课件35张PPT。一 比较法第二讲 证明不等式的基本方法学习目标
1.理解比较法证明不等式的理论依据.
2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.
3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 作差比较法思考 比差法的理论依据是什么？答案 a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.梳理 作差比较法
(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0?a＞b；a－b＜0? ；a－b＝0?a＝b.
(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；
④得出结论.
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定_____
________，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等.a＜b与0的大小关系知识点一 作差比较法思考2 类比作差比较法，请谈谈作商比较法.(3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与 ；⑤得出结论.1的大小关系题型探究类型一 作差比较法证明不等式例1 已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.证明 因为正数a，b，c成等比数列，又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2
＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc
＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.证明反思与感悟 作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小.证明类型二 作商比较法证明不等式例2 已知a＞0，b＞0，求证：aabb≥ .证明当a＝b时，显然有 ＝1；所以由指数函数的单调性可知， ＞1；所以由指数函数的单调性可知， ＞1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥ .引申探究1.若a＞0，b＞0，求证： ≥abba.证明证明 因为abba＞0， ＞0，所以当a＝b时，显然有 由指数函数的单调性，由指数函数的单调性，综上可知，对任意a＞0，b＞0，都有abba≤ .2.当a＞0，b＞0时，比较aabb与abba的大小.解 由例2和探究1知，aabb≥ ≥abba.解答反思与感悟 作商比较法证明不等式的一般步骤
(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商.
(2)变形：化简商式到最简形式.
(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.
(4)得出结论.又∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＞0时取等号，证明类型三 比较法的应用∵a，b，m都是正数，且a＜b，
∴b－a＞0，b(b＋m)＞0，证明反思与感悟 比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛.跟踪训练3 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？解答解 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有其中s，m，n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2.从而知甲比乙先到达指定地点.达标检测1.已知不等式：①x2＋3＞2x(x∈R＋)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1).其中正确的个数为
A.0 B.1 C.2 D.31234解析 ①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，故①正确；
②取a＝b＝1，则a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故②不正确；
③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故③正确.解析答案5√2. ＜1成立的充要条件是
A.a＞1 B.a＜0
C.a≠0 D.a＞1或a＜0答案√12345解析3.若x，y∈R，记w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则
A.w＞u B.w＜u
C.w≥u D.无法确定12345答案√∴w≥u.解析12345答案√解析 ∵a，b都是正数，
∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2≤0，∴P≤Q.解析∴原不等式成立.方法二 ∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0.
∴左边＞0，右边＞0.12345证明1.作差比较法证明不等式的技巧
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.规律与方法2.适用作商比较法证明的不等式的特点
适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较.本课结束 课件35张PPT。三 反证法与放缩法第二讲 证明不等式的基本方法学习目标
1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.
2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 反证法思考 什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．
(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理 反证法
(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立．正确的推理假设假设不成立知识点二 放缩法思考 放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案 ①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理 放缩法
(1)放缩法证明的定义
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．
(2)放缩法的理论依据
①不等式的传递性．
②等量加(减)不等量为 ．
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．放大缩小不等量题型探究类型一 反证法证明不等式命题角度1 证明“否定性”结论即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．证明(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明 假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1 设0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，
求证：(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.证明证明 假设(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b都大于1，
即(2－a)·c＞1，(2－b)·a＞1，(2－c)·b＞1，
则(2－a)·c·(2－b)·a·(2－c)·b＞1，
∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc＞1. ①
∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，同理(2－b)·b≤1，(2－c)·c≤1，
∴(2－a)·a·(2－b)·b·(2－c)·c≤1，
∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc≤1，这与①式矛盾．
∴(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.命题角度2 证明“至少”“至多”型问题例2 已知f(x)＝x2＋px＋q，
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；证明 f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.证明则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2，
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾，证明反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．
(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．证明证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立．
∴a，b，c中至少有一个大于0.类型二 放缩法证明不等式例3 已知实数x，y，z不全为零，求证：证明由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．证明证明 ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N＋且k≥2)，分别令k＝2,3，…，n，得将这些不等式相加，得达标检测1.用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是1234解析 对于A，x的正、负不定；
对于B，m的正、负不定；
对于C，x的正、负不定；
对于D，由绝对值三角不等式知，D正确．解析答案√2.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为
A.a，b，c全不为0
B.a，b，c至少有一个为0
C.a，b，c至少有一个不为0
D.a，b，c至多有一个不为0答案√12341234a≥0，b≥0，a≠b∴a≠b，
∴a≥0，b≥0，a≠b.解析答案1234证明因为a，b，c均为小于3的正数，1234显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证.12341.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设规律与方法2.放缩法证明不等式常用的技巧
(1)增项或减项.
(2)在分式中增大或减小分子或分母.(4)利用函数的单调性等.本课结束 课件31张PPT。二 综合法与分析法第二讲 证明不等式的基本方法学习目标
1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点.
2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤.
