2019高考数学（理）”一本“培养优选练：小题模拟练1+Word版含解析

小题模拟练(一)
(建议用时：40分钟)
(对应学生用书第130页)
一、选择题
1．已知集合A＝{x|lg(x－2)＜1}，集合B＝{x|x2－2x－3＜0}，则A∪B＝(　　 )
A．(2,12) B．(－1,3)
C．(－1,12) D．(2,3)
C　[A＝{x|lg(x－2)＜1}＝{x|0＜x－2＜10}＝(2,12)，
B＝{x|x2－2x－3＜0}＝(－1,3)，所以A∪B＝(－1,12)，选C.]
2．设(1＋i)(x＋yi)＝2i，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　 )
A．1 B.
C. D．2
D　[ (1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2i，
∴x－y＝0，x＋y＝2，∴x＝y＝.则
|x＋yi|＝＝2.]
3．(2018·石家庄市一模)函数f(x)＝2x(x＜0)，其值域为D，在区间(－1,2)上随机取一个数x，则x∈D的概率是(　　 )
A. B.
C. D.
B　[函数f(x)＝2x(x＜0)的值域为(0,1)，即D＝(0,1)，则在区间(－1,2)上随机取一个数x，x∈D的概率P＝＝.故选B.]
4．今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织的布的尺数为(不作近似计算)(　　 )
A. B.
C. D.
C　[由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d，前30项和为390.根据等差数列前n项和公式，有390＝30×5＋d，解得d＝.]
5. 已知x，y满足约束条件则的最大值是(　　 )
A．－2 B．－1
C. D．2
D　[画出不等式组表示的平面区域，则表示的几何意义是区域内包括边界上的动点M(x，y)与原点连线的斜率，故其最大值为O，A两点的连线的斜率，即k＝2，故应选D.]
6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图32所示，则剩余部分的表面积等于(　　 )
图32
A．39π B．48π
C．57π D．63π
B　[由三视图可知剩余几何体是圆柱挖去一个圆锥的几何体，且圆柱底面圆的半径为3，母线长为4，则圆锥的母线长为5，所以剩余部分的表面积S＝π×32＋2π×3×4＋π×3×5＝48π，故应选B.]
7．以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为(　　 )
A．x2＋y2－20x＋64＝0 B．x2＋y2－20x＋36＝0
C．x2＋y2－10x＋16＝0 D．x2＋y2－10x＋9＝0
C　[∵抛物线y2＝20x的焦点F(5,0)，∴所求圆的圆心(5,0)，∵双曲线－＝1的两条渐近线分别为3x±4y＝0，∴圆心(5,0)到直线3x±4y＝0的距离即为所求圆的半径R，∴R＝＝3，∴圆的方程为(x－5)2＋y2＝9，即x2＋y2－10x＋16＝0，故选C.]
8．已知0＜a＜b＜1，则(　　 )
A.＜1 B.＞
C．aln a＜bln b D．aa＞bb
B　[因为0＜a＜b＜1，所以ln a＜ln b＜0，所以＞1，故A错误；又0＞＞，所以0＜－＜－，所以0＜－＜－，所以＞，B正确；又－ln a＞－ln b＞0，所以－aln a与－bln b的大小不确定，故C错误；由指数函数的单调性可知aa＞ab，由幂函数的单调性可知ab＜bb，所以aa＞bb的大小关系不确定，故D错误．选B.]
9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A．4π B．8π
C．9π D．36π
C　[因为bcos A＋acos B＝2，所以由余弦定理可得，b×＋a×＝2，整理解得c＝2，又cos C＝，可得sin C＝＝.设△ABC的外接圆的半径为R，则2R＝＝6，所以R＝3，所以△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π.]
10．已知角θ始边与x轴的非负半轴重合，与圆x2＋y2＝4相交于点A，终边与圆x2＋y2＝4相交于点B，点B在x轴上的射影为C，△ABC的面积为S(θ)，则函数S(θ)的图象大致是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
B　[由题意A(2,0)，B(2cos θ，2sin θ)，所以S(θ)＝|BC||AC|＝(2－2cos θ)·2|sin θ|≥0，所以排除C，D.又当θ＝时，S(θ)＝＋1＞2，综上可知，B选项是正确的．]
11．已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)，将函数y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则当ω取最小值时，g(x)＝cos的单调递减区间为(　　 )
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
D　[函数f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin (ω>0)，将函数y＝|f(x)|的图象向左平移个单位长度后得到函数解析式为，又图象关于y轴对称，所以－＝＋，k∈Z，则当ω取最小值时，g(x)＝cos，由2kπ≤x＋≤2kπ＋π，
解得－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以当ω取最小值时，g(x)＝cos的单调递减区间为 (k∈Z)，故选D.]
12．已知函数f(x)＝e2x＋(a－e)ex－aex＋b(其中a，b∈R，e为自然对数的底数)在x＝1处取得极大值，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，0) B．[0，＋∞)
C．[－e,0) D．(－∞，－e)
D　[由f(x)＝e2x＋(a－e)ex－aex＋b可得：
f′(x)＝e2x＋(a－e)ex－ae＝(ex＋a)(ex－e)，
当a≥0时，由f′(x)＞0，可得f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增；
由f′(x)＜0，可得f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，无极大值，不符合题意．
当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln(－a)，只有当ln(－a)>1，即a<－e时，
由f′(x)＞0，可得f(x)在区间(－∞，1)，(ln(－a)，＋∞)上单调递增；
由f′(x)＜0，可得f(x)在区间(1，ln(－a))上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值，
所以若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则实数a的取值范围是(－∞，－e)．选D.]
二、填空题
13．已知向量e1与e2不共线，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则mn＝________.
1　[因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得＝λ，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得所以mn＝1.]
14．已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＋a5＝________.
20　[a4是x项的系数，由二项式的展开式得
a4＝C·C·2＋C·C·22＝16.
a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.
所以a4＋a5＝16＋4＝20.]
15．(2018·德阳联考)已知点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝120°，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率为___________．
　[设|PF2|＝x，|PF1|＝3x,2a＝4x，由余弦定理知(2c)2＝13x2，所以＝.]
16．已知三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，AB＝AD＝，BC＝1，CD＝，则该三棱锥的外接球的体积为________．
　[因为BC＝1，CD＝，BC⊥CD，所以BD＝2，又AB＝AD＝，所以AB⊥AD，所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为BD的中点，半径为1，所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为.]