2018-2019学年江苏省常州市14校联盟高一（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省常州市14校联盟高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共56.0分）
设集合A={x|x＞0}，B={x|-1＜x＜3}，则A∩B=______．
函数f（x）=ax-2+3（a＞0，且a≠1）的图象所经过的定点坐标为______．
给出下列三个函数：①y=
??
2
?2??
???2
；②y=
??
3
+??
??
2
+1
；③y=
??
2
．其中与函数f（x）=x相同的函数的序号是______．
满足{1，2}?A?{1，2，3，4}的集合A的个数是______．
已知f（
??
-2）=x，则f（-1）=______．
已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=x2+x，则当x＜0时，函数f（x）的解析式为f（x）=______．
直线y=3与函数y=2x，y=3?2x图象的两个交点间距离为______．
已知函数f（x）=
??
2
?2??,??≥0
?2??,??<0
，若f（4）＞f（t），则实数t的取值范围为______．
已知集合A={x|x2-3x-4=0}，B={x|mx+1=0}，且B?A，则实数m的值为______．
记函数f（x）=
3???
+
???1
的定义域为集合M，函数g（x）=4x-1，x∈（-∞，1）的值域为集合N，则M∪N=______．
当x∈[-1，2]时，函数f（x）=
1
3??+??
恒有意义，则实数t的取值范围为______．
已知f（x）为定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上为单调增函数，f（1）=0，则不等式
??(??)+??(???)
??
＞0的解集为______．
若函数y=f（x+1）+3是定义在R上的奇函数，则f（e）+f（2-e）=______．
已知函数f（x）=
2
??
2
,??>1
?
??
2
+2????,??≤1
，若存在a，b∈R，且a≠b，使得f（a）=f（b）成立，则实数k的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共64.0分）
已知集合A={y|y=3x-1，0≤x≤1}，B={x|（x-a）[（x-（a+3））]＜0}．（1）若a=1，求A∪B；（2）若A∩B=?，求实数a的取值范围．
计算：（1）(
1
300
)
?
1
2
+
81
3
4
+(
2
3
)
0
-10×(2?
3
)
?1
；（2）
??
????4
+????
??
5
25+lg25+lg2?lg50+（lg2）2
已知函数f（x）=1-
??
3
??
+1
是奇函数．（1）求实数m的值；（2）用定义证明f（x）是R上的增函数；并求当x∈[-2，2]时函数f（x）的值域．
某家庭进行理财投资，有两种方式，甲为投资债券等稳健型产品，乙为投资股票等风险型产品，设投资甲、乙两种产品的年收益分别为y1、y2万元，根据长期收益率市场预测，它们与投入资金x万元的关系分别为y1=m
??+4
+??，y2=bx，（其中m，a，b都为常数），函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示．（1）求函数y1、y2的解析式；（2）若该家庭现有5万元资金，全部用于理财投资，问：如何分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

已知函数f（x）=x2-mx-1+m．（1）若y=f（x）在区间[-1，0]上是单调函数，求实数m的取值范围；（2）若函数y=f（2x），x∈[0，2]的最大值为g（m），求g（m）的表达式．
设a是实数，函数f（x）=32x+|3x-a|（x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）当a≤0时，解关于x的不等式f（x）＞a2；（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．
答案和解析
1.【答案】（0，3）【解析】
解：A∩B=（0，3）． 故答案为：（0，3）．进行交集的运算即可．考查描述法的定义，交集的运算．
2.【答案】（2，4）【解析】
解：当x=2时，f（2）=a2-2+3=a0+3=4，∴函数f（x）=ax-2+3的图象一定经过定点（2，4）． 故答案为（2，4）．利用a0=1（a≠0），取x=2，得f（2）=4，即可求函数f（x）的图象所过的定点．本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．
3.【答案】②【解析】
解：f（x）=x的定义域为R；①的定义域为{x|x≠2}，定义域不同，与f（x）=x不相同；②的定义域为R，与f（x）=x相同；③，解析式不同，与f（x）=x不相同．故答案为：②．通过求定义域，化简函数，即可找出与f（x）=x相同的函数．考查函数的定义，判断函数是否相同的方法：定义域和解析式是否都相同．
