课件32张PPT。第1课时 不等式的基本性质第一讲 一 不等式学习目标
1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小.
2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 不等式的基本性质思考 你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？答案 作差，与0比较.类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本性质.梳理 (1)两个实数a，b的大小关系(2)不等式的基本性质
①对称性：a＞b? .
②传递性：a＞b，b＞c? .
③可加性： ?a＋c＞b＋c.
④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么 ；
如果a＞b，c＜0，那么 .
⑤乘方：如果a＞b＞0，那么an bn(n∈N，n≥2).b＜aa＞ca＞bac＞bcac＜bc＞＞a-b>0a-b=0a-b<0题型探究类型一 作差比较大小因为a＞b＞0，
所以a－b＞0，b(b＋1)＞0，解答(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)因为x＞1，所以x－1＞0.所以x3－1＞2x2－2x.解答反思与感悟 比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等.∵x，y均为正数，
∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.
∴m－n≥0，即m≥n.(当且仅当x＝y时，等号成立)解答类型二 不等式基本性质的应用命题角度1 判断不等式是否成立例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.解 正确.
因为a＞b＞0，所以ab＞0.解答解 正确.
因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b，解答解 不正确.即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.解答解 正确.所以a2b－b＜ab2－a?a2b－ab2－b＋a＜0?ab(a－b)＋(a－b)＜0?(a－b)(ab＋1)＜0，
所以a－b＜0，即a＜b.解答反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技巧
①要判断一个命题为真命题，必须严格证明；
②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中，举反例在解选择题时用处很大.
(2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项
①倒数法则要求两数同号；
②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；
③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减.跟踪训练2 下列命题中正确的是________.(填序号)②④解析答案对于②，a2＋b2＋5－(4a－2b)
＝a2－4a＋b2＋2b＋5
＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2＋5≥2(2a－b)，∴②对；
对于③，由于a＞b不能保证a，b同时大于0，
∴a2＞b2不成立，∴③不对；对于④，∵c2＋1＞0，命题角度2 证明不等式成立证明 ∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，又0＜b＜a，证明引申探究证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，证明证明反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.证明达标检测12341.若a＜b＜0，则下列结论不正确的是
A.a2＜b2 B.ab＜a2
C. D.|a|－|b|＝|a－b|解析 ∵a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0，
即(－a)2＞(－b)2，
∴a2＞b2.解析答案5√2.若a＜0，－1＜b＜0，则有
A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞a
C.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a解析 ∵－1＜b＜0，
∴b＜b2＜1.
∵a＜0，
∴ab＞ab2＞a.解析答案√12345123453.下列说法中，正确的个数是____.
①若a＞b，则ac2＞bc2；②若a≥b，则ac2≥bc2；4解析 当c2＝0时，①不正确；②正确；③正确；④正确；⑤正确；
当a＝b时，⑥不正确.解析答案12345又10＜b＜20，解析答案123455.设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是_______________.ab≠1或a≠－2解析 ∵x＞y，
∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)
＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5
＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab≠1或a≠－2.解析答案1.不等式的基本性质是不等式变形的依据，每一步变形都要做到有根有据，严格按照不等式的性质进行.
2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较.
3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中一定要注意不等式成立的条件.规律与方法本课结束 课件38张PPT。第2课时 基本不等式第一讲 一 不等式学习目标
1.理解并掌握重要不等式(定理1)和基本不等式(定理2).
2.能运用这两个不等式解决函数的最值或值域问题，能运用这两个不等式证明一些简单的不等式.
3.能运用基本不等式(定理2)解决某些实际问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 基本不等式思考 回顾a2＋b2≥2ab的证明过程，并说明等号成立的条件.答案 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab.梳理 (1)重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 2ab，当且仅当 时，等号成立.
(2)基本不等式②定理2的应用：对两个正实数x，y，
(ⅰ)如果它们的和S是定值，则当且仅当 时，它们的积P取得最 值；
(ⅱ)如果它们的积P是定值，则当且仅当 时，它们的和S取得最 值.≥a＝ba＝bx＝y大x＝y小题型探究类型一 不等式的证明证明例1 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.证明 方法一 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.方法二 ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.引申探究证明 ∵a2＋b2≥2ab，≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1，证明证明 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.
又a，b，c∈R＋，当且仅当a＝b＝c时取等号.证明反思与感悟 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d∈R＋，求证：(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd；证明 ∵a，b，c，d，∈R＋，∴(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当a＝d且b＝c时取等号.证明证明类型二 利用基本不等式求最值解答∴f(x)的最大值是－12.解答反思与感悟 在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值.
