
【总结反思】
[小结] 知识点一 同一个长度单位
知识点三 a∶b＝b∶c
[反思] (1)√
(2)× 理由：2和5的比例中项是±.
(3)× 理由：AB∶BM的值为3∶2或7∶2.
(4)× 理由：c＝13.5 cm.
22.1第3课时 比例的性质
知|识|目|标
1．经历问题的计算、观察、探究过程，归纳总结比例的基本性质、合比性质、等比性质，会应用比例的性质进行相关计算．
2．通过对实际问题的分析，了解黄金分割和黄金数的概念，会根据概念进行相关计算．
目标一 会根据比例的性质计算
例1 ［教材补充例题］(1)已知＝，求分式的值时，先根据已知条件把该分式转化为同一个字母，然后化简．
方法一：用字母b表示字母a，得a＝________．将关于a的表达式代入中，得＝________，化简，得＝________．
方法二：运用参数字母k表示字母a和b.由＝，可设a＝3k，则b＝________．将关于a，b的表达式代入中，得＝________，化简，得＝________．
(2)已知＝＝＝2，求分式的值时，可根据分式的性质将中分子、分母同乘以2，中分子、分母同乘以－3，得＝＝＝2，根据________的性质，得＝________．
【归纳总结】利用比例的性质计算时常用的两种方法：
(1)用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后运用代入法求值；
(2)设参数法，即根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应字母，再代入求值，这也是运用比例的性质求解时的一种常用方法．
例2 ［教材例1变式］如图22－1－5，＝＝，求和的值．
图22－1－5
【归纳总结】利用等比性质解题时要注意分母中字母的取值范围．
目标二 能根据黄金分割的定义判断黄金分割点
例3 [教材例3针对训练] 如图22－1－6，在矩形ABCD中，AB＝－1，AD＝2，且四边形ABEF是正方形，则点E是BC的黄金分割点吗？如果是，请说明理由．
图22－1－6
【归纳总结】判断黄金分割点的方法：
(1)借助黄金比：判断由此点截得的较长的线段与原线段的比是不是黄金比，若是黄金比，则此点为黄金分割点，否则不是；
(2)借助比例式：判断由此点截得的较长线段、较短线段与原线段是不是符合定义中的比例式：＝，若符合，则此点为黄金分割点，否则不是．
知识点一 比例的基本性质及合比、等比性质
(1)基本性质：如果＝，那么ad＝bc(b，d≠0)．反之也成立，即如果ad＝bc，那么＝(b，d≠0)．
(2)合比性质：如果＝，那么＝(b，d≠0)．
(3)等比性质：如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么＝．
[点拨] (1)比例的基本性质可记为“分子、分母交叉乘，积相等”．
(2)合比性质推广：如果＝，那么＝(b，d≠0)．
(3)运用等比性质时注意各分母的和不为零，否则无意义．
知识点二 黄金分割
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值________叫做黄金数．
[点拨] “黄金分割”的对称性：一条线段的黄金分割点应该有两个，一个靠近一个端点，而另一个靠近另一个端点，这两个黄金分割点关于线段的中点对称．
若＝＝＝k，求k的值．
解：根据比例的等比性质得到＝2，所以k的值是2.
上面的解答正确吗？若不正确，请说明理由．
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1) b －7 4k －7 (2) 等比 2
例2 解：由＝，得＋1＝＋1，即＝，∴＝.
从而＝，则＝.
同理可得＝.
由等比的性质，得＝.
例3 [解析] 由于题中给出了AB，AD的长，可以结合四边形ABEF是正方形求出BE及CE的长，再结合黄金分割的定义求出及的值做出判断．
解：是．理由：∵四边形ABEF为正方形，
∴BE＝AB＝－1，CE＝BC－BE＝3－.
∵＝＝，＝，
∴＝＝，
∴点E是BC的黄金分割点．
【总结反思】
[小结] 知识点二
[反思] 不正确．当a＋b＋c≠0时，根据比例的等比性质得到＝2.
当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，k＝＝＝－1.
所以k的值是2或－1.