4.【答案】3【解析】
解：根据条件知，1，2是A的元素，而3，4中最多有1个为A的元素，所以这样的A为： {1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}； ∴满足条件的集合A有3个． 故答案为：3．根据子集及真子集的定义即可知1，2∈A，3，4中最多一个属于A，这样即可写出满足条件的集合A，从而得出答案．考查列举法表示集合，子集及真子集的定义，清楚二者的区别．
5.【答案】1【解析】
解：根据题意，f（-2）=x，令-2=-1，则x=1，则有f（-1）=-1，故答案为：1．根据题意，f（-2）=x中令-2=-1，求出x的值，代入f（-2）=x中计算可得答案．本题考查函数值的计算，关键是特殊值法分析，属于基础题．
6.【答案】x2-x【解析】
解：根据题意，设x＜0，则-x＞0， f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x， 又由函数为偶函数，则f（x）=f（-x）=x2-x， 故答案为：x2-x．根据题意，设x＜0，则-x＞0，由函数的解析式可得f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x，进而结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
7.【答案】log23【解析】
解：联立，可得x=log23；联立，可得x=0．∴直线y=3与函数y=2x，y=3?2x图象的两个交点间距离为log23-0=log23．故答案为：log23．联立方程组分别求出交点坐标，再由沙尔定理求解．本题考查指数方程的解法，考查两点间距离的求法，是基础题．
8.【答案】（-4，4）【解析】
解：函数f（x）=，可得f（4）=16-8=8，由f（4）＞f（t），可得或，即为-4＜t＜0或0≤t＜4，则t的取值范围是（-4，4）．故答案为：（-4，4）．由分段函数可得f（4）=8，讨论x＜0，x≥0，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用：求函数值和解不等式，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于基础题．
9.【答案】-
1
4
或0或1．【解析】
解：∵集合A={x|x2-3x-4=0}={-1，4}，B={x|mx+1=0}，且B?A，∴当m=0时，B=?，成立；当m≠0时，B={-}，∴-=-1或-=4，解得m=1或m=-．∴实数m的值为-或0或1．故答案为：-或0或1．求出集合A={-1，4}，B={x|mx+1=0}，且B?A，当m=0时，B=?，成立；当m≠0时，B={-}，从而-=-1或-=4，由此能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】（-1，3]【解析】
解：要使f（x）有意义，则：；∴1≤x≤3；∴M=[1，3]；∵x＜1；∴0＜4x＜4；∴-1＜4x-1＜3；∴N=（-1，3）；∴M∪N=（-1，3]．故答案为：（-1，3]．可分别求f（x）的定义域，g（x）的值域，从而得出集合M，N，然后进行并集的运算即可．考查函数定义域、值域的定义及求法，指数函数的单调性，以及并集的运算．
11.【答案】（3，+∞）【解析】
解：要使f（x）=有意义，则；∵x∈[-1，2]时，f（x）恒有意义；∴；∴t＞3；∴实数t的取值范围为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．可得出f（x）有意义时，，而x∈[-1，2]时，函数f（x）恒有意义，从而得出，这样即可求出t的范围．考查函数定义域的概念及求法，能用数轴表示集合．
12.【答案】（-1，0）∪（1，+∞）【解析】
解：根据题意，f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，且f（1）=0，在区间（0，1）上，f（x）＜0，在（1，+∞）上，f（x）＞0，又由函数为偶函数，则＞0?＞0?xf（x）＞0?xf（|x|）＞0?或；解可得：x＞1或-1＜x＜0，即不等式的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）．根据题意，结合函数在（0，+∞）上的单调性以及特殊值，分析可得在区间（0，1）上，f（x）＜0，在（1，+∞）上，f（x）＞0；结合函数的奇偶性分析可得＞0?xf（|x|）＞0?或；解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式变形，属于综合题．
13.【答案】-6【解析】
解：根据题意，若函数y=f（x+1）+3是定义在R上的奇函数， 则[f（x+1）+3]+[f（-x+1）+3]=0，变形可得f（x+1）+f（-x+1）=-6， 令x+1=e，则x=e-1， 则有f（e）+f（2-e）=-6； 故答案为：-6．根据题意，由奇函数的性质可得[f（x+1）+3]+[f（-x+1）+3]=0，变形可得f（x+1）+f（-x+1）=-6，令x+1=e，代入计算可得答案．本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数的对称性，属于基础题．
