2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）
不等式（x+3）（x-2）＜0的解集为______．
已知等差数列{an}的公差为3，且a2=-2，则a6=______．
在△ABC中，若A=60°，B=45°，BC=1，则AC=______．
已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为______．
已知数列{an}的通项公式为
??
??
=
1
(2???1)(2??+1)
，则它的前10项的和为______．
若不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-3＜x＜4}，则a+b的值为______．
设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为______．
已知p＞0，q＞0，且p≠q，记A=（1+p）（1+q），B=（1+
??+??
2
）2，C=2
??
+pq，则A、B、C的大小关系为______．（用“＜”连接）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=
??
3
，b=2acosB，c=2，则△ABC的面积等于______．
已知a，b∈R+，若a+b=1，则
1
??
+
4
??
的最小值为______．
函数f（x）=
??
??
2
?2??+1
的定义域为R，则实数m的取值范围是______．
已知x＜0，且x-y=1，则??+
1
2??+1
的最大值是______．
已知数列{an}中，a1=1，a2=3，若an+2+2an+1+an=0对任意n∈N*都成立，则数列{an}的前n项和Sn=______．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2-b2+3abcosC=0，则c（
????????
??
+
????????
??
）的最小值为______．
二、解答题（本大题共6小题，共58.0分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=
6
b．（1）求sinA的值；（2）求cosC的值．
解下列关于x的不等式：（1）
1?2??
??+3
≥1；（2）（|x|-2）（x+3）≥0．
记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n-1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．
如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为（2
3
-2）海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为2
2
海里的C处的缉私船立即奉命以10
3
海里/时的速度追截走私船．（1）刚发现走私船时，求两船的距离；（2）若走私船正以10
2
海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间（精确到分钟，参考数据：
2
≈1.4，
6
≈2.5）．

设关于x的不等式（ax-a2-9）（x-b）≥0的解集为A，其中a，b∈R．（1）当b=6时，①若A=（-∞，+∞），求a的值；②记L=d-c为闭区间[c，d]的长度．当a＜0时，求区间A的长度L的最小值；（2）当b=2a-8，且a＜9时，求A．
设数列{an}满足a1=
1
2
，
??
??
=
2
??
???1
+1
??
???1
+2
(??≥2，??∈
??
?
)．（1）证明：数列{
??
??
?1
??
??
+1
}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设cn=（3n+1）an，证明：数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列．
答案和解析
1.【答案】（-3，2）【解析】
解：不等式（x+3）（x-2）＜0，令（x+3）（x-2）=0，解得方程的实数根为-3和2，所以不等式的解集为（-3，2）．故答案为：（-3，2）．求出不等式对应方程的两个实数根，即可写出不等式的解集．本题考查了解一元二次不等式的应用问题，是基础题．
2.【答案】10【解析】
解：在等差数列{an}中，∵公差为3，且a2=-2，∴a1+d=-2，即a1=-5．则a6=a1+5d=-5+5×3=10．故答案为：10．由已知条件求解得到a1的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，是基础题．
3.【答案】
6
3
【解析】
解：∵△ABC中，A=60°，B=45°，BC=1，∴=，∴AC===．故答案为：．由正弦定理得=，由此能求出AC．本题考查三角形的线段长的求法，考查正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.【答案】3【解析】
解：设等差数列的首项为a，公差为d（d不为0），则等差数列的第2，3，6项分别为a+d，a+2d，a+5d，则（a+2d）2=（a+d）（a+5d），即d2+2ad=0，∵d≠0，∴在等式两边同时除以d得：d=-2a，∴等差数列的第2，3，6项分别为：-a，-3a，-9a，∴公比q==3．故答案为：3．设出等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质列出关于a与d的等式，由d不为0得到d与a的关系式，用a表示出d，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值．此题考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质．熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键．
