2018-2019学年江苏省苏州市昆山市高一（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省苏州市昆山市高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共16小题，共48.0分）
设全集U={-1，0，1，2，3}，B={0，2，3}，?UB=______．
函数y=
1
??
+
??+1
的定义域为______．
已知函数??(??)=
2???1(??≥0)
(
1
3
)
??
(??＜0)
，则f（f（-1））=______．
函数??(??)=????
??
2
1???
1+??
是______函数（奇函数、偶函数、非奇非偶、既奇又偶）．
函数y=
??+1
??+3
的图象对称中心坐标为______．
函数y=-x2+2x+3（0≤x≤3）的值域______．
已知幂函数??=
??
??
2
?5
（m∈N+）在（0，+∞）上是减函数，且它的图象关于y轴对称，则m=______．
已知集合A={x|log2x＜1}，B={y|1-2x}，则A∩B=______．
已知函数??=(
1
2
)
?
??
2
???+2
（x∈R），对于任意x恒有f（x）≥f（x0），则x0=______
方程lgx+x=3的解为x0，若x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=______．
设函数f（x）的定义域为（0，+∞）的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，则满足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围是______．
若函数??(??)=
??
2
?4??+3,?????4,??≥??
恰有2个零点，则实数λ的取值范围是______．
若函数f（x）=4x-a?2x+1+3有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______．
已知函数??(??)=
??
2
+??+3
??
，关于x的不等式f2（x）＜af（x）只有一个整数解，则正数a的取值范围是______．
已知函数f（x）在定义域R是偶函数，且当??≥0，??(??)=
??+2
??+1
时，若对任意实数a∈[-2，1]，都有f（a-t）＜f（a）恒成立，则实数t的取值范围是______．
二、解答题（本大题共8小题，共102.0分）
已知A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}．（1）求A；（2）若A∪B=B，求a的值．
设函数??(??)=
1+
??
2
??
．（1）判断函数奇偶性；（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
用一根长为100米的细绳在一片空地上围一个如图平面五边形ABCDE（BE不算长），平面五边形上方是一个等边三角形ABE，下方是一个矩形BCDE，设AB=x米，五边形ABCDE的面积为y平方米．（1）求y关于x的函数f（x），并求定义域；（2）求五边形ABCDE的面积的最大值．

已知A={x|4-x2＞0}，B={x|x2-2x-3≤0}，C={x|2m＜x＜m+1}．（1）求A∩B；（2）定义A-B={x|x∈A且x?B}，求A-B；（3）若C?（A∩B），求m的取值范围．
设函数f（x）=k2x-2-x是定义R上的奇函数．（1）求k的值；（2）若不等式f（x）＞a?2x-1有解，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=4x+4-x-4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
设函数f（x）=k?2x-2-x是定义R上的奇函数．（1）求k的值???（2）若不等式f（x）＞a?2x-1有解，求实数a的取值范围；（3）解关于x的方程4x+4-x-4f（x）+2=0．
设函数f（x）=x2+2ax+2a+1．（1）若不等式f（x）＜0对x∈[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若方程f（|3x-1|）=0有四个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）+|x-1|，写出g（x）的单调增减区间．
设函数f（x）=x2+2ax+2a+1．（1）求f（x）在x∈[-1，1]上的最小值；（2）若不等式f（x）＜0对x∈[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若方程f（|3x-1|）=0有四个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{-1，1}【解析】
解：∵全集U={-1，0，1，2，3}，B={0，2，3}， ∴?UB={-1，1}． 故答案为：{-1，1}．利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，考相补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】{x|x≥-1，且x≠0}【解析】
解：要使函数有意义，需满足解不等式组，得x≥-1，且x≠0∴函数的定义域为{x|x≥-1，且x≠0}故答案为{x|x≥-1，且x≠0}要求函数的定义域，就是求使函数有意义的x的取值范围，因为函数解析式中有分式，所以分母不等于0，又因为有二次根式，所以被开放数大于等于0，最后两个范围求交集即可．本题主要考查已知函数解析式求定义域，关键是判断函数解析式何时成立．
3.【答案】5【解析】
解：∵函数，∴f（-1）=（）-1=3，f（f（-1））=f（3）=2×3-1=5．故答案为：5．求出f（-1）=（）-1=3，从而f（f（-1））=f（3），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】奇【解析】
解：由题意得：＞0，解得：-1＜x＜1，故f（x）的定义域是（-1，1），且f（-x）=log2=-log2=-f（x），故函数f（x）是奇函数，故答案为：奇．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性问题，熟练掌握函数的奇偶性的定义是解题的关键，本题是一道基础题．
5.【答案】（-3，1）【解析】
