2018-2019学年江苏省徐州市铜山区高一（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省徐州市铜山区高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
已知集合A={1，3，5}，B={-1，0，1}，则A∩B=______．
已知幂函数f（x）=xa的图象过点（
1
2
，8），则实数a=______．
函数f（x）=
4?2??
+log3（x-1）的定义域为______．
设??=????
??
4
3，??=????
??
0.3
4，??=0．
3
?2
，则a，b，c的大小关系是______．（按从小到大的顺序）
函数f（x）=1+loga（x-1）（a＞0且a≠1）的图象通过的定点是______．
已知f（x+1）=x2-x，则f（3）=______．
已知函数??(??)=
??
2
+2,??>2
2??,??≤2
，若f（x0）=8，则x0=______．
已知集合A={x|2≤x＜5}，B={x|x＞a}，A?B，则实数a的取值范围为______．
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（2）=8，则a=______．
已知函数f（x）=x2+2mx+3m+4有两个零点，一个零点在（-1，1）之间，另一个零点在（1，2）之间，则实数m的取值范围是______．
已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是单调增函数，且f（3）=0，则满足f（m）＜0的m的取值范围______
方程2x+x-4=0的一个根在区间（n，n+1）上，n∈N，则n=______．
已知函数f（x）=
???
??
??
，??＜1
??+
1
??
，??≥1
（e是自然对数的底数），若函数y=f（x）的最小值为2，则实数a的取值范围为______．
已知函数f（x）=
2
???2
?3,4≤??≤6
2?|???2|,0≤??<4
若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
求值：（1）（lg2）2+lg5lg20．（2）（2
1
4
）
1
2
-（-9.6）0-（3
3
8
）
?
2
3
+（1.5）-2．
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2x-1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（m-1）＜4，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=（
2
??
??
?1
+1）?x．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论函数f（x）的奇偶性；（3）求证：f（x）＞0其在定义域上恒成立．
甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为3万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足R（x）=
9(??>5)
?0.4
??
2
+3.4??+0.8(0≤??≤5)
假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）要使甲厂有盈利，求生产x的范围；（3）甲厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
已知函数f（x）=log2（3+x）-log2（3-x）+m-1．（1）若f（x）是奇函数，求实数m的值；（2）若m=0，则是否存在实数x，使得f（x）＜1？若存在，求x出的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）判断f（x）在其定义域内的单调性，并给予证明．
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）=
???(??),??<0
??(??),??>0
．（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零．
答案和解析
1.【答案】{1}【解析】
解：∵A={1，3，5}，B={-1，0，1}， ∴A∩B={1}． 故答案为：{1}找出A与B的公共元素即可确定出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】-3【解析】
解：幂函数f（x）=xa的图象过点（，8），∴f（）=（）α=8，---（2分）∴α=-3，---（3分）故答案为：-3．…（4分）根据幂函数的图象过点（2，4），列方程求出α的值即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键，本题是一道基础题．
3.【答案】（1，2]【解析】
解：由，得1＜x≤2．∴函数f（x）=+log3（x-1）的定义域为（1，2]．故答案为：（1，2]．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
4.【答案】b＜a＜c【解析】
解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3-2=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．由0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3-2=＞1，能判断a，b，c的大小关系．本题考查对数值、指数值大小的比较，是基础题，解题地要认真审题，注意指数函安息、对数函数性质的灵活运用．
5.【答案】（2，1）【解析】
解：对于函数f（x）=1+loga（x-1）（a＞0且a≠1）的图象，令x-1=1，求得x=2，y=1， 可得函数的图象经过定点（2，1）， 故答案为：（2，1）．令对数的真数等于1，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
6.【答案】2【解析】
解：根据题意，f（x+1）=x2-x， 令x=2可得：f（3）=22-2=2， 故答案为：2．根据题意，在f（x+1）=x2-x，令x=2可得f（3）=22-2，计算可得答案．本题考查函数的求值，涉及函数解析式的计算，注意特殊值分析，属于基础题．