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取－1变为同正.
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决.√解析答案类型三 利用基本不等式解决实际应用问题例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.
(1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；解答当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，由题意，生产x万件化妆品正好销售完，
由年利润＝年销售收入—年生产成本—促销费用，(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？即当t＝7时，等号成立，ymax＝42，
∴当促销费用定在7万元时，年利润最大.解答反思与感悟 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约.跟踪训练3 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；解答解 如题图所示，设矩形的另一边长为a m.
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解 ∵x＞2，此时修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.解答达标检测12341.下列不等式中，正确的个数是解析答案5A.0 B.1 C.2 D.3√解析 显然①不正确；③正确；④不正确，如a＝1，b＝4.12345解析答案√12345123453.下列不等式的证明过程正确的是解析答案解析答案√解析 对于A，a，b必须同号；
对于B，cos x不一定大于0；
对于C，由x＜0，1234512345解析答案3且x＞1，即x＝2时等号成立.故函数的最小值为3.12345证明 ∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，证明1.对于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.规律与方法2.利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.本课结束 课件32张PPT。第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式第一讲 一 不等式学习目标
1.理解定理3.
2.能用定理3及其推广证明一些不等式.
3.会用定理解决函数的最值或值域问题.
4.能运用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单的实际问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 三项均值不等式梳理 (1)三个正数的算术—几何平均不等式(定理3)a＝b＝c≥(3)重要变形及结论题型探究类型一 用平均不等式求最值又y＝(x－1)2(3－2x)当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，解答即x＝3时等号成立.即ymin＝4.解答反思与感悟 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”.
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等.解答类型二 用平均不等式证明不等式证明引申探究当且仅当a＝b＝c时取等号.证明反思与感悟 证明不等式的方法
(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明.
(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.跟踪训练2 已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，
求证：(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.又∵xyz＝1，
∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27，
当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立.证明类型三 用平均不等式解决实际应用问题例3 如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②).当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积.解答解 设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0＜x＜1)，
则OB1＝B1B2＝x.由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1，
得OA1＝A1A2＝1，∴A1B1＝OA1－OB1＝1－x.
作B1C1⊥A1A2于点C1，
在Rt△A1C1B1中，
∠B1A1C1＝60°，于是容器的容积为当且仅当x＝x＝2－2x，反思与感悟 利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤
(1)理解题意，设变量.设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数.
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题.
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
(4)验证相等条件，得出结论.跟踪训练3 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？解答解 设内接圆柱的体积为V，达标检测12341.函数f(x)＝ ＋2x(x＞0)的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.6答案5√解析解析 ∵x＞0，答案√12345解析123453.已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是答案√解析12345123454.设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为
A.2 B.3 C.4 D.6答案√解析当且仅当a＝b＝1时，等号成立.123459解析 因为a＞0，b＞0，解析答案1.求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立.规律与方法本课结束 课件30张PPT。第1课时 绝对值三角不等式第一讲 二 绝对值不等式学习目标
1.进一步理解绝对值的意义.
2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2).
3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 绝对值三角不等式思考1 实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？答案 |a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离.思考2 代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？答案 表示数轴上的点x到点－2,3的距离之和.梳理 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 时，等号成立.
几何解释：用向量a，b分别替换a，b.
①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为_________________
_____；
②若a，b共线，当a与b 时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b 时，|a＋b|＜|a|＋|b|；
由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式.
③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.ab≥0两边之和大于第三边反向同向(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
当且仅当 时，等号成立.
几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，
当点B在点A，C之间时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
当点B不在点A，C之间时：
①点B在A或C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|；
②点B不在A，C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.(a－b)(b－c)≥0＝＝＜题型探究类型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足|x－a|＜1.
求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.证明 ∵f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1，
∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|
＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)|
＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2|
＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)|
≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3，
∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.证明反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧
一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明.
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.证明 ∵|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|
＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|
≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|
≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|，∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.证明类型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；解 方法一 ||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.
方法二 把函数看作分段函数，∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.解答(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取值范围.解 只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，
则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，
而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，
当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立.
∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.
∴a的取值范围为(－∞，1].解答反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式.
(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.跟踪训练2 (1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；解 ∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.解答(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.解 ∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴|x－3|＋|x＋1|≥4.
∴当a＜4时，|x－3|＋|x＋1|＞a的解集为R.
