2018-2019学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省镇江市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
已知A={3，4}，={1，3，5}，则A∪B=（　　）
A. {3} B. {1,4，5}C. {1,2，3，4，5} D. {1,3，4，5}
下列各组选项中，表示相同函数的是（　　）
A. ??=??与??=
??
2
B. ??=??与??=
??
2
??
C. ??=
??
2
与??=
??
2
D. ??=
??+1
???1
与??=
??
2
?1
若函数f（x）的定义域为R，则“f（﹣2）=f（2）”是“函数f（x）为偶函数”的（）条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要 D. 既不充分也不必要
若a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式成立的是（　　）
A.
??
??
2
+1
<
??
??
2
+1
B.
1
??
>
1
??
C.
??
2
<
??
2
D. ??|??|不等式x2-2x-3≥0的解集为（　　）
A. [?1,3] B. [?3,1]C. (?∞,?3]∪[1,+∞) D. (?∞,?1]∪[3,+∞)
函数y=ax+1+2（a＞0，且a≠1）恒过定点，其定点坐标是（　　）
A. (0,1) B. (?1,2) C. (?1,1) D. (?1,3)
函数f（x）=x2+2x+3的定义域为[-2，1]，则值域为（　　）
A. [2,6] B. [3,6] C. [2,+∞] D. [3,+∞]
已知函数f（x）=2x，对于f（x）定义域中任意x1，x2，给出如下结论：①f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）；②f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；③当x1≠x2时，（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0；④当x1≠x2时，f（3x1）+f（3x2）＞f（2x1+x2）+f（x1+2x2）．其中结论正确的序号是（　　）
A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ②④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
用区间表示函数f（x）=
??+1
+
1
???1
的定义域______．
已知函数f（x）=
???3
??+2
，??＞0
4，??=0
2??+1，??＜0
，那么f（f（0））=______．
求值：log98?log23=______．
函数f（x）=kx+2x+3k-1，若对于任意x∈{-4，1}，不等式f（x）≤0恒成立，则实数k的取值范围是______．
列举法表示方程x2-（2a+3）x+a2+3a+2=0的解集为______．
函数f（x）=
??+??
??+3
在区间（-3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是______．
如图所示，有一批材料可以建成长为30m的围墙，如果用该材料在墙角的地方围成一个矩形场地，中间用同样的材料隔成3个面积相等的矩形，则围成的矩形场地面积的最大值是______m2．
已知常数k，a∈R，a2-3a+1=0，函数f（x）=ak+ka-x为偶函数，且则f（3）=______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
已知全集U=R，集合A=[2，6]，B={x|-1≤x≤5}（1）A∩（?UB）；（2）已知集合C={x||x-a|≤3}，且A?C，求实数a的取值范围．
（1）36
1
2
-（
16
49
）
?
1
2
-（6
1
4
）
3
2
-（-1，5）0；（2）
????25+2????2
????
??
2
6?????
??
2
3
+
10
????1008
????
??

已知a∈R，f（x）=x2-2x+1-a2（1）当a=-2时，在所绘出的坐标系内作函数y=|f（x）|的图象，并写出函数y=|f（x）|的增区间；（2）解关于x的不等式f（x）≤0．

某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间th之间的关系为P=P0e-kt（其中P0表示初始废气中污染物数量，e是自然对数底数）．经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物．（1）问：15小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少36%需要花多长时间．
已知函数f（x）=x-
1
??
．（1）若x1，x2∈（0，+∞），请比较f（
??
1
+
??
2
2
）与
??(
??
1
)+??(
??
2
)
??
的大小，并证明；（2）若g（x）=x2+
1
??
2
-2kf（x）+2的定义域为[
1
2
，2]，求函数g（x）的最大值．
已知a，b∈R，且a＞0，函数f（x）=
4
??
+??
4
??
???
