限时训练06 中考中级练(一)
限时：30分钟 满分：26分
1．(4分)如图X6－1，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝
1
??
的图象上．若点B在反比例函数y＝
??
??
的图象上，则k的值为( )
/
图X6－1
A．2 B．－2 C．4 D．－4
2．(4分)如图X6－2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE＋AF＝a，则线段EF长度的范围是 ．?
/
图X6－2
3．(8分)如图X6－3，已知菱形ABCD，E是对角线BD上一点，用尺规在BD上确定一点F，使得∠CFD＝∠AEB，并说明理由．(保留作图痕迹，不写作法)
/
图X6－3
4．(10分)在数学活动中，我们已经学习了如果一个三角形两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大，小边所对的角较小，简称“大边对大角，小边对小角”;反之，“大角对大边，小角对小边”也成立．
如图X6－4，四边形ABCD内接于☉O，BD是☉O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是☉O的切线;
(2)试利用“大角对大边，小角对小边”的结论，比较AE与DE的大小关系．
/
图X6－4
参考答案
1．D [解析] 过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，
设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°．
又∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC．
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，∴
????
????
＝
????
????
＝
????
????
，
∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，
∵点A在反比例函数y＝
1
??
的图象上，∴mn＝1．
∵点B在反比例函数y＝
??
??
的图象上，点B的坐标是(－2n，2m)，
∴k＝－2n·2m＝－4mn＝－4．故选D．
2．
3
2
a≤EF≤a [解析] 连接AC，CE，CF，如图所示．
∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，
∴△ABC，△CAD都是边长为a的正三角形，
/
∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°．
∵AE＋AF＝a，
∴AE＝a－AF＝AD－AF＝DF．
在△ACE和△DCF中，
????＝????，
∠??????＝∠??????，
????＝????，
∴△ACE≌△DCF(SAS)，
∴CE＝CF，∠ACE＝∠DCF，
∴∠ACE＋∠ACF＝∠DCF＋∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF．
又当动点E运动到点B或点A时，CE取得最大值，为a;
当CE⊥AB，即E为BA的中点时，CE取得最小值，为
3
2
a．
∴
3
2
a≤EF≤a．
3．解：作图如图所示．
/
理由：由作图得BE＝DF，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠CDF＝∠ABE．
在△ABE和△CDF中，
????＝????，
∠??????＝∠??????，
????＝????，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB．
4．解：(1)证明：连接AO，
/
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADB＝∠ADE．
∵OA＝OD，
∴∠ADB＝∠OAD，
∴∠ADE＝∠OAD．
∴OA∥ED．
又∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∴AE是☉O的切线．
(2)∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°．
又∠ADE＋∠ADC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC．
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＋∠ADB＝90°，∠EAD＋∠ADE＝90°，
∴∠ABD＝∠EAD．
∵∠ABC＞∠ABD，
∴∠ADE＞∠EAD．
∴AE＞DE．
限时训练07 中考中级练(二)
限时：30分钟 满分：96分
1．(4分)已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一次函数y＝－x＋m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象(如图X7－1所示)，当直线y＝－x＋m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )
/
图X7－1
A．－
25
4
＜m＜3 B．－
25
4
＜m＜2 C．－2＜m＜3 D．－6＜m＜－2
2．(4分)如图X7－2，已知点A，C在反比例函数y＝
??
??
(a＞0)的图象上，点B，D在反比例函数y＝
??
??
(b＜0)的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a－b的值是 ．?
/
图X7－2
3．(8分)如图X7－3，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：(1)△BFC≌△DFC;(2)AD＝DE．
/
图X7－3
4．(10分)我们知道，有理数包括整数，有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢?请看以下示例：
例：将0．
7
·
化为分数形式．
由于0．
7
·
＝0．777…，设x＝0．777…①，
则10x＝7．777…②，
②－①得9x＝7，解得x＝
7
9
，于是得0．
7
·
＝
7
9
．
同理可得0．
3
·
＝
3
9
＝
1
3
，1．
4
·
＝1＋0．
4
·
＝1＋
4
9
＝
13
9
．
根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示)
【基础训练】
(1)0．
5
·
＝ ，5．
8
·
＝ ;?
(2)将0．
2
·
3
·
化为分数形式，写出推导过程;
【能力提升】
(3)0．
3
·
1
5
·
＝ ，2．0
1
·
8
·
＝ ;?
(注：0．
3
·
1
5
·
＝0．315315…，2．0
1
·
8
·
＝2．01818…)
【探索发现】
(4)①试比较0．
9
·
与1的大小：0．
9
·
1(填“＞”“＜”或“＝”);?
