2018-2019学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）
关于以下集合关系表示不正确的是（　　）
A. ?∈{?} B. ??{?} C. ?∈??? D. ?????
不等式log2x＜
1
2
的解集是（　　）
A. {??|02
2
} B. {??|02
} C. {??|??>
2
} D. {??|??>
2
2
}
若函数f（x）的定义域为（1，2），则f（x2）的定义域为（　　）
A. {??|12
}C. {??|?
2
2
} D. {??|1设函数f（x）=
2
??
,??≥1
3?????,??<1
，若f（f（
5
6
））=4，则b=（　　）
A. 1 B.
7
8
C.
3
4
D.
1
2
设函数f（x）=ln（2+x）-ln（2-x），则f（x）是（　　）
A. 奇函数，且在(0,2)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,2)上是减函数C. 偶函数，且在(0,2)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,2)上是减函数
对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（　　）
A. ?1是??(??)的零点 B. 1是??(??)的极值点C. 3是??(??)的极值 D. 点(2,8)在曲线??=??(??)上
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
已知全集U={-1，0，2，4}，集合A={0，2}，则?UA=______．
求值：3?
8
27
=______．
已知函数f（x）=
(
1
2
)
??
(??≥3)
??(??+1)(??＜3)
，则f（log23）的值为______．
已知偶函数f（x）在[0，2]内单调递减，若??=??(?1)，??=??(????
??
0.5
1
4
)，??=??(????0.5)，则a，b，c之间的大小关系为______．（从小到大顺序）
函数y=log3（-x2+x+6）的单调递减区间是______．
函数f（x）=ax|2x+a|在[1，2]上是单调减函数，则实数a的取值范围为______．
已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f[f（x）-3x]=4，则f（2）=______．
已知函数f（x）=
??
2
???+3，??≤1
??+
2
??
，??＞1
，设a∈R，若关于x的不等式??(??)≥|
??
2
+??|在R上恒成立，则a的取值范围是______
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
（Ⅰ）已知a+a-1=3，求
??
3
+
??
?3
??
4
?
??
?4
的值；（Ⅱ）化简计算：
(????5
)
2
+????2×????50
(????2
)
3
+3????2×????5+(????5
)
3
．
记集合??={??|??=
3???
+
???1
}，集合N={y|y=x2-2x+m}．（1）若m=3，求M∪N；（2）若M∩N=M，求实数m的取值范围．
某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售岀8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
已知函数f（x）=
2??
???1
．（1）求f（x）的定义域、值域利单调区间；（2）判断并证明函数g（x）=xf（x）在区间（0，1）上的单调性．
已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），其图象开口向上，顶点为A，与x轴交于点B（-1，0）利C点，且△ABC的面积为18．（1）求此二次函数的解析式；（2）若方程f（x）=m（x-1）在区间[0，1]有解，求实数m的取值范围．
已知a∈R，函数f（x）=log2（
1
??
