第一章 数与式第2节 整式与因式分解
知识点一：整式的相关概念
1．单项式：由____________或____________相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做____________，单项式中的数字因数叫做_________ ．21·世纪*教育网
2．多项式：由几个____________组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个____________，不含字母的项叫做______________________．
3．整式：____________________________________．
4．同类项：多项式中，所含_________相同，并且____________也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
(1)概念：用________运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的____________连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?www-2-1-cnjy-com
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用________代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
知识点二：整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②________________相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算____________；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变____________，减号变___________。1·cn·jy·com
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝____________(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝____________(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝__________(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__________(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝____________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝____________．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__________，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．21*cnjy*com
知识点三：因式分解
1.因式分解的概念：就是把一个 化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．【出处：21教育名师】
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.21教育名师原创作品
2.因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
a.提公因式法： ma(mb(mc( ______________________.?
b.公式法:?⑴平方差公式：a2-b2=____________;?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=____________;⑶a2-2ab+b2=____________21*cnjy*com
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
c.十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
3.因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（3）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底【来源：21cnj*y.co*m】
易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
4.因式分解的应用
考点1：幂的运算性质
◇典例1：(2017年浙江省宁波市中考 ) 下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（2a）2=4a C．a2?a3=a5 D．（a2）3=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C符合题意；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
（2018年浙江省温州）计算a6?a2的结果是（ ）
A．a3 B．a4 C．a8 D．a12
（2018年浙江省宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=2a3 B．a3?a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5
■考点2：整式的混合运算及化简求值
◇典例：
（2017年浙江省丽水 ）已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为 ．
【考点】代数式求值．
【分析】原式后两项提取﹣1变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
解：∵a2+a=1，
∴原式=3﹣（a2+a）=3﹣1=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2017?娄底）先化简，再求值： （a+b）（a-b）+（a-b）2-（2a2-ab），其中a，b是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根．
【考点】整式的混合运算—化简求值；根与系数的关系．
【分析】化简整式得原式=-ab，根据韦达定理可得ab=-2，即可得出答案．
解：原式=a2-b2+a2-2ab+b2-2a2+ab =-ab， ∵a，b是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根， ∴ab=-2， 则原式=-ab=2．21·cn·jy·com
◆变式训练
1.(2017·仙桃)已知2a-3b=7,则8+6b-4a=-6
2.（2016?宁波）先化简，再求值：（x+1）（x-1）+x（3-x），其中x=2．
■考点3：巧用乘法公式
◇典例：
(2014云南中考)观察规律并填空：
＝·＝；
＝···＝·＝；
＝·····＝·＝；
＝·······＝·＝；
…
…＝______．(用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2)
【考点】规律型：数字的变化类，乘法公式的应用．
【分析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的和相乘得出结果．2-1-
解：…
＝·······….· =． 故答案为：．
【点评】此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．
c-n-j-y
◆变式训练
请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的结果是 （ ）【版权所有：21教育】
A． 1﹣xn+1 B． 1+xn+1 C． 1﹣xn D． 1+xn
■考点4：因式分解及运用
◇典例：
（2018年浙江省绍兴）因式分解：4x2﹣y2= ．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
解：原式=（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：（2x+y）（2x﹣y）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（2016?杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2，则下列结论： ①若a@b=0，则a=0或b=0 ②a@（b+c）=a@b+a@c ③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2 ④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大． 其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【考点】因式分解的应用；整式的混合运算；二次函数的最值．
【分析】根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．www-2-1-cnjy-com
解：①根据题意得：a@b=（a+b）2-（a-b）2 ∴（a+b）2-（a-b）2=0， 整理得：（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0， 解得：a=0或b=0，正确； ②∵a@（b+c）=（a+b+c）2-（a-b-c）2=4ab+4ac a@b+a@c=（a+b）2-（a-b）2+（a+c）2-（a-c）2=4ab+4ac， ∴a@（b+c）=a@b+a@c正确； ③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2-（a-b）2， 令a2+5b2=（a+b）2-（a-b）2， 解得，a=0，b=0，故错误； ④∵a@b=（a+b）2-（a-b）2=4ab， （a-b）2≥0，则a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab， ∴a2+b2+2ab≥4ab， ∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab， 解得，a=b， ∴a@b最大时，a=b，故④正确， 故选C．