②已知0．
2
·
8571
4
·
＝
2
7
，则3．
7
·
1428
5
·
＝ ．(注：0．
2
·
8571
4
·
＝0．285714285714…)?
参考答案
D [解析] 在抛物线y＝－x2＋x＋6中，当y＝0时，即－x2＋x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，即抛物线y＝
－x2＋x＋6与x轴交点坐标分别为(－2，0)，(3，0)．∵抛物线y＝－x2＋x＋6沿x轴翻折到x轴下方，∴此时新抛物线y＝x2－x－6(y＜0)与y轴交点坐标为(0，－6)．当直线y＝－x＋m过(－2，0)时，m＝－2．此时直线y＝－x＋m与x轴下方图象只有三个交点．如图，要使直线y＝－x＋m与新图象有4个交点，需y＝－x＋m与y＝x2－x－6在x轴下方部分的图象有两个交点，则
－x＋m＝x2－x－6有两个不相等的根，整理得x2＝m＋6，∴m＞－6时，直线y＝－x＋m与y＝x2－x－6在x轴下方部分的图象有两个交点，m的取值范围是－6＜m＜－2．
/
2．6 [解析] 设A
??，
??
??
，则B
????
??
，
??
??
，
设C
??，
??
??
，则D
????
??
，
??
??
．
由题意知
????
??
?t＝3①，m?
????
??
＝2②，
??
??
?
??
??
＝5③，由①得
??－??
??
·t＝3，即
1
??
＝
??－??
3??
;由②得
??－??
??
·m＝2，即
1
??
＝
??－??
2??
．将所得代入③有，a
??－??
2??
?
??－??
3??
＝5，化简得
5
6
(a－b)＝5，故a－b＝6．
3．证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF．
在△BFC和△DFC中，BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，FC＝FC，∴△BFC≌△DFC(SAS)．
(2)连接BD．∵△BFC≌△DFC，∴BF＝DF，
∴∠FBD＝∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB．
∴∠ABD＝∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC．
∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC．
∴∠BDA＝∠BDC．又∵BD是公共边，
∴△BAD≌△BED(ASA)．
∴AD＝DE．
4．解：(1)由于0．
5
·
＝0．555…，设x＝0．555…①，
则10x＝5．555…②，
②－①得9x＝5，解得x＝
5
9
，于是得0．
5
·
＝
5
9
．
同理可得5．
8
·
＝5＋0．
8
·
＝5＋
8
9
＝
53
9
．
故答案为
5
9
53
9
．
(2)由于0．
2
·
3
·
＝0．2323…，设x＝0．2323…①，
则100x＝23．2323…②，
②－①得99x＝23，解得x＝
23
99
，∴0．
2
·
3
·
＝
23
99
．
(3)由于0．
3
·
1
5
·
＝0．315315…，设x＝0．315315…①，
则1000x＝315．315315…②，
②－①得999x＝315，解得x＝
35
111
于是得0．
3
·
1
5
·
＝
35
111
．
设x＝2．0
1
·
8
·
，
则10x＝20．
1
·
8
·
③，
1000x＝2018．
1
·
8
·
④，
④－③得990x＝1998，解得x＝
111
55
，于是得2．0
1
·
8
·
＝
111
55
．
故答案为
35
111
111
55
．
(4)①由于0．
9
·
＝0．999…，设x＝0．999…Ⅰ，
则10x＝9．999…Ⅱ，
Ⅱ－Ⅰ得9x＝9，解得x＝1，于是得0．
9
·
＝1．
②3．
7
·
1428
5
·
＝3＋0．
7
·
1428
5
·
＝3＋1000×
2
7
?285＝
26
7
．
故答案为①＝，②
26
7
．
限时训练08 中考中级练(三)
限时：30分钟 满分：26分
1．(4分)如果代数式
－m
＋
1
mn
有意义，那么在直角坐标系中点P(m，n)的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
2．(4分)如图X8－1，在△ABC中，AB＝BC＝4，O是AB的中点，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．?
/
图X8－1
3．(10分)如图X8－2，☉O中AB是直径，C是☉O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
(1)证明：B，C，E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试探究线段MN与线段OM的数量关系．
/
图X8－2
4．(8分)厦门市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?
(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元?