7.【答案】
6
【解析】
解：∵，当x≤2时f（x）≤4，当x＞2时f（x）＞6，∵f（x0）=8，∴，解得x0=．故答案为：．利用分段函数的值域，判断方程的表达式，求解即可．本题考查函数值的求法与应用，方程的解法，考查分析问题解决问题的能力．
8.【答案】（-∞，2）【解析】
解：∵集合A={x|2≤x＜5}，B={x|x＞a}，A?B， ∴a＜2， ∴实数a的取值范围为（-∞，2）． 故答案为：（-∞，2）．由集合A={x|2≤x＜5}，B={x|x＞a}，A?B，能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】6【解析】
解：∵f（x）是R上的奇函数； ∴f（-x）=-f（x）； 又x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（2）=8； ∴f（2）=-f（-2）=-（4-2a）=8； 解得a=6． 故答案为：6．根据f（x）是奇函数即可得出f（-x）=-f（x），而根据x＜0时，f（x）=x2+ax，且f（2）=8即可得出f（2）=-f（-2）=-（4-2a）=8，从而可求出a的值．考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．
10.【答案】（-
8
7
，-1）【解析】
解：函数f（x）=x2+2mx+3m+4有两个零点，一个零点在（-1，1）之间，另一个零点在（1，2）之间，可得，即，即有，可得-＜m＜-1，即有m的范围是（-，-1）．故答案为：（-，-1）．由二次函数f（x）的图象，结合两个零点的范围，可得f（-1）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，解不等式即可得到所求范围．本题考查二次函数的零点问题解法，注意运用转化思想，以及数形结合思想方法，考查运算能力，属于基础题．
11.【答案】（-3，3）【解析】
解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，则f（m）=f（|m|）， 又由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，且f（3）=0， 则f（m）＜0?f（|m|）＜f（3）?|m|＜3， 解可得：-3＜m＜3， 即m的取值范围为（-3，3）； 故答案为：（-3，3）．根据题意，由函数的奇偶性以及单调性分析可得f（m）＜0?f（|m|）＜f（3）?|m|＜3，解可得m的取值的范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意f（3）=0的应用，属于基础题．
12.【答案】1【解析】
解：令f（x）=2x+x-4， 易知f（x）=2x+x-4在R上单调递增且连续， 且f（1）=2+1-4=-1＜0，f（2）=4+2-4=2＞0， 故方程2x+x=4的解在区间（1，2）上， 故答案为：1．由方程与函数的关系，令f（x）=2x+x-4，从而利用零点的判定定理判断．本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用，关键在于构造函数f（x）=2x+x-4．
13.【答案】[2+e，+∞）【解析】
解：当x≥1时，f（x）=x+≥2，当且仅当x=1时，取得最小值2，由x＜1时，f（x）=a-ex递减，可得f（x）＞a-e，由题意可得a-e≥2，即a≥2+e．故答案为：[2+e，+∞）．运用基本不等式可得x≥1时f（x）的最小值为2，由指数函数的单调性可得x＜1的范围，由题意可得a-e≥2，即可得到所求范围．本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】[1，4]【解析】
解：当0≤x1＜4≤x2≤6时，因为f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范围是[1，3]，所以x1?f（x2）=x1?f（x1）=x1（2-|x1-2|）=，即x1f（x2）的范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．根据已知将x1?f（x2）转化为x1f（x1），再根据函数y=xf（x）的性质求解．本题考查了分段函数的有关性质，体现了转化与化归的思想，属于中档题．
15.【答案】解：（1）原式=（lg2）2+lg5（lg22+lg5）=（lg2）2+lg5（2lg2+lg5）=（lg2）2+2lg2lg5+（lg5）2=（lg2+lg5）2=1；（2）原式=(
9
4
)
1
2
?1?(
27
8
)
?
2
3
+(
3
2
)
?2
=
3
2
?1?(
3
2
)
?2
+(
3
2
)
?2
=
1
2
．【解析】
（1）可得到lg5lg20=2lg2lg5+（lg5）2，从而得出原式=（lg2+lg5）2=1； （2）进行分数指数幂的运算即可．考查对数式的运算，和分数指数幂的运算．
16.【答案】解：（1）设x＜0，则-x＞0因为函数f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x）=2-x-1…4分∴??(??)=
2
???1
，
??≥0
2
????1
，
??＜0
；…7分（2）当m-1≥0时，即m≥1时，f（m-1）=2m-2＜4，从而m＜4，所以 1≤m＜4；当m-1＜0时，即m＜1时，f（m-1）=2-（m-1）-1=2-m＜4，从而m＞-2，所以-2＜m＜1综上：实数m的取值范围为：-2＜m＜4…16分．【解析】
（1）设x＜0，则-x＞0，结合偶函数的性质及当x≥0时，f（x）=2x-1．可得答案； （2）分当m-1≥0时和当m-1＜0时两种情况，讨论满足f（m-1）＜4的实数m的取值范围，可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，分类讨论思想，难度中档．
17.【答案】解：1）由ex-1≠0，得ex≠1，所以x≠0，所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．（2）由函数f（x）=（
2
??
??
?1
+1）?x=
??
??
+1
??
??
?1
???，对于定义域内任意x，有f（-x）=
??
???
+1
??
???
?1
?(???)=
??
??
+1
??
??
?1
???=f（x），所以f（x）是偶函数．（3）证明：当x＞0时，由指数函数的性质知ex＞1，所以ex-1＞0，又x＞0时，所以（
2
??
??
