2019高考数学（理）”一本“培养优选练：小题分层练3　中档小题保分练（1）+Word版含解析

小题分层练(三)　中档小题保分练(1)
(建议用时：40分钟)
(对应学生用书第125页)
一、选择题
1．角α的终边与单位圆交于点，则cos 2α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
D　[由题意得cos α＝－，sin α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，选D.]
2．王老师给班里同学出了两道数学题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
B　[设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.80×P(B)＝0.60，故P(B)＝0.75.故选B.]
3．(2018·永州市三模)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是(　　)
A．y＝sin x B．y＝x3
C．y＝x D．y＝log2 x
B　[原函数的定义域为R，单调递增，奇函数，所以A、C、D项错误，B项正确．故选B.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
B　[不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.]
5．(2018·济南模拟)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移 个单位
D．向右平移个单位
B　[因为＝－，所以将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin的图象，选B.]
6．某几何体的三视图如图18所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是(　　)
图18
A．16＋π B．16＋π
C.＋π D.＋π
B　[该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为V＝×4×4×2＋××π×4×4＝16＋π.故选B.]
7．(2018·淮南市一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A. B. C. D.
B　[cos A＝＝＝sin A，所以A＝，故选B.]
8．已知等差数列{an}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为(　　)
A. B.
C．1 D.
D　[由a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，可得a1＝，d＝，等差数列{an}一共有9项，所以中间项为a5＝a1＋4d＝，故选D.]
9．直线ax＋by－a－b＝0(a≠0)与圆x2＋y2－2＝0的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交或相切 D．相交
C　[由已知可知，圆的圆心为(0,0)，半径为，圆心到直线的距离为，其中(a＋b)2≤2(a2＋b2)，所以圆心到直线的距离为≤，所以直线与圆相交或相切，故选C.]
10．若点P到直线y＝3的距离比到点F(0，－2)的距离大1，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
D　[依题意，点P到直线y＝2的距离等于点P到点F(0，－2)的距离．由抛物线定义，点P的轨迹是以F(0，－2)为焦点，y＝2为准线的抛物线，故点P的轨迹方程为x2＝－8y.]
11．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为(　　)
A．7π B．14π
C.π D.
B　[三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是＝，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π×＝14π.]
12．(2018·齐齐哈尔市一模)若x＝1是函数f(x)＝ax2＋ln x的一个极值点，则当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A．1－ B．－e＋
C．－－1 D．e2－1
A　[由题意得 ，f′(1)＝0，∵f′(x)＝2ax＋，∴2a＋1＝0，∴a＝－，当x∈时，f′(x)≥0，当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，所以f(x)min＝min＝－e2＋1，选A.]
二、填空题
13．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于________．
－2　[y′＝＝，将x＝3代入，得曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率k＝－，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a＝2，得a＝－2.]
14．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点分别为F1，F2，A为双曲线上的一点，且F1F2⊥AF2，若直线AF1与圆x2＋y2＝相切，则双曲线的离心率为________．
　[由题意，F1(0，c)，F2(0，－c)，不妨取A点坐标为，∴直线AF1的方程为y－c＝－x，
即2acx＋b2y－b2c＝0.
∵直线AF1与圆x2＋y2＝相切，
∴＝.∴b2＝ac，∴e2－e－＝0，
∵e>1，∴e＝.]
15．已知点O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，BC＝1，则△OBC面积的最大值为________．
　[由题意得∠BOC＝180°－＝120°，在△OBC中，BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos 120°，即1＝OB2＋OC2＋OB·OC≥3OB·OC，即OB·OC≤，所以S△OBC＝OB·OCsin 120°≤，当OB＝OC时取最大值．]
16．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝－6.若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．
(，2)　[由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，
因为当x∈[－2,0]时，f(x)＝－6，
所以若x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]，
则f(－x)＝－6＝3x－6.
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝3x－6＝f(x)，
即f(x)＝3x－6，x∈[0,2]，
由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)，
作出函数f(x)的图象如图所示．
当a＞1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，
则满足即
解得＜a＜2，故a的取值范围是(，2)．]