2019高考数学（文）”一本“培养优选练：压轴大题抢分练1+Word版含解析

压轴大题抢分练(一)
(建议用时：60分钟)
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点M(3，m)到焦点F的距离为4.
(1)求抛物线方程；
(2)点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线为x＝－，
由抛物线的定义可知：4＝3＋，p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)由于抛物线y2＝4x的焦点F为(1,0)，准线为x＝－1，
设直线AB：x＝my＋1，与y2＝4x联立，消去x，整理得：
y2－4my－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，t)，有
易知k3＝－，而k1＋k2＝＋
＝
＝
＝＝－t＝2k3，
∴存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝λk3恒成立．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求证：k1·k2＝－；
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值？并说明理由．
[解]　(1)∵k1，k2存在，
∴x1x2≠0，
∵m·n＝0，m＝，n＝，
∴＋y1y2＝0，
∴k1·k2＝＝－.
(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
由＝－得，－y＝0，
又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.
∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，
∴S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
综上可得，△POQ的面积S为定值．
3．已知f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)都有ln x＞－.
[解]　(1)f′(x)＝1＋ln x，在上，
f′(x)＜0，f(x)递减，在上，
f′(x)＞0，f(x)递增，所以f(x)在x＝时，取得最小值f＝－.
(2)要证：ln x＞－只需证：xln x＞－，因为f(x)＝xln x在(0，＋∞)最小值为－，所以构造函数g(x)＝－(x＞0)，
g′(x)＝，因此g(x)在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，所以g(x)最大值为g(1)＝－，又因为f(x)与g(x)的最值不同时取得，所以f(x)＞g(x)，
即xln x＞－，
所以ln x＞－.
4．已知函数f(x)＝ln x＋＋a.
(1)若曲线f(x)在x＝1处的切线l过点(－1,0)，求a的值及切线l的方程；
(2)若存在唯一整数x0，使得f(x0)＜0，求实数a的取值范围，并判断此时方程f(x)＝0的实根个数．
[解]　(1)因为f′(x)＝－＋2，所以f(1)＝a＋6，f′(1)＝2，
由曲线f(x)在x＝1处的切线过点(－1,0)，可得切线l的斜率k＝f′(1)＝，即＝2，
所以a＝－2，且切线l的方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.
(2)由题可知：f′(x)＝(x＞0)，所以当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
若存在唯一整数x0，使得f(x0)＜0，则x0＝1，
所以即
所以－ln 2－≤a＜－6，
所以实数a的取值范围为.
结合f(x)在上单调递减，在上单调递增，
且f(1)＜0，f(2)≥0，f＝e3＋＋a＞0，
可知f(x)＝0在上及上各有1个实根，
所以f(x)＝0有2个实根．