2018-2019学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省扬州市高邮市高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
已知U={1，2，3，4}，A={1，3}，则?UA=______．
已知sinα=
4
5
，且α是第二象限角，则cosα=______．
cos150°=______．
已知幂函数f（x）=xα的图象过点(3，
3
)，则f（x）=______．
已知扇形的半径为4cm，圆心角为
??
4
，则扇形面积为______cm2．
函数??=
1
2???
+????(??+3)的定义域为______．
已知f（x+1）=x2+5x，则f（x）=______．
若函数f（x）=2x+2x-9在区间（k，k+1）（k∈Z）上存在零点，则k=______．
已知a=21.2，??=(
1
2
)
?0.8
，??=????
??
1
2
3，则a，b，c大小顺序为______．（用“＜”连接）
已知函数f（x）=x3-ax+2，a∈R，若f（m）=1，则f（-m）=______．
已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，则不等式
??(??)
??
＞0的解集为______．
已知函数y=log
1
3
（x2-2ax+3）在（-∞，1）上为增函数，则实数a的取值范围是______．
已知函数f（x）=|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为4，则m+n=______．
下列叙述正确的序号是______（把你认为是正确的序号都填上）．①定义在R上的函数f（x），在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数；②已知函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，那么这样的函数有9个；③]若函数f（x）=|2x+a|在[3，+∞）上单调递增，则a=-6；④已知f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），则f（x）为偶函数．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
已知集合A={x|x＞0}，集合B={x|m≤x≤m+3}．（1）当m=-1时，求A∩B，A∪B；（2）若A∩B=B，求m的取值范围．
计算下列各式的值：（1）
0.064
?
1
3
?
16
3
4
+(
1
9
)
0
?
4
81
；（2）????
??
1
9
3+2????4+????
5
8
+
3
1+????
??
3
4
．
已知角α的终边经过点??(??，2
2
)，且????????=?
1
3
．（1）求m的值；（2）求
2
??????(?????)+??????(
??
2
+??)
3
2
??????(???)???????(??+??)
的值．
高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m（40＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求m的取值范围．
已知函数??(??)=
???
4
??
?1
4
??
+1
是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性，并利用结论解不等式f（x2-2x）+f（3x-2）＜0；（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是[
??
4
??
，
??
4
??
]，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知函数??(??)=???
4
??
，??∈[1，4]．（1）求出函数f（x）值域；（2）设??(??)=
??
2
+
16
??
2
?2??(???
4
??
)，x∈[1，4]，a∈R，求函数F（x）的最小值g（a）；（3）对（2）中的g（a），若不等式|g（a）|＞-2a2+at+4对于任意的a∈（0，3）时恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{2，4}【解析】
解：∵U={1，2，3，4}，A={1，3}， ∴?UA={2，4}． 故答案为：{2，4}．利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】-
3
5
【解析】
解：∵sinα=，且α是第二象限角，∴cosα=-=-．故答案为：-由sinα的值且α为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值即可．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3.【答案】?
3
2
【解析】
解：cos150°=-cos30°=-．故答案为：-．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可．本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数求值，是基础题．
4.【答案】
??