5.【答案】
10
21
【解析】
解：=（-），故它的前10项的和为（1-+-+…+-）=（1-）=，故答案为：由=（-），根据裂项求和即可求出．本题考查了裂项求和，考查了转化能力，属于基础题．
6.【答案】-13【解析】
解：不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-3＜x＜4}，则-3和4是x2+ax+b=0的实数根，由根与系数的关系知，，解得a=-1，b=-12，∴a+b=-13．故答案为：-13．根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a、b的值，再求和．本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
7.【答案】64【解析】
【分析】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…an=a1n?q1+2+3+…+（n-1）=8n?==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为64．
8.【答案】C＜A＜B【解析】
解：∵p＞0，q＞0，且p≠q，∴A-C=1+p+q+pq-（2+pq）=+q＞0．∴A＞C．又B-A=1+p+q+-（1+p+q+pq）=＞0，∴B＞A．综上可得：C＜A＜B．故答案为：C＜A＜B．作差即可得出大小关系．本题考查了通过作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】
3
【解析】
【分析】?本题主要考查了三角形面积公式和正弦定理的应用，属于综合题，难度不大.【解答】解：A=，b=2acosB，c=2，由正弦定理可得sinB=2sinAcosB，可得tanB==2sin=，即有B=，即△ABC为边长为2的等边三角形，可得△ABC的面积为×4=，故答案为：．由正弦定理可得B，进而确定三角形为边长为2的等边三角形，即可得到所求面积．本题考查三角形的正弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10.【答案】9【解析】
解：∵a+b=1，∴+=（+）（a+b）=5+≥5=9，当且仅当时取等号，由解得a=，b=，∴+的最小值为9，故答案为：9．+=（+）（a+b），展开后使用基本不等式可求最小值．该题考查利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．
11.【答案】m≥1【解析】
解：∵函数f（x）的定义域为R，∴mx2-2x+1≥0恒成立．①若m=0，则不等式等价为-2x+1≥0，即x≤，不满足条件．②若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m≥1，综上m≥1，故答案为：m≥1函数的定义域为R，则等价mx2-2x+1≥0恒成立，然后解不等式即可．本题主要考查函数定义域的应用，利用函数定义域为R，得到mx2-2x+1≥0恒成立．是解决本题 的关键，利用二次函数和二次不等式之间的关系进行求解是突破点．
12.【答案】
1
2
-
2
【解析】
解：x＜0，且x-y=1，可得x=y+1（y＜-1），则=y+1+=y+++=-[（-y-）+]+≤-2+=-，当且仅当y=-时，上式取得最大值，则的最大值是-，故答案为：-．由题意可得x=y+1（y＜-1），可得=y+1+=y+++，运用基本不等式可得最大值．本题考查基本不等式的运用，注意最值取得的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】
3?2??，
??为奇数
2??，
??为偶数
【解析】
解：a1=1，a2=3，an+2+2an+1+an=0对任意n∈N*都成立，可得：an+2+an+1=-（an+1+an），a2+a1=4．则数列{an+1+an}是等比数列，首项为4，公比为-1．∴an+1+an=4×（-1）n-1．①n=2k-1时，a2k+a2k-1=4×（-1）2k-2=4．Sn=S2k=4k=2n．②n=2k时，a2k+1+a2k=-4．Sn=a1+（a2+a3）+……+（a2k-2+a2k-1）=1-4×（k-1）=5-4k=5-4×=3-2n．∴Sn=．故答案为：．a1=1，a2=3，an+2+2an+1+an=0对任意n∈N*都成立，可得an+2+an+1=-（an+1+an），a2+a1=4．利用等比数列的通项公式可得：an+1+an=4×（-1）n-1．分类讨论可得：①n=2k-1时，a2k-1+a2k=4×（-1）2k-2=4．可得Sn=S2k．②n=2k时，a2k+a2k+1=-4．可得Sn=a1+（a2+a3）+……+（a2k-2+a2k-1）即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】2【解析】
解：∵3a2-b2+3abcosC=0，∴3a2-b2+3ab?=0，整理可得：c2=3a2+，∴c（+）=c（+）==+≥2=2，当且仅当=时等号成立．即c（+）的最小值为2．故答案为：2．利用余弦定理化简已知可得：c2=3a2+，根据余弦定理化简所求可得c（+）=+，利用基本不等式即可得解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
15.【答案】解：（1）根据题意，a2=b2+c2+bc，又由余弦定理，得a2=b2+c2-2bc?cosA，则∴cosA=
??