又∵|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，
∴a≥4.∴a的取值范围是[4，＋∞).解答类型三 绝对值三角不等式的综合应用(1)证明：f(x)≥2；证明(2)若f(3)＜5，求a的取值范围.解答反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件.跟踪训练3 设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，恒有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.证明 因为当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，
所以|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，
又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，
所以|f(2)|＝|4a＋2b＋c|
＝|3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－3c|
＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|
≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤3＋1＋3＝7，
所以|f(2)|≤7.证明达标检测1234解析 |4x＋2y－4m－2n|＝|4(x－m)＋2(y－n)|解析答案5√2.已知a为实数，则“|a|≥1”是“关于x的绝对值不等式|x|＋|x－1|≤a有解”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由|a|≥1得a≤－1或a≥1.
因为关于x的不等式|x|＋|x－1|≤a有解，而|x|＋|x－1|≥|x＋1－x|＝1，
所以a≥1.
故“|a|≥1”是“关于x的绝对值不等式|x|＋|x－1|≤a有解”的必要不充分条件.解析答案√1234512345答案√∴m≤n.解析123454.已知关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________.解析 ∵|x－1|＋|x＋a|≥|x－1－(x＋a)|＝|a＋1|，
且关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，
∴|a＋1|≤8，解得－9≤a≤7，即a的最小值是－9.解析答案－9123455.下列四个不等式：①|logx10＋lg x|≥2；②|a－b|＜|a|＋|b|；③
≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________.(把你认为正确的序号都填上)①③④解析答案当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确.123451.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，当ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的.
2.求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有
(1)借助绝对值的定义，即零点分段.
(2)利用绝对值的几何意义.
(3)利用绝对值不等式的性质定理.规律与方法本课结束 课件47张PPT。第2课时 绝对值不等式的解法第一讲 二 绝对值不等式学习目标
1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 |ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法思考1 |x|≥2说明实数x有什么特征？答案 x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.
∴x≥2或x≤－2.思考2 若|2x－3|≤5，求x的取值范围.答案 {x|－1≤x≤4}.梳理 (1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法①|x|＜a?－a＜x＜a(a＞0)，
(a≤0).②|x|＞a? (a＜0)，
(a＝0)，
(a＞0).x＞a或x＜－a?Rx∈R且x≠0(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c? ，
②|ax＋b|≥c? .－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c知识点二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法思考 如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？答案 采用零点分段法.即令|x－a|＋|x－b|＝0，得
x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)梳理 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.
(2)以绝对值的“ ”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键.
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.
特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法.几何意义零点题型探究类型一 |ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法例1 解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；解答(2)2≤|x－2|≤4.由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，
由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}.解答反思与感悟 |ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为?.
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.跟踪训练1 解关于x的不等式：
||x－1|－4|＜2.解 ||x－1|－4|＜2?－2＜|x－1|－4＜2?2＜|x－1|＜6∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}.解答类型二 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法例2 解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.解答解 方法一 分类(零点分段)讨论法代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集.|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，方法二 构造函数f(x)＝|3x－2|＋|x－1|－3，
则原不等式的解集为{x|f(x)＞0}.作出函数f(x)的图象，如图.反思与感悟 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.跟踪训练2 解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.解答解 方法一 |x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.
由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1].方法二 令x＋7＝0，得x＝－7，令x－2＝0，得x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，∴x∈?.
∴原不等式的解集为(－∞，－1].
方法三 将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，
构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，作出函数的图象，由图象可知，
当x≤－1时，y≤0，
即|x＋7|－|x－2|－3≤0，
∴原不等式的解集为(－∞，－1].类型三 含绝对值不等式的恒成立问题例3 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≤6的解集；解答解 ∵当a＝－3时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，
∴f(x)≤6，等价于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，
令g(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，作y＝g(x)的图象，如图，∴f(x)≤6的解集为[－1,2].(2)若关于x的不等式f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解 ∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，
∴f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可.
由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，解答引申探究
若f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范围.解 ∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|
＝|a－1|，∴f(x)max＝|a－1|.
∵f(x)＜a恒成立，∴|a－1|＜a，∴－a＜a－1＜a，解答反思与感悟 不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题.f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.跟踪训练3 已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的取值范围.
(1)若不等式有解；解答解 方法一 因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差，
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
则(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为(－∞，1).
方法二 由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
若不等式有解，则m∈(－∞，1).(2)若不等式的解集为R；解 方法一 若不等式的解集为R，
即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，
即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1).
