2017-2018学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷（解析版）

2017-2018学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共56.0分）
函数y=log2?（4-x2）的定义域是______．
若等差数列{an}满足a5=9，且a2=3，则公差d=______．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，sinB=35，则sinA=______．
已知正实数x，y满足xy=3，则x+y的最小值是______．
已知等比数列{an}单调递减，若a3=1，a2+a4=52，则a5=______
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2-c2+b2=3ab，则角C=______．
若不等式2x2-2ax+1≥0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是______．
已知x+2y=8，则2x+4y的最小值是______．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sinBsinC=cos2A2，则△ABC的形状是______．
已知数列{an}中a1=1，an+1=an+n+2，则an=______．
已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，3，且a3?a2n-3=22n（n≥2），则当n≥2时，log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n-1=______．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sinA，sinB，sinC依次成等比数列，则角B的取值范围是______．
若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意实数x，y，（x+y）2-a（x+y）+3≥0恒成立，则实数a的最大值为______．
已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2（bn+1-bn），{bn}的前n项和为Bn，若对任意n∈N，都有an=bn及b2a1a2+b3a2a3+b4a3a4+…+bn+1anan+1＜13成立，则正实数b1的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共94.0分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=3，S11=0，（1）求数列{an}的通项公式；（2）当n为何值时，Sn最大，并求出Sn的最大值．
如图，在△ABC中，D是BC上的一点，已知∠B=60°，AD=2，AC=10，DC=2．（1）求角∠ADC的大小；（2）求AB的长度．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC=（3a-c）cosB．（1）求cosB；（2）若BC?BA=4，求△ABC的面积．
如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a?（1≤a≤2）米C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）用x表示tanθ；（2）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？

（1）已知a，b是常数，且a＞0，b＞0，a≠b，x，y∈（0，+∞），且x+y=m．求证：a2x+b2y≥(a+b)2m，并指出等号成立的条件；（2）求函数f（x）=12x+91?3x，x∈（0，13）的最小值．
在数列{an}中，已知a1=13，an+1=13an-23n+1，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．（1）求证：数列{3nan}是等差数列；（2）求Sn；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】（-2，2）【解析】
解：要使函数有意义，4-x2＞0，得x2＜4，得-2＜x＜2，即函数的定义域为（-2，2），故答案为：（-2，2）根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．
2.【答案】2【解析】
解：在等差数列{an}中，由a5=9，a2=3，得d=．故答案为：2．直接由等差数列的通项公式代值求解．本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．
3.【答案】25【解析】
解：∵a=2，b=3，sin?B=，∴由正弦定理，可得：sinA===．故答案为：．由已知利用正弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】23【解析】
解：正实数?x，y?满足?xy=3，则?x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，上式取得等号，则x+y的最小值为2，故答案为：2．由条件运用基本不等式a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），计算可得最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】14【解析】
解：设公比为q，∵等比数列{an}?单调递减，a3=1，，∴，解得q=．∴=1×=．故答案为：．设公比为q，由等比数列{an}?单调递减，a3=1，，利用等比数列通项公式列出方程组，能求出结果．本题考查数列的第五项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】π6【解析】
解：根据题意，在△ABC中，a2-c2+b2=ab，cosC==，又由0＜C＜π，则C=；故答案为：．根据题意，由余弦定理可得cosC==，结合C的范围，分析可得答案．本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式以及变形．
7.【答案】[-2，2]【解析】
解：不等式2x2-2ax+1≥0 对一切实数x都成立，则△=4a2-4×2×1≤0，解得-≤a≤，∴实数a的取值范围是[-，]．故答案为：[-，]．利用判别式△≤0，即可求得实数a的取值范围．本题考查了二元一次不等式恒成立问题，是基础题．
8.【答案】32【解析】