22.1 第4课时 平行线分线段成比例
知|识|目|标
1．经历几何图形中线段比的计算、探究的过程，理解平行线分线段成比例的基本事实，并会应用这个基本事实进行相关计算．
2．通过探索平行线分线段成比例这个基本事实的过程，得出三角形中平行线分线段成比例的推论，并会应用这个推论进行相关计算或证明．
目标一 利用平行线分线段成比例的基本事实计算 例1 ［教材补充例题］如图22－1－7，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F.根据平行线所截线段成比例，可知AB，BC，DE，EF之间的比例关系为____________．若AB＝3，DE＝，EF＝4，则BC的长为________．
图22－1－7
【归纳总结】(1)当题目中出现三条(或三条以上)平行线，且求线段的长度或比值时，常利用平行线获得比例线段．
(2)如图22－1－7，如果l1∥l2∥l3，那么＝，可记为“＝”；＝，可记为“＝”；＝，可记为“＝”．
目标二 利用平行线分线段成比例的推论计算或证明
例2 ［教材补充例题］如图22－1－8，已知DE∥BC，AB＝15，AC＝10，BD＝6，求AE的长．
图22－1－8
【归纳总结】解题的关键是观察图形，找出“A”字型或“X”字型，找准对应线段，写出正确的比例式．
例3 ［教材补充例题］如图22－1－9，D是△ABC的边AB的中点，F是BC延长线上的一点，连接DF交AC于点E.求证：EA∶EC＝BF∶CF.
图22－1－9
【归纳总结】在求证几何图形中的比例式或等积式时，可先作平行线，根据平行线分线段成比例的基本事实或推论得出相关的比例线段，再根据等量代换使问题得到解决．
知识点一 平行线分线段成比例基本事实
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的________________．
这个基本事实包含下列两个基本几何图形：
图22－1－10
用几何语言表述如下：
∵AD∥BE∥CF，
∴＝，＝，＝.
[点拨] (1)基本事实中一组平行线两两平行，但两条被截直线不一定平行；
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；
(3)当“上比下”的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．
知识点二 平行线分线段成比例基本事实的推论
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的________________________________________________________________________．
这个推论包含下列三个基本几何图形：
图22－1－11
[点拨] 在平行线分线段成比例基本事实的推论中，平行线上的被截线段并没有参与到比例式中．
如图22－1－12，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，＝，BC＝25，求FC的长．
图22－1－12
小林给出如下的解法：
∵DE∥BC，∴＝.
∵EF∥AB，∴＝，
∴＝＝，
∴＝，则FC＝BC＝×25＝15.
你认为小林的解法正确吗？为什么？若不正确，请给出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 ＝
例2 [解析] 要求线段AE的长，可根据已知条件DE与BC平行来进行思考，运用平行线分线段成比例基本事实的推论建立比例式，从而求出AE的长．
解：∵DE∥BC，∴＝.
由AB＝15，AC＝10，BD＝6，得AD＝9，CE＝10－AE，∴＝，∴AE＝6.
例3 证明：过点A作AM∥DF交BF的延长线于点M.
因为D是AB的中点，
所以F是BM的中点，即BF＝FM.
在△ACM中，因为EF∥AM，
所以EA∶EC＝FM∶CF.
因为FM＝BF，所以EA∶EC＝BF∶CF.
【总结反思】
[小结] 知识点一 对应线段成比例
知识点二 对应线段成比例
[反思] ∵DE∥BC，∴＝.
∵EF∥AB，∴＝，∴＝＝，
∴＝，则BF＝BC＝×25＝15，
∴FC＝BC－BF＝25－15＝10.
22.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形及相似三角形判定的预备定理
知|识|目|标
1．通过观察、交流、探究，理解相似三角形的定义、相似三角形的表示方法、相似比的概念．
2．经历两个三角形相似的探索过程，理解相似三角形判定的预备定理，并能运用该定理解决问题．
目标一 能用相似三角形的定义求三角形的边和角
例1 ［教材补充例题］如图22－2－1，若△ABC∽△DEF，求∠F的度数与DF的长．
(1)根据相似三角形的性质，可知对应角相等，则∠D＝∠A＝________°，∠E＝∠B＝________°，故∠F＝180°－∠D－∠E＝________°.
(2)根据相似三角形的性质，可知对应边成比例，则____________，代入已知数值，得____________，解得DF＝________．
图22－2－1
【归纳总结】理解相似三角形定义的“两说明”：
(1)相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法；
(2)求相似比时，不要忽视相似比的顺序性．即如果△ABC与△A′B′C′的相似比为k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为.
目标二 能用相似三角形的预备定理证明三角形相似
例2 ［教材补充例题］如图22－2－2，点E是?ABCD的边CD延长线上的点，连接BE交AD于点F，则图中有几对相似三角形？分别写出来．
图22－2－2
例3 ［教材补充例题］如图22－2－3，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F.
求证：＝.
图22－2－3
【归纳总结】
由平行线得到相似有两种常见的基本图形：“A”字型和“X”字型，如图22－2－4所示．只要从复杂图形中找出这些基本图形，就可以找出图中的相似三角形．
(2)在三角形中只要具备平行条件就可以直接得到对应线段成比例．
如图22－2－4①，如果DE∥BC，那么＝，＝＝，＝，＝＝.