1
2
【解析】
解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（3，）代入可得=3α，∴α=，即f（x）=，故答案为：．设幂函数y=f（x）=xα，把点（3，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式即可．本题主要考查求幂函数的解析式，属于基础题．
5.【答案】2π【解析】
解：S扇形==2π，故答案为：2π．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】（-3，2）【解析】
解：由题意得：，解得：-3＜x＜2，故答案为：（-3，2）．根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．
7.【答案】x2+3x-4【解析】
解：∵f（x+1）=x2+5x=（x+1）2+3（x+1）-4， 则f（x）=x2+3x-4． 法二：令t=x+1，则x=t-1， ∵f（x+1）=x2+5x， 则f（t）=（t-1）2+5（t-1）=t2+3t-4， ∴f（x）=x2+3x-4， 故答案为：x2+3x-4．直接利用换元或配凑法可求解函数的解析式．本题开始函数的解析式求解方法的应用，是基本知识的考查．
8.【答案】2【解析】
解：∵函数f（x）=2x+2x-9是R上的增函数，且在区间（k，k+1）（k∈Z）上存在零点， 根据f（2）=-1＜0，f（3）=8＞0，f（2）f（3）＜0，∴k=2， 故答案为：2．由题意可得函数f（x）=2x+2x-9是R上的增函数，且满足f（2）＜0，且f（3）＞0，f（2）f（3）＜0，从而得到k的值．本题主要考查函数的单调性和零点，属于基础题．
9.【答案】c＜b＜a【解析】
解：∵a=21.2＞21=2，0＜=＜2，＜，∴c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a，b，c与0和2的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．
10.【答案】3【解析】
解：令g（x）=x3-ax， 则g（-x）=-g（x），函数g（x）是奇函数， 故f（m）=g（m）+2=1， 故g（m）=-1，g（-m）=1， 故f（-m）=g（-m）+2=3， 故答案为：3．令g（x）=x3-ax，根据函数的奇偶性求出g（-m）的值，从而求出f（-m）的值即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数求值，是一道常规题．
11.【答案】（-2，0）∪（0，2）【解析】
解：根据题意，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，则在（0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，又由函数f（x）为奇函数，则在（-∞，-2）上，f（x）＞0，在（-2，0）上，f（x）＜0，不等式?或，解可得：-2＜x＜0或0＜x＜2，即不等式的解集为（-2，0）∪（0，2）；故答案为：（-2，0）∪（0，2）．根据题意，由函数（0，+∞）上的在单调性以及f（2）=0分析可得在（0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，又由函数f（x）为奇函数，则在（-∞，-2）上，f（x）＞0，在（-2，0）上，f（x）＜0；又由?或，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及分式不等式的解法，属于基础题．
12.【答案】[1，2]【解析】
解：令u=x2-2ax+3，则y=logu 在（0，+∞）上单调递减．由y=log（x2-2ax+3）在（-∞，1）上?为增函数，可得u=x2-2ax+3在（-∞，1）上为减函数且函数值大于0，可得，解得1≤a≤2，故答案为：[1，2]．令u=x2-2ax+3，则由题意可得u=x2-2ax+3在（-∞，1）上为减函数且函数值大于0，可得，解得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．
13.【答案】
82
9
【解析】
解：∵函数f（x）=|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴0＜m＜1＜n，log3m＜0，log3n＞0，则-log3m=log3n，∴=n，得mn=1，∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为4，∴f（x）在区间[m2，]上的最大值为4，∴-log3m2=4，则log3m=-2，解得m=，n=9，则m+n=，故答案为：．由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log3m＜0、log3n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值，可得所求和．本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题．
14.【答案】①②④【解析】
解：对于①，定义在R上的函数f（x），在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数，由函数单调性的定义可得①正确；②已知函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，定义域可为{1，2}，{1，-2}，{1，-2，2}，{-1，2}，{-1，-2}，{-1，2，-2}，{-1，1，2}{-1，1，-2}，{-1，1，-2，2}，那么这样的函数有9个，故②正确；对于③，若函数f（x）=|2x+a|在[3，+∞）上单调递增，可得3≥-，即a≥-6，故③错误；④已知f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），可得f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0，再由f（1）=2f（-1）=0，即f（-1）=0，可令x1=x，x2=-1，即有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），则f（x）为偶函数．故④正确．故答案为：①②④．由函数单调性的定义可判断①；运用列举法可得函数的个数，注意定义域的写法，可判断②；由绝对值函数的图象的对称性，可得3≥-，可判断③；运用赋值法和奇偶性的定义，可判断④．本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查对函数的理解和运用能力，属于基础题．
15.【答案】解：（1）当m=-1时，B={x|-1≤x≤2}，…………………（1分）∴A∩B={x|0＜x≤2}，…………………（4分）A∪B={x|x≥-1}；…………………（7分）（2）由A∩B=B得B?A，…………………（10分）∴m＞0，∴m的取值范围是m＞0．…………………（14分）【解析】
（1）求出m=-1时集合B，再计算A∩B和A∪B； （2）由A∩B=B知B?A，由此求得m的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
16.【答案】解：（1）原式=[(0.4
)
3
]
?