◆变式训练
（2018年浙江省温州）分解因式：a2﹣5a= ．
（2017?台湾）若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（ ）
A．392 B．402 C．412 D．422
一、选择题
（2018年浙江省丽水义乌金华）计算（﹣a）3÷a结果正确的是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．﹣a3 D．﹣a4
．（2018年新疆乌鲁木齐）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=2x6 B．x2?x3=x6 C．x3÷x=x3 D．（﹣2x2）3=﹣8x6
（2017年贵州省黔东南州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
2017 B．2016 C．191 D．190
二、填空题
（2018年浙江省杭州）计算：a﹣3a= ．
已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
（2017年浙江省宁波）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有 个黑色棋子．
（2016年宁波市中考）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x=2．
阅读材料：求的值．
填空题
（2018年浙江省嘉兴）分解因式：m2﹣3m= ．
（2018年浙江省衢州 ）分解因式：x2﹣9= ．
（2018年浙江省丽水义乌金华）化简（x﹣1）（x+1）的结果是 ．
（2018年浙江省杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．
（2018年湖南省岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．
（2018年浙江省丽水义乌金华）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y=+．若1*（﹣1）=2，则（﹣2）*2的值是 ．
选择题
（2018年浙江省杭州市临安）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）分
A． B． C． D．
（2018年浙江省湖州）计算﹣3a?（2b），正确的结果是（ ）
A．﹣6ab B．6ab C．﹣ab D．ab
（2018年浙江省宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b
（2018年浙江省绍兴）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3?a4=a12．其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
解答题
（2017年浙江省温州 ）（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+；
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．
（2017年浙江省嘉兴 ）计算题。
(1)计算：()2-2-1 (-4)；
(2)化简：（m+2）(m-2）-3m
（2017年浙江省宁波）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．
（2018年浙江省衢州 ）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
（2018年浙江省宁波）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．
第一章 数与式第2节 整式与因式分解
知识点一：整式的相关概念
1．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，单项式中的数字因数叫做__单项式的系数__．
2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个__多项式的次数__，不含字母的项叫做__常数项__．
3．整式：__单项式和多项式统称为整式__．
4．同类项：多项式中，所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
?(1)概念：用__基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的__字母__连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?【版权所有：21教育】
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用__具体数__代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
?(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
知识点二：整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝__am＋n__(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝__amn__(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝__an·bn__(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__am－n__(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__相除__，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
知识点三：因式分解
1.因式分解的概念：就是把一个多项式化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2·1·c·n·j·y
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
2.?因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
a.?提公因式法： ma(mb(mc( __m(a+b+c)_.?
b.?公式法:?⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2;⑶a2-2ab+b2=(a-b)2
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
c.?十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
3.因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（3）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底21*cnjy*com
? 易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
4.因式分解的应用
考点1：幂的运算性质
◇典例1：(2017年浙江省宁波市中考 ) 下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（2a）2=4a C．a2?a3=a5 D．（a2）3=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C符合题意；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
（2018年浙江省温州）计算a6?a2的结果是（ ）
A．a3 B．a4 C．a8 D．a12
【考点】同底数幂的乘法
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算．
解：a6?a2=a8，
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法的计算法则．
（2018年浙江省宁波）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=2a3 B．a3?a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
解：∵a3+a3=2a3，
∴选项A符合题意；
∵a3?a2=a5，
∴选项B不符合题意；
∵a6÷a2=a4，
∴选项C不符合题意；
∵（a3）2=a6，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
■考点2：整式的混合运算及化简求值
◇典例：
（2017年浙江省丽水 ）已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为 ．
【考点】代数式求值．
【分析】原式后两项提取﹣1变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
解：∵a2+a=1，
∴原式=3﹣（a2+a）=3﹣1=2．
故答案为：2
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2017?娄底）先化简，再求值： （a+b）（a-b）+（a-b）2-（2a2-ab），其中a，b是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根．
【考点】整式的混合运算—化简求值；根与系数的关系．
【分析】化简整式得原式=-ab，根据韦达定理可得ab=-2，即可得出答案．