图22－2－4
知识点一 相似三角形的定义、表示方法及相似比
如果两个三角形的三个角对应________，三条边对应__________，那么这两个三角形相似．
[点拨] (1)相似三角形具有传递性，即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″；
(2)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
知识点二 相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形______．
这个定理包含下列三个基本几何图形：
图22－2－5
用几何语言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
如图22－2－6，已知EF∥AC，GH∥AB，IK∥BC，写出图中所有和△DFG相似的三角形，并说明理由．
图22－2－6
小林同学的解答如下：
与△DFG相似的三角形有△HCG、△EFB.理由如下：
∵EF∥AC，∴△DFG∽△HCG.
∵GH∥AB，∴△DFG∽△EFB.
故与△DFG相似的三角形有△HCG，△EFB.
你认为以上解答过程正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)45 30 105 (2)＝ ＝
例2 解：3对，分别是△ABF∽△DEF，△DEF∽△CEB，△ABF∽△CEB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABF∽△DEF，△DEF∽△CEB，
∴△ABF∽△CEB.
例3 证明：∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABM，△AEF∽△ACM，
∴＝，＝，
∴＝，∴＝.
【总结反思】
[小结] 知识点一 相等 成比例
知识点二 相似
[反思] 不正确．正确的解答如下：
与△DFG相似的三角形有△HCG，△EFB，△EDI，△HKD，△AKI，△ACB.理由如下：
∵EF∥AC，∴△DFG∽△HCG.
∵GH∥AB，∴△HCG∽△ACB.
∴△DFG∽△ACB.
又∵IK∥BC，∴△HKD∽△HCG，△AKI∽△ACB，
∴△DFG∽△HKD，△DFG∽△AKI.
同理，可知△DFG∽△EFB∽△EDI.
故与△DFG相似的三角形有△HCG，△ACB，△HKD，△AKI，△EFB，△EDI.
22.2 第2课时 相似三角形判定定理1
知|识|目|标
通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理1，并能应用其解决相关问题．
目标 会用相似三角形判定定理1判定三角形相似
例1 ［教材补充例题］如图22－2－7，在△ABC中，∠C＝90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E.根据题意，回答下列问题：
图22－2－7
(1)在△DEM和△BEN中，
∵∠DME与∠BNE都是________角，
∴__________________．
∵∠DEM与∠BEN是________角，
∴__________________，
∴________∽________．
(2)在△ABC和△EBN中，∵∠ACB与∠ENB都是________角，∴____________________．
∵∠ABC与∠EBN是公共角，
∴____________，
∴________∽________．
(3)由(1)(2)可知△ABC与△DEM之间的关系为________．
【归纳总结】运用定理1判定三角形相似时“四注意”：(1)注意是不是有公共角；(2)注意是不是有对顶角；(3)注意是否有特殊角，例如直角；(4)注意运用“三角形的内角和为180°”计算三角形的内角度数．
例2 ［教材补充例题］[2017·益阳模拟] 如图22－2－8，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.
求证：△ABC∽△BDC.
图22－2－8
例3 ［教材补充例题］如图22－2－9，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，交CA的延长线于点F.
求证：DA2＝DE·DF.
图22－2－9
【归纳总结】证明等积式或比例式的一般方法：
把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．
知识点 相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，
那么这两个三角形相似(可简单说成：__________________的两个三角形相似)．
[点拨] 通过判定两个角分别相等来证明两个三角形相似是判定两个三角形相似的常用办法．
如图22－2－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是斜边AB上一点，且AP＝2.过点P作一直线，与Rt△ABC另一边的交点为D，并且截得的三角形与Rt△ABC相似，求PD的长．
图22－2－10
小林给出如下的解法：
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5.
分两种情况考虑：如图22－2－11①，过点P作PD⊥AC于点D，则∠ADP＝∠C.
又∵∠DAP＝∠CAB，
∴△APD∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PD＝.
图22－2－11
如图②，过点P作PD⊥BC于点D，则∠PDB＝∠C.
又∵∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PD＝.
故PD的长为或.
你认为以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的原因，并说明理由，且给出正确的解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)直 ∠DME＝BNE 对顶 ∠DEM＝∠BEN △DEM △BEN
(2)直 ∠ACB＝∠ENB ∠ABC＝∠EBN △ABC △EBN
(3)相似
例2 证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∵∠BAC＝40°，
∴∠ABD＝40°.
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC.
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC.
例3 证明：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，DF为BC的垂直平分线，∴D为BC的中点，
∴AD＝BC＝DB，∴∠B＝∠DAB.
∵DF⊥BC于点D，∴∠C＋∠F＝90°.
又∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠F，
∴∠DAB＝∠F.
又∵∠ADE＝∠FDA，
∴△ADE∽△FDA，
∴＝，
∴DA2＝DE·DF.