+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[
1
2
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C【解析】
解：A：?是{?}中的元素，所以正确； B：?，{?}都是集合，又?是任何集合的子集，所以正确； D：?是任何集合的子集，所以正确． 故选：C．?对于集合{?}来说具有两重性，即是元素本身又是集合，又?是任何集合的子集，可得结果．本题考查是集合间的包含关系和元素与集合的属于关系，属基础题．
2.【答案】B【解析】
解：不等式可化为：log2?x＜log2?2，∵2＞1，∴0＜x＜，故选：B．将不等式右边化为以2为底的对数，利用对数函数的单调性可得．本题考查了对数不等的解法，属基础题．
3.【答案】C【解析】
解：∵f（x）的定义域为（1，2）；∴f（x2）满足1＜x2＜2；∴；∴，或；∴f（x2）的定义域为．故选：C．根据f（x）的定义域为（1，2），即可得出f（x2）需满足1＜x2＜2，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法，绝对值不等式的解法．
4.【答案】D【解析】
解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得f（）=4，若，即b≤，可得，解得b=．若，即b＞，可得，解得b=＜（舍去）．故选：D．直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．
5.【答案】A【解析】
解：因为f（-x）=ln（2-x）-ln（2+x）=-f（x）， 所以f（x）为奇函数； 因为y=ln（2+x）与y=-ln（2-x）在（0，2）内都是增函数， 所以f（x）在（0，2）上是增函数． 故选：A．由定义知f（x）为奇函数，由复合函数的单调性知f（x）在（0，2）上是增函数．本题考查了奇偶性和单调性的综合，属中档题．
6.【答案】A【解析】
解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a-b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=-不为非零整数，不成立．故选：A．可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．
7.【答案】{-1，4}【解析】
解：全集U={-1，0，2，4}，集合A={0，2}，则?UA={-1，4}． 故答案为：{-1，4}．直接利用补集的定义，求出A的补集即可．本题考查补集的运算，补集的定义，考查基本知识的应用．
8.【答案】-
2
3
【解析】
解：原式=（-）=（-）=-，故答案为：-根据根式的性质即可化简．本题考查了根式的化简，属于基础题．
9.【答案】
1
12
【解析】
解：∵函数，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）==×=．故答案为：．由函数，知f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=，由此能求出其结果．本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
10.【答案】b＜a＜c【解析】
解：∵偶函数f（x）∴f（lg）=f（lg2），f（-1）=f（1），=2，∵lg2＜1＜2，f（x）在[0，2]内单调递减∴f（lg2）＞f（1）＞f（2）即c＞a＞b故答案为b＜a＜c先根据偶函数的性质将-1，，lg，化到[0，2]内，根据函数f（x）在[0，2]内单调递减，得到函数值的大小即可．本题主要考查了函数的单调性，以及函数的奇偶性和对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】[
1
2
，3）【解析】
解：根据题意，函数y=log3（-x2+x+6）分解成两部分：f（U）=log2U为外层函数，U=-x2+x+6是内层函数．根据复合函数的单调性，可得若函数y=log2x单调增函数，则函数y=log3（-x2+x+6）单调递减区间就是函数y=-x2+x+6单调递减区间，∴U=-x2+x+6的单调递减区间是：[，+∞），考虑到函数的定义域，-x2+x+6＞0，得x∈（-2，3）．函数y=log3（-x2+x+6）的单调递减区间是：[，3）．故答案为：[，3）．欲求得函数y=log3（-x2+x+6）单调递减区间，将函数y=log3（-x2+x+6）分解成两部分：f（U）=log3U外层函数，U=-x2+x+6是内层函数．外层函数是指数函数，其底数大于1，是增函数，故要求内层函数是减函数时，原函数才为减函数．问题转化为求U=-x2+x+6的单调减区间，但要注意要保证U＞0．一般地，复合函数中，当内层函数和外层函数一增一减时，原函数为减函数；当内层函数和外层函数同增同减时，原函数为增函数．
12.【答案】{a|a＞0或a=-4}【解析】
解：根据题意，f（x）=ax|2x+a|=分3种情况讨论：①，当a=0时，f（x）=0，不符合题意；②，当a＞0时，-＜0，在区间[1，2]上，f（x）=ax（2x+a），且-＜0，在[1，2]上为增函数，符合题意；③，当a＜0时，-＞0，若f（x）在[1，2]上递增，必有，解可得a=-4；综合可得：a的取值范围为{a|a＞0或a=-4}；故答案为：{a|a＞0或a=-4}．根据题意，f（x）=ax|2x+a|=，按a的取值分3种情况讨论函数f（x）的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，涉及参数的讨论，注意分析a的取值情况，属于基础题．
13.【答案】10【解析】
解：根据题意得，f（x）-3x为常数，设f（x）-3x=m，则f（m）=4，f（x）=3x+m； ∴3m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1； ∴f（x）=3x+1； ∴f（2）=10； 故答案为：10．因为f（x）是R上的增函数，所以若f（x）-3x不是常数，则f[f（x）-3x]便不是常数．而已知f[f（x）-3x]=4，所以f（x）-3x是常数，设f（x）-3x=m，所以f（m）=4，f（x）=3x+m，所以f（m）=3m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3x+1，所以便可求出f（2）．考查对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，单调函数零点的情况．
14.【答案】-
47
16
≤a≤2【解析】
解：函数f（x）=，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为-x2+x-3≤+a≤x2-x+3，即有-x2+x-3≤a≤x2-x+3，由y=-x2+x-3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值为-；由y=x2-x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值为，则-≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为-（x+）≤+a≤x+，即有-（x+）≤a≤+，由y=-（x+）≤-2=-2（当且仅当x=＞1）取得最大值-2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则-2≤a≤2；…②由①②可得，-≤a≤2；综上，a的取值范围是-≤a≤2．故答案为：-≤a≤2．根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题．
15.【答案】解：（Ⅰ）∵a+a-1=3，∴a2+a-2=（a+a-1）2-2=9-2=7，a-a-1=±
(???
