课件35张PPT。一 数学归纳法第四讲 用数学归纳法证明不等式学习目标
1.了解数学归纳法的基本原理.
2.了解数学归纳法的应用范围.
3.会用数学归纳法证明一些简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.
思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ①第一辆自行车倒下；
②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.思考2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案 适合解决一些与正整数n有关的问题.梳理 数学归纳法的概念及步骤
(1)数学归纳法的定义
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当 时命题成立；
②假设当 时命题成立，证明 时命题也成立.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N＋，且k≥n0)(2)数学归纳法适用范围
数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明.
(3)数学归纳法的基本过程正整数题型探究类型一 用数学归纳法证明等式(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，原等式对n∈N＋均成立.证明反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设.证明(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2所以当n＝k＋1时等式也成立.
由(1)(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.类型二 证明与整除有关的问题例2 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除.证明证明 (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除.
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2
＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2).
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除.
即当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除.
由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立.反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.跟踪训练2 用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N＋).证明证明 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，
所以结论成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时结论成立，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3).
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，
所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，
即当n＝k＋1时结论也成立.
由(1)(2)知，命题对一切n∈N＋成立.类型三 用数学归纳法证明几何命题例3 有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋).证明证明 (1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，
且f(1)＝1－1＋2＝2，
所以n＝1时命题成立.
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分.
则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，
故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k
＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立.
综合(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立.反思与感悟 (1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可.
(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明.证明证明 (1)当n＝1时，一条直线把平面分成两个区域，∴n＝1时命题成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，第k＋1条直线被这k条直线分成k＋1段，每段把它们所在的区域分成了两块，
因此增加了k＋1个区域，∴当n＝k＋1时命题也成立.
由(1)(2)知，对一切的n∈N＋，此命题均成立.达标检测1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为
A.1 B.2 C.3 D.41234解析 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.解析答案√2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝ (n∈N＋，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为
A.1 B.1＋a＋a2
C.1＋a D.1＋a＋a2＋a3答案√1234解析 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.解析3.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________________________________________________
____________.1234答案解析 34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝81×34k＋1＋25×52k＋1＝81×34k＋1＋81×52k＋1－56×52k＋1＝81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1.解析81×(34k＋1＋52k＋1)－56×52k＋1(或25×(34k＋1＋52k＋1)＋56×34k＋1)12344.用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以当n＝k＋1时等式成立.
由(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.证明1.应用数学归纳法时应注意的问题
(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3.
(2)对n＝k＋1时式子的项数以及n＝k与n＝k＋1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
(3)“假设n＝k时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.2.判断利用数学归纳法证明问题是否正确.
(1)是要看有无归纳基础.
(2)是证明当n＝k＋1时是否应用了归纳假设.
3.与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明.其中关键问题是从当n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立.本课结束 课件31张PPT。二 用数学归纳法证明不等式第四讲 用数学归纳法证明不等式学习目标
1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.
2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式.
3.体会归纳—猜想—证明的思想方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 用数学归纳法证明不等式思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？答案 (1)归纳奠基：验证初始值n＝n0.
(2)归纳递推：在假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，证明n＝k＋1时问题成立.思考2 证明不等式与证明等式有什么不同？答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”.梳理 (1)利用数学归纳法证明不等式
在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k时命题成立，推导n＝k＋1命题成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行.
(2)贝努利(Bernoulli)不等式
如果x是实数，且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则有 .比较法分析法综合法放缩法(1＋x)n＞1＋nx(3)贝努利不等式的推广
事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数α时，
仍有类似不等式成立.
①当α是实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)；
②当α是实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1).题型探究类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式证明(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，命题成立，即当n＝k＋1时，命题成立.
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N＋，n≥2都成立.反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一.左边＜右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N＋)时，不等式成立，则当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，不等式成立.由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.证明类型二 利用数学归纳法证明数列不等式当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.解答证明证明 ①当n＝1时，②假设当n＝k(k≥1)时，不等式成立，由①②可知，对任意n∈N＋不等式都成立.反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础.
(2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明.证明当n＝k＋1时，达标检测1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证
A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝41234解析 由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.解析答案√1234解析答案√1234解析 当n＝k＋1时，目标不等式为解析答案1234解答1234又a∈N＋，∴正整数a的最大值为25.(1)当n＝1时，不等式显然成立.1234当n＝k＋1时，有1234即n＝k＋1时不等式也成立.数学归纳法证明不等式的技巧
(1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.
(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程.本课结束 课件44张PPT。复习课第四讲 用数学归纳法证明不等式学习目标
1.梳理数学归纳法的思想方法，初步形成“归纳—猜想—证明”的思维模式.
2.熟练掌握用数学归纳法证明不等式、等式等问题的证明步骤.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.数学归纳法是用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法.