14.【答案】k＜1或k＞
3
2
【解析】
解：函数f（x）=，存在a，b∈R，且a≠b，使得f（a）=f（b）成立，可得f（x）在R上不单调，由x＞1时，f（x）递增，由f（x）=2x2，x＞1为增函数，且x=1时，2x2=2，得x≤1时，f（x）先增后减，即k＜1；或x=1处的函数值大于2，即-1+2k＞2，解得k＜1或k＞，故答案为：k＜1或k＞．依题意，在定义域内，f（x）不是单调函数，结合二次函数的图象和性质及分段函数的单调性，可得结论．本题考查分段函数的应用：判断单调性，考查分类讨论思想，难度中档．
15.【答案】解：A=[-1，2]，B=（a，a+3）；（1）a=1时，B=（1，4）；∴A∪B=[-1，4）；（2）∵A∩B=?；∴a≥2，或a+3≤-1；∴a≥2，或a≤-4；∴实数a的取值范围为{a|a≤-4，或a≥2}．【解析】
（1）可先求出A=[-1，2]，B=（a，a+3），a=1时，得出集合B，然后进行并集的运算即可； （2）根据A∩B=?即可得出a≥2，或a+3≤-1，从而得出实数a的取值范围．考查描述法和区间表示集合的定义，并集、交集的运算，空集的概念．
16.【答案】解：（1）原式=
300
+
3
4×
3
4
+1-10×（2+
3
）=10
3
+33+1-20-10
3
=8．（2）原式=4+4+2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=8+1+lg5+lg2=10．【解析】
（1）利用指数运算性质即可得出． （2）利用对数运算性质及其lg5+lg2=1即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）根据题意，f（x）为R奇函数，则f（0）=1-
??
3
0
+1
=0，解可得m=2；当m=2时，f（x）=1-
2
3
??
+1
=
3
??
?1
3
??
+1
，为奇函数，符合题意；故m=2；（2）由（1）的结论，f（x）=1-
2
3
??
+1
，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（1-
2
3
??
1
+1
）-（1-
2
3
??
2
+1
）=
2(
3
??
1
?
3
??
2
)
(
3
??
1
+1)(
3
??
2
+1)
，又由x1＜x2，则（
3
??
1
-
3
??
2
）＜0，（
3
??
1
+1）＞0，（
3
??
2
+1）＞0，则f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在R上是增函数；则f（x）max=f（2）=
4
5
，f（x）min=f（-2）=-
4
5
；则函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-
4
5
，
4
5
]．【解析】
（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=1-=0，解可得m的值，验证可得答案；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）=1-，用作差法证明可得f（x）是R上的增函数，据此分析可得函数f（x）的值域，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出m的值．
18.【答案】（1）解：由函数y1的图象过点（0，0），（5，1）得
3??+??=1
2??+??=0
，所以
??=?2
??=1
；由函数y2的图象过点（0，0），（5，1）得5b=1，所以b=
1
5
；所以y1=
??+4
-2，y2=
1
5
x；（2）设投资甲产品为x万元，则投资乙产品为（5-x）万元，0≤x≤5，则总收益y=y1+y2=
??+4
-2+
1
5
（5-x）=
??+4
-
1
5
x-1，设
??+4
=t（2≤t≤3），则y=t-
1
5
（t2-4）-1=-
1
5
t2+t-
1
5
=-
1
5
（t-
5
2
）2+
21
20
，所以t=
5
2
即x=
9
4
时，总收益最大，为
21
20
万．故投资甲产品
9
4
万元，投资乙产品
11
4
万元，可以使得一年的投资获得最大收益为
21
20
万．【解析】
（1）由函数y1的图象和y2的图象过点（0，0），（5，1）得到m，a，b的方程组，解方程可得m，a，b，进而得到所求函数解析式； （2）设投资甲产品为x万元，则投资乙产品为（5-x）万元，0≤x≤5，则总收益y=y1+y2，运用换元法和二次函数的最值求法，可得所求最大值和x，5-x的值．本题考查函数在实际问题中的应用，考查函数的最值求法，注意运用换元法，以及二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）根据题意，二次函数f（x）=x2-mx-1+m的对称轴为x=
??