解：x+2y=8，则?2x+4y≥2=2=2=32，当且仅当x=2y=4上式取得等号，则2x+4y的最小值是32，故答案为：32．运用基本不等式和指数的运算性质，可得最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查指数的运算性质，以及运算能力，属于基础题．
9.【答案】等腰三角形【解析】
解：在△ABC?中，∵sin?B?sin?C=cos2=，∴2sin?B?sin?C=cosA+1=-cos（B+C）+1=-cosCcosB+sinCsinB+1，∴cosCcosB+sinCsinB=1，即cos（C-B）=1，∴C-B=0，∴C=B，故三角形为等腰三角形，故答案为：等腰三角形．由题意利用诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式求得cos（C-B）=1，可得C-B=0，从而得出结论．本题主要考查诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
10.【答案】n2+3n?22【解析】
解：数列{an}?中?a1=1，an+1=an+n+2，即an-an-1=n+1，n≥2，可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+3+4+…+（n+1）=1+（n-1）（3+n+1）=，故答案为：．由条件可得an-an-1=n+1，n≥2，由恒等式an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，化简计算可得所求．本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和恒等式，以及等差数列的求和公式是解题的关键，属于中档题．
11.【答案】2n2-n【解析】
解：∵a3?a2n-3=22n（n≥2），∴=，∵an＞0，∴an=2n，即log2an=log22n=n，即log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=1+2+…+（2n-1）==2n2-n．故答案为：2n2-n．根据条件先求出等比数列的通项公式，然后根据对数的运算法则以及等差数列的通项公式即可得到结论．本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键，是基础题．
12.【答案】（0，π3]【解析】
解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，利用正弦定理化简得：b2=ac，由余弦定理得：cosB==≥=，（当且仅当a=c时取等号），则B的范围为（0，]．故答案为：（0，]．由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质确定出B的范围即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
13.【答案】132【解析】
解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤（）2∴x+y≥6由（x+y）2-a（x+y）+3≥0可得a≤x+y+恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f（6）=∴a≤故答案为：．由基本不等式可得，x+y+3=xy≤（）2，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2-a（x+y）+1≥0得a恒成立，转化求解即可．本题主要考查了函数的恒成立问题与最值问题的相互转化，解题的关键是基本不等式及函数单调性的应用．
14.【答案】[3，+∞）【解析】
解：∵数列{an}?与{bn}?满足?an+1-an=2（bn+1-bn），{bn}?的前?n?项和为?Bn，∴bn+1=2（bn+1-bn），∴bn+1=2bn，∴{bn}是等比数列，公比为2，∴an+1-an=2（bn+1-bn）=2（）=bn+1，∴==，∴+++…+=++…+=，∵an=bn=b1（1+2+…+2n-1）=b1（2n-1），∴-对任意?n∈N恒成立，则，则由＞0，得b1≥3．故正实数?b1的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．推导出bn+1=2bn，从而{bn}是等比数列，公比为2，进崦an+1-an=2（bn+1-bn）=bn+1，推导出==，从而+++…+=，进而，由此能求出正实数?b1的取值范围．本题考查正数的取值范围的求法，考查裂项求和法、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论与整合思想、函数与方程思想，是中档题．
15.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=3，S11=0，∴a1+2d=3，11a1+11×102d=0，解得∴a1=5，d=-1，∴an=5-（n-1）=6-n．（2）令an=6-n≥0，解得n≤6．∴当n=5或6时，Sn最大，最大值S5=S6=6×(5+0)2=15．【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，由?a3=3，S11=0，可得：a1+2d=3，11a1+d=0，联立解得a1，d，即可得出．（2）令an=6-n≥0，解得n，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：（1）在△ACD中，AD=2，AC=10，DC=2，由余弦定理可得cos∠ADC=AD2+CD2?AC22AD?CD=4+2?102×2×2=-22，由0°＜∠ADC＜180°，可得内角∠ADC=135°；（2）在△ABD中，AD=2，∠B=60°，∠ADB=45°，由正弦定理可得AB=ADsin∠ADBsin∠B=2×2232=263．【解析】
（1）在△ACD中，运用余弦定理可得cos∠ADC=，代入计算可得所求值；（2）在△ABD中，由正弦定理可得AB=，代入计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）由正弦定理asinA=bsinB=csinC，bcosC=（3a-c）cosB．可得：sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，则3sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C），由A+B+C=π，可得sinA=sin（B+C），由A∈（0，π）可得sinA＞0，则cosB=13；（2）由BC?BA=4，可得accosB=13，由cosB=13，可得ac=12．由cosB=13，B∈（0，π），可得sinB=223，则S△ABC=12acsinB=12×12×223=42．【解析】
