专题五 中考数学中的尺规作图解题技巧
只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹.从各省市的中考来看，尺规作图题在选择题填空题和解答题都有考到，题目比较丰富，占的分值有3分，4分或者6分。难度一般。
熟记下面五种基本的尺规作图，此类问题可破解。
五种基本尺规作图
作一条线段等于已知线段
步骤：1.作射线OP； 2.在OP上截取OA=a，OA即为所求线段
作角的平分线
步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；3.画射线OP,OP即为所求角平分线
作线段的垂直平分线
步骤：1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径，在AB两侧作弧；2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线
作一个角等于已知角
步骤：1.在∠α上以点O为圆心、以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P、Q； 2.作射线O′A；3.以O′为圆心、OP长为半径作弧，交O′A于点M；4.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；5.过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角
过一点作已知直线的垂线
过直线外一点作已知直线的垂线
步骤：1.在直线另一侧取点M； 2.以P为圆心，以PM为半径画弧,交直线于A、B两点； 3.分别以A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；4. 连接PN,则直线PN即为所求垂线
过直线上一点作已知直线的垂线
步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A、B两点；2.分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M、N；3.连接MN，MN即为所求垂线
类型一：选择题中的尺规作图
【例题展示】
例题1（2017深圳市）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故选B．
【点评】基本作图；线段垂直平分线的性质．
例题2（2018江苏省南通市）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．70° D．45°
【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD=110°，
∴∠CAB=70°，
∵以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，
∴AP平分∠CAB，
∴∠CAM=∠BAM=35°，
∵AB∥CD，
∴∠CMA=∠MAB=35°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠BAM是解题关键．
例题3（2018湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
例题4（2018山东省潍坊市）如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
（1）作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C；
（2）以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD,BC
下列说法不正确的是( )
A.∠CBD=30° B.
C. 点C是△ABD的外心 D.
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD= AB，
∴S△ABD= AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC= AB2，
故A、B、C正确，
故选D．
【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【跟踪训练】
1.（2018湖北省宜昌市）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2018贵州省安顺市） 已知△ABC(ACA. B.
C. D.
3.（2018河南省）如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
4．（2018云南省昆明市）如图，点A在双曲线（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5.（2018浙江省台州市）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2018江苏省南通市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：
步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；
步骤3：连接DE，DF．
若AC=4，BC=2，则线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．
7.（2018四川省巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
8.（2018云南省曲靖市）如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
类型二：填空题中的作图题
【例题展示】
1.（2018江苏省南京市）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．
2.（2018山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是 ．
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=AC?DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
3.（2018江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
4.（2018吉林省长春市）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为 度．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
故答案为：37．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
【跟踪训练】
1.（2018辽宁省葫芦岛市）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= ．
2.（2018辽宁省抚顺市）如图，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
3.（2018内蒙古通辽市）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为 ．
4.（2018湖北省枣阳市一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为 ．
类型三：解答题中的作图题
【例题展示】
例题1（2018广东省 6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
例题2（2018深圳市8分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，
由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，
∴∠ACB=∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
又∵AC=CD，AB=DB，
∴AC=CD=DB=BA∴四边形ACDB是菱形，
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CE，
∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E，
△EAB∽△FCE
则：，
即，
解得：x=4，
过A点作AH⊥CD于H点，
∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴AH=，
∴四边形ACDB的面积为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键．
例题3（2018甘肃省定西市6分 ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切，
【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．
例题4（2018山东省威海市 8分 ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°． （1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)
【答案】解：(1)⊙O如图所示； (1)作OH⊥BC于H． 是的切线， ， ， 四边形ECHO是矩形， ，， 在中，， ，， ，， ∽， ， ， ．
【解析】作的角平分线交AC于E，作交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题； 作于首先求出OH、EC、BE，利用∽，可得，解决问题； 本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【跟踪训练】
1.（2018四川省达州市）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径．
2.（2018广东省潮州市一模 ）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC交于点E（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）；
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，CD的长是 .
