2019高考数学（理）”一本“培养优选练：小题模拟练3+Word版含解析

小题模拟练(三)
(建议用时：40分钟)
(对应学生用书第132页)
一、选择题
1．(2018·安庆二模)已知集合A＝{x|x＜1}，集合B＝，则A∩B＝(　　 )
A．? B．{x|x＜1}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}
D　[因为B＝＝{x|x＜0或x＞1}，所以A∩B＝{x|x＜0}．故选D.]
2．(2018·上饶二模)设i为虚数单位，若复数z满足＝i，其中为复数z的共轭复数，则|z|＝(　　 )
A．1 B. C. D．2
B　[由题得＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，∴|z|＝＝.故选B.]
3．(2018·惠州市高三4月模拟)设函数f(x)＝若f(x0)＞1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D　[法一：令x＝0，f(0)＝0，不符合题意，排除A，B；令x＝1，f(1)＝1，不符合题意，排除C.
法二：当x0≤0时，f(x0)＝2－x0－1＞1，即2－x0＞2，解得x0＜－1；当x0＞0时，f(x0)＝x0＞1，解得x0＞1.∴x0的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选D.]
4.如图35，圆C内切于扇形AOB，∠AOB＝，若向扇形AOB内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为(　　 )
图35
A．100 B．200
C．400 D．450
C　[如图所示，作CD⊥OA于点D，连接OC并延长交扇形于点E，设扇形半径为R，圆C半径为r，
∴R＝r＋2r＝3r，∴落入圆内的点的个数估计值为600·＝400.]
5．已知a＝，b＝，c＝log3 π，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．a＜b＜c
D　[已知b＝＝，由指数函数性质易知＜＜1，又c＝log3 π＞1，故选D.]
6．在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，|AB|＝|AC|＝3，则CB·CA的值为(　　 )
A．3 B．－3
C．－ D.
D　[由|AB＋AC|＝|AB－AC|，两边平方可得|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC＝3|AB|2＋3|AC|2－6AB·AC，又|AB|＝|AC|＝3，
∴AB·AC＝，
∴CB·CA＝(CA＋AB)·CA＝CA2＋AB·CA＝CA2－AB·AC＝9－＝.]
7．某几何体的三视图如图36所示，则该几何体的体积为(　　 )
图36
A．3π B．2π
C. D.
C　[由三视图可知，原几何体左边是半边圆柱，圆柱上面是个球，几何体右边是一个半圆锥，且圆锥的顶点和球心重合．所以几何体的体积为×2＋×π×13＋××π×12×2＝π.故选C.]
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则角C＝(　　 )
A. B. C. D.
D　[∵b＝a，
∴sin B＝sin Acos C＋sin Asin C，
∴sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝sin Acos C＋sin Asin C，
∴cos Asin C＝sin Asin C，由sin C≠0，可得sin A＝cos A，∴tan A＝，
由A为三角形内角，可得A＝.
∵a＝2，c＝，∴由正弦定理可得sin C＝＝，
∴由c＜a，可得C＝，故选D.]
9．(2018·济南市一模)某程序框图如图37所示，该程序运行后输出M，N的值分别为(　　 )
图37
A．13,21 B．34,55
C．21,13 D．55,34
B　[执行程序框图，i＝1，M＝1，N＝1；i＝2，M＝2，N＝3；i＝3，M＝5，N＝8；i＝4，M＝13，N＝21；i＝5，M＝34，N＝55，结束循环，
输出M＝34，N＝55，故选B.]
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为(　　 )
A．2 B. C. D.
B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由AB的中点为N(12,15)，得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，
由两式相减得＝，则＝＝，
由直线AB的斜率k＝＝1，
∴＝1，则＝，
双曲线的离心率e＝＝ ＝，
∴双曲线C的离心率为，故选B.]
11．设f(x)＝esin x＋e－sin x，则下列说法不正确的是(　　 )
A．f(x)为R上的偶函数
B．π为f(x)的一个周期
C．π为f(x)的一个极小值点
D．f(x)在区间上单调递减
D　[f(x)＝esin x＋e－sin x
f(－x)＝esin(－x)＋e－sin(－x)＝esin x＋e－sin x＝f(x)，
即f(x)为R上的偶函数，故A正确；
f(x＋π)＝esin(x＋π)＋e－sin(x＋π)＝esin x＋e－sin x＝f(x)，故π为f(x)的一个周期，故B正确；
f′(x)＝cos x(esin x－e－sin x)，
当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，故π为f(x)的一个极小值点，故C正确；
x∈时，f′(x)＞0，故f(x)在区间上单调递增，故D错误，故选D.]
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，若bn＋1＝(n－λ)(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
B　[因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，则＋1＝2，所以数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)＝(n－λ)2n，又b1＝－λ，所以bn＝(n－1－λ)2n－1(n∈N*)．因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1＞bn，所以(n－λ)2n＞(n－1－λ)2n－1，化简得λ＜n＋1.因为数列{n＋1}是递增数列，所以λ＜2，故选B.]
二、填空题
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝1，c＝，C＝，则△ABC的面积为_________．
　[因为c2＝a2＋b2－2abcos ，
所以3＝a2＋1＋a，a2＋a－2＝0，∴a＝1，
因此S＝absin ＝×1×1×＝.]
14．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若AF＝3FB，则直线AB的斜率为________．
　[作出抛物线的准线l：x＝－1，设A，B在l上的投影分别是C，D，连接AC，BD，过B作BE⊥AC于E，如图所示．∵AF＝3FB，
∴设|AF|＝3m，
|BF|＝m，则|AB|＝4m，
由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC|＝|AF|＝3m，|BD|＝|BF|＝m，则|AE|＝2m.
因此在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝，
得∠BAE＝60°.
所以直线AB的倾斜角∠AFx＝60°，故直线AB的斜率为k＝tan 60°＝.]
15．设实数x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为10，则a2＋b2的最小值为________．
　[由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，∵a＞0，b＞0，∴直线y＝－x＋的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，
平移直线y＝－x＋，由图象可知当y＝－x＋经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大．
由解得
即A(4,6)．
此时z＝4a＋6b＝10，即2a＋3b－5＝0，
即点(a，b)在直线2x＋3y－5＝0上，因为a2＋b2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d＝＝，故a2＋b2的最小值为d2＝.]
16．若数列{an}满足a2－a1＞a3－a2＞a4－a3＞…＞an＋1－an＞…，则称数列{an}为“差递减”数列．若数列{an}是“差递减”数列，且其通项an与其前n项和Sn满足2Sn＝3an＋2λ－1，则实数λ的取值范围是________．
　[当n＝1时，2a1＝3a1＋2λ－1，a1＝1－2λ，当n＞1时，2Sn－1＝3an－1＋2λ－1，所以2an＝3an－3an－1，an＝3an－1，所以an＝3n－1，an－an－1＝3n－1－3n－2＝3n－2，依题意{3n－2}是一个减数列，
所以2－4λ＜0，λ＞.]