【总结反思】
全等三角形
相似三角形
不同
大小相同，三条边对应相等
大小不一定相同，三
条边对应成比例
相同
形状相同，三个角相等
联系
全等三角形是相似三角形的特殊情况，它是相似比为__1__的相似三角形
类比
在寻找对应元素、表示法、判定方法时，类比全等三角形认识相似三角形
[小结] 知识点 两角分别相等
[反思] 不正确，分类不全面，丢了一种情况．
第1，2种情况，跟小林解法相同，第3种情况如下：
如图，过点P作PD⊥AB交AC于点D，则∠APD＝∠ACB.
又∵∠DAP＝∠BAC，
∴△ADP∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PD＝.故PD的长为或或.
22.2 第3课时 相似三角形判定定理2
知|识|目|标
1．通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理2，并能应用其解决三角形的相似问题．
2．通过对相似三角形判定定理1，2的比较与分析，能根据已知条件选择合适的方法判定三角形相似．
目标一 利用相似三角形判定定理2判定三角形相似
例1 ［教材补充例题］如图22－2－12，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，且＝＝，即△ADE和△ABC有两组对应边成比例．又因为∠DAE和∠BAC不仅是公共角，而且是这两组对应边的夹角，根据相似三角形判定定理2可知________∽________，故DE与BC的比值为________；若DE＝6，则BC＝________．
图22－2－12
例2 如图22－2－13，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP.
图22－2－13
【归纳总结】运用定理2判定三角形相似的方法：
首先找出这两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若两组对应边成比例，则这两个三角形相似，否则不相似．
目标二 综合应用相似三角形判定定理1，2判定
三角形相似
例3 ［教材补充例题］如图22－2－14，△ABC的边AC，AB上的高BD，CE相交于点O，连接DE.
(1)图中相似的非直角三角形有几对？请将它们写出来；
(2)选择其中一对证明，写出证明过程．
图22－2－14
【归纳总结】判定三角形相似的方法：
当两个三角形中存在一对角相等时，要充分挖掘隐含条件寻找另一对角相等．当证明另一对角相等有困难时，应考虑证明夹这对等角的两边对应成比例．
知识点 相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应________，并且__________，那么这两个三角形相似(可简单说成：________________________的两个三角形相似)．
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
∵＝＝k，且∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
[点拨] 运用该定理证明三角形相似时，一定要注意边角的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于全等三角形判定方法中的SAS.
如图22－2－15，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB边上且AE＝3，点F是线段AC上的动点，连接EF.若△AEF与△ABC相似，则AF＝________．
图22－2－15
小林同学的解答如下：
若△AEF∽△ABC，则＝，
即＝，解得AF＝2.故答案为2.
你认为以上解题过程正确吗？若不正确，请给出正确过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 △ADE △ABC 12
例2 [解析] 在△ADQ和△QCP中，已知∠ADQ＝∠QCP相等，但两个锐角的度数无法确定，故相似三角形的判定定理1无法使用．根据正方形的定义和已知条件可得这两个直角三角形的直角边对应成比例，故可用相似三角形判定定理2推出结论．
证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝DQ＝AD，CP＝AD，
∴＝＝2.
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
例3 [解析] (1)先证明直角三角形相似，然后利用直角三角形相似得到对应边成比例，再得出非直角三角形相似；
(2)可选择证明△EOD∽△BOC，证明思路：先证明Rt△BEO∽Rt△CDO，得到＝，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明．
解：(1)2对，△EOD∽△BOC，△ADE∽△ABC.
(2)(答案不唯一)选择证明△EOD∽△BOC如下：∵∠BEO＝∠CDO＝90°，
∠BOE＝∠COD，
∴Rt△BEO∽Rt△CDO，
∴＝，即＝.
又∵∠DOE＝∠COB，
∴△EOD∽△BOC.
【总结反思】
类比全等三角形与相似三角形的判定方法：
[小结] 知识点 成比例 夹角相等 两边成比例且夹角相等
[反思] 不正确．根据题意，要使△AEF与△ABC相似，由于本题没有说明对应关系，故采用分类讨论法．有两种可能：当△AEF∽△ABC时，AF＝2；当△AEF∽△ACB时，＝，即＝，解得AF＝4.5.故答案为2或4.5.
22.2 第4课时 相似三角形判定定理3
知|识|目|标
通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理3，并能应用其解决三角形的相似问题．
目标 利用相似三角形判定定理3判定三角形相似
例1 ［教材例3变式］如图22－2－16，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.在三角形②～⑥中，与三角形①相似的是( )
图22－2－16
A．②③④ B．③④⑤
C．④⑤⑥ D．②③⑥
【归纳总结】在网格中利用定理3判定三角形相似的“三步骤”：
(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；
(2)计算：分别计算它们对应边的比值；
(3)判断：通过比较比值是否相等判断两个三角形是否相似．
例2 ［教材例1变式］依据下列各组条件，说明△ABC和△A′B′C′是否相似：
(1)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm；
(2)∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°；
(3)∠A＝40°，AB＝8，AC＝15，∠A′＝40°，A′B′＝16，A′C′＝30.