2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
(1)证明当n＝n0时命题成立.
(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.完成以上两个步骤，就可以断定命题对不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.3.在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推，递推是实现从有限到无限飞跃的关键.
4.用数学归纳法证明不等式，关键是在假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立的条件下，推出当n＝k＋1时命题成立这一步，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要用到分析法，综合法，放缩法等相关知识和方法.题型探究类型一 归纳—猜想—证明例1 已知数列{an}的第一项a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋).
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，解答证明(2)用数学归纳法证明{an}的通项公式.证明 ①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立.
②假设当n＝k时成立，
即ak＝5×2k－2(k≥2，k∈N＋)，
当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2故当n＝k＋1时公式也成立.
由①②可知，对n≥2，n∈N＋有an＝5×2n－2.反思与感悟 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明.即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明.跟踪训练1 设f(n)＞0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值；解 由于对任意自然数n1和n2，
总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2).
取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)＞0(n∈N＋)，
∴f(1)＝2.
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.解答(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想.解 由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，
猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立.
②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝2k成立.
当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立.
由①②知猜想正确，即f(n)＝2n，n∈N＋.解答类型二 用数学归纳法证明等式或不等式命题角度1 用数学归纳法证明等式(以三角函数为背景)证明证明 (1)当n＝2时，
左边＝tan α·tan 2α，＝tan α·tan 2α，等式成立.(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，当n＝k＋1时，
tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α所以当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)和(2)知，当n≥2，n∈N＋时等式恒成立.反思与感悟 归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用广泛.用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：(1)论证命题的起始正确性，是归纳的基础；(2)推证命题正确的可传递性，是递推的依据.两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征.证明证明 (1)当n＝1时，左边＝2cos x－1，即左边＝右边，∴命题成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，当n＝k＋1时，
左边＝(2cos x－1)(2cos 2x－1)…·(2cos 2k－1x－1)·(2cos 2kx－1)∴当n＝k＋1时命题成立.
由(1)(2)可知，当n∈N＋时命题成立.命题角度2 用数学归纳法证明不等式证明(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，结论成立，则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，结论成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式，除了注意数学归纳法规范的格式外，还要注意灵活利用问题的其他条件及相关知识.证明证明 (1)当n＝2时，(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立.类型三 用数学归纳法证明整除问题例4 用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除.证明 (1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，
即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除.
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1).
因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，
所以2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，
即当n＝k＋1时命题成立.
由(1)和(2)知，对任意n∈N＋原命题成立.证明反思与感悟 用数学归纳法证明整除问题的关键点
(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证.
(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.跟踪训练4 设x∈N＋，n∈N＋，
求证：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除.证明证明 (1)当n＝1时，x3＋(x＋1)3＝[x＋(x＋1)]·[x2－x(x＋1)＋(x＋1)2]＝(2x＋1)(x2＋x＋1)，结论成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，结论成立，
即xk＋2＋(x＋1)2k＋1能被x2＋x＋1整除，
那么当n＝k＋1时，
x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1
＝x·xk＋2＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1
＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x＋1)2(x＋1)2k＋1－x(x＋1)2k＋1
＝x[xk＋2＋(x＋1)2k＋1]＋(x2＋x＋1)·(x＋1)2k＋1.由假设知，xk＋2＋(x＋1)2k＋1及x2＋x＋1均能被x2＋x＋1整除，
故x(k＋1)＋2＋(x＋1)2(k＋1)＋1能被x2＋x＋1整除，
即当n＝k＋1时，结论也成立.
由(1)(2)知，原结论成立.达标检测1234答案证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；A.从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设 B.归纳假设的写法不正确
C.从k到k＋1的推理不严密 D.当n＝1时，验证过程不具体√2.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是
A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D.若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析答案√1234解析 对于D，∵f(4)＝25≥42，
∴当k≥4时，均有f(k)≥k2.(k2＋1)＋…＋(k＋1)2解析 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.1234解析答案1234证明所以a0＜a1＜2，命题正确.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时命题成立，即ak－1＜ak＜2.
则当n＝k＋1时，1234而ak－1－ak＜0,4－ak－1－ak＞0，所以ak－ak＋1＜0.1234所以当n＝k＋1时命题正确.
由(1)(2)可知，对一切n∈N，有an＜an＋1＜2.1.在推证“n＝k＋1”命题也成立时，必须把归纳假设“n＝k”时的命题作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，弄错项数发生的变化是常见错误.
2.用数学归纳法证明的问题通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式或不等式是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、归纳，猜想出一个等式或不等式，然后再用数学归纳法证明.3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式以及数列有关的命题是考查的重点，主要考查用数学归纳法证明数学命题的能力，同时考查分析问题、解决问题的能力.本课结束