方法二 若不等式的解集为R，
则m∈(－∞，－1).解答(3)若不等式的解集为?.解 方法一 若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞).
方法二 若不等式的解集为?，则m∈[1，＋∞).解答达标检测1.不等式|x＋1|＞3的解集是
A.{x|x＜－4或x＞2} B.{x|－4＜x＜2}
C.{x|x＜－4或x≥2} D.{x|－4≤x＜2}1234解析 |x＋1|＞3，则x＋1＜－3或x＋1＞3，
因此x＜－4或x＞2.解析答案5√12345答案√解析123453.不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是
A.(－3,2) B.(－1,3)
C.(－4,1) 解析 |x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，
根据－2，－1之间的距离为1，可得到与－2，－1距离和为5的点是－4,1.
因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1).解析答案√123454.已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是
A.m＞1 B.m≥1
C.m＞2 D.m≥2解析 ∵|x－5|＋|x－3|≥|(x－5)－(x－3)|＝2，
∴m＞2.解析答案√123455.解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解答|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x－(3x＋2)≥8|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x＋3x＋2≥8?x≥5，
∴x∈?.12345|2x－1|＋|3x＋2|≥8?5x＋1≥8123451.解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c
(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.
(2)当c＜0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.规律与方法2.解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即
(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.本课结束 课件39张PPT。复习课第一讲 不等式和绝对值不等式学习目标
1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.
2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.
3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.
4.会解绝对值不等式.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可.
2.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b? .
(2)传递性：a＞b，b＞c? .
(3)可加性： ?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么 ；
如果a＞b，c＜0，那么 .
(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an bn(n∈N，n≥2).b＜aa＞cac＞bcac＜bc＞＞a＞b3.基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立).
(2)定理2：如果a，b＞0，那么 (当且仅当a＝b时，等号成立).
(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立).(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求.
4.绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法
(1)根据绝对值的定义.
(2)分区间讨论(零点分段法).
(3)图象法.5.绝对值三角不等式
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离.
(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立).
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立).
(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0).
(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).题型探究类型一 不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件解析 易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.
若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d.解析答案√反思与感悟 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想.跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是
A.a2＞a＞－a2＞－a B.－a＞a2＞－a2＞a
C.－a＞a2＞a＞－a2 D.a2＞－a＞a＞－a2解析 由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.解析答案√类型二 基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式证明证明 ∵a＞b＞c＞d，
∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式.跟踪训练2 设a，b，c均为正数，
证明：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.证明 (ab＋a＋b＋1)·(ab＋ac＋bc＋c2)
＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)∴所证不等式成立.证明命题角度2 求最大、最小值3当且仅当x＝3z时取“＝”.解析答案反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.解析答案√类型三 含绝对值的不等式的解法例4 解下列关于x的不等式.
(1)|x＋1|＞|x－3|；解答解 方法一 |x＋1|＞|x－3|，
两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}.
方法二 分段讨论：
当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈?；
当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，
即x＞1，∴此时1＜x≤3；
当x＞3时，有x＋1＞x－3，∴x＞3.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}.(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.解答③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.这种方法通常称为零点分段法.跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|，得2≥4，无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.解答(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值.解 记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，解答类型四 恒成立问题例5 设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；解 当a＝1时，
f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，
∴f(x)min＝4.解答当a＜0时，上式成立；综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}.解答反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题.当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法.跟踪训练5 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}.
(1)求a的值；解 由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2，
∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
∴当a≤0时，不合题意.∴a＝2.解答∴|h(x)|≤1，∴k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞).解答达标检测1.给出下列四个命题：
①若a＞b，c＞1，则alg c＞blg c；②若a＞b，c＞0，则alg c＞blg c；
③若a＞b，则a·2c＞b·2c；④若a＜b＜0，c＞0，则
其中正确命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.41234解析 ①正确，c＞1，lg c＞0；
②不正确，当0＜c≤1时，lg c≤0；
③正确，2c＞0；解析答案√2.设6＜a＜10， ≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是
A.9＜c＜30 B.0≤c≤18
C.0≤c≤30 D.15＜c＜30解析答案√1234即9＜c＜30.1234答案解析3.不等式4＜|3x－2|＜8的解集为______________________________.12344.解不等式3≤|x－2|＜4.解答由①得x－2≤－3或x－2≥3，∴x≤－1或x≥5.
由②得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.
方法二 3≤|x－2|＜4?3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3?5≤x＜6或－2＜x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.1.本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法.
2.重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式.
3.重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题.规律与方法本课结束