参考答案
1．C [解析] 由－m≥0得m≤0，又因为mn＞0，所以m＜0，因此n＜0．故选C．
2．2或2
3
或2
7
[解析] 如图，分情况讨论：图①中，∠APB＝90°，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO＝BO＝2，又∠AOC＝60°，∴△APO是等边三角形，∴AP＝2．
图②中，∠APB＝90°，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO＝BO＝2，又∠AOC＝60°，
∴∠BAP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝cos30°×4＝2
3
．
//
图③中，∠ABP＝90°，
∵BO＝AO＝2，∠BOP＝∠AOC＝60°，
∴PB＝2
3
，
∴AP＝
4
2
＋(2
3
)
2
＝2
7
．
当∠PAB＝90°时，情况不存在．
∴AP的长为2或2
3
或2
7
．
3．解：(1)证明：
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝180°，∴B，C，E三点共线．
(2)如图，连接ON，AE，BD，延长BD交AE于点F．
/
∵∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，
∴BC＝AC，又∠ACB＝∠DCE＝90°，DC＝EC，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD＝AE，∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBC＋∠AEC＝∠CAE＋∠AEC＝90°．
∴BF⊥AE．
∵AO＝OB，AN＝ND，
∴ON＝
1
2
BD，ON∥BD．
∵AO＝OB，EM＝MB，
∴OM＝
1
2
AE，OM∥AE．
∴OM＝ON，OM⊥ON．
∴∠OMN＝45°，又cos∠OMN＝
????
????
，
∴MN＝
2
OM．
4．解：(1)设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，列方程得2x＋3×3x＝550，解得x＝50，
∴温馨提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元．
(2)设购买温馨提示牌m个，则购买垃圾箱(100－m)个，列不等式得50m＋150(100－m)≤10000，解得m≥50，又∵100－m≥48，∴m≤52，∵m的值为整数，∴m的取值为50，51，52，即有3种购买方案．
①当m＝50时，100－m＝50，即购买50个温馨提示牌和50个垃圾箱，其费用为：50×50＋50×150＝10000(元);
②当m＝51时，100－m＝49，即购买51个温馨提示牌和49个垃圾箱，其费用为：51×50＋49×150＝9900(元);
③当m＝52时，100－m＝48，即购买52个温馨提示牌和48个垃圾箱，其费用为：52×50＋48×150＝9800(元)．
综上所述，当购买52个温馨提示牌和48个垃圾箱时，所需资金最少，最少为9800元．
限时训练09 中考中级练(四)
限时：30分钟 满分：26分
1．(4分)若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，
??
0
2
－16)，则符合条件的点P( )
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．有且只有3个 D．有无数个
2．(4分)如图X9－1，已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°，AC＝2，E是BC边上一点，将△AEC沿AE翻折，点C落在点D处，若DE∥AB，则EC＝ ．?
/
图X9－1
3．(8分)如图X9－2，四边形ACDE是证明勾股定理用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE＝
2
c，这时我们把关于x的形如ax2＋
2
cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋
2
cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．
/
图X9－2
4．(12分)如图X9－3，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，P为AC中点，E为AB边上一动点，F为BC边上一动点，且满足条件∠EPF＝45°，记四边形PEBF的面积为S1．
(1)求证：∠APE＝∠CFP．
(2)记△CPF的面积为S2，CF＝x，y＝S1·S2．
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求y的最大值;
②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形，若它们又关于点P成中心对称，求y的值．
/
图X9－3
参考答案
1．B [解析] 由题意得抛物线y＝a(x＋2)(x－1)，总不经过点P(x0－3，
??
0
2
?16)，将点P坐标代入抛物线的解析式，得a(x0－1)(x0－4)≠(x0＋4)(x0－4)恒成立．①当x0＝1时，得0≠－15，恒成立，将x0＝1代入P点坐标可得P1(－2，－15);②x0＝4时，左边＝右边＝0，不符合题意;③当x0＝－4时，得40a≠0，因为a≠0，所以不等式恒成立，将x0＝－4代入P点坐标可得P2(－7，0);④当x0≠1且x0≠4且x0≠－4时，a≠
??
0
＋4
??
0
－1
＝1＋
5
??
0
－1
不恒成立．综上所述，存在两个点P1(－2，－15)，P2(－7，0)．
2．4－2
3
[解析] 如图所示，由折叠可得∠D＝∠C＝60°，AD＝AC＝2，
/
∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠D＝60°，
又∵∠B＝30°，
∴∠AFB＝90°，即AD⊥BC，
∴∠CAD＝90°－60°＝30°，
∴CF＝
1
2
AC＝
1
2
×2＝1，AF＝
3
，
∴DF＝2?
3
．
设CE＝DE＝x，则EF＝1－x，
∵Rt△DEF中，EF2＋DF2＝DE2，∴(1－x)2＋(2?
3
)2＝x2，
解得x＝4－2
3
，∴EC＝4－2
3
．
故答案为4－2
3
．
3．解：当x＝－1时，有a?
