2018-2019学年江苏省南京外国语高一（上）期中数学试卷（A卷）（解析版）

2018-2019学年江苏省南京外国语高一（上）期中数学试卷（A卷）
一、填空题（本大题共13小题，共39.0分）
已知集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，则A∩B=______．
幂函数y=
??
的图象是______（填序号）．
把函数y=（x-2）2+2的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是______．
偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（-1）=______．
集合U=R，A=（-1，2），B={x|y=ln?（1-x）}，则图中阴影部分所代表的集合为______（结果用区间的形式表示）．
若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=______．
已知函数f（x）=ax，（a＞0，a≠1），如果以P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，那么f（x1）f（x2）=______．
若关于x的方程x2-4x-2-a=0在区间?（1，4）内有解，则实数a的取值范围是______．
若函数??(??)=
2
??
???
2
??
+1
是奇函数，则使??(??)＞
1
3
成立的x的取值范围为______．
某商品在近30天内每件的销售价格P（单位：元）与销售时间t（单位：天）的函数关系为??=
??+20
0＜??＜25
???+100，
25≤??≤30
，t∈N，且该商品的日销售量Q（单位：件）与销售时间t（单位：天）的函数关系为Q=-t+40?（0≤t≤30，t∈N），则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第______天．
已知函数??(??)=
3
??
??≤0
????
??
2
??
??＞0
且关于x的方程f（x）+x+a=0有且只有一个实根，且实数a的取值范围是______．
已知??(??)=
??
??
(??≥1)
(2???)??+1(??<1)
满足对任意x1≠x2，都有
??(
??
1
)???(
??
2
)
??
1
?
??
2
＞0成立，那么a的取值范围是______．
已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是______．
二、解答题（本大题共7小题，共81.0分）
函数f（x）=3x-7+ln?x的零点位于区间（n，n+1）（n∈N）内，则n=______．
已知幂函数f（x）=x
??
2
+??+1
（m∈N*）的图象经过点?（2，8）．（1）试确定m的值；（2）求满足条件f?（2-a）＞f（a-1）的实数a的取值范围．
已知f（x）=|x2-4x+3|．（1）作出函数f（x）的图象；（2）求函数f（x）的单调区间，并指出单调性；（3）求集合M={m|使方程f（x）=mx有四个不相等的实根}．
设全集U=R，集合??={??|(
1
2
)
??
≥2}，B={y|y=lg（x2+a）}=[0，+∞）．（1）求?UA∪B；（2）求实数a的值．
已知函数f（x）=loga（4-ax），其中常数a＞1．（1）当x∈[1，2]，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为1？如果存在，试求出a的值，如果不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=ex-e-x（x∈R，且e为自然对数的底数）．（1）判断函数f（x）的单调性与奇偶性；（2）是否存在实数t，使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=-x2+2ex+m-1，g（x）=x+
??
2
??
　（x＞0）．（1）若y=g（x）-m有零点，求m的取值范围；（2）确定m的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根．
答案和解析
1.【答案】{-1，2}【解析】
解：∵集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}， ∴A∩B={-1，2}， 故答案为：{-1，2}根据已知中集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2.【答案】③【解析】
解：根据幂函数的解析式，显然③符合题意， 故答案为：③．根据常见幂函数的图象判断即可．本题考查了幂函数的图象，是一道基础题．
3.【答案】y=（x-1）2+3【解析】
解：将函数y=（x-2）2+2的图象向左平移1个单位，可得y=（x-1）2+2 再向上平移一个单位，可得y=（x-1）2+3； ∴所得图象对应的函数解析式为y=（x-1）2+3； 故答案为：y=（x-1）2+3；根据“左加右减，上加下减”即可求解；本题考查了函数图象变换，是基础题．
4.【答案】3【解析】
解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称， 所以f（2+x）=f（2-x）=f（x-2）， 即f（x+4）=f（x）， 则f（-1）=f（-1+4）=f（3）=3， 法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称， 所以f（1）=f（3）=3， 因为f（x）是偶函数， 所以f（-1）=f（1）=3， 故答案为：3．根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．
5.【答案】[1，2）【解析】
解：A=（-1，2），B={x|y=ln?（1-x）}={x|x＜1}， 故A∩B=（-1，1）， 故?A（A∩B）=[1，2）， 故答案为：[1，2）．求出集合B，求出A∩B的范围，从而求出?A（A∩B）即可．本题考查了集合的运算，考查对数函数的性质，是一道基础题．
