物理人教版选修3-4第十一章+机械振动11-2+Word版含答案

[目标定位]　1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义.2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义.3.了解简谐运动的表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图象．
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离．振幅的两倍表示的是振动物体运动范围的大小．
2．全振动
一个完整的振动过程，称为一次全振动．不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的．此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点．
3．周期和频率
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期．单位：秒(s)．
(2)频率f：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率．单位：赫兹，简称赫，符号是Hz.
(3)周期T与频率f的关系式：T＝.
说明：(1)物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．
(2)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快．
4．相位
在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态．
【深度思考】
图1
如图1所示，振子在A、B间振动，O为平衡位置．
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
答案　不是．从O→B→O→A→O为一次全振动．经过一个周期振子必须从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次与初始时刻相同．
(2)同一弹簧振子，若另一次振动中振幅减小，周期也减小吗？
答案　不减小．振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例1】　如图2所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20 cm，从A到B运动时间是2 s，则(　　)
图2
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2 s，振幅是10 cm
C．从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cm
D．从O开始经过3 s，振子处在平衡位置
解析　振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只是半个全振动，半个全振动是2 s，所以振动周期是4 s，B错误；t＝6 s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60 cm，C正确；从O开始经过3 s，振子处在最大位移处A或B，D错误．
答案　C
对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：
?1?从物体经过初末位置时的特征物理量看：如果物体的位移和速度都相同?大小、方向两方面?，即物体完成了一次全振动.
?2?从物体在这段时间内通过的路程看：如果物体的路程等于振幅的四倍，即物体完成一次全振动.
【例2】　一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图3所示，由图可知(　　)
图3
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点经过1 s通过的路程总是2 cm
C．t＝3 s时，质点的速度最大
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
解析　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；质点在个周期内的路程不一定等于一个振幅，所以B错误；t＝3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以D错误．
答案　C
1.振幅和位移是两个不同的概念，振动过程中位移随时,　间不断变化，而振幅则为定值.
2.振动物体在一个周期内的路程为四倍振幅.
3.振动物体在半个周期内的路程为两倍振幅.
4.振动物体在个周期内的路程不一定等于一倍振幅.
二、简谐运动的表达式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．简谐运动的表达式x＝Asin (ωt＋φ)
(1)A表示简谐运动的振幅．
(2)ω是简谐运动的圆频率．它也表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf.
(3)ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ是t＝0时的相位，称做初相位，或初相．
2．相位差
(1)相位差：如果两个简谐运动的频率相等，其初相分别是φ1和φ2，当φ2>φ1时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
(2)对相位差的理解：
①取值范围：－π≤Δφ≤π.
②Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．
Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．
③Δφ>0，表示振动2比振动1超前．
Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．
【深度思考】
简谐运动的函数表达式的一般形式为x＝Asin(ωt＋φ)，简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？
答案　简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同．
【例3】　一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5 sincm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；
(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sincm，求它们的相位差．
解析　(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝s，
f＝＝4Hz.A＝5 cm，φ1＝.
(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1
得Δφ＝π－＝π.
答案　(1)s　4 Hz　5 cm　　(2)π
应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅A、周期T、频率f的对应关系，其中T＝，f＝，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.
【例4】　根据如图4所示的某振子的振动图象，完成下列各题：
图4
(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移：
①t1＝0.5 s；②t2＝1.5 s；
(2)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin (ωt＋φ)的形式并指出振动的初相位的大小．
解析　(1)由题图知，x＝Acos ωt＝10cos (t) cm＝10cos () cm.
则t1＝0.5 s时，x1＝5 cm；t2＝1.5 s时，x2＝－5 cm.
(2)x＝10sin (t＋) cm，初相位φ＝.
答案　(1)①5 cm　②－5 cm
(2)x＝10sin (t＋) cm　
三、简谐运动的周期性和对称性
1．周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，回复到原来的状态．
2．对称性
图5
如图5所示，物体在A和B之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：
(1)时间的对称
①物体来回通过相同的两点间的时间相等．如tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例5】　(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时刻振子的位移为x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为(　　)
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
解析　若振子的振幅为0.1 m，则有 s＝T，n＝0,1,2，…，此时周期的最大值为s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故选项A正确，B错误；若振子的振幅为0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m处运动到负的最大位移处再反向运动到x＝0.1 m处，再经n个周期所用时间为s，则有T＝s，n＝0,1，2，…，所以周期的最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故选项C正确；当振子由x＝－0.1 m经平衡位置运动到x＝0.1 m处，再经n个周期所用的时间为 s，则有T＝ s，n＝0,1,2，…，所以此时周期的最大值为8 s，且t＝4 s时x＝0.1 m，故选项D正确．
答案　ACD
1.简谐振子的运动具有对称性和周期性.
2.若两时刻振子的位移相同，则两时刻的差可以为周期的整数倍，也可以不是周期的整数倍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(描述简谐运动的物理量)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸，当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图6所示的图象，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标．由此图知振动的周期为________，振幅为________．
图6
答案　　
解析　由图象可知，记录纸在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，故周期T＝；又由图象知2A＝y1－y2，故振幅A＝.
2．(简谐运动的表达式的应用)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游客能舒服登船的时间是(　　)
A．0.5 s B．0.75 s C．1.0 s D．1.5 s
答案　C
解析　由振动周期T＝3.0 s、ω＝、A＝20 cm知，游船做简谐运动的振动方程x＝Asin ωt＝20sin cm。在一个周期内，当x＝10 cm时，解得t1＝0.25 s，t2＝1.25 s．游客能舒服登船的时间Δt＝t2－t1＝1.0 s，故选C.
3. (简谐运动的表达式与图象的综合)如图7所示为A、B两个简谐运动的位移—时间图象．请根据图象回答：
图7
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是________cm，周期是______s.