（1）利用正弦定理，将边的等式转化为角的等式，由三角形内角和为180°，由此能求出角B．（2）由向量的数量积，得到B的余弦值和正弦值，由三角形的面积公式，得到面积．本题考查正弦定理，向量的数量积，△ABC的面积的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．
18.【答案】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图所示；由1≤a≤2可得，tan∠ACD=4?ax，tan∠BCD=2?ax，则tanθ=tan（∠ACD-∠BCD）=4?ax?2?ax1+4?ax?2?ax=2xx2+(4?a)(2?a)；（2）当a=1.5时，tanθ=2xx2+1.25=8x4x2+5=84x+5x，由x＞1可得，4x+5x≥24x?5x=45，当且仅当x=52时“=”成立；所以tanθ≤845=255，即x=52时tanθ值最大；由θ∈（0，π2），可得此时θ最大，即观察者离墙为52米时，视角θ最大．【解析】
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，表示出tan∠ACD和tan∠BCD，再利用两角差的正切公式表示出tanθ；（2）当a=1.5时，代入tanθ中化简，利用基本不等式求得tanθ的最大值，以及此时对应x的值．本题考查了解三角形以及利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
19.【答案】（1）证明：(a2x+b2y)m=(a2x+b2y)(x+y)=a2+a2yx+b2xy+b2≥a2+2a2yx?b2xy+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，a2x+b2y≥(a+b)2m．当且仅当a2yx=b2xy，即ab=xy时，等号成立．（2）解：∵x∈(0，13)，∴1-3x＞0，∴f(x)=12x+91?3x=(363x+91?3x)?1=(623x+321?3x)?[3x+(1?3x)]≥(6+3)2=81，当且仅当63=3x1?3x，即x=29时，f（x）min=81．【解析】
（1）利用基本不等式的性质即可证明．（2）利用上述结论即可得出．本题考查了基本不等式的性质及其应用、函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：由an+1=13an-23n+1，n∈N*，得到3n+1an+1=3nan-2，则3n+1an+1-3nan=-2．又∵a1=13，∴3×a1=1，数列{3nan}是以1为首项，以-2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3nan=1-2（n-1），所以，an=3?2n3n，所以Sn=13-132-333-534-…-3?2n3n，①13Sn=132-133-334-535-…-3?2n3n+1，②①-②，得23Sn=13-2（132+133+134+…+13n）-3?2n3n+1，=13-2×132[1?(13)n?1]1?13-3?2n3n+1，=2n3n+1，所以Sn=n3n．（3）假设存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列．则2Sq=Sp+Sr，即2q3q=p3p+r3r．由于当n≥2时，an=3?2n3n＜0，所以数列{Sn}单调递减．又p＜q，所以p≤q-1且q至少为2，所以p3p≥q?13q?1，q?13q?1-2q3q=q?33q．①当q≥3时，p3p≥q?13q?1≥2q3q，又r3r＞0，所以2q3q＜p3p+r3r，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以49=13+r3r．所以r3r=19，所以r=3，（数列{Sn}单调递减，解唯一确定）．综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．【解析】
（1）把给出的数列递推式an+1=an-，n∈N*，变形后得到新数列{3nan}，该数列是以1为首项，以-2为公差的等差数列；（2）由（1）推出{an}的通项公式，利用错位相减法从而求得求Sn；（3）根据等差数列的性质得到2Sq=Sp+Sr，从而推知p，q，r的值．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2017-2018学年江苏省南京一中高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共56.0分）
函数y=log2?（4-x2）的定义域是______．
若等差数列{an}满足a5=9，且a2=3，则公差d=______．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，sinB=
3
5
，则sinA=______．
已知正实数x，y满足xy=3，则x+y的最小值是______．
已知等比数列{an}单调递减，若a3=1，
??
2
+
??
4
=
5
2
，则a5=______
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2-c2+b2=
3
ab，则角C=______．
若不等式2x2-2ax+1≥0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是______．
已知x+2y=8，则2x+4y的最小值是______．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sinBsinC=cos2
??
2
，则△ABC的形状是______．
已知数列{an}中a1=1，an+1=an+n+2，则an=______．
已知等比数列{an}满足an＞0，n=1，2，3，且a3?a2n-3=22n（n≥2），则当n≥2时，log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n-1=______．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sinA，sinB，sinC依次成等比数列，则角B的取值范围是______．
若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意实数x，y，（x+y）2-a（x+y）+3≥0恒成立，则实数a的最大值为______．
已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2（bn+1-bn），{bn}的前n项和为Bn，若对任意n∈N，都有an=bn及
??