【归纳总结】判定两个三角形相似的常规思路：
(1)先找两对对应角相等；
(2)若只能找到一对对应角相等，则判断夹角相等的角的两边是否对应成比例；
(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑应用平行线证三角形相似．
知识点 相似三角形判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边____________，
那么这两个三角形相似(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似)．
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
∵＝＝＝k，
∴△ABC∽△A′B′C′.
[点拨] 由三边对应成比例判定两个三角形相似的方法与由三边对应相等判定两个三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边对应成比例即可．
要做两个形状为三角形的框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，欲使这两个三角形相似，三角形框架的另两边长是多少？
小林同学的解答过程如下：
设另两边长分别为x，y.
∵两个三角形框架相似，
∴＝＝.
解得x＝2.5，y＝3.
答：三角形框架的另两边长是2.5和3.
上面的解答正确吗？若不正确，请给出正确解答过程．
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] B 假定网格中小正方形的边长为1，则①△ABC的三边长分别为1，，，②～⑥中三角形的三边长分别为②1，，2 ；③2，2 ，2 ；④，，5；⑤，2，；⑥，，3.由此可知三角形③④⑤中的三边与三角形①中的三边对应成比例，所以与三角形①相似的是③④⑤.
例2 [解析] (1)通过计算得出两个三角形的三边成比例，即可得出这两个三角形相似；
(2)由三角形内角和定理求出∠B，得出两角对应相等，即可得出个这两三角形相似；
(3)先求出两边成比例，再由夹角相等，即可得出两个三角形相似．
解：(1)∵＝＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)∵∠A＝80°，∠C＝60°，
∴∠B＝180°－80°－60°＝40°.
∵∠A′＝80°，∠B′＝40°，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
(3)∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A′＝40°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
【总结反思】
[小结] 知识点 对应成比例
[反思] 不正确．题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分情况讨论：
(1)若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边长为和3；
(2)若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边长为和；
(3)若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边长为和.
故三角形框架的另两边长可以是和3，或和，或和.
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法
知|识|目|标
1．通过计算、观察、推理等过程，理解并掌握两个直角三角形相似的判定定理，并能恰当地选择判定三角形相似的方法解决问题．
2．通过对相似三角形判定方法和相似三角形的性质的理解和掌握，灵活选用合适的判定方法解题．
目标一 会用斜边和一直角边对应成比例判定两个直角三角形相似
例1 ［教材补充例题］根据下列条件判断Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否相似，其中∠C＝∠C′＝90°.
(1)AC＝14 cm，BC＝6 cm，A′C′＝7 cm，B′C′＝3 cm；
(2)AB＝ cm，AC＝ cm，A′B′＝ cm，A′C′＝ cm.
例2 ［教材补充例题］如图22－2－17，已知AB⊥BD，ED⊥BD，B，D分别为垂足，C是线段BD的中点，ED＝1，AC＝2 ，BD＝4.试说明：△ABC∽△CDE.
图22－2－17
【归纳总结】直角三角形相似的判定定理中的“三注意”：
(1)两个三角形必须都是直角三角形才能使用该定理；
(2)注意分清楚直角边的对应关系，若没有明确说明，则需要分类讨论；
(3)相似三角形的判定定理同样适用于直角三角形相似的判定．
目标二 能选用合适的方法判定三角形相似
例3［ 教材补充例题］如图22－2－18，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证：AC·CF＝BC·DF.
图22－2－18
【归纳总结】证明“等积式”的“口诀”：
等积式化比例式，横找竖看定相似．
不相似，莫生气，等比线来代替．
说明：“横找”即看比例式中两边的比的前项确定的三角形与后项确定的三角形是否相似；“竖看”即看比例式中左边的比的前后两项确定的三角形与右边的比的前后两项确定的三角形是否相似．
知识点一 直角三角形相似的判定定理
(1)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边________________，那么这两个直角三角形相似．
(2)判定直角三角形相似的方法：①定理1，②定理2，③定理3，④斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
[点拨] 直角三角形相似的判定方法：
知识点二 三角形相似的判定方法的综合应用
三角形
相似的
判定
思路
有平行截线——选用平行线的性质找等角
有一对等角，找
有两边对应成比例，找
直角三角形，找
等腰三角形，找
（续表）
几
种
常
见
的
图
形
注：对于第5条双垂图中有：①AB2＝BD·BC；②AC2＝CD·BC；③AD2＝BD·CD
但对于第6条拓展型中仅有AC2＝CD·BC.