6.【答案】-6【解析】
解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），∴∴a=-6故答案为：-6根据函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立方程，即可求得a的值．本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．
7.【答案】1【解析】
解：根据题意，以P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））为端点的线段的中点在y轴上，则x1+x2=0，又由f（x）=ax，则f（x1）f（x2）=?==a0=1；故答案为：1．根据题意，由PQ的中点在y轴上分析可得x1+x2=0，进而根据指数的运算性质，计算可得答案．本题考查指数函数的图象和性质，涉及指数的运算，属于基础题．
8.【答案】[-6，-2）．【解析】
解：根据题意，若方程x2-4x-2-a=0在区间（1，4）内有解，则函数f（x）=x2-4x-2与直线y=a在区间 （1，4）有交点， f（x）=x2-4x-2=（x-2）2-6，在（1，2）上为减函数，在（2，4）上为增函数， f（1）=-5，f（4）=-2，则f（4）＞f（-1）， 在区间（1，4）上有最小值f（2）=-6，且有f（x）＜f（4）=-2， 函数f（x）=x2-4x-2与直线y=a在区间 （1，4）有交点，必有-6≤a＜-2，即a的取值范围为[-6，-2）； 故答案为：[-6，-2）．根据题意，分析可得：若方程x2-4x-2-a=0在区间（1，4）内有解，则函数f（x）=x2-4x-2与直线y=a在区间（1，4）有交点；结合二次函数的性质分析f（x）=x2-4x-2在（1，4）上的值域，分析可得答案．本题考查函数零点的判断，注意将原问题转化为函数图象的交点问题，属于基础题．
9.【答案】（1，+∞）【解析】
解：的定义域为R；∴f（x）在原点有定义；又f（x）是奇函数；∴；∴a=1；∴=；由得，；∴；∴；∴2x+1＞3；∴2x＞2；∴x＞1；∴使成立的x的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．可看出f（x）在原点有定义，而f（x）是奇函数，从而得出f（0）=1，这便求出a=1，从而求出，分离常数得到，从而得到不等式，化简不等式得出2x＞2，这样即可得出x的取值范围．考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，分离常数法的运用，不等式的性质，指数函数的单调性．
10.【答案】25【解析】
解：设这种商品的日销售量金额为y元，由题意得：y=（t∈N），当0＜t＜25，t∈N时，y=（t+20）（40-t）=-t2+20t+800=-（t-10）2+900．∴t=10（天）时，ymax=900（元）；当25≤t≤30，t∈N时，y=（-t+100）（40-t）=t2-140t+4000=（t-70）2-900，而y=（t-70）2-900，在t∈[25，30]时，函数递减．∴t=25（天）时，ymax=1125（元）．∵1125＞900，∴第25天日销售额最大为1125元．故答案为：25．分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可得到结论．本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力，属于中档题．
11.【答案】（-∞，-1）【解析】
解：根据题意，若方程f（x）+x+a=0有且只有一个实根，则函数y=f（x）与直线y=-x-a有且仅有一个交点，函数，其图象如图：其中A（0，1），B（1，0）；直线y=-x-a的斜率为-1，与y轴交点为（0，-a），与直线AB平行，若函数y=f（x）与直线y=-x-a有且仅有一个交点，必有-a＞1，解可得a＜-1，即a的取值范围为（-∞，-1）；故答案为：（-∞，-1）．根据题意，分析可得若方程f（x）+x+a=0有且只有一个实根，则函数y=f（x）与直线y=-x-a有且仅有一个交点，作出函数f（x）的图象，结合图象分析可得-a＞1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查方程根的个数的判断，关键是掌握方程的根与函数交点的关系，属于综合题．
12.【答案】[
3
2
，2）【解析】
解：∵对任意x1≠x2，都有＞0成立∴函数在R上单调增∴∴故答案为：[，2）．先确定函数在R上单调增，再利用单调性的定义，建立不等式，即可求得a的取值范围．本题考查函数的单调性，考查函数单调性定义的运用，属于中档题．
13.【答案】{b|b≥2或b≤0}．【解析】
解：由于f（x）=x2+bx+2，x∈R．则当x=-时，f（x）min=-，又函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则函数y必须要能够取到最小值，即-≤-，得到b≤0或b≥2，所以b的取值范围为{b|b≥2或b≤0}．故答案为：{b|b≥2或b≤0}．首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．y=f（f（x））它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数?y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于-本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14.【答案】2【解析】
解：由于f（1）=-4＜0，f（2）=ln?2-1＜0，f（3）=2+ln?3＞0， 又f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以在区间（2，3）内，故n=2， 故答案为：2．分别计算f（1），f（2），f（3）的值，根据函数零点的判定定理，从而得到结论．本题考查了函数零点的判定定理，是一道基础题．
15.【答案】解：（1）将（2，8）代入函数的解析式得：
2
??