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
答案　(1)0.5　0.4　0.2　0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm，xB＝0.2sin cm
(3)xA＝－ cm，xB＝0.2sinπ cm.
解析　(1)由题图知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.
(2)t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，由T＝0.4 s，得ω＝＝5π rad/s.则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π) cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π rad/s，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm，xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm.
4. (简谐运动的周期性和对称性)如图8所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1 s，过b点后再经t′＝1 s质点第一次反向通过b点．若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，试求该质点的振动周期和振幅．
图8
答案　4 s　4 cm
解析　简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是
振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1 s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1 s.
综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4 s．由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2＋2＋2＝2(＋2)＝2×8 cm＝16 cm.所以质点的振幅为A＝＝4 cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　描述简谐运动的物理量
1．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内振子通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)
A．15次，2 cm B．30次，1 cm
C．15次，1 cm D．60次，2 cm
答案　B
解析　振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处)，而每次全振动振子通过的路程为4个振幅．
2．如图1所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为(　　)
图1
A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s
答案　A
解析　简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，它们相等．
3．一质点做简谐运动的图象如图2所示，下列说法正确的是(　　)
图2
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
答案　B
解析　根据振动图象可知，该简谐运动的周期T＝4 s，所以频率f＝＝0.25 Hz，A错；10 s内质点通过的路程s＝×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错．
4．弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则(　　)
A．振子的振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振子的振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．从振子通过O点时开始计时，3 s内通过的路程为36 cm
答案　C
解析　由题意知，振子做简谐运动的振幅A＝ cm＝4 cm，周期T＝ s＝2 s，选项A错误；振动的频率f＝＝ Hz＝0.5 Hz，选项B错误；完成一次全振动通过的路程s＝4A＝4×4 cm＝16 cm，选项C正确；3 s内通过的路程s′＝6A＝6×4 cm＝24 cm，选项D错误．
5．一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图3所示，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置．下列说法正确的是(　　)
图3
A．质点在位置b时比在位置d时相位超前
B．质点通过位置b时，相对于平衡位置的位移为
C．质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等
D．质点从位置a到b和从位置b到c的平均速度相等
答案　C
解析　质点在位置b时比在位置d时相位超前，选项A错误；质点通过位置b时，相对于平衡位置的位移大于，选项B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等，选项C正确；质点从位置a到b和从位置b到c的时间相等，位移不相等，所以平均速度不相等，选项D错误．
6．如图4甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示．由振动图象可以得知(　　)
图4
A．振子的振动周期等于t1
B．在t＝0时刻，振子的位置在a点
C．在t＝t1时刻，振子的速度为零
D．从t1到t2，振子正从O点向b点运动
答案　D
解析　振子的周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由图直接读出其周期T＝2t1，故A错误；由图乙知在t＝0时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O点，故B错误；在t＝t1时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，故C错误；从t1到t2，振子的位移从0变化到正向最大，说明振子正从O点向b点运动，故D正确．
题组二　简谐运动的周期性与对称性
7．如图5所示，振子以O点为平衡位置在A、B间做简谐运动，从振子第一次到达P点开始计时，则(　　)
图5
A．振子第二次到达P点的时间间隔为一个周期
B．振子第三次到达P点的时间间隔为一个周期
C．振子第四次到达P点的时间间隔为一个周期
D．振子从A点到B点或从B点到A点的时间间隔为一个周期
答案　B
解析　从经过某点开始计时，则再经过该点两次所用的时间为一个周期，B对，A、C错；振子从A到B或从B到A的时间间隔为半个周期，D错．
8．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O.质点经过a点(xa＝－5 cm)和b点(xb＝5 cm)时速度相同，所用时间tab＝0.2 s；质点由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4 s．则该质点做简谐运动的频率为(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
答案　B
解析　由题意可知：a、b点在O点的两侧，关于O点对称，质点由a点到b点所用时间tab＝0.2 s，由b点回到a点所用最短时间tba＝0.4 s，表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动，振幅大于5 cm，设周期为T，由简谐运动的对称性可知，质点由b点回到a点的时间为，即＝0.4 s，T＝0.8 s，频率f＝＝ Hz＝1.25 Hz.
9．一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点，历时0.5 s(如图6所示)．过B点后再经过t＝0.5 s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是(　　)
图6
A．0.5 s B．1.0 s
C．2.0 s D．4.0 s
答案　C
解析　根据题意，由振动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB＝×0.5 s＝0.25 s．质点从B向右到达右方最远位置(设为D)的时间tBD＝×0.5 s＝0.25 s．所以，质点从O到D的时间：tOD＝T＝0.25 s＋0.25 s＝0.5 s．所以T＝2.0 s.
题组三　简谐运动的表达式
10．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x＝Asin t，则质点(　　)
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同
答案　AD
解析　根据x＝Asin t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
11．某个质点的简谐运动图象如图7所示．
图7
(1)求振动的振幅和周期；
(2)写出简谐运动的表达式．
答案　(1)10 cm　8 s　(2)x＝10sin (t) cm
解析　(1)由题图读出振幅A＝10 cm
简谐运动方程x＝Asin
代入数据得－10＝10sin
得T＝8 s.
(2)x＝Asin (t)＝10sin (t) cm.
12．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v.
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm，从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象．
答案　见解析
解析　(1)弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示．由对称性可得：T＝0.5×2 s＝1 s
.
甲
(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm.
振子4 s内通过的路程为：s＝4×4×12.5 cm＝200 cm.
(3)根据x＝Asin (ωt＋φ)，A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，φ＝0.
得x＝12.5sin (2πt) cm.
振动图象如图乙所示．
乙