解：根据题意，函数y==1-=+1，将函数y=向左平移1个单位，向上平移1个单位得到y=的图象，又由函数y=的对称中心为（0，0），则函数y=的图象对称中心坐标为（-3，1）；故答案为：（-3，1）．根据题意，分析可得函数y==1-=+1，可以由函数y=向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，结合反比例函数的性质，分析可得答案．本题考查函数图象的变换，注意函数图象变换的规律，属于基础题．
6.【答案】[0，4]【解析】
解：y=-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4， ∵x∈[0，3]， ∴-1≤x-1≤2，-4≤-（x-1）2≤0， ∴0≤-（x-1）2+4≤4 ∴函数y=-x2+2x+3，x∈[0，3]的值域是[0，4]． 故答案为：[0，4]．首先把函数y=-x2+2x+3配方，然后根据自变量x∈[0，3]，求出函数的值域即可．本题主要考查了给定区间上的二次函数的值域的求法，考查了配方法的运用，属基础题．
7.【答案】1【解析】
解：因为幂函数（m∈N+）在（0，+∞）上是减函数；∴m2-5＜0?0＜m＜又因为：它的图象关于y轴对称；∴m2-5是偶数；∴m=1．故答案为：1．先根据其为减函数得到m的范围，再结合图象关于y轴对称即可得到结论．本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．
8.【答案】（0，1）【解析】
解：A=（0，2），B=（-∞，1）； ∴A∩B=（0，1）． 故答案为：（0，1）．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性，指数函数的值域，以及交集的运算．
9.【答案】-
1
2
【解析】
解：函数（x∈R），对于任意x恒有f（x）≥f（x0），故x0是t=-x2-x+2=-+?的最大值点，∴x0=-，故答案为：-．由题意利用复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，可得x0是t=-x2-x+2的最大值点，由此求得x0?的值．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于中档题．
10.【答案】2【解析】
解：令f（x）=lgx-3+x，则方程lgx=3-x的近似解x=x0∈（k，k+1），k∈Z，即 函数f（x）的零点， 在（k，k+1）上，k∈Z， ∵f（2）=lg2-3+2＜0，f（3）=lg3-3+3＞0， ∴函数f（x）的零点在（2，3）上， ∴k=2， 故答案为 2．方程的解即对应函数f（x）的零点，由f（2）＜0，f（3）＞0知，方程f（x）=0 的零点在（2，3）上，又方程f（x）=0 的零点在∈（k，k+1）上，k∈Z，可得 k值．本题考查方程的解与函数零点的关系及用二分法求方程的近似解．
11.【答案】（3，4]【解析】
解：∵f（2）=1，∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=2，∴f（x）+f（x-3）≤2?f[x（x-3）]≤f（4），∴，即，解得：3＜x≤4．∴原不等式的解集为：（3，4]．故答案为：（3，4]．令x=y=2，利用f（2）=1即可求得f（4）=2，得f[x（x-3）]≤f（4），再由单调性得到不等式组，解之即可．本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．
12.【答案】（1，3]∪（4，+∞）【解析】
解：函数函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：（1，3]∪（4，+∞）．利用分段函数画出函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．
13.【答案】（
3
，+∞）【解析】
解：若函数f（x）=4x-a?2x+1+3有两个不同的零点，则方程4x-a?2x+1+3=0有2个不同的根，设t=2x，则t＞0，4x-a?2x+1+3=0即t2-2at+3=0，则方程t2-2at+3=0有2个正根，则有，解可得：a＞，即a的取值范围为（，+∞）；故答案为：（，+∞）．根据题意，由函数零点的定义可得方程4x-a?2x+1+3=0有2个根，设t=2x，进而分析可得方程t2-2at+3=0有2个正根，由一元二次方程的根的分布可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次方程的根的分布，属于综合题．
14.【答案】(
9
2
，5]【解析】
解：函数=x++1，f′（x）=1-=，可得：x＜0时，x=-，函数f（x）取得极大值，f（-）=-2+1．x＞0时，x=，函数f（x）取得极小值，f（）=2+1．∴f（x）∈（-∞，1-2]∪[2+1，+∞）．关于x的不等式f2（x）＜af（x），a＞0．解得：0＜f（x）＜a．∵2+1≈2×1.732+1≈4.4．∵关于x的不等式f2（x）＜af（x）只有一个整数解，其整数解为2．∴f（2）＜a≤f（3），解得：＜a≤5∴则正数a的取值范围是．故答案为：．函数=x++1，f′（x）=1-=，利用导数研究其单调性可得函数f（x）的极值与最值，进而得出值域．关于x的不等式f2（x）＜af（x），a＞0．解出0＜f（x）＜a．进而得出a的取值范围．本题考查了利用导数研究其单调性极值与值域、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
15.【答案】（-∞，-4）∪（2，+∞）【解析】
解：当=+1，故f（x）在[0，+∞）递减，而f（x）在定义域R是偶函数，故f（x）在（-∞，0）递减，若对任意实数a∈[-2，1]，都有f（a-t）＜f（a）恒成立，则对任意实数a∈[-2，1]，|a-t|＞|a|，即2at＜t2在a∈[-2，1]恒成立，①t＞0时，只需t＞（2a）max成立即可，故t＞2，②t＜0时，只需t＜（2a）min成立即可，故t＜-4，故答案为：（-∞，-4）∪（2，+∞）求出函数的单调性，根据函数的奇偶性求出函数在R的单调性，去掉f，得到2at＜t2在a∈[-2，1]恒成立，通过讨论t的范围，求出t的具体范围即可．本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．
16.【答案】解：（1）∵x2+4x=0，∴x=0或x=-4，∴A={-4，0}．（2）∵A={-4，0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}，A∪B=B，∴A?B，∴0∈B，且-4∈B，
(?4
)
2
+2(??+1)(?4)+
??