是奇函数．（1）求a，b的值；（2）如果函数f（x）的定义域为[1，2]，求函数f（x）的值域；（3）对任意x∈（0，+∞），不等式mf（x）-f（
??
2
）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D【解析】
解：∵A={3，4}，B={1，3，5}， ∴A∪B={1，3，4，5}， 故选：D．由已知直接利用并集运算得答案．本题考查并集及其运算，是基础题．
2.【答案】C【解析】
解：A．y=x，，解析式不同，两函数不相同；B．y=x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，两函数不相同；C．y=x2，s=t2的定义域都是R，且解析式相同，两函数相同；D.的定义域为{x|x≥1}，的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，定义域不同，两函数不相同．故选：C．通过化简得出选项A的两函数解析式不同，从而两函数不相同，而通过求定义域得出选项B，D的两函数不相同，从而选C．考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看这两函数的定义域和解析式是否都相同．
3.【答案】B【解析】
解：f（x）的定义域为R，∵f（-2）=f（2）推不出函数f（x）为偶函数，而函数f（x）为偶函数?f（-2）=f（2），∴f（-2）=f（2）是函数f（x）为偶函数的必要不充分条件．故选：B．由偶函数的定义可作出判断．本题考查了充要条件的判定方法、三角函数的奇偶性，考查了推理能力，属于基础题．
4.【答案】A【解析】
解：对于B：a=0或b=0，关系式没有意义．故错误．对于C：当a＜b＜0时，不等式不成立．对于D：当c=0时，不等式不成立．对于选项A：由于a＜b，且c2+1＞0，则：，故正确．故选：A．直接利用不等式的性质求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
5.【答案】D【解析】
解：不等式x2-2x-3≥0化为（x+1）（x-3）≥0， 解得x≤-1或x≥3， ∴不等式的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）． 故选：D．不等式化为（x+1）（x-3）≥0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
6.【答案】D【解析】
解：令x+1=0，解得：x=-1， 此时y=1+2=3 故函数恒过定点（-1，3）， 故选：D．根据a0=1（a≠0），求出对应的x，y的值即可．本题考查了指数幂的性质，考查函数恒过定点问题，是一道基础题．
7.【答案】A【解析】
解：f（x）=x2+2x+3=（x+1）2+2， f（x）max=f（1）=6， f（x）min=f（-1）=2， ∴f（x）值域为[2，6]． 故选：A．利用配方法求函数的值域．本题考查了二次函数值域，利用配方法求函数的值域，本题难度不大，属于基础题．
8.【答案】C【解析】
解：函数f（x）=2x，对于f（x）定义域中任意x1，x2，对于①f（x1?x2）=，f（x1）+f（x2）=；f（x1，x2）≠f（x1）+f（x2）；所以①不成立．②f（x1+x2）=，f（x1）f（x2）==；所以f（x1+x2）=f（x1）f（x2）；所以②正确．③函数f（x）=2x，是增函数，所以当x1≠x2时，（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0；正确；④当x1≠x2时，f（3x1）+f（3x2）==（）（-），f（2x1+x2）+f（x1+2x2）=+=（）=（）（），所以f（3x1）+f（3x2）＜f（2x1+x2）+f（x1+2x2）．其中结论正确的序号是②③．故选：C．利用指数函数的性质判断①②的正误；指数函数的单调性判断③的正误；利用指数的运算法则以及不等式判断④的正误．本题考查命题的真假的判断指数函数的单调性以及指数的运算法则的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．
9.【答案】[-1，1）∪（1，+∞）．【解析】