2
??
1
??
2
+
??
3
??
2
??
3
+
??
4
??
3
??
4
+…+
??
??+1
??
??
??
??+1
＜
1
3
成立，则正实数b1的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共94.0分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3=3，S11=0，（1）求数列{an}的通项公式；（2）当n为何值时，Sn最大，并求出Sn的最大值．
如图，在△ABC中，D是BC上的一点，已知∠B=60°，AD=2，AC=
10
，DC=
2
．（1）求角∠ADC的大小；（2）求AB的长度．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC=（3a-c）cosB．（1）求cosB；（2）若
????
?
????
=4，求△ABC的面积．
如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a?（1≤a≤2）米C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）用x表示tanθ；（2）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？

（1）已知a，b是常数，且a＞0，b＞0，a≠b，x，y∈（0，+∞），且x+y=m．求证：
??
2
??
+
??
2
??
≥
(??+??
)
2
??
，并指出等号成立的条件；（2）求函数f（x）=
12
??
+
9
1?3??
，x∈（0，
1
3
）的最小值．
在数列{an}中，已知a1=
1
3
，an+1=
1
3
an-
2
3
??+1
，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．（1）求证：数列{3nan}是等差数列；（2）求Sn；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】（-2，2）【解析】
解：要使函数有意义，4-x2＞0，得x2＜4，得-2＜x＜2，即函数的定义域为（-2，2），故答案为：（-2，2）根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．
2.【答案】2【解析】
解：在等差数列{an}中，由a5=9，a2=3，得d=．故答案为：2．直接由等差数列的通项公式代值求解．本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．
3.【答案】
2
5
【解析】
解：∵a=2，b=3，sin?B=，∴由正弦定理，可得：sinA===．故答案为：．由已知利用正弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】2
3
【解析】
解：正实数?x，y?满足?xy=3，则?x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，上式取得等号，则x+y的最小值为2，故答案为：2．由条件运用基本不等式a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等号），计算可得最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】
1
4
【解析】
解：设公比为q，∵等比数列{an}?单调递减，a3=1，，∴，解得q=．∴=1×=．故答案为：．设公比为q，由等比数列{an}?单调递减，a3=1，，利用等比数列通项公式列出方程组，能求出结果．本题考查数列的第五项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6.【答案】
??
6
【解析】
解：根据题意，在△ABC中，a2-c2+b2=ab，cosC==，又由0＜C＜π，则C=；故答案为：．根据题意，由余弦定理可得cosC==，结合C的范围，分析可得答案．本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式以及变形．
7.【答案】[-
2
，
2
]【解析】
解：不等式2x2-2ax+1≥0 对一切实数x都成立，则△=4a2-4×2×1≤0，解得-≤a≤，∴实数a的取值范围是[-，]．故答案为：[-，]．利用判别式△≤0，即可求得实数a的取值范围．本题考查了二元一次不等式恒成立问题，是基础题．
8.【答案】32【解析】
解：x+2y=8，则?2x+4y≥2=2=2=32，当且仅当x=2y=4上式取得等号，则2x+4y的最小值是32，故答案为：32．运用基本不等式和指数的运算性质，可得最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查指数的运算性质，以及运算能力，属于基础题．
9.【答案】等腰三角形【解析】
解：在△ABC?中，∵sin?B?sin?C=cos2=，∴2sin?B?sin?C=cosA+1=-cos（B+C）+1=-cosCcosB+sinCsinB+1，∴cosCcosB+sinCsinB=1，即cos（C-B）=1，∴C-B=0，∴C=B，故三角形为等腰三角形，故答案为：等腰三角形．由题意利用诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式求得cos（C-B）=1，可得C-B=0，从而得出结论．本题主要考查诱导公式、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
??
