2019高考数学（文）”一本“培养优选练：压轴大题抢分练2+Word版含解析

压轴大题抢分练(二)
(建议用时：60分钟)
1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点K(－1,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A，B两点在x轴上方)，点A关于x轴的对称点为D，且FA⊥FB，求△ABD的外接圆的方程．
[解]　(1)抛物线的准线方程为x＝－，
所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋＝3，
解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)法一：设直线l的方程为x＝my－1(m＞0)．
将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0.
由Δ＝(－4m)2－16＞0，解得m＞1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，－y1)，
y1＋y2＝4m，y1y2＝4，
所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝8－4m2，
因为FA⊥FB，所以·＝0，
即8－4m2＝0，结合m＞0，解得m＝.
所以直线l的方程为x－y＋1＝0.
设AB的中点坐标为(x0，y0)，
则y0＝＝2m＝2，x0＝my0－1＝3，
所以线段AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)．
因为线段AD的垂直平分线方程为y＝0，
所以△ABD的外接圆圆心坐标为(5,0)．
因为圆心(5,0)到直线l的距离d＝2，
且|AB|＝＝4，
所以圆的半径r＝＝2.
所以△ABD的外接圆的方程为(x－5)2＋y2＝24.
法二：依题意可设直线l：y＝k(x＋1)(k＞0)．
将直线l与抛物线C的方程联立并整理得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.
由Δ＝(2k2－4)2－4k4＞0，结合k＞0，得0＜k＜1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2＋，x1x2＝1.
所以y1y2＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝4.
所以·＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝8－，
因为FA⊥FB，所以·＝0，
所以8－＝0，又k＞0，解得k＝.
以下同法一．
2．已知动点M(x，y)满足：＋＝2.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)设A，B是轨迹E上的两个动点，线段AB的中点N在直线l：x＝－上，线段AB的中垂线与E交于P，Q两点，是否存在点N，使以PQ为直径的圆经过点(1,0)，若存在，求出N点坐标，若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由＋＝2知，动点M到定点(－1,0)和(1,0)的距离之和等于2，根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以定点(－1,0)和(1,0)为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，故b＝1，因此椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，
此时P(－，0)，Q(，0)，·＝－1，不合题意；
当直线AB不垂直于x轴时，设存在点N(m≠0)点，直线AB的斜率为k，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0，
则－1＋4mk＝0，
故k＝，此时，直线PQ斜率为k1＝－4m，
PQ的直线方程为y－m＝－4m，即y＝－4mx－m，
联立消去y，整理得：(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
由题意·＝0，于是
·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋(4mx1＋m)(4mx2＋m)
＝(1＋16m2)x1·x2＋(4m2－1)(x1＋x2)＋1＋m2
＝＋＋1＋m2＝＝0，
∴m＝±，因为N在椭圆内，∴m2＜，
∴m＝±符合条件，
综上所述，存在两点N符合条件，坐标为N－，±.
3．设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
[解]　(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln x＜x－1.
故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln＜－1，即1＜＜x.
(3)由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxln c，令g′(x)＝0，
解得x0＝.
当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
4．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)(a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：
f(x2)＞－.
[解]　(1)由已知条件，f(x)＝x(ln x－x)，当x＝1时，f(x)＝－1，
f′(x)＝ln x＋1－2x，当x＝1时，f′(x)＝－1，所以所求切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知条件可得f′(x)＝ln x＋1－2ax有两个相异实根x1，x2，
令f′(x)＝h(x)，则h′(x)＝－2a(x＞0)，
①若a≤0，则h′(x)＞0，h(x)单调递增，f′(x)不可能有两根；
②若a＞0，
令h′(x)＝0得x＝，可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，
令f′＞0解得0＜a＜，
由＜有f′＝－＜0，
由＞有f′＝－2ln a＋1－＜0，
从而0＜a＜时函数f(x)有两个极值点，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
f(x1)
?
f(x2)
?
因为f′(1)＝1－2a＞0，所以x1＜1＜x2，f(x)在区间[1，x2]上单调递增，
∴f(x2)＞f(1)＝－a＞－.