解：要使函数有意义需须，解得x≥-1且x≠1．故答案为：[-1，1）∪（1，+∞）．令被开方数大于等于0且分母不为0，求出x的范围，即为定义域．本题主要考查函数的定义域及其求法．求函数的定义域遇到开偶次方根时，要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间．
10.【答案】
1
6
【解析】
解：∵函数f（x）=，∴f（0）=4，f（f（0））=f（4）==．故答案为：．推导出f（0）=4，从而f（f（0））=f（4），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
3
2
【解析】
解：原式=?log23=?log23=，故答案为：．根据对数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】[-9，-
1
4
]【解析】
解：f（x）=kx+2x+3k-1=（k+2）x+3k-1．对于任意x∈{-4，1}，不等式f（x）≤0恒成立，可得，解得-9≤k≤．∴k的取值范围是[-9，-]；故答案为：[-9，-]由已知可得，求解不等式组得答案．本题考查函数恒成立问题，考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基本知识的考查．
13.【答案】{a+1，a+2}【解析】
解：根据题意，方程x2-（2a+3）x+a2+3a+2=0变形可得[x-（a+1）][x-（a+2）]=0， 有2个解：x1=a+1，x2=a+2， 则其解集为{a+1，a+2}； 故答案为：{a+1，a+2}．根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案．本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题．
14.【答案】（-∞，3）【解析】
解：根据题意，函数f（x）==1+，其导数f′（x）=，若其在区间（-3，+∞）上是增函数，则f′（x）=≥0在（-3，+∞）上恒成立，且f′（x）=0不恒成立，必有3-a＞0，解可得：a＜3，即a的取值范围为（-∞，3）；故答案为：（-∞，3）．根据题意，求出函数的导数f′（x）=，由导数与函数单调性的关系分析可得f′（x）=≥0在（-3，+∞）上恒成立，且f′（x）=0不恒成立，分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，注意正确计算函数的导数．
15.【答案】75【解析】
解：设每个小矩形长为x，宽为y，则3x+3y=30，即x+y=10 S=3xy=3x（10-x）=-3（x2-10x）=-3（x-5）2+75， ∴x=5时，Smax=75（m2）， 故答案为：75设每个小矩形长为x，宽为y，则依题意可知3x+3y=30，代入矩形的面积公式，根据二次函数的单调性求得围城矩形面积的最大值．本题考查函数的最值在实际生产生活中的应用，将实际问题转化为函数模型是解答本题的关键，属基础题．
16.【答案】1【解析】
解：∵f（x）=ak+ka-x为偶函数，∴ak+kax=ak+ka-x，又∵a=∴k=0，∴f（x）=1，∴f（3）=1．故答案为：1．根据偶函数的定义，求出k的值，进而求出f（x）=1，得f（3）．本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出k值，是解决该类问题的关键．
17.【答案】解：（1）全集U=R，集合A=[2，6]，B={x|-1≤x≤5}=[-1，5]，∴?UB=（-∞，-1）∪（5，+∞），∴A∩（?UB）=（5，6]；（2）∴集合C={x||x-a|≤3}={x|a-3≤x≤a+3}，又A?C，∴
??+3≥6
???3≤2
，解得3≤a≤5，∴实数a的取值范围是3≤a≤5．【解析】
（1）根据补集与交集的定义，计算即可； （2）根据集合间的包含关系，列不等式组求出a的取值范围．本题考查了集合间的基本运算问题，是基础题．
18.【答案】解：（1）36
1
2
-（
16
49
）
?
1
2
-（6
1
4
）
3
2
-（-1，5）0=6-
7
4
-
125
8
-1=-
99
8
．（2）
????25+2????2
????
??
2
6?????
??
2
3
+
10
????1008
????
??
=
????100
????
??