??
?1
)
2
=±
(??+
??
?1
)
2
?4
=±
5
．∴
??
3
+
??
?3
??
4
?
??
?4
=
(??+
??
?1
)(
??
2
+
??
?2
?1)
(???
??
?1
)(??+
??
?1
)(
??
2
+
??
?2
)
=
??
2
+
??
?2
?1
(???
??
?1
)(
??
2
+
??
?2
)
，∴当a-a-1=
5
时，
??
3
+
??
?3
??
4
?
??
?4
=
??
2
+
??
?2
?1
(???
??
?1
)(
??
2
+
??
?2
)
=
7?1
5
×7
=
6
5
35
，当a-a-1=-
5
时，
??
3
+
??
?3
??
4
?
??
?4
=
??
2
+
??
?2
?1
(???
??
?1
)(
??
2
+
??
?2
)
=-
7?1
5
×7
=-
6
5
35
．（Ⅱ）
(????5
)
2
+????2×????50
(????2
)
3
+3????2×????5+(????5
)
3
=
(????5
)
2
+????2(????2+2????5)
(????2+????5)[(????2
)
2
?????2????5+(????5
)
2
]+3????2×????5
=
(????5+????2
)
2
(????2+????5
)
2
=1．【解析】
（Ⅰ）推导出a2+a-2=（a+a-1）2-2=9-2=7，a-a-1===．再由==，能求出结果．（Ⅱ）利用对数性质、运算法则、换底公式直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：（1）∵集合??={??|??=
3???
+
???1
}=[1，3]，又∵集合N={y|y=x2-2x+m}，∴y=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，∴N={y|m-1≤y}=[m-1，+∞），当m=3时，N={y|2≤y}=[2，+∞），∴M∪N=[1，+∞），（2）∵M∩N=M，可得M?N，由（1）知M=[1，3]，N=[m-1，+∞），所以m≤2．【解析】
（1）将m=3代入求出集合M，N，进而可得M∪N； （2）若M∩N=M，可得M?N，结合M=[1，3]，N=[m-1，+∞），可得答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用，集合的运算，难度不大，属于基础题．
17.【答案】解：（1）y=（2400-2000-x）（8+0.08x）=（400-x）（8+0.08x）=-0.08x2+24x+3200（2）当y=4800时，-0.08x2+24x+3200=4800，解这个方程得x1=100，x2=200．∵若要使老百姓获得更多实惠，则x1=100不符合题意，舍去．答：若要使老百姓获得更多实惠，每台冰箱应降价200元．（3）由y=-0.08x2+24x+3200，当x=
24
2×0.08
=150时，y最大，最大为=-0.08×1502+24×150=5000答：每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5000元．【解析】
（1）根据题意易求y与x之间的函数表达式． （2）已知函数解析式，设y=4800可从实际得x的值． （3）利用x=150，然后可求出y的最大值本题考查了二次函数的综合知识，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．借助二次函数解决实际问题．
18.【答案】解：（1）由x-1≠0，得x≠1，所以f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），由f（x）=
2??