2
，若其在区间[-1，0]上是单调函数，则有
??
2
≥0或
??
2
≤-1，解可得：m≤-1或x≥0，则实数m的取值范围为（-∞，-1]∪[0，+∞）；（2）对于函数y=f（2x），令t=2x，则y=t2-mt+m-1，其对称轴为x=
??
2
，又由x∈[0，2]，则1≤t≤4，①，当
??
2
≤
5
2
时，即m≤5时，t=4时，y=t2-mt+m-1取得最大值，此时g（m）=16-4m+m-1=15-3m，②，当
??
2
＞
5
2
时，即m＞5时，t=1时，y=t2-mt+m-1取得最大值，此时g（m）=1-m+m-1=0，综合可得：g（m）=
0,??>5
15?3??,??≤5
．【解析】
（1）根据题意，分析可得f（x）=x2-mx-1+m的对称轴为x=，结合二次函数的性质分析可得答案；（2）令t=2x，则y=t2-mt+m-1，分析t的范围，结合二次函数的性质分2种情况讨论，求出g（m）的解析式，综合可得答案．本题考查函数的单调性的判断以及换元法分析函数的最值，注意结合二次函数的性质分析，属于基础题．
20.【答案】解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，那么f（-x）=-f（x）对于一切x∈R恒成立，可得f（0）=0，而f（0）=1+|1-a|≠0，所以函数f（x）不是奇函数；（2）因为3x＞0，所以当a≤0时，不等式f（x）＞a2可以化为32x+3x-a＞a2，即（3x-a）（3x+a+1）＞0，因为3x-a＞0，所以3x+a+1＞0，即3x＞-a-1，①当a+1≥0，即-1≤a≤0时，不等式3x＞-a-1恒成立，故x的取值范围是R．②当a+1＜0，即a＜-1时，不等式3x＞-a-1得x＞log3（-a-1），故x的取值范围是（log3（-a-1），+∞）；（3）令3x=t，则t＞0且y=t2+|t-a|．①若a≤0，则y=t2+t-a是增函数，其取值范围为（-a，+∞）；②若a＞0，则y=
??
2
+?????,??>??
??
2
???+??,0??
，对于0＜t≤a，有y=（t-
1
2
）2+a-
1
4
．当0＜a＜
1
2
时，y是减函数，取值范围是[a2，a）；当a≥
1
2
时，y的最小值是a-
1
4
，y取值范围是[a-
1
4
，a）（
1
2
≤a＜1时）或者y取值范围是[a-
1
4
，a2]（a≥1时）对于t≥a，有y=（t+
1
2
）2-a-
1
4
是增函数，其取值范围为[a2，+∞）．综上所述，当a≤0时，值域为（-a，+∞）；当0＜a＜
1
2
时，值域为[a2，+∞）；当a≥
1
2
时，值域为[a-
1
4
，+∞）．【解析】
（1）运用反证法，假设f（x）是奇函数，运用定义法，可得f（0）=0，而f（0）不可能为0，可得证明； （2）讨论a的范围，-1≤a≤0时，a＜-1时，运用指数函数的单调性可得解集； （3）令3x=t，则t＞0且y=t2+|t-a|．讨论a＞0，a≤0，结合二次函数的单调性和对称轴，以及指数函数的值域，即可得到所求值域．本题考查函数的奇偶性的判断，以及函数的值域的求法，不等式的解法，考查换元法和分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于难题．