2
2
+
1008
1
2
=2+2016=2018．【解析】
（1）利用指数性质、运算法则直接求解． （2）利用对数性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：（I）a=-2时，f（x）=x2-2x+1-a2=x2-2x-3=（x-1）2-4，其图象如图所示，结合图象可知，函数y=|f（x）|的增区间[-1，1]，[3，+∞）， （2）由f（x）=x2-2x+1-a2≤0可得，[x-（1-a）][x-（1+a）]≤0①当a＞0时，1-a＜1+a，不等式的解集为[1-a，1+a]；②当a＜0时，1-a＞1+a，不等式的解集为[1+a，1-a]；③当a=0时，1-a=1+a，不等式的解集为{1}．【解析】
（I）把a=-2代入f（x），结合二次函数的图象即可作出图象，然后结合图象可求函数的单调递增区间； （2）由f（x）≤0可得，[x-（1-a）][x-（1+a）]≤0，结合二次不等式的求解进行分类讨论即可．本题主要考查了函数图象的变换及根据函数的图象求解函数的单调区间，二次不等式的求解，要注意分类讨论及数形结合思想的应用．
20.【答案】解：（1）由题意得，P=P0e-5k=（1-20%）P0，则e-5k=0.8，故当t=15时，P=P0e-15k=P0（e-5k）3=（80%）3P0=51.2%P0．故15个小时后还剩51.2%的污染物；（2）由题意，P0e-kt≤64%P0，即（e-5k）
??
5
≤0.64，即0.8
??
5
≤0.64，
??
5
≥2，即t≥10，故污染物减少36%需要花10小时．【解析】
（1）由题意得P=P0e-5k=P0（1-20%），从而可得e-5k=80%，代入t=15即可； （2）由题意得P0e-kt≤P064%，利用（1）从而解得t．本题考查了函数在实际问题中应用，同时考查了运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）f（
??
1
+
??
2
2
）＞
??(
??
1
)+??(
??
2
)
2
，由f（x）=x-
1
??
的导数为f′（x）=1+
1
??
2
，f″（x）=-
2
??
3
＜0，可得f（x）在x＞0为凸函数，即有f（
??
1
+
??
2
2
）＞
??(
??
1
)+??(
??
2
)
2
；（2）令t=x-
1
??
，可得t在[
1
2
，2]递增，可得-
3
2
≤t≤
3
2
，g（x）=x2+
1
??
2
-2kf（x）+2，可令h（t）=t2-2kt+4，当k≥
3
2
时，h（t）在-
3
2
≤t≤
3
2
递减，可得最大值为h（-
3
2
）=
25
4
+3k；当k≤-
3
2
时，h（t）在-
3
2
≤t≤
3
2
递增，可得最大值为h（
3
2
）=
25
4
-3k；当-
3
2
＜k＜
3
2
时，h（t）在-
3
2
≤t＜k递减，k＜t≤
3
2
递增，可得最大值为h（
3
2
）和h（-
3
2
）中较大的，由k≥0时，可得g（x）的最大值为
25
4
+3k；k＜0时，可得g（x）的最大值为
25
4
-3k．【解析】
（1）运用导数判断f（x）的单调性和凹凸性，即可得到结论； （2）运用换元法和二次函数的最值求法，可得所求最大值．本题考查函数的最值求法，注意分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），即2-2a+（b-a）（4x+4-x）=0恒成立，∴
2?2??=0
?????=0
，解得a=b=1；（2）由（1）知f（x）=
4
??
+1
4
??
?1
=1+
2
4
??
?1
在[1，2]上递减，所以f（2）≤f（x）≤f（1），即
17
15
≤f（x）≤
5
3
，所以函数f（x）的值域为[
17
15
，
5
3
]；（3）不等式mf（x）-f（
??
2
）＞0?m（1+
2
4
??
?1
）-（1+
2
4
??
2
?1
）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，令2x=t（t＞1），则m＞
??+1
???1
??
2
+1
??
2
?1
=
(??+1
)
2
??
2
+1
=
??
2
+1+2??
??
2
+1
=1+
2??
??
2
+1
=
2
??+
1
??
对t＞1恒成立，∵
2
??+
1
??
?在t＞1时，递减，所以
2
??+
1
??
＜1，m≥1．【解析】
（1）利用f（-x）=-f（x）恒成立可得； （2）分离常数后，判断单调性，利用单调性求值域； （3）换元令2x=t，构造函数用基本不等式求最值．本题考查了函数奇偶性、单调性、不等式恒成立．属中档题．