解：原式=a2-b2+a2-2ab+b2-2a2+ab =-ab， ∵a，b是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根， ∴ab=-2， 则原式=-ab=2．21·cn·jy·com
◆变式训练
1.(2017·仙桃)已知2a-3b=7,则8+6b-4a=-6
【考点】代数式求值
【分析】先变形,再整体代入求出即可
解:∵:2a-3b=7,
8+6b-4a=8-2(2a-3b)=8-2×7=-6
故答案为:-6
【点评】本题考查了求代数式的值,能够整体代入是解此题的关键
2.（2016?宁波）先化简，再求值：（x+1）（x-1）+x（3-x），其中x=2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把x的值代入计算即可．
解：原式=x2-1+3x-x2 =3x-1， 当x=2时，原式=3×2-1=5．
■考点3：巧用乘法公式
◇典例：
(2014云南中考)观察规律并填空：
＝·＝；
＝···＝·＝；
＝·····＝·＝；
＝·······＝·＝；
…
…＝______．(用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2)
【考点】规律型：数字的变化类，乘法公式的应用．
【分析】由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的和相乘得出结果．2-1-
解：…
＝·······….· =． 故答案为：．
【点评】此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．
c-n-j-y
◆变式训练
请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的结果是 （ ）【版权所有：21教育】
A． 1﹣xn+1 B． 1+xn+1 C． 1﹣xn D． 1+xn
【考点】平方差公式；多项式乘多项式．
【分析】已知各项利用多项式乘以多项式法则计算，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
解：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，
（1﹣x）（1+x+x2）=1+x+x2﹣x﹣x2﹣x3=1﹣x3，
…，
依此类推（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1，
故选：A
【点评】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，找出规律是解本题的关键．
■考点4：因式分解及运用
◇典例：
（2018年浙江省绍兴）因式分解：4x2﹣y2= ．
【考点】因式分解﹣运用公式法
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
解：原式=（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：（2x+y）（2x﹣y）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（2016?杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2，则下列结论： ①若a@b=0，则a=0或b=0 ②a@（b+c）=a@b+a@c ③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2 ④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大． 其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【考点】因式分解的应用；整式的混合运算；二次函数的最值．
【分析】根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．www-2-1-cnjy-com
解：①根据题意得：a@b=（a+b）2-（a-b）2 ∴（a+b）2-（a-b）2=0， 整理得：（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0， 解得：a=0或b=0，正确； ②∵a@（b+c）=（a+b+c）2-（a-b-c）2=4ab+4ac a@b+a@c=（a+b）2-（a-b）2+（a+c）2-（a-c）2=4ab+4ac， ∴a@（b+c）=a@b+a@c正确； ③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2-（a-b）2， 令a2+5b2=（a+b）2-（a-b）2， 解得，a=0，b=0，故错误； ④∵a@b=（a+b）2-（a-b）2=4ab， （a-b）2≥0，则a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab， ∴a2+b2+2ab≥4ab， ∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab， 解得，a=b， ∴a@b最大时，a=b，故④正确， 故选C．
◆变式训练
（2018年浙江省温州）分解因式：a2﹣5a= ．
【考点】因式分解﹣提公因式法
【分析】提取公因式a进行分解即可．
解：a2﹣5a=a（a﹣5）．
故答案是：a（a﹣5）．
【点评】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2017?台湾）若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（ ）
A．392 B．402 C．412 D．422
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据选项的数值，得到ab+1的值，进一步根据平方差公式得到ab的乘积形式，再根据质数的定义即可求解．
解：A、当ab+1=392时，ab=392-1=40×38，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误； B、当ab+1=402时，ab=402-1=41×39，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误； C、当ab+1=412时，ab=412-1=42×40，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误； D、当ab+1=422时，ab=422-1=43×41，正好与a，b为两质数且相差2符合，故本选项正确， 故选：D．
一、选择题
（2018年浙江省丽水义乌金华）计算（﹣a）3÷a结果正确的是（ ）
A．a2 B．﹣a2 C．﹣a3 D．﹣a4
【考点】同底数幂的除法
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别化简求出答案
解：（﹣a）3÷a=﹣a3÷a=﹣a3﹣1=﹣a2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
．（2018年新疆乌鲁木齐）下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3=2x6 B．x2?x3=x6 C．x3÷x=x3 D．（﹣2x2）3=﹣8x6
【考点】合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、x3+x3=2x3，故A错误；
B、x2?x3=x5，故B错误；
C、x3÷x=x2，故C错误；
D、（﹣2x2）3=﹣8x6，故D正确．
故选：D．[来源:Z|xx|k.Com]
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
（2017年贵州省黔东南州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
【考点】完全平方公式．
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；
解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，
故选 D．
【点评】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
填空题
（2018年浙江省杭州）计算：a﹣3a= ．
【考点】合并同类项
【分析】直接利用合并同类项法则分别计算得出答案．
解：a﹣3a=﹣2a．
故答案为：﹣2a．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
【考点】因式分解的应用
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用,求出x-y=4是解本题的关键
（2017年浙江省宁波）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有 个黑色棋子．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案．
解：第一个图需棋子1，
第二个图需棋子1+3，
第三个图需棋子1+3×2，
第四个图需棋子1+3×3，
…
第n个图需棋子1+3（n﹣1）=3n﹣2枚．
所以第⑦个图形有19颗黑色棋子．
故答案为：19；
【点评】此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
（2016年宁波市中考）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x（3﹣x），其中x=2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把x的值代入计算即可．
解：原式=x2﹣1+3x﹣x2
=3x﹣1，
当x=2时，原式=3×2﹣1=5．
阅读材料：求的值．
解：设，将等式两边同时乘以2得：将下式减去上式得
即
即
请你仿照此法计算：
(1) ；
(2) （其中n为正整数）．
解：(1)设，
将等式两边同时乘以2得，
将下式减去上式得：，即，
则.