???1
=
2(???1)+2
???1
=2+
2
???1
≠2，得f（x）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（-∞，1）和（1，+∞）（2）g（x）在（0，1）上是减函数，证明如下：g（x）=xf（x）=
2
??
2
???1
，g′（x）=
4??(???1)?2
??
2
(???1
)
2
=
2??(???2)
(???1
)
2
，∵x∈（0，1），∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上是减函数．【解析】
（1）分母不为0可求得定义域，f（x）变成2+后，利用≠0可求得值域，利用反比例函数的单调性可求得单调区间；（2）利用导函数的符号证明单调性．本题考查了函数的单调性及单调区间，属中档题．
19.【答案】解：（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（2+x）=f（2-x），∴函数的对称轴x=?
??
2??
=2即b=-4a，∵图象开口向上，a＞0，∵f（-1）=0，∴c=-5a∴f（x）=a（x2-4x-5=0），∴A（2，-9a）图象与x轴交于点B（-1，0），根据对称性可知C（5，0），∴BC=6，△ABC的面积为S=
1
2
×6×|-9a|=18．∴a=
2
3
，∴f（x）=
2
3
（x2-4x-5）；（2）∵f（x）=
2
3
（x2-4x-5）=m（x-1）在区间[0，1]有解，即2x2-（3m+8）x+3m-10=0在区间[0，1]上有解，∵△=（3m+8）2-8（3m-10）=9m2+24m+144＞0恒成立，∴g（x）=2x2-（3m+8）x+3m-10有两个零点，又g（x）在[0，1]上有零点，∴g（0）?g（1）≤0或
??(0)≥0
??(1)≥0
0＜
3??+8
4
＜1
，∴m≥
10
3
或m∈?，综上所述：实数m的取值范围时[
10
3
，+∞）．【解析】
（1）根据二次函数的对称轴为x=2，得b=-4a，开口向上得a＞0，根据B（-1，0）得C（5，0），根据S△ABC=18得a=，从而可得f（x）=（x2-4x-5）；（2）转化为g（x）=2x2-（3m+8）x+3m-10在[0，1]内有零点，利用二次函数的图象列式可求得：m≥．本题主要考查二次函数的对称轴，顶点与轴的交点和平面图形，函数的零点，二次方程实根的分布，属中档题．
20.【答案】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（
1
??
+5），由f（x）＞0；得log2（
1
??
+5）＞0，即
1
??
+5＞1，则
1
??
＞-4，则
1
??
+4=
4??+1
??
＞0，即x＞0或x＜-
1
4
，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜-
1
4
}．（2）由f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0得log2（
1
??
+a）-log2[（a-4）x+2a-5]=0．即log2（
1
??
+a）=log2[（a-4）x+2a-5]，即
1
??
+a=（a-4）x+2a-5＞0，①则（a-4）x2+（a-5）x-1=0，即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=
1
???4
，若x=-1是方程①的解，则
1
??
+a=a-1＞0，即a＞1，若x=
1
???4
是方程①的解，则
1
??
+a=2a-4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）-f（t+1）≤1，即log2（
1
??
+a）-log2（
1
??+1
+a）≤1，即
1
??
+a≤2（
1
??+1
+a），即a≥
1
??
-
2
??+1
=
1???
??(??+1)
设1-t=r，则0≤r≤
1
2
，
1???
??(??+1)
=
??
(1???)(2???)
=
??
??
2
?3??+2
，当r=0时，
??
??
2
?3??+2
=0，当0＜r≤
1
2
时，
??
??
2
?3??+2
=
1
??+
2
??
?3
，∵y=r+
2
??
在（0，
2
）上递减，∴r+
2
??
≥
1
2
+4=
9
2
，∴
??
??
2
?3??+2
=
1
??+
2
??
?3
≤
1
9
2
?3
=
2
3
，∴实数a的取值范围是a≥
2
3
．【解析】
（1）当a=5时，解导数不等式即可． （2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可． （3）根据条件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．