2
c＋b＝0，即a＋b＝
2
c．
∵2a＋2b＋
2
c＝6，即2(a＋b)＋
2
c＝6，
∴3
2
c＝6，∴c＝
2
，
∴a2＋b2＝c2＝2，a＋b＝2，
∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
∴ab＝1，∴S△ABC＝
1
2
ab＝
1
2
．
4．解：(1)证明：∵∠EPF＝45°，∴∠APE＋∠FPC＝180°－45°＝135°．
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠PCF＝45°，
∴∠CFP＋∠FPC＝180°－45°＝135°，∴∠APE＋∠FPC＝∠CFP＋∠FPC，∴∠APE＝∠CFP．
(2)①∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC＝
??
??
2
＋??
??
2
＝4
2
．
∵P为AC的中点，∴AP＝CP＝2
2
．
∵∠APE＝∠CFP，∠FCP＝∠PAE＝45°，
∴△APE∽△CFP，则
????
????
＝
????
????
，
∴AE＝
????·????
????
＝
2
2
×2
2
??
＝
8
??
．
如图①，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，则PH，PG是△ABC的中位线，
/
∴PH＝
1
2
BC＝2，PG＝
1
2
AB＝2，
∴S△APE＝
1
2
PH·AE＝
1
2
×2×
8
??
＝
8
??
，S2＝S△PCF＝
1
2
CF·PG＝
1
2
×x×2＝x，
∴S1＝S△ABC－S△APE－S△PCF＝
1
2
×4×4?
8
??
?x＝8?
8
??
?x，
∴y＝S1·S2＝/8?
8
??
?x/x＝－x2＋8x－8＝－(x－4)2＋8．
∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF＝45°，
∴2≤x≤4，∴当x＝4时，y取得最大值，y最大值＝8，
∴y关于x的函数解析式为y＝－x2＋8x－8(2≤x≤4)，y的最大值为8．
②如图②所示，图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，
则阴影部分图形自身关于直线BD对称，
/
此时EB＝BF，即AE＝FC，
∴
8
??
＝x，解得x＝2
2
，
将x＝2
2
代入y＝－x2＋8x－8，得y＝16
2
?16．
限时训练10 中考中级练(五)
限时：30分钟 满分：36分
1．(4分)下列语句中，关于函数y＝|x－1|的图象的描述正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．函数图象没有最低点
C．函数图象关于直线x＝1对称
D．图象不经过第二象限
2．(4分)如图X10－1，一次函数y＝k1x＋b的图象过点A(0，3)，且与反比例函数y＝
??
2
??
的图象相交于B，C两点．若AB＝BC，则k1·k2的值为 ．?
/
图X10－1
3．(8分)某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
16
12
4
28
B
16
10
6
26
C
16
8
8
24
D
16
0
16
16
其中一队的胜场总积分能否等于负场总积分?请说明理由．
4．(10分)已知a－b＝2，a2－ab－c2＋2c＝0，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在反比例函数y＝
??
??
(a≠0)的图象上，且满足x2－x1＝8，
1
??
2
－
1
??
1
＞2，求整数c的值．
5．(10分)观察图形：
/
图X10－2
解决问题：
已知在平面直角坐标系xOy中，A(0，4)，B(－2，0)，C(4，0)，点M在y轴负半轴上，且∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．
参考答案
1．C
2．－2 [解析] ∵一次函数y＝k1x＋b的图象过点A(0，3)，
∴设一次函数的解析式为y＝k1x＋3．
又反比例函数解析式为y＝
??
2
??
，∴k1x＋3＝
??
2
??
，
整理得k1x2＋3x－k2＝0，∴x1＋x2＝?
3
??
1
，x1x2＝?
??
2
??
1
，
∵AB＝BC，
∴点C的横坐标是点B横坐标的2倍，不妨设x2＝2x1，
∴x1＋x2＝3x1＝?
3
??
1
，x1x2＝2
??
1
2
＝?
??
2
??
1
，
∴?
??
2
2
??
1
＝
?
3
3
??
1
2，
整理得，k1k2＝－2，是定值．
故答案为－2．
3．解：由D队可知，负一场积分为16÷16＝1(分)，
则由A队可知，胜一场的积分为
28－4×1
12
＝2(分)．
设其中一队的胜场为x场，则负场为(16－x)场，
则由2x＝16－x，解得x＝
16
3
，
∵场数必须是整数，∴x＝
16
3
不符合实际，
∴没有一队的胜场总积分能等于负场总积分．
4．解：∵点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在反比例函数y＝
??
??
(a≠0)的图象上，∴y1＝
??
??
1
，y2＝
??
??
2
，
∴x1＝
??
??
1
，x2＝
??