如图22－2－19，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？
小林同学的解答过程如下：
解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，若＝，则Rt△ABC∽Rt△ACD.∴＝，解得AB＝3.
故当AB＝3时，Rt△ABC∽Rt△ACD.
小林给出的解法你认为正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
图22－2－19
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] (1)先求出两边成比例，再由夹角相等，即可得出△ABC∽△A′B′C′；
(2)求出斜边和一条直角边对应成比例，即可得出Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
解：(1)∴△ABC∽△A′B′C′.理由如下：
∵＝＝2，＝＝2，∴＝.
又∵∠C＝∠C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.理由如下：
∵＝＝，＝＝，∴＝.又∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
例2 [解析] 要说明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形，观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B＝∠D＝90°，那么再求出斜边和一条直角边对应成比例即可．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
又∵C是线段BD的中点，BD＝4，
∴BC＝CD＝2，∴CE＝＝.
∵AC＝2 ，BC＝2，
∴AC∶CE＝BC∶DE＝2∶1，
∴△ABC∽△CDE.
例3 证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，
∴CE＝EB＝DE，∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.
∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，∴∠FDA＝∠ACD.
又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD，
∴＝.
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，∴＝，
∴＝，即AC·CF＝BC·DF.
【总结反思】
[小结] 知识点一 对应成比例
[反思] 不正确，考虑问题不全面，丢掉了一种情况．正确的解答过程如下：
分两种情况考虑：
(1)在Rt△ABC和Rt△ACD中，
若＝，则Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴＝，解得AB＝3.
故当AB＝3时，Rt△ABC∽Rt△ACD.
在Rt△ACD中，CD＝＝＝.若＝，则Rt△ABC∽Rt△CAD，∴＝，解得AB＝3 .故当AB＝3或3 时，Rt△ABC与Rt△ACD相似．
22.3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质
知|识|目|标
1．通过观察、猜想、论证和归纳的过程，探索相似三角形的性质定理1，2，会用定理1，2进行计算；
2．通过回顾比例的性质，结合相似三角形的性质定理1，2，探索发现相似三角形的性质定理3，会用定理3进行计算．
目标一 会根据相似三角形的定理1，2计算
例1 ［教材补充例题］已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm.根据相似三角形的性质，完成下列问题：
(1)根据对应边比例等于相似比，由＝可知△ABC与△A′B′C′的相似比为________；
由相似三角形的对应中线之比等于相似比可知＝＝________，由CD＝4 cm，得C′D′＝________ cm.
(2)根据相似三角形的周长之比等于相似比可知＝＝________，由C△ABC＝20 cm，得C△A′B′C′＝________ cm.
例2 ［教材例1变式］如图22－3－1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BC＝12，点P在AB上，且PQ∥AD交BC于点Q，PM∥BC交AC于点M，若PM＝2PQ，求PM的长．
图22－3－1
【归纳总结】根据题意，利用相似三角形对应线段的性质建立比例式，得到已知线段与未知线段的数量关系；再设未知数，列出方程求解．
目标二 会根据相似三角形的定理3计算
例3 [教材例2变式] 如图22－3－2，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝2 ，试求DE的长．
图22－3－2
例4 [教材补充例题] 如图22－3－3，将△ABC沿BC方向平移得到△A′B′C′.△ABC与△A′B′C′重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的.已知BC＝ cm，求△ABC平移的距离．
图22－3－3
【归纳总结】相似三角形面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比，在解题中，
知识点一 相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形性质定理1：相似三角形________________、________________和____________________都等于相似比．
相似三角形的相似比、对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比这四个量中已知其中的一个量，就能知道其他三个量．
[点拨] 利用相似三角形的性质时，要注意“对应”两字，要找准对应线段．
知识点二 相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于________．
相似三角形周长的比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比＝相似比(对应边的比)．
[点拨] (1)相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性质得到的．
(2)利用相似三角形的周长比与相似比的关系可以进行有关边长、周长或比值的计算．
(3)周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致．
知识点三 相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质定理3：相似三角形面积的比等于______________．
反过来，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．
已知相似比求面积比要平方；已知面积比求相似比要开方．
数学活动课上，田老师布置了一道思考题：如图22－3－4，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分(Ⅰ和Ⅱ)面积相等，则的值是多少？小明同学马上举手回答：Ⅰ和Ⅱ面积相等，它们的面积都是△ABC的一半，所以的值是.
小明同学的回答正确吗？请说明理由，并给出正确答案．
图22－3－4
教师详解详析
【目标突破】
例1 (1)1∶2 8 (2) 40
例2 解：设PQ＝x，则PM＝2x，设AD交PM于点H.
∵PM∥BC，∴△APM∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝4.
∴PM＝2x＝8.
