课件28张PPT。一 二维形式的柯西不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标
1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.
2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 二维形式的柯西不等式思考1 (a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案 (a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2 当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案 当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3 若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理 (1)二维形式的柯西不等式
①定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ ，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
②二维形式的柯西不等式的推论：(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd|(2)柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则 ，当且仅当β是 ，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
(3)二维形式的三角不等式零向量当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立.|α·β|≤|α|·|β|②推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式证明 ∵a1，a2，b1，b2∈R＋，证明反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法.跟踪训练1 已知θ为锐角，a，b∈R＋，证明例2 若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：|x＋2y＋z|≤3.证明 因为x2＋4y2＋z2＝3，
所以由柯西不等式得
[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.证明反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.
(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.将上面三个同向不等式相加，证明类型二 利用柯西不等式求最值例3 若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.解 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，解答反思与感悟 利用柯西不等式求最值
(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.跟踪训练3 已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.解 由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，
∵9a2＋4b2＝18，
∴36≥(3a＋2b)2.
∴|3a＋2b|≤6.解答达标检测1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为
A.4 B.2
C.8 D.91234解析 (a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，当且仅当3b＝2a时取等号，
所以(3a＋2b)2≤4×13.所以3a＋2b的最大值为解析答案5√2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则
A.ab≤ B.ab≥
C.a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3答案√12345解析 ∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.解析123459∴最小值为9.解析答案12345解析 ∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，
∴m2＋n2≥5.
当且仅当an＝bm时取等号.解析答案证明 ∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)·(cos2θ＋sin2θ)≥(acos θ＋bsin θ)2，
∴|acos θ＋bsin θ|≤1.12345证明5.已知a2＋b2＝1，求证：|acos θ＋bsin θ|≤1.1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试.
2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，则ad＝bc来联想记忆.规律与方法本课结束 课件35张PPT。三 排序不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标
1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.
2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.
3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 排序不等式思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案.
(2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多；
5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少.思考2 如图，∠POQ＝60°，比较 与
的大小.答案 梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念
设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列.
①乱序和： .
②反序和： .
③顺序和： .S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancnS1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(2)排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则 ≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和.a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn题型探究类型一 利用排序不等式证明不等式命题角度1 字母已定序问题证明又顺序和不小于乱序和，故可得∴原不等式成立.反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.证明证明 因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，又0＜a2≤b2≤c2，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，命题角度2 字母大小顺序不定问题证明证明 由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，由顺序和≥乱序和得到两个不等式：两式相加，得反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据.跟踪训练2 设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：证明 不妨设0＜a≤b≤c，所以由排序不等式可得证明类型二 利用排序不等式求最值解答解 由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，
则a＋b≥a＋c≥b＋c，由排序不等式，得反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值.解答达标检测1.设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是
A.P＞Q B.P≥Q C.P＜Q D.P≤Q1234解析 不妨设a≥b≥c＞0，
则a2≥b2≥c2＞0.
由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以P≥Q.解析答案√2.已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11.将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是
A.324 B.314
C.304 D.212答案√1234解析 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5
＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.解析3.n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为____.1234n解析答案解析 设0＜a1≤a2≤a3≤…≤an，则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和.
故最小值为反序和1234证明证明 由题意不妨设a≥b＞0.1.对排序不等式的理解
排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.
2.排序不等式的本质
两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.规律与方法3.排序不等式取等号的条件
等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝b3＝…＝bn.
4.排序原理的思想
在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.本课结束 课件30张PPT。二 一般形式的柯西不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标
1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.
2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.
3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 三维形式的柯西不等式思考1 类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？答案 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，∵|α||β|≥|α·β|，思考2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案 当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立.梳理 三维形式的柯西不等式(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0知识点二 一般形式的柯西不等式(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)22.柯西不等式等号成立的条件
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得 (i＝1,2，…，n)时等号成立.ai＝kbi题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用例1 设a，b，c为正数，且不全相等.证明由柯西不等式知，因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序.
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的.
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.证明 由柯西不等式知，＝(1＋1＋1)2＝9，
∴原不等式成立.证明命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用证明 由柯西不等式，得证明反思与感悟 一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式.证明＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，类型二 利用柯西不等式求函数的最值例3 (1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为________.解析 ∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，解析答案解析答案反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件.跟踪训练3 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；解 因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.
又a＞0，b＞0，
所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c，
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.解答解 由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得＝(a＋b＋c)2＝16，解答达标检测1234答案解析＝8(x＋y＋z)＝16√1234答案√解析∴a＋2b＋3c的最小值为9.＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，
当且仅当a＝b＝c＝d时取等号.123416解析答案1234证明规律与方法2.要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧.对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.本课结束 课件33张PPT。复习课第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标
1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.
2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.
3.理解排序不等式及应用.
4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式：_______________________________________
_________.
(2)柯西不等式的向量形式：_______________________________________
______________________________________________.
(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么
______________________________________.若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立2.一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则_______________
_______________________________________.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立.
3.排序不等式
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤__________________
≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.a1c1＋a2c2＋…＋ancn题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式证明证明 由柯西不等式知，又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立.反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会.证明类型二 利用排序不等式证明不等式证明 不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)证明引申探究证明 不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，
有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC).证明反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.
(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷.证明证明 由a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c，由排序不等式，得再次由排序不等式，得类型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值例3 (1)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值.解 由柯西不等式，得
(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]
≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，解答解答解 设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，
且b1＜b2＜b3＜b4＜b5.
因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5.由排序不等式，得反思与感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧
(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理.在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易.
(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略.解答达标检测1234解析答案√＝3×3＝9.
∴y≤3，y的最大值为3.2.已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最大值是
A.1 B.2 C.3 D.4解析答案√1234即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
∴5－a2≥(3－a)2.
解得1≤a≤2.
验证：当a＝2时，等号成立.3.已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为√解析 由柯西不等式得
(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2，1234解析答案1234证明证明 不妨设a≥b≥c＞0，1.对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式.
2.参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想.
3.对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列.规律与方法4.数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系.本课结束