??
2
．
∵x2－x1＝8，∴
??
??
2
?
??
??
1
＝8，
而
1
??
2
?
1
??
1
＞2，∴
8
??
＞2，∴0＜a＜4．
∵a－b＝2，a2－ab－c2＋2c＝0，
∴2a－c2＋2c＝0，则a＝
??
2
－2??
2
，
∴0＜
??(??－2)
2
＜4，即0＜c(c－2)＜8，
∴－2＜c＜0或2＜c＜4，
∴整数c的值为－1或3．
5．解：如图，在y轴正半轴上取一点D，使得OD＝OB，连接CD，
/
∵A(0，4)，B(－2，0)，C(4，0)，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝2，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
AC＝
??
??
2
＋??
??
2
＝4
2
．
在△COD和△AOB中，
????＝????，
∠??????＝∠??????，
????＝????，
∴△COD≌△AOB，
∴∠OAB＝∠DCO．
∵∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，
∠ACD＋∠DCO＝∠ACB，
∴∠OMB＝∠ACD．
过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△ADH中，
∵sin∠DAH＝
????
????
＝
2
2
，
∴DH＝
2
，AH＝
2
，CH＝3
2
．
在Rt△CDH中，∵tan∠DCH＝
????
????
＝
2
3
2
＝
1
3
，
∴tan∠OMB＝
1
3
．
∴OM＝6，
∴点M(0，－6)．
限时训练11 中考中级练(六)
限时：30分钟 满分：28分
1．(4分)如图X11－1，点A，B的坐标分别为(1，1)和(5，4)，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，若点C的横坐标的最小值为0，则点D的横坐标的最大值为( )
/
图X11－1
A．6 B．7 C．8 D．9
2．(4分)如图X11－2，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD＝10，且两个顶点B，D分别在x轴、y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是 ．?
/
图X11－2
3．(10分)在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE，CE，EB平分∠AEC．
(1)如图X11－3①，判断△BCE的形状，并说明理由;
(2)如图②，若∠A＝90°，BC＝5，AE＝1，求线段BE的长．
/
图X11－3
4．(10分)如图X11－4，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的☉O分别交AC，BC于点D，E，过点B作☉O的切线，交AC的延长线于点F．
(1)求证：BE＝CE;
(2)求∠CBF的度数;
(3)若AB＝6，求
????
的长．
/
图X11－4
参考答案
1．B [解析] 根据题意知：当抛物线顶点在A点时，点C的横坐标有最小值0;当抛物线顶点在B点时，点C的横坐标有最大值．因为A(1，1)，B(5，4)，所以设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k，当顶点在A点时，有y＝a(x－1)2＋1．令y＝0，则有a(x－1)2＋1＝0，因为点C的横坐标最小值为0，所以a(0－1)2＋1＝0，解得a＝－1．当抛物线顶点在B点时，解析式为y＝－(x－5)2＋4．令y＝0，则有－(x－5)2＋4＝0，解得x1＝7，x2＝3(舍去)．故选B．
2．5
3
?5 [解析] ∵△ABD是等边三角形，BD＝10，
/
∴AD＝AB＝BD＝10．∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝BC＝BD＝10，∴△BCD是等边三角形，过点C作CE⊥BD于点E，则DE＝
1
2
BD＝5，由勾股定理得CE＝5
3
．连接OE，
∵点E是BD的中点，∴在Rt△BOD中，OE＝
1
2
BD＝5．若O，C，E不共线，在△OEC中，OC＞CE－OE，若O，C，E共线，则OC＝CE－OE，综上所述，OC≥CE－OE＝5
3
?5，故OC的最小值为5
3
?5．
3．解：(1)△BCE是等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠AEB．
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB＝∠BEC，
∴∠CBE＝∠BEC，∴CB＝CE，
∴△CBE是等腰三角形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝5．
在Rt△ECD中，∵∠D＝90°，ED＝AD－AE＝4，EC＝BC＝5，
∴AB＝CD＝
??
??
2
－??
??
2
＝
5
2
－
4
2
＝3．
在Rt△AEB中，∵∠A＝90°，AB＝3，AE＝1，
∴BE＝
??
??
2
＋??
??
2
＝
3
2
＋
1
2
＝
10
．
4．解：(1)证明：连接AE，∵AB是☉O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC．
∵AB＝AC，∴BE＝CE．
(2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC，
∴∠ABC＝63°．
∵BF是☉O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°．
(3)连接OD，
∵OA＝OD，∠BAC＝54°，
∴∠AOD＝72°．
∵AB＝6，∴OA＝3，
∴
????
的长是
72π×3
180
＝
6π
5
．