2
?1=0
??
2
?1=0
解得a=1．【解析】
（1）解方程x2+4x=0能求出集合A． （2）由A∪B=B，A?B，从而0∈B，且-4∈B，由此能求出a．本题考查集合的求法，考查实数值的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：（1）函数的定义域{x|x≠0}（2分），∵f（-x）=
1?(???
)
2
???
=-
1+
??
2
??
=-f（x），∴f（x）为奇函数（4分）证明：（2）函数f（x）在[1，+∞）上的单调递增，证明如下，（5分）∵f（x）=x+
1
??
，（6分）设任意x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，（8分）则f（x1）-f（x2）=x1-x2+
1
??
1
?
1
??
2
=
(
??
1
?
??
2
)(
??
1
??
2
?1)
??
1
??
2
（11分）∵x1＜x2∴x1-x2＜0∵1≤x1＜x2∴x1x2-1＞0∴
(
??
1
?
??
2
)(
??
1
??
2
?1)
??
1
??
2
＜0（13分）∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上的单调递增（14分）【解析】
（1）直接检验f（-x）与f（x）的关系即可判断； （2）直接利用函数的单调性的定义进行判断即可．本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的简单应用，属于基础试题．
18.【答案】解：（1）∵AB=x，三角形ABE是等边三角形，BCDE是矩形，∴BC=
100?3??
2
=50?
3
2
??，∴
??
△??????
=
3
4
??
2
，
??
四边形????????
=???(50?
3
2
??)，因此，??(??)=
3
4
??
2
+???(50?
3
2
??)=(
3
4
?
3
2
)
??
2
+50??，又BC=50-
3
2
??＞0，∴x＜
100
3
．∴f（x）=(
3
4
?
3
2
)
??
2
+50??（0＜x＜
100
3
）；（2）函数f（x）=(
3
4
?
3
2
)
??
2
+50??的图象开口向下，顶点坐标为（
100(6+
3
)
33
，
2500(6+
3
)
33
），又∵0＜
100(6+
3
)
33
＜
100
3
，∴??(??
)
??????
=
2500(6+
3
)
33
．答：五边形ABCDE的面积的最大值为
2500(6+
3
)
33
平方米．【解析】
（1）由AB=x，三角形ABE是等边三角形，BCDE是矩形，分别求出三角形及四边形的面积，作和可得f（x），再由BC＞0求得x的范围，得到函数定义域； （2）直接利用二次函数求最值．本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用二次函数求最值，正确理解题意是关键，是中档题．
19.【答案】解：（1）A=（-2，2），B=[-1，3]；∴A∩B=[-1，2）；（2）∵A-B={x|x∈A且x?B}；∴A-B=（-2，-1）；（3）∵C?（A∩B）；∴①若C=?，则2m≥m+1；∴m≥1；②若C≠?，则
2??≥?1
??+1≤2
2??＜??+1
；∴?
1
2
≤??＜1；综上得，m的取值范围为[?
1
2
，+∞)．【解析】
（1）可求出A=（-2，2），B=[-1，3]，进行交集的运算即可得出A∩B=[-1，2）；（2）根据A-B的定义即可求出；（3）可讨论C是否为空集：C=?时，2m≥m+1；C≠?时，，从而得出m的取值范围．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，理解A-B的定义，子集的概念．
20.【答案】解：（1）因为f（x）=k?2x-2-x是定义域为R上的奇函数，所以f（0）=0，所以k-1=0，解得k=1，f（x）=2x-2-x，当k=1时，f（-x）=2-x-2x=-f（x），所以f（x）为奇函数，故k=1；（2）f（x）＞a?2x-1有解，所以a＜-（
1
2
??
）2+（
1
2
??
）+1有解，所以a＜[-（
1
2
??
）2+（
1
2
??
）+1]max，因为-（
1
2
??
）2+（
1
2
??