1
3
?(
2
4
)
3
4
+1?
4
3
4
…………………（3分）=0.4-1-23+1-3=
5
2
?8+1?3=?7
1
2
………………（7分）（2）原式=
????
??
3
3
????
??
3
1
9
+????
4
2
+????
5
8
+3×
3
????
??
3
4
…………………（10分）=
1
????
??
3
3
?2
+????(16×
5
8
)+3×4=?
1
2
+????10+12=12
1
2
……………………（14分）【解析】
（1）利用指数运算性质即可得出． （2）利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：（1）由三角函数的定义可知????????=?
1
3
=
??
??
2
+8
，解得m=±1；……………………（4分）∵????????=?
1
3
＜0，∴m＜0，∴m的值为-1；……………………（7分）（2）由（1）知??(?1，2
2
)，可得????????=?2
2
；……………………（9分）∴原式=
2
????????+????????
3
2
????????+????????
……………………（11分）=
2
????????+1
3
2
+????????
……………………（13分）=
2
×(?2
2
)+1
3
2
+(?2
2
)
=?
3
2
2
．……………………（15分）【解析】
（1）由三角函数的定义表示出cosα，求得m的值； （2）由（1）知点P的坐标，求出tanα，再化简计算所求的值．本题考查了三角函数的定义与计算问题，是基础题．
18.【答案】解：（1）当0＜x≤40时，y=100x；当40＜x≤m时，y=[100-（x-40）]x=-x2+140x，（40＜m≤100）；x＞m时，y=（140-m）x．∴y=
100??，0＜??≤40
?
??
2
+140??，40＜??≤??
(140???)??，??＞??
．（2）①当0＜x≤40时，y=100x，y随x增大而增大，②当40＜m≤100时，140-m＞0．∴y=（140-m）x，y随x增大而增大．当40＜x≤m时，y=-x2+140x=-（x-70）2+4900，∴当40＜x≤70时，y随x增大而增大；当x＞70时，y随x增大而减小．∴当40＜x≤70时，y=-（x-70）2+4900，y随x增大而增大．综上所述，当40＜m≤70时，景点收取的总费用随着团队中人数增加而增加．【解析】
（1）对x分类讨论，利用题意即可得出． （2）①当0＜x≤40时，y=100x，y随x增大而增大，②当40＜m≤100时，140-m＞0．y=（140-m）x，y随x增大而增大．进而得出答案．本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）根据题意，函数??(??)=
???
4
??
?1
4
??
+1
是定义在R上的奇函数，则f（0）=
??×
4
0
?1
4
0
+1
=0，解可得a=1，当a=1时，f（x）=
4
??
?1
4
??
+1
，有f（-x）=
4
???
?1
4
???
+1
=-
4
??
?1
4
??
+1
=-f（x），是奇函数，符合题意；故a=1；（2）函数f（x）在R上为增函数，证明如下：f（x）=
4
??
?1
4
??
+1
=1-
2
4
??
+1
，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（1-
2
4
??
1
+1
）-（1-
2
4
??
2
+1
）=
2(
4
??
1
?
4
??
2
)
(
4
??
1
+1)(
4
??
2
+1)
，又由x1＜x2，则（
4
??
1
-
4
??
2
）＜0，（
4
??
1
+1）＞0，（
4
??
2
+1）＞0，则f（x1）-f（x2）＜0，则函数f（x）在R上为增函数；不等式f（x2-2x）+f（3x-2）＜0?f（x2-2x）＜-f（3x-2）?f（x2-2x）＜f（2-3x）?x2-2x＜2-3x，解可得：-2＜x＜1，则不等式的解集为（-2，1）；（3）假设存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是[
??