例3 [解析] 先证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质＝，求出DE的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∴＝.
又∵＝，可设S△ADE＝k，则S四边形BCED＝2k，∴S△ABC＝3k，∴＝＝，
∴DE2＝BC2＝×24＝8，
∴DE＝2 .
例4 解：如图，设AC与A′B′相交于点D.
根据平移的性质，知AB∥A′B′，∴△DB′C∽△ABC.∵重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC面积的，
∴()2＝.∵BC＝ cm，
∴()2＝，解得B′C＝1 cm.
∴BB′＝BC－B′C＝(－1) cm.
即△ABC平移的距离为(－1) cm.
【总结反思】
[小结] 知识点一 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比
知识点二 相似比
知识点三 相似比的平方
[反思] 小明同学的答案不正确．理由如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵△ADE的面积和四边形BDEC的面积相等，
∴＝＝()2，∴＝.
22.3 第2课时 相似三角形的应用
知|识|目|标
通过对实际问题的分析从中抽象出几何图形，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题．
目标 相似三角形的应用
例1 ［教材补充例题］如图22－3－4，小林用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知三角形纸板的两条直角边DE＝0.6 m，EF＝0.3 m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB.
图22－3－4
【归纳总结】利用相似三角形的知识解决实际问题的关键是构造相似三角形数学模型，常用数学模型如下：
(1)利用“太阳光下，同一时刻的物高和影长对应成比例”构造相似三角形；
(2)利用“标杆在测量中的作用”构造相似三角形；
(3)利用“平面镜的反射原理”构造相似三角形．
相似模型如图22－3－5所示：
图22－3－5
例2 ［教材补充例题］如图22－3－6，为了估算河的宽度，可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，D，使点A，B，D共线且直线AD与河垂直，在过点D且与AD垂直的直线上选择适当的点E，确定AE与过点B且垂直于AD的直线的交点为C，测得BD＝45 m，DE＝90 m，BC＝60 m，求河的宽度AB.
图22－3－6
【归纳总结】利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的地面上的水平距离．解决此类问题的关键是根据题意设计出合适的图形，从图形中构造出相似三角形．在测距问题中，最常用的相似三角形模型如图22－3－7所示．
图22－3－7
知识点 相似三角形的应用
在现实生活中，有许多不便于测量的垂直高度或水平距离．对于这些实例，可以设计出方便操作的相似模型，从而求出它们的垂直高度或水平距离．
[点拨] 相似三角形应用的常见问题：(1)利用太阳光求物体的高度；(2)利用影子求物体的高度；(3)利用标杆或三角尺求物体的高度或宽度，等等．
如图22－3－8，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3CM，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝28 m，求AB的长．
小林给出如下的解法：
解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，
∴＝.
又∵AM＝3CM，∴＝＝，
解得AB＝84 m．故AB的长为84 m.
你认为小林的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
图22－3－8
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] 利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上AC即可求得树高AB.
解：根据题意，可知∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，
∴＝，即＝，解得BC＝4，
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(米)．
故树高AB为5.5米．
例2 [解析] 直接利用相似三角形的应用模型，正确得出△ABC∽△ADE，进而得出比例式求出答案．
解：由题意可得△ABC∽△ADE，
则＝，即＝，解得AB＝90 m.
答：河的宽度AB为90 m.
【总结反思】
[反思] 不正确．正确的解答过程如下：
∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴＝.
又∵AM＝3CM，∴＝，
∴＝，则＝，
∴AB＝4MN＝4×28＝112(m)．
22.4 图形的位似变换
第1课时 位似
知|识|目|标
1．通过试验、操作、思考活动，了解位似变换的概念和性质．
2．经历探究位似变换的性质的过程，利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小．
目标一 识别位似图形并利用位似图形的性质解决问题
例1 ［教材补充例题］如图22－4－1，指出下列各图中的两个图形是不是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
图22－4－1
【归纳总结】判断位似图形的注意要点：
“位似”是一种特殊的“相似”，即两个图形除在形状上相同外，在位置关系上还符合以下条件：①对应顶点的连线都经过同一点(即位似中心)；②对应边互相平行或共线．
例2 ［教材补充例题］如图22－4－2，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得到△DEF，则下列说法中正确的是________．(填序号)
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
图22－4－2
【归纳总结】两个图形位似，则这两个图形相似，所以相似图形的性质在位似图形中都可以直接运用．
目标二 会作一个图形的位似图形
例3 [教材例1变式] 如图22－4－3，已知四边形ABCD，以点O为位似中心，相似比为2，画出四边形ABCD放大后的位似图形．
图22－4－3
【归纳总结】作位似图形的基本步骤：
(1)确定位似中心；(2)连接图形各顶点与位似中心；(3)在连接图形各顶点与位似中心的直线上按相似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形．
知识点一 位似图形的概念
一般地，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足下面两点：
(1)直线AA1，BB1，…，PP1都经过同一点O；
(2)＝＝…＝＝k.