?1
+1）?x＞0即当x＞0时，f（x）＞0．又由（2）知f（x）为偶函数，即f（-x）=f（x），则当x＜0时，-x＞0，有f（-x）=f（x）＞0成立．综上可知，f（x）＞0在定义域上恒成立．【解析】
（1）根据函数f（x）的意义，分母不等于0，可得定义域； （2）利用定义证明奇偶性即可； （3）利用指数函数的性质和奇偶性即可证明．本题考查了指函数的性质和奇偶性的证明以及应用．
18.【答案】解：（1）由题意得G（x）=3+x，f（x）=R（x）-G（x）=
6???,??>5
?0.4
??
2
+2.4???2.2,0≤??≤5
，（2）①当0≤x≤5时，由-0.4x2+2.4x-2.2＞0，得x2-6x+5.5＜0，解得3-
14
2
＜x＜3+
14
2
；???????????????????????????????②当x＞5时，由6-x＞0解得?x＜6．??所以5＜x＜6．综上得当3-
14
2
＜x＜3+
14
2
或5＜x＜6时有y＞0；???????????（3）当x＞5时，函数f（x）递减，可得f（x）＜f（5）=1（万元）；当0≤x≤5时，函数f（x）=-0.4（x-3）2+1.4，当x=3时，f（x）有最大值为1.2（万元）．答：当工厂生产300台时，可使赢利最大为1.2万元．【解析】
（1）由G（x）=3+x．通过f（x）=R（x）-G（x）得到解析式； （2）利用分段函数分别盈利时，解不等式可得x的范围； （3）当x＞5时，当0≤x≤5时，分别求解函数的最大值即可．本题考查实际问题的应用，分段函数的应用，函数的最大值的求法，考查转化思想以及计算能力．
19.【答案】解：（1）解
3???>0
3+??>0
得，-3＜x＜3；∴f（x）的定义域为（-3，3）；∵f（x）为奇函数，且在原点有定义；∴f（0）=m-1=0；∴m=1；（2）m=0时，f（x）=log2（3+x）-log2（3-x）-1＜1；∴????
??
2
3+??
3???
＜2=????
??
2
4；∴
3+??
3???
＜4；又x∈（-3，3）；3+x＜4（3-x）；∴??＜
9
5
；∴?3＜??＜
9
5
；∴存在?3＜??＜
9
5
，使f（x）＜1；（3）任取x1，x2∈（-3，3），且x1＜x2；??(
??
1
)???(
??
2
)=????
??
2
3+
??
1
3?
??
1
?????
??
2
3+
??
2
3?
??
2
=????
??
2
(3+
??
1
)(3?
??
2
)
(3+
??
2
)(3?
??
1
)
；∵-3＜x1＜x2＜3；∴0＜3+x1＜3+x2，0＜3-x2＜3-x1；∴0＜
3+
??
1
3+
??
2
＜1，0＜
3?
??
2
3?
??
1
＜1；∴
(3+
??
1
)(3?
??
2
)
(3+
??
2
)(3?
??
1
)
＜1；∴????
??
2
(3+
??
1
)(3?
??
2
)
(3+
??
2
)(3?
??
1
)
＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在定义域（-3，3）上单调递增．【解析】
（1）可求出f（x）的定义域为（-3，3），而根据f（x）是奇函数，并在原点有定义，从而得出f（0）=m-1=0，从而求出m的值；（2）m=0时，由f（x）＜1可得出，从而得出，根据x∈（-3，3）得出3-x＞0，从而得出3+x＜4（3-x），解该不等式即可求出x的取值范围；（3）根据单调性的定义，在定义域（-3，3）内任取x1，x2，并且x1＜x2，然后作差，化简，证明出f（x1）＜f（x2）即可．考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，对数的运算，函数的单调性定义及判断方法．
20.【答案】解：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，①∵函数f（x）的值域为[0，+∞），∴a＞0且判别式△=0，即b2-4a=0，②由①②得a=1，b=2．∴f（x）=ax2+bx+1=x2+2x+1．∴F（x）=
?
??
2
?2???1,??<0
??
2
+2??+1,??>0
．（2）g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）x+1，函数的对称轴为x=?
2???
2
=
???2
2
，要使函数g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是单调函数，则区间[-2，2]必在对称轴的一侧，即
???2
2
≥2或
???2
2
≤?2，解得k≥6或k≤-2．即实数k的取值范围是k≥6或k≤-2．（3）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即ax2-bx+1=ax2+bx+1，∴2bx=0，解得b=0．∴f（x）=ax2+1．∴F（x）=
???
??
2
?1,??<0
??
??
2
+1,??>0
．∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设m＞n，则m＞0，n＜0，∴F（m）+F（n）=am2+1-an2-1=a（m2-n2）=a（m-n）（m+n），∵m+n＞0，a＞0，m-n＞0，∴F（m）+F（n）=a（m-n）（m+n）＞0．【解析】
（1）利用f（-1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式； （2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，利用g（x）=f（x）-kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可． （3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，得到b=0，然后判断F（m）+F（n）的取值．本题主要考查二次函数的图象和性质，以及二次函数单调性与对称轴之间的关系．要求熟练掌握二次函数的相关知识．