4
??
，
??
4
??
]，又由（2）的结论，函数f（x）在[m，n]上为增函数，则有
??(??)=
4
??
?1
4
??
+1
=
??
4
??
??(??)=
4
??
?1
4
??
+1
=
??
4
??
，则m、n为方程
4
??
?1
4
??
+1
=
??
4
??
的两根，令t=4x，有t＞0，则
???1
??+1
=
??
??
即t2-（k+1）t-k=0有2个不等的正根，则有
1+??
2
＞0
△=(??+1
)
2
+4??＞0
???＞0
，解可得-3+2
2
＜k＜0，则k的取值范围为（-3+2
2
，0）．【解析】
（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（0）==0，解可得a的值，验证即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得函数为增函数；据此结合函数的奇偶性分析可得f（x2-2x）+f（3x-2）＜0?f（x2-2x）＜-f（3x-2）?f（x2-2x）＜f（2-3x）?x2-2x＜2-3x，解可得x的取值范围，即可得答案；（3）假设存在实数k，满足题意，结合函数的单调性分析可得，则m、n为方程=的两根，令t=4x，用换元法分析可得t2-（k+1）t-k=0有2个不等的正根，结合一元二次函数的性质分析可得，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，（3）中注意转化为一元二次方程的根的分布问题，属于综合题．
20.【答案】解（1）设任意的x1，x2∈[1，4]，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-
4
??
1
）-（x2-
4
??
2
）=（x1-x2）
??
1
??
2
+4
??
1
??
2
，∵x1＜x2，且x1，x2∈[1，4]，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）是[1，4]上的单调递增函数，∴x=1时，f（x）取得最小值f（1）=-3，x=4时，f（x）取得最大值f（4）=3，∴函数f（x）的值域为[-3，3]．（2）∵F（x）=x2+
16
??
2
-2a（x-
4
??
）=（x-
4
??
）2-2a（x-
4
??
）+8，令x-
4
??
=m∈[-3，3]，∴y=m2-2am+8，m∈[-3，3]当a≤-3时，g（a）=17+6a；当-3＜a＜3时，g（a）=8-a2；当a≥3时，g（a）=17-6a，∴g（a）=
17+6??
??≤?3
8?
??
2
?3＜??＜3
17?6??
??≥3
?（3）∵a∈（0，3）时，g（a）=8-a2则不等式|g（a）|＞-2a2+at+4对任意的a∈（0，3）恒成立，等价于|8-a2|＞-2a2+at+4对任意的a∈（0，3）恒成立，当0＜a＜2
2
时，8-a2＞-2a2+at+4，即a2-at+4＞0恒成立，也就是t＜（a+
4
??
），a∈（0，3）恒成立，令h（a）=a+
4
??
，0＜a＜2
2
，则t＜h（a）min，则h′（a）=1-
4
??
2
=
??
2
?4
??
2
，令h′（a）＞0，得2＜a＜2
2
，令h′（a）＜0，得0＜a＜2，所以h（a）在（0，2）上递减，在（2，2
2
）上递增，∴a=2时，h（a）取得最小值h（2）=4，∴t＜4当2
2
＜a＜3时，a2-8＞-2a2+at+4，即t＜（3a-
12
??
）恒成立，令p（a）=3a-
12
??
，2
2
＜a＜3，则t＜p（a）min，∵p′（a）=3+
12
??
2
＞0，∴p（a）在（2
2，
，3）上递增，∴p（a）＞p（2
2
）=3
2
，∴t＜3
2
，综上，t＜4．【解析】
（1）先判断单调性，再利用单调性求最值可得值域；（2）整体换元，令x-=m，转化为关于m的二次函数，求最值；（3）分类讨论去绝对值，然后将不等式恒成立转化为最值．本题考查了导数研究函数单调性、整体换元、二次函数求最值、分类讨论、不等式恒成立．属难题．