2
+
??
2
?
??
2
2????
=?
1
2
．又∵A∈（0，π），则????????=
1?????
??
2
??
=
3
2
．（2）由正弦定理，得????????=
??????????
??
=
???
3
2
6
??
=
2
4
，由（1）cosA＜0，∴??∈(
??
2
，??)，又A+B+C=π，∴??∈(0，
??
2
)．∴????????=
1?????
??
2
??
=
14
4
，∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=?(?
1
2
)?
14
4
+
3
2
?
2
4
=
14
+
6
8
．【解析】
（1）根据题意，由余弦定理，可得cosA==，结合A的范围，分析可得答案；（2）正弦定理，得，由同角三角函数的基本关系式计算可得cosB的值，又由cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B），由和角公式计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理和余弦定理的形式．
16.【答案】解：（1）
1?2??
??+3
?1≥0?
?3???2
??+3
≥0?
3??+2
??+3
≤0?（3x+2）（x+3）≤0且x+3≠0，解可得：?3＜??≤?
2
3
，则原不等式的解集为(?3，?
2
3
]；（2）（|x|-2）（x+3）≥0?
??+3≥0
|??|?2≥0
或
??+3≤0
|??|?2≤0
，①
??+3≥0
|??|?2≥0
，解得-3≤x≤-2或x≥2；②
??+3≤0
|??|?2≤0
，x无解；∴原不等式的解集为[-3，-2]∪[2，+∞），【解析】
（1）根据题意，原不等式等价于（3x+2）（x+3）≤0且x+3≠0，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，原不等式等价于或，分别解出x的范围，综合即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式等价转化．
17.【答案】解：（1）Sn=3n-1．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2且n∈N*时，an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2?3n-1，对n=1时也适合，∴an=2?3n-1，n∈N*．（2）nan=2n?3n-1．Tn=2?30+4?31+6?32+…+2n?3n-1，①3Tn=2?31+4?32+…+（2n-2）?3n-1+2n?3n．②由①-②得：-2Tn=2+2（31+32+…+3n-1）-2n?3n=（1-2n）3n-1，所以Tn=(???
1
2
)
3
??
+
1
2
．【解析】
（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1，当n≥2且n∈N*时，an=Sn-Sn-1，计算可得所求通项；（2）求得nan=2n?3n-1．运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式可得所求和．本题考查数列的递推式，等比数列的求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：（1）在△ABC中∵AB=（2
3
-2）海里，AC=2
2
海里，∠BAC=135°，由余弦定理，得两船的距离BC=
(2
3
?2
)
2
+(2
2
)
2
?2×2
2
×(2
3
?2)×(?
2
2
)
=4（海里）；（2）根据正弦定理，可得sin∠ABC=
??????????135°
????
=
1
2
，∴∠ABC=30°，易知∠ACB=15°，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则有CD=10
3
t（海里），BD=10
2
t（海里）．而∠CBD=120°，在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD=
??????????∠??????
????
=
10
2
?????????120°
10
3
??
=
2
2
，∴∠BCD=45°，∠BDC=15°，∴根据正弦定理，得
4
6
?
2
4
=
10
3
??