）+1=-（
1
2
??
-
1
2
）2+
5
4
≤
5
4
，（x=1时，等号成立），所以a＜
5
4
；（3）g（x）=4x+4-x-4f（x），即g（x）=4x+4-x-4（2x-2-x），可令t=2x-2-x，可得函数t在[1，+∞）递增，即t＞
3
2
，t2=4x+4-x-2，可得函数h（t）=t2-4t+2，t＞
3
2
，由g（t）的对称轴为t=2＞
3
2
，可得t=2时，g（t）取得最小值-2，此时2=2x-2-x，解得x=log2（1+
2
），则g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，此时x=log2（1+
2
）．【解析】
（1）由f（x）为R上的奇函数，可得f（0）=0，可得k；（2）由题意可得a＜-（）2+（）+1有解，即a＜[-（）2+（）+1]max，运用配方和指数函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围；（3）可令t=2x-2-x，求得t＞，即有t2=4x+4-x-2，可得函数h（t）=t2-4t+2，t＞，有二次函数的最值求法，可得所求．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查参数分离和换元法，以及转化思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）因为f（x）=k?2x-2-x是定义域为R上的奇函数，所以f（0）=0，所以k-1=0，解得k=1，f（x）=2x-2-x，当k=1时，f（-x）=2-x-2x=-f（x），所以f（x）为奇函数，故k=1；（2）因为f（x）＞a?2x-1有解，所以a＜-（
1
2
??
）2+（
1
2
??
）+1有解，所以a＜[-（
1
2
??
）2+（
1
2
??
）+1]max，因为-（
1
2
??
）2+（
1
2
??
）+1=-（
1
2
??
-
1
2
）2+
5
4
≤
5
4
，（x=1时，等号成立）所以a＜
5
4
；（3）由4x+4-x-4f（x）+2=0可得：4x+4-x-4f（x）+2=（2x-2-x）2-4（2x-2-x）+4，所以（2x-2-x-2）2=0，所以2x-2-x-2=0，解得：x=log2（1+
2
）．【解析】
（1）由奇函数定义可得； （2）不等式有解时，等价于小于最大，大于最小； （3）将2x-2-x当整体，解一元二次方程．本题考查了奇函数定义、不等式有解的转换、整体换元．属中档题．
22.【答案】解：（1）因为不等式f（x）＜0对x∈[0，1]恒成立，所以
??(1)<0
??(0)<0
，即
4??+2<0
2??+1<0
，解得：a＜-
1
2
，（2）令t=|3x-1|，h（t）=t2+2at+2a+1，要方程f（|3x-1|）=0有四个不相等的实数根，只需h（t）=0在t∈（0，1）上有两个不等实根，所以
△=(2??
)
2
?4(2??+1)＞0
0＜???＜1
?(0)＞0
?(1)＞0
，解得：-
1
2
＜a＜1-
2
，（3）因为g（x）=f（x）+|x-1|=x2+2ax+2a+1+|x-1|=
??
2
+(2??+1)??+2??
??≥1
??
2
+(2???1)??+2??+2
??＜1
当a＞-
1
2
时，g（x）的减区间为（-∞，-a+
1
2
），增区间为（-a+
1
2
，+∞）；当-
3
2
≤a≤-
1
2
时，g（x）的减区间为（-∞，1），增区间为（1，+∞）；当a＜-
3
2
时，g（x）的减区间为（-∞，-a-
1
2
），增区间为（-a-
1
2
，+∞）．【解析】
（1）利用二次函数的图象列式可得； （2）换元变成二次函数，利用二次函数图象解题； （3）去绝对值变成分段函数，根据二次函数图象写单调增区间．本题考查了二次函数单调性、二次不等式恒成立．属总中档题．
23.【答案】解：（1）因为f（x）=x2+2ax+2a+1的对称轴为x=-a，所以当-a＜-1，即a＞1时，f（x）min=f（-1）=2，当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，f（x）min=f（-a）=-a2+2a+1，当-a＞1，即a＜-1时，f（x）min=4a+2，（2）因为不等式f（x）＜0对x∈[0，1]恒成立，所以
??(1)<0
??(0)<0
，即
4??+2<0
2??+1<0
，解得：a＜-
1
2
（3）令t=|3x-1|，h（t）=t2+2at+2a+1，要使方程f（|3x-1|）=0有四个不相等的实根，只需h（t）=0在t∈（0，1）上有两不等根，所以
△=(2??
)
2
?4(2??+1)＞0
0＜???＜1
?(0)＞0
?(1)＞0
解得：-
1
2
＜a＜1-
2
．【解析】
（1）按照对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论即可； （2）结合二次函数图象列式即可； （3）换元变成二次函数，利用二次函数图象列式可得．本题考查了二次函数的单调性、二次方程实根分布、换元法．属中档题．