2
+??+1
=8=23，即m2+m-2=0，解得：m=-2（舍）或m=1，故f（x）=x3；（2）由f（x）=x3，f（x）在R递增，若f?（2-a）＞f（a-1），则2-a＞a-1，解得：a＜3．【解析】
（1）代入点的坐标，求出m的值，从而求出函数的解析式即可； （2）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了幂函数的定义，考查函数求值以及函数的单调性问题，是一道基础题．
16.【答案】解：（1）作f（x）=|x2-4x+3|的图象如下，，（2）由图象可知，f（x）在（-∞，1），（2，3）上单调递减，在（1，2），（3，+∞）上单调递增；（3）作f（x）=|x2-4x+3|与y=mx的图象如下，，可知直线m与曲线相切，当1＜x＜3时，f（x）=-（x2-4x+3），f′（x）=-2x+4，故-2x+4=
?
??
2
+4???3
??
，即x=
3
，故直线m的斜率k=4-2
3
，故集合M={m|使方程f（x）=mx有四个不相等的实根}=（0，4-2
3
）．【解析】
（1）借助对称性作f（x）=|x2-4x+3|的图象即可， （2）由图象写出函数f（x）的单调区间即可； （3）作f（x）=|x2-4x+3|与y=mx的图象，求导确定相切时直线的斜率，从而求集合M．本题考查了学生的作图与应用图象的能力，同时考查了导数的综合应用．
17.【答案】解：（1）集合??={??|(
1
2
)
??
≥2}，B={y|y=lg（x2+a）}=[0，+∞）．由(
1
2
)
??
≥2，可得x≤-1；∴集合A={x|x≤-1}；那么?UA={x|x＞-1}；故得?UA∪B=（-1，+∞）．（2）集合B={y|y=lg（x2+a）}=[0，+∞）．可知y=lg（x2+a）的最小值为0，∵x2≥0，要使最小值为0，则lga=0可知a=1．故实数a的值为1．【解析】
（1）求解的解集可得集合A，B=[0，+∞）．即可得?UA∪B；（2）根据B={y|y=lg（x2+a）}=[0，+∞）．利用单调性可得实数a的值．本题考查对数函数的值域与最值，熟练掌握y=lgx的性质是解决问题的关键，属于基础题
18.【答案】解：（1）函数f（x）=loga（4-ax），其中常数a＞1，当x∈[1，2]，函数f（x）恒有意义，∴
4???＞0
4?2??＞0
??＞1
，求得1＜a＜2，故实数a的取值范围为（1，2）．（2）假设存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为1，∴f（x）在在区间[1，2]上为减函数，∴loga（4-a）=1，∴4-a=a，∴a=2，∴存在a =2，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为1．【解析】
（1）由题意，当x∈[1，2]，对数的真数大于零恒成立，由此求得实数a的取值范围． （2）假设存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值为1，由单调性可得4-a=a，由此求得a的值，可得结论．本题主要考查对数函数的性质，对数函数的运算法则的应用，属于基础题．
19.【答案】（12分）解：（1）∵f（x）=ex-e-x，函数y=ex为增函数，函数y=-e-x为增函数∴f（x）在R上是增函数．（亦可用定义证明）∵f（x）的定义域为R，且f（-x）=e-x-ex=-f（x），∴f（x）是奇函数．（2）存在．由（1）知f（x）在R上是增函数和奇函数，则f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切都成立?f（x2-t2）≥-f（x-t）=f（t-x）对一切x∈R都成立?x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立?t2+t≤x2+x=（x+
1
2
）2-
1
4
对一切x∈R都成立?
??
2
+??≤(
??
2
+??
)
??????
=?
1
4
?
??
2
+??+
1
4
=(??+
1
2
)
2
≤0，又(??+
1
2
)
2
≥0，∴(??+
1
2
)
2
=0，∴??=?
1
2
，∴存在??=?
1
2
，使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立．【解析】
（1）由已知中函数f（x）=ex-e-x，结合函数单调性“增+增=增”的性质及奇偶性的定义，可判断f（x）在R上是增函数且是奇函数．（2）不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立，即t2+t≤x2+x=（x+）2-对一切x∈R都成立，进而可得存在，使不等式f（x-t）+f（x2-t2）≥0对一切x∈R都成立．本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．
20.【答案】解：（1）∵g（x）=x+
??
2
??
≥2
???
??
2
??
=2e；（当且仅当x=
??
2
??
，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）-m有零点，则m≥2e；故m的取值范围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）-f（x）=x+
??
2
??
+x2-2ex-m+1，F′（x）=1-
??
2
??
2
+2x-2e=（x-e）（
??+??
??
2
+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2-2e2-m+1＜0；故m＞2e-e2+1．【解析】
（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值范围；（2）令F（x）=g（x）-f（x）=x++x2-2ex-m+1，求导F′（x）=1-+2x-2e=（x-e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值范围．本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．