3
2
，解得??=
6
+
2
5
≈0.78小时≈47分钟．故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船．【解析】
（1）在△ABC中，运用余弦定理，计算可得所求BC的长；（2）在△ABC中运用正弦定理求得∠ABC和∠ACB，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，在△BCD中运用正弦定理可得∠BCD=45°，∠BDC=15°，再由正弦定理解方程可得t．本题考查解三角形的实际应用问题，考查正弦定理和余弦定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）①a=0时，不等式为-9（x-6）≥0，求得解集为A=（-∞，6]，不符题意舍去；当a≠0时，令
??＞0
??
2
+9
??
=6
，解得a=3，此时不等式的解集为A=（-∞，+∞）；?…………（3分）②a＜0时，不等式化为（x-
??
2
+9
??
）（x-6）≤0，解得不等式的解集为A=[
??
2
+9
??
，6]，所以L=6-
??
2
+9
??
=6+[(???)+
9
(???)
]≥6+6=12，当且仅当a=-3时，取等号，因此区间A的长度L的最小值为12；?…………（3分）（2）①当a＞0时，因为2a-8-
??
2
+9
??
=
(??+1)(???9)
??
，所以，当0＜a＜9时，不等式的解集为{x|x≥
??
2
+9
??
或x≤2a-8}；…………（2分）②当a=0时，不等式的解集为{x|x≤0}；?…………（1分）③10当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|
??
2
+9
??
≤x≤2a-8}；20当a=-1时，不等式的解集为{-10}；30当a＜-1时，不等式的解集为{x|2a-8≤x≤
??
2
+9
??
}．??…………（3分）【解析】
（1）①讨论a=0和a≠0时，求出不等式的解集为（-∞，+∞）时a的值；②求出a＜0时不等式的解集，计算L的最小值以及对应a的值；（2）讨论a＞0、a=0以及a＜0时，求出对应不等式的解集．本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是难题．
20.【答案】解：（1）证明：由条件，
??
??
?1=
2
??
???1
+1
??
???1
+2
?1=
??
???1
?1
??
???1
+2
(??≥2，??∈
??
?
)，①
??
??
+1=
2
??
???1
+1
??
???1
+2
+1=
3(
??
???1
+1)
??
???1
+2
(??≥2，??∈
??
?
)，②由a1=
1
2
知an＞0，∴an+1＞0．得，
??
??
?1
??
??
+1
=
1
3
?
??
???1
?1
(
??
???1
+1)
(??≥2，??∈
??
?
)且
??
1
?1
??
1
+1
=
1
2
?1
1
2
+1
=?
1
3
≠0，∴{
??
??
?1
??
??
+1
}是首项为?
1
3
，公比为
1
3
的等比数列．因此，
??
??
?1
??
??
+1
=?
1
3
?(
1
3
)
???1
=?(
1
3
)
??
，∴
??
??
=
3
??
?1
3
??
+1
．（2）证明：由（1）得，cn=（3n+1）an=3n-1，（反证法）假设存在正整数l，m，n且1≤l＜m＜n，使得cl，cm，cn成等差数列．则2（3m-1）=3l+3n-2，即2?3m=3l+3n，?则有2?3m-l=1+3n-l，即2?3m-l-3n-l=1，则有3m-l?[2-3n-l-（m-l）]=1，即3m-l?（2-3n-m）=1．∵l，m，n∈N*且1≤l＜m＜n，∴3m-l∈N*．∴
3
?????
=1
2?
3
?????
=1
，∴
?????=0
?????=0
，∴l=m=n与l＜m＜n矛盾，故假设不成立，所以数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列．【解析】
（1）根据题意，由构造，两式相除即可得，由等比数列的定义分析可得答案；（2）用反证法分析：假设存在正整数l，m，n且1≤l＜m＜n，使得cl，cm，cn成等差数列，由等差数列的定义可得2（3m-1）=3l+3n-2，即2?3m=3l+3n，变形可得3m-l?（2-3n-m）=1，分析可得矛盾，即可得证明．本题考查等比数列、等差数列的性质以及应用，涉及反证法的运用，（2）注意用反证法分析．