那么，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心．
知识点二 位似图形的性质
1．位似图形对应顶点的连线必过位似中心．
2．位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于________．
3．位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)．
4．两个图形位似，则这两个图形必相似，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
[点拨] 利用位似图形的性质可将图形放大或缩小．
已知线段OA＝5 cm，在以点O为位似中心，相似比为3的变换下，点A与它的对应点A′之间的距离是________．
[答案] 20 cm
上面的答案正确吗？是不是考虑到了所有的可能性？若没有考虑到所有的可能性，请你写出所有可能结果．
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] 位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是不是位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：图①②中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图①中的点P和图②中的点O.图③不是位似图形．
例2 [答案] ①②④
[解析] 根据位似图形的定义可知结论①正确；位似图形是相似图形，故结论②正确；∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴△ABC与△DEF的相似比为2∶1，∴△ABC与△DEF的周长比为2∶1，面积之比为4∶1，故结论③错误，结论④正确．综上所述，结论①②④正确．
例3 解：严格按照位似变换的定义操作：
(1)如图①，画射线OA，OB，OC，OD.
(2)分别在射线OA，OB，OC，OD上截取OA′，OB′，OC′，OD′，并使＝＝＝＝2.
实质就是OA′＝2OA(或者AA′＝OA)，
OB′＝2OB(或者BB′＝OB)，
OC′＝2OC(或者CC′＝OC)，
OD′＝2OD(或者DD′＝OD)．
(3)顺次连接点A′，B′，C′，D′(如图所示)．
四边形A′B′C′D′就是所求作的图形．
答案不唯一，另一种情况作图如图②.
【总结反思】
[小结] 知识点二 相似比
[反思] 不正确．没有考虑到所有的可能性．
因为相似比为3，所以OA′＝5×3＝15(cm)，所以AA′＝15＋5＝20(cm)或AA′＝15－5＝10(cm)．
所以答案为20cm或10 cm.
22.4 第2课时 平面直角坐标系中的位似
知|识|目|标
通过在平面直角坐标系下进行位似变换，观察图形坐标的变化特点，会在坐标系中利用位似变换把一个图形放大或缩小．
目标 会在平面直角坐标系中作位似图形，并能找出点的坐标变换规律
例 ［教材补充例题］如图22－4－4，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．
(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的两倍，画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标．
图22－4－4
【归纳总结】当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的同名坐标的比为k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的同名坐标的比为－k；当k＞1时，图形扩大；当0＜k＜1时，图形缩小．
知识点一 图形在平面直角坐标系中位似变换后点
的坐标
在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k(k＞0)作位似变换，如果原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为________，反向位似图形对应点的坐标为__________．
[点拨] 这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比．
知识点二 在平面直角坐标系中作位似图形
在平面直角坐标系中，作一个图形关于原点O的位似图形，相似比为k(k>0)，可以先找到“关键点”，然后同向直接将坐标乘以相似比k(反向直接将坐标乘以－k)，描出点的位置后连线即可．
[点拨] 在平面直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，其对应点的坐标变化规律：
(1)平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位．
(2)轴对称变换中，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则纵坐标相等，横坐标互为相反数．
(3)位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前的两个图形对应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比．
已知：如图22－4－5，E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为位似中心，按比例尺1∶2把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为________．
图22－4－5
[解析] ∵点E的对应点是E′，∴点E′的横、纵坐标分别是点E的横、纵坐标同时乘以，可得点E′的坐标为(－2，1)．
上面的答案正确吗？若不正确，请给出正确答案．
教师详解详析
【目标突破】
例 [解析] 本题是一道在平面直角坐标系内画位似图形的试题，根据相似比为2∶1，可延长BO到点B′，使B′O＝2BO，延长CO到点C′，使C′O＝2CO，连接B′C′，则△OB′C′即为所作的位似图形．进一步可以求出点B′，C′的坐标．
解：(1)延长BO到点B′，使B′O＝2BO，延长CO到点C′，使C′O＝2CO，连接B′C′.则△OB′C′即为△OBC的位似图形(如图)．
(2)观察可知B′(－6，2)，C′(－4，－2)．
(3)M′(－2x，－2y)．
【总结反思】
[小结] 知识点一 (kx，ky) (－kx，－ky)
[反思] 不正确．已知点E(－4，2)，以O为位似中心，按比例尺1∶2把△EFO缩小，则点E的对应点E′的横、纵坐标分别是点E的横、纵坐标同时乘以或－，因而得到的点E′的坐标为(－2，1)或(2，－1)．