2
+3???2
2
【解析】
解：数列{an}?中?a1=1，an+1=an+n+2，即an-an-1=n+1，n≥2，可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+3+4+…+（n+1）=1+（n-1）（3+n+1）=，故答案为：．由条件可得an-an-1=n+1，n≥2，由恒等式an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），运用等差数列的求和公式，化简计算可得所求．本题考查数列的通项公式的求法，运用数列的递推式和恒等式，以及等差数列的求和公式是解题的关键，属于中档题．
11.【答案】2n2-n【解析】
解：∵a3?a2n-3=22n（n≥2），∴=，∵an＞0，∴an=2n，即log2an=log22n=n，即log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=1+2+…+（2n-1）==2n2-n．故答案为：2n2-n．根据条件先求出等比数列的通项公式，然后根据对数的运算法则以及等差数列的通项公式即可得到结论．本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键，是基础题．
12.【答案】（0，
??
3
]【解析】
解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列，∴sin2B=sinAsinC，利用正弦定理化简得：b2=ac，由余弦定理得：cosB==≥=，（当且仅当a=c时取等号），则B的范围为（0，]．故答案为：（0，]．由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质确定出B的范围即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
13.【答案】
13
2
【解析】
解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤（）2∴x+y≥6由（x+y）2-a（x+y）+3≥0可得a≤x+y+恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f（6）=∴a≤故答案为：．由基本不等式可得，x+y+3=xy≤（）2，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2-a（x+y）+1≥0得a恒成立，转化求解即可．本题主要考查了函数的恒成立问题与最值问题的相互转化，解题的关键是基本不等式及函数单调性的应用．
14.【答案】[3，+∞）【解析】
解：∵数列{an}?与{bn}?满足?an+1-an=2（bn+1-bn），{bn}?的前?n?项和为?Bn，∴bn+1=2（bn+1-bn），∴bn+1=2bn，∴{bn}是等比数列，公比为2，∴an+1-an=2（bn+1-bn）=2（）=bn+1，∴==，∴+++…+=++…+=，∵an=bn=b1（1+2+…+2n-1）=b1（2n-1），∴-对任意?n∈N恒成立，则，则由＞0，得b1≥3．故正实数?b1的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．推导出bn+1=2bn，从而{bn}是等比数列，公比为2，进崦an+1-an=2（bn+1-bn）=bn+1，推导出==，从而+++…+=，进而，由此能求出正实数?b1的取值范围．本题考查正数的取值范围的求法，考查裂项求和法、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类讨论与整合思想、函数与方程思想，是中档题．
15.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=3，S11=0，∴a1+2d=3，11a1+
11×10
2
d=0，解得∴a1=5，d=-1，∴an=5-（n-1）=6-n．（2）令an=6-n≥0，解得n≤6．∴当n=5或6时，Sn最大，最大值S5=S6=
6×(5+0)
2
=15．【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，由?a3=3，S11=0，可得：a1+2d=3，11a1+d=0，联立解得a1，d，即可得出．（2）令an=6-n≥0，解得n，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：（1）在△ACD中，AD=2，AC=
10
，DC=
2
，由余弦定理可得cos∠ADC=
??
??
2
+??
??
2
???
??
2
2?????????
=
4+2?10
2×2×
2
=-
2
2
，由0°＜∠ADC＜180°，可得内角∠ADC=135°；（2）在△ABD中，AD=2，∠B=60°，∠ADB=45°，由正弦定理可得AB=
??????????∠??????
??????∠??
=
2×
2
2
3
2
=
2
6
3
．【解析】
（1）在△ACD中，运用余弦定理可得cos∠ADC=，代入计算可得所求值；（2）在△ABD中，由正弦定理可得AB=，代入计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）由正弦定理
??
????????
=
??
????????
=
??
????????
，bcosC=（3a-c）cosB．可得：sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，则3sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C），由A+B+C=π，可得sinA=sin（B+C），由A∈（0，π）可得sinA＞0，则cosB=
1
3
；（2）由
????
?
????
=4，可得accosB=
1
3
，由cosB=
1
3
，可得ac=12．由cosB=
1
3
，B∈（0，π），可得sinB=
2
2
3
，则
??
△??????
=
1
2
????????????=
1
2
×12×
2
2
3
=4
2
．【解析】
（1）利用正弦定理，将边的等式转化为角的等式，由三角形内角和为180°，由此能求出角B．（2）由向量的数量积，得到B的余弦值和正弦值，由三角形的面积公式，得到面积．本题考查正弦定理，向量的数量积，△ABC的面积的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．
18.【答案】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图所示；由1≤a≤2可得，tan∠ACD=
4???