(2)设，
两边乘以3得：，
下式减去上式得：，即，
则。
填空题
（2018年浙江省嘉兴）分解因式：m2﹣3m= ．
【考点】因式分解﹣提公因式法
【分析】首先确定公因式m，直接提取公因式m分解因式．
解：m2﹣3m=m（m﹣3）．
故答案为：m（m﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
（2018年浙江省衢州 ）分解因式：x2﹣9= ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
（2018年浙江省丽水义乌金华）化简（x﹣1）（x+1）的结果是 ．
【考点】平方差公式
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
解：原式=x2﹣1，
故答案为：x2﹣1
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（2018年浙江省杭州）因式分解：（a﹣b）2﹣（b﹣a）= ．
【考点】因式分解﹣提公因式法
【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
解：原式=（a﹣b）2+（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣b+1），
故答案为：（a﹣b）（a﹣b+1）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
（2018年湖南省岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 ．
【考点】代数式求值
【分析】利用整体思想代入计算即可；
解：∵a2+2a=1，
∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，
故答案为5．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于基础题．
（2018年浙江省丽水义乌金华）对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y=+．若1*（﹣1）=2，则（﹣2）*2的值是 ．
【考点】实数的运算
【分析】根据新定义的运算法则即可求出答案．
解：∵1*（﹣1）=2，
∴=2
即a﹣b=2
∴原式==（a﹣b）=﹣1
故答案为：﹣1
【点评】本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
选择题
（2018年浙江省杭州市临安）10名学生的平均成绩是x，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）分
A． B． C． D．
【考点】列代数式
【分析】整个组的平均成绩=15名学生的总成绩÷15．
解：先求出这15个人的总成绩10x+5×84=10x+420，再除以15可求得平均值为分．
故选：B．
【点评】此题考查了加权平均数的知识，解题的关键是求的15名学生的总成绩．
（2018年浙江省湖州）计算﹣3a?（2b），正确的结果是（ ）
A．﹣6ab B．6ab C．﹣ab D．ab
【考点】单项式乘单项式
【分析】根据单项式的乘法解答即可．
解：﹣3a?（2b）=﹣6ab，
故选：A．
【点评】此题考查单项式的除法，关键是根据法则计算．
（2018年浙江省宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（ ）
A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b
【考点】整式的混合运算
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
解：S1=（AB﹣a）?a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）?a+（AB﹣b）（AD﹣a），
S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），
∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）?a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b?AD﹣ab﹣b?AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算：整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．
（2018年浙江省绍兴）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3?a4=a12．其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式
【分析】直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
解：①（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
②（﹣2a2）2=4a4，故此选项错误；
③a5÷a3=a2，正确；
④a3?a4=a7，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
解答题
（2017年浙江省温州 ）（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+；
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．
【考点】平方差公式；实数的运算；单项式乘多项式．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，化简二次根式，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．
（2）运用平方差公式即可解答．
解：（1）原式=﹣6+1+2=﹣5+2；
（2）原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a．
【点评】本题考查了平方差公式，实数的运算以及单项式乘多项式．熟记实数运算法则即可解题，属于基础题．
（2017年浙江省嘉兴 ）计算题。
(1)计算：()2-2-1 (-4)；
(2)化简：（m+2）(m-2）-3m
【考点】实数的运算，整式的混合运算
【分析】（1）运算中注意符号的变化，且非零数的-1次方就是它的倒数.
（2）运用整式乘法中的平方差公式计算，再合并同类项.
（1）解：原式=3+=4.
（2）解：原式=m2-4-m2=-4。
【点评】本题考查了实数的运算，整式的混合运算。运算中注意符号的变化和平方差公式计算。
（2017年浙江省宁波）先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x+5），其中x=．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
解：原式=4﹣x2+x2+4x﹣5=4x﹣1，
当x=时，原式=6﹣1=5．
（2018年浙江省衢州 ）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：
方案三：
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决．
解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，
方案三：a2+==a2+2ab+b2=（a+b）2．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．
（2018年浙江省宁波）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．
解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，
当x=﹣时，原式=﹣+1=．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