3.会用综合法、分析法证明一些不等式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 综合法与分析法思考1 在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、综合法的基本特征.答案 分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导果法.思考2 综合法与分析法有什么区别和联系？答案 区别：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；
分析法，执果索因，利于思考，易于探索.
联系：都属于直接证明，常用分析法分析，用综合法表达.梳理 (1)综合法
①定义：一般地，从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的 而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法.
②特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
③证明的框图表示
用P表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为已知条件推理、论证(2)分析法
①定义：证明命题时，常常从 出发，逐步寻求使它成立的
条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.这是一种“执果索因”的思考和证明方法.
②特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.
③证明过程的框图表示
用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为要证的结论充分题型探究类型一 综合法证明不等式证明证明 方法一 ∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，反思与感悟 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.跟踪训练1 已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，证明方法二 ∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，类型二 分析法证明不等式证明又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴(*)式等号不成立，
∴原不等式成立.跟踪训练2 已知x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2) ＞(x3＋y3) .证明 要证明(x2＋y2) ＞(x3＋y3) ，只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2.
即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，
即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.
∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0.即证3x2＋3y2＞2xy.
∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2＞2xy成立.∴(x2＋y2) ＞(x3＋y3) .证明类型三 分析综合法证明不等式由a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴原不等式成立.证明证明由a＞0，b＞0，a＋b＝1，
只需证a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)·(b＋m)＞0，
即证abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2＞0，
即证abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0.
由于a，b，c是△ABC的边长，m＞0，故有a＋b＞c，
即(a＋b－c)m2＞0.所以abc＋2abm＋(a＋b－c)m2＞0是成立的.达标检测1.若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是1234解析答案√答案C1234解析3.已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.1234证明 因为x＞0，y＞0，证明1234即证a2＋ab＜2ac，即a(a＋b)＜2ac.
∵a，b∈R＋，且a＋b＜2c，∴a(a＋b)＜2ac显然成立.
∴原不等式成立.证明1.综合法和分析法的比较
(1)相同点：都是直接证明.
(2)不同点：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索.
2.证明不等式的通常做法
常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程.规律与方法本课结束 课件38张PPT。复习课第二讲 证明不等式的基本方法学习目标
1.系统梳理证明不等式的基本方法.
2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.
3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.比较法
作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件.证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号.
2.综合法
综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论.证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握.3.分析法
分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.4.反证法
反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：
①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题.
5.放缩法
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.题型探究类型一 比较法证明不等式证明反思与感悟 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.证明类型二 综合法与分析法证明不等式证明因此只需证(a＋b＋c)2≥3，
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
根据条件，只需证a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca，证明∵ab＋bc＋ca＝1，∴原不等式成立.反思与感悟 证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁.证明∵a＞b＞c，
∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0，方法二 ∵a＞b＞c，
∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0，类型三 反证法证明不等式因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.证明反思与感悟 反证法的“三步曲”：(1)否定结论.(2)推出矛盾.(3)肯定结论.其核心是在否定结论的前提下推出矛盾.跟踪训练3 已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)，求证：a＜b.证明 假设a＜b不成立，则a＝b或a＞b.
当a＝b时，－a＝－b，则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，
于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾.
当a＞b时，－a＜－b，由函数y＝f(x)的单调性，
可得f(a)＞f(b)，f(－b)＞f(－a)，
于是有f(a)＋f(－b)＞f(b)＋f(－a)与已知矛盾.故假设不成立.
∴a＜b.证明类型四 放缩法证明不等式证明证明 ∵对k∈N＋，1≤k≤n，有又∵对于k∈N＋，2≤k≤n，有∴原不等式成立.反思与感悟 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法.
放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的.跟踪训练4 设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，
求证：|f(a)－f(b)|≤|a－b|.证明 |f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b|
＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|，
∵0≤a≤1,0≤b≤1，∴0≤a＋b≤2，
－1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1.
∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.证明达标检测1.已知p: ab＞0，q： 则p与q的关系是
A.p是q的充分不必要条件 B.p是q的必要不充分条件
C.p是q的充要条件 `D.以上答案都不对1234答案√∴ab＞0.解析2.实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则
A.a，b，c都是正数
B.a，b，c都大于1
C.a，b，c都小于2
D.a，b，c中至少有一个不小于解析答案√1234则a＋2b＋c<2与a＋2b＋c＝2矛盾.1234解析答案√∵9＞8，∴b＞a.∵35＞53，∴b＞c.∴b＞a＞c，
故选C.123412344.已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).证明1234证明 ∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an).
(1)若a＞b＞0，则bn－an＜0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)＜0.
(2)若b＞a＞0，则bn－an＞0，a－b＜0，
∴(a－b)(bn－an)＜0.1234(3)若a＝b＞0，(bn－an)(a－b)＝0.
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有
(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).1.比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号.
2.由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法.
3.证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养.规律与方法本课结束