3.（2018广东省东莞市一模 ）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．
（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．
4.（2018广东省普宁市一模 ）如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；
②作∠DAE的平分线交CD于点F；
③连接EF；
（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为 ．
5.（2018广西贵港市一模 ）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母 （保留作图痕迹，不写作法）．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；
（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为 ．
6.（2018广东省南海市一模 ）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
专题五 中考数学中的尺规作图解题技巧
只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹.从各省市的中考来看，尺规作图题在选择题填空题和解答题都有考到，题目比较丰富，占的分值有3分，4分或者6分。难度一般。
熟记下面五种基本的尺规作图，此类问题可破解。
五种基本尺规作图
作一条线段等于已知线段
步骤：1.作射线OP； 2.在OP上截取OA=a，OA即为所求线段
作角的平分线
步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M； 2.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；3.画射线OP,OP即为所求角平分线
作线段的垂直平分线
步骤：1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径，在AB两侧作弧；2.连接两弧交点所成直线即为所求线段的垂直平分线
作一个角等于已知角
步骤：1.在∠α上以点O为圆心、以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P、Q； 2.作射线O′A；3.以O′为圆心、OP长为半径作弧，交O′A于点M；4.以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；5.过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求角
过一点作已知直线的垂线
过直线外一点作已知直线的垂线
步骤：1.在直线另一侧取点M； 2.以P为圆心，以PM为半径画弧,交直线于A、B两点； 3.分别以A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，交M同侧于点N；4. 连接PN,则直线PN即为所求垂线
过直线上一点作已知直线的垂线
步骤：1.以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A、B两点；2.分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M、N；3.连接MN，MN即为所求垂线
类型一：选择题中的尺规作图
【例题展示】
例题1（2017深圳市）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故选B．
【点评】基本作图；线段垂直平分线的性质．
例题2（2018江苏省南通市）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（ ）
A．30° B．35° C．70° D．45°
【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD=110°，
∴∠CAB=70°，
∵以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，
∴AP平分∠CAB，
∴∠CAM=∠BAM=35°，
∵AB∥CD，
∴∠CMA=∠MAB=35°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠BAM是解题关键．
例题3（2018湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
例题4（2018山东省潍坊市）如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：
（1）作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C；
（2）以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD,BC
下列说法不正确的是( )
A.∠CBD=30° B.
C. 点C是△ABD的外心 D.
【分析】根据等边三角形的判定方法，直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质，直角三角形的性质一一判断即可；
【解答】解：由作图可知：AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
由作图可知：CB=CA=CD，
∴点C是△ABD的外心，∠ABD=90°，
BD= AB，
∴S△ABD= AB2，
∵AC=CD，
∴S△BDC= AB2，
故A、B、C正确，
故选D．
【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【跟踪训练】
1.（2018湖北省宜昌市）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
【点评】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
2.（2018贵州省安顺市） 已知△ABC(ACA. B.
C. D.
【分析】要使PA+PC=BC，必有PA=PB，所以选项中只有作AB的中垂线才能满足这个条件，故D正确．
【解答】解：D选项中作的是AB的中垂线，
∴PA=PB，
∵PB+PC=BC，
∴PA+PC=BC
故选D．
【点评】本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出PA=PB．
3.（2018河南省）如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
4．（2018云南省昆明市）如图，点A在双曲线（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；
【解答】解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC=CA=1，OK=AK，
在Rt△OFC中，CF=，
∴AK=OK=，
∴OA=，
由△FOC∽△OBA，可得，
∴，
∴OB=，AB=，
∴A（，），
∴k=．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.（2018浙江省台州市）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】只要证明BE=BC即可解决问题；
【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
6．（2018江苏省南通市）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：
步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；
步骤3：连接DE，DF．
若AC=4，BC=2，则线段DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由作图可知，四边形ECFD是正方形，
∴DE=DF=CE=CF，∠DEC=∠DFC=90°，
∵S△ACB=S△ADC+S△CDB，
∴×AC×BC=×AC×DE+×BC×DF，
∴DE=，
故选：D．
7.（2018四川省巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（ ）
A．CF=FG B．AF=AG C．AF=CF D．AG=FG
【解答】解：根据作图的步骤得到：EF是∠CBG的角平分线，
A、因为EF是∠CBG的角平分线，FG⊥AB，CF⊥BC，所以CF=FG，故本选项正确；
B、AF是直角△AFG的斜边，AF＞AG，故本选项错误；
C、EF是∠CBG的角平分线，但是点F不一定是AC的中点，即AF与CF不一定相等，故本选项错误；
D、当Rt△ABC是等腰直角三角形时，等式AG=FG才成立，故本选项错误；
故选：A．
8.（2018云南省曲靖市）如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC于点E，再分别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①∠LKB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=，④S△CGE：S△CAB=1：4．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
由作图可知：AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=22.5°，
∵PQ是AE的中垂线，
∴AE⊥PQ，
∴∠AOL=90°，
∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，
∴∠LKB=∠BAE=22.5°；
故①正确；
②∵OG是AE的中垂线，
∴AG=EG，
∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，
∴EG∥AB，
故②正确；
③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，
∴∠ALO=∠AGO，
∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，
∴∠CGF=∠BLK，
在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，
故③正确；
④连接EL，
∵AL=AG=EG，EG∥AB，
∴四边形ALEG是菱形，
∴AL=EL=EG＞BL，
∴，
∵EG∥AB，
∴△CEG∽△CBA，
∴，
故④不正确；
本题正确的是：①②③，
故选：A．
类型二：填空题中的作图题
【例题展示】
1.（2018江苏省南京市）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE= cm．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．
2.（2018山东省东营市）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是 ．
【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD=AC?DQ=×10×3=15，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
3.（2018江苏省淮安市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
【点评】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
4.（2018吉林省长春市）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为 度．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，
∴∠ABC=∠ACB=74°，
又∵BC=DC，
∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．
故答案为：37．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
【跟踪训练】
1.（2018辽宁省葫芦岛市）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= ．
【解答】解：由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF=90°．
∵OP平分∠MON，∴∠EOF=∠MON=×60°=30°．在Rt△OEF中，OF=, EF=．在Rt△AOF中，∠AOF=60°，∴OA=2OF=2．
故答案为：2．
2.（2018辽宁省抚顺市）如图，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7．
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
3.（2018内蒙古通辽市）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为 ．
【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC，
∴S△ADC=S△ABD=×62=9，
故答案为9．
4.（2018湖北省枣阳市一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为 ．
解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，
∵∠ACB=90°，
∴CF=FB，
∵∠B=32°，
∴∠BCF=32°，
∴∠AFC=32°+32°=64°，
类型三：解答题中的作图题
【例题展示】
例题1（2018广东省 6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．
例题2（2018深圳市8分）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，
由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，
∴∠ACB=∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
又∵AC=CD，AB=DB，
∴AC=CD=DB=BA∴四边形ACDB是菱形，
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CE，
∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E，
△EAB∽△FCE
则：，
即，
解得：x=4，
过A点作AH⊥CD于H点，
∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴AH=，
∴四边形ACDB的面积为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键．
例题3（2018甘肃省定西市6分 ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．
【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即可；
（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切，
【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键．
例题4（2018山东省威海市 8分 ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°． （1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)
【答案】解：(1)⊙O如图所示； (1)作OH⊥BC于H． 是的切线， ， ， 四边形ECHO是矩形， ，， 在中，， ，， ，， ∽， ， ， ．
【解析】作的角平分线交AC于E，作交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题； 作于首先求出OH、EC、BE，利用∽，可得，解决问题； 本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【跟踪训练】
1.（2018四川省达州市）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半径．
【分析】（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
【解答】解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF==，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
2.（2018广东省潮州市一模 ）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC交于点E（保留作图痕迹，不写作法，请标明字母）；
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，CD的长是
【解答】解：（1）如图，⊙C，点D、E为所作；
（2）∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
在Rt△BCD中，BD=BC=，
∴CD=BD=．
故答案为．
3.（2018广东省东莞市一模 ）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．
（1）请在图中用尺规作图的方法作出AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E （不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接AD，求证：△ABC∽△EDA．
【解答】（1）解：如图，DE为所作；
（2）证明：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA=DC，
∴∠CAD=∠C=30°，
∵∠DEA=∠BAC=90°，
∴△ABC∽△EDA．
4.（2018广东省普宁市一模 ）如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE；
②作∠DAE的平分线交CD于点F；
③连接EF；
（2）在（1）作出的图形中，若AB=8，AD=10，则tan∠FEC的值为 ．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，
∵AB=8，
∴BE==6，
在△DAF和△EAF中，
∵，
∴△DAF≌△EAF（SAS），
∴∠D=∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEC=90°，
又∵∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠FEC=∠BAE，
∴tan∠FEC=tan∠BAE===，
故答案为：．
5.（2018广西贵港市一模 ）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母 （保留作图痕迹，不写作法）．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；
（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为 ．
【解答】解：（1）如图所示：AM即为所求；
（2）如图所示：EF，AE即为所求；
（3）AE=AF，
理由：∵EF垂直平分线段AC，
∴AO=CO，
在△AEO和△CEO中，
，
∴△AEO≌△CEO（SAS），
∴∠AEO=∠CEO，
∵∠B+∠C=∠DAC，
∠DAM=∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
故答案为：AE=AF
6.（2018广东省南海市一模 ）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，BD为所作；
（2）线段DA=BC．理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD．