??
，tan∠BCD=
2???
??
，则tanθ=tan（∠ACD-∠BCD）=
4???
??
?
2???
??
1+
4???
??
?
2???
??
=
2??
??
2
+(4???)(2???)
；（2）当a=1.5时，tanθ=
2??
??
2
+1.25
=
8??
4
??
2
+5
=
8
4??+
5
??
，由x＞1可得，4x+
5
??
≥2
4???
5
??
=4
5
，当且仅当x=
5
2
时“=”成立；所以tanθ≤
8
4
5
=
2
5
5
，即x=
5
2
时tanθ值最大；由θ∈（0，
??
2
），可得此时θ最大，即观察者离墙为
5
2
米时，视角θ最大．【解析】
（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，表示出tan∠ACD和tan∠BCD，再利用两角差的正切公式表示出tanθ；（2）当a=1.5时，代入tanθ中化简，利用基本不等式求得tanθ的最大值，以及此时对应x的值．本题考查了解三角形以及利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
19.【答案】（1）证明：(
??
2
??
+
??
2
??
)??=(
??
2
??
+
??
2
??
)(??+??)=
??
2
+
??
2
??
??
+
??
2
??
??
+
??
2
≥
??
2
+2
??
2
??
??
?
??
2
??
??
+
??
2
=a2+2ab+b2=（a+b）2，
??
2
??
+
??
2
??
≥
(??+??
)
2
??
．当且仅当
??
2
??
??
=
??
2
??
??
，即
??
??
=
??
??
时，等号成立．（2）解：∵??∈(0，
1
3
)，∴1-3x＞0，∴??(??)=
12
??
+
9
1?3??
=(
36
3??
+
9
1?3??
)?1=(
6
2
3??
+
3
2
1?3??
)?[3??+(1?3??)]≥(6+3
)
2
=81，当且仅当
6
3
=
3??
1?3??
，即??=
2
9
时，f（x）min=81．【解析】
（1）利用基本不等式的性质即可证明．（2）利用上述结论即可得出．本题考查了基本不等式的性质及其应用、函数的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】（1）证明：由an+1=
1
3
an-
2
3
??+1
，n∈N*，得到3n+1an+1=3nan-2，则3n+1an+1-3nan=-2．又∵a1=
1
3
，∴3×a1=1，数列{3nan}是以1为首项，以-2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3nan=1-2（n-1），所以，an=
3?2??
3
??
，所以Sn=
1
3
-
1
3
2
-
3
3
3
-
5
3
4
-…-
3?2??
3
??
，①
1
3
Sn=
1
3
2
-
1
3
3
-
3
3
4
-
5
3
5
-…-
3?2??
3
??+1
，②①-②，得
2
3
Sn=
1
3
-2（
1
3
2
+
1
3
3
+
1
3
4
+…+
1
3
??
）-
3?2??
3
??+1
，=
1
3
-2×
1
3
2
[1?(
1
3
)
???1
]
1?
1
3
-
3?2??
3
??+1
，=
2??
3
??+1
，所以Sn=
??
3
??
．（3）假设存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列．则2Sq=Sp+Sr，即
2??
3
??
=
??
3
??
+
??
3
??
．由于当n≥2时，an=
3?2??
3
??
＜0，所以数列{Sn}单调递减．又p＜q，所以p≤q-1且q至少为2，所以
??
3
??
≥
???1
3
???1
，
???1
3
???1
-
2??
3
??
=
???3
3
??
．①当q≥3时，
??
3
??
≥
???1
3
???1
≥
2??
3
??
，又
??
3
??
＞0，所以
2??
3
??
＜
??
3
??
+
??
3
??
，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以
4
9
=
1
3
+
??
3
??
．所以
??
3
??
=
1
9
，所以r=3，（数列{Sn}单调递减，解唯一确定）．综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．【解析】
（1）把给出的数列递推式an+1=an-，n∈N*，变形后得到新数列{3nan}，该数列是以1为首项，以-2为公差的等差数列；（2）由（1）推出{an}的通项公式，利用错位相减法从而求得求Sn；（3）根据等差数列的性质得到2Sq=Sp+Sr，从而推知p，q，r的值．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．