2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高一（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高一（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
已知集合A={-1，0，2}，B={-1，0，2}，则A∩B=______．
函数y=
1?2??
+lg2x的定义域为______．
幂函数y=xa的图象过点（2，
2
），则实数a的值为______．
log32×log49+2
????
??
2
1
=______．
函数y=（
1
3
）
??
2
?2??+2
的值域是______．
已知a=30.2，b=0.32，c=log0.32，则a，b，c的大小关系为______．（用“＜”连接）
函数f（x）=ln（x2-2x-3）的单调递减区间为______．
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若x＜0时，f（x）=2x-1，则f（2）=______．
已知函数f（x）=
??????,??>0
??
??
,??<0
，则f[f（
1
??
）]=______．
若函数f（x）=2-x-x+3的零点为x0，满足x0∈（k，k+1）且k∈Z，则k=______．
已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）是增函数，若f（log2x）＜f（-1），则x的取值范围是______．
函数f（x）=
(7?4??)?????,??≥1
??
??
,??<1
，满足[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＞0对任意定义域中的x1，x2成立，则实数a的取值范围是______．
已知函数f（x）=|lg（x-2）|，若存在互不相等的实数a、b使得f（a）=f（b），则a2?
5
???2
的最小值为______．
已知函数f（x）=
?(??+2
2
+1)(??+1)(??≤?1)
|
4
???
?2|(??＞?1)
，则关于x的方程f（x+
1
??
+1）=k的实根个数最多为______个．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
设全集为U=R，集合A={x|1≤x＜6}，集合B={x|-2＜x＜5}，求：（1）?U（A∪B）；（2）（?UA）∩B．
（1）计算(
1
3
)
?1
?????
??
2
8+(
0.5
?2
?2)×(
27
8
)
2
3
的值；（2）若a+a-1=3，求
??
1
2
?
??
?
1
2
和
??
3
2
?
??
?
3
2
的值．
已知函数f（x）=（a-1）x2+5x+2．（1）若函数f（x）有两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，求a的取值范围；（2）若x∈（-∞，2]时，函数f（x）的图象恒在直线y=5ax-a2的上方，求a的取值范围．
经市场调查，某商品在近100天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足关系：g（t）=109-t（t∈N*，1≤t≤100）在前40天内价格为f （t）=t+83（t∈N*，l≤t≤40）；在后60天内价格为f（t）=104-t（t∈N*，4l≤t≤100）．（1）试写出该商品的日销售额S与时间t的函数关系式；（2）求该商品在近100天内的日销售额S（t）的最大值．
已知函数f（x）=（x-1）|x-2|，x∈R（1）求不等式f（x）＜4的解集；（2）记f（x）在[0，a]上最大值为g（a），若g（a）＜1，求正实数a的取值范围．
已知函数f（x）=ln（ex+1）-mx是偶函数，g（x）=
??
2??
+??
??
??
是奇函数．（1）求m-n的值；（2）若对任意的a∈R，不等式g（a2-2a）+g（k-2a2）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）设h（x）=f（x）+
1
2
x，若g（x）＞h（ln（2a+1））对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】{-1，0，2}【解析】
解：A∩B={-1，0，2}． 故答案为：{-1，0，2}．根据交集定义求出即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．是基础题．
2.【答案】（0，
1
2
]【解析】
解：由，解得0．∴函数y=+lg2x的定义域为（0，]．故答案为：（0，]．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．
3.【答案】
1
2
【解析】
解：∵幂函数y=xa的图象过点（2，），∴，解得a=．故答案为：．由已知得，由此能求出a=．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．
4.【答案】2【解析】
解：原式=+1=2．故答案为：2．利用对数换底公式及其运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】（0，
1
3
]【解析】
解：∵t=x2-2x+2=（x-1）2+1≥1，∴y=（）≤（）1=．∴函数y=（）的值域是（0，]；故答案为：（0，]．令t=x2-2x+2，利用配方法求其值域，推出结果．本题考查复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足同增异减，是中档题．
6.【答案】c＜b＜a【解析】
解：∵a=30.2＞30=1，0＜b=0.32＜0.30=1，c=log0.32＜log0.31=0 ∴c＜b＜a 故答案为：c＜b＜a借助于中间量0，1，确定a，b，c与0，1的大小关系，即可得到结论．本题考查大小比较，解题的关键是利用指数函数、对数函数的单调性，确定a，b，c与0，1的大小关系．
7.【答案】（-∞，-1）【解析】
解：令t=x2-2x-3＞0，求得x＜-1，或x＞3，故函数的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞）， 且f（x）=lnt， 故本题即求t=x2-2x-3在定义域内的减区间， 结合二次函数的性质可得t=x2-2x-3在定义域内的减区间为（-∞，-1）， 故答案为：（-∞，-1）．令t=x2-2x-3＞0，求得函数的定义域，且f（x）=lnt，故本题即求t=x2-2x-3在定义域内的减区间，再结合二次函数的性质可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
8.【答案】5【解析】
解：根据题意，x＜0时，f（x）=2x-1， 则f（-2）=2×（-2）-1=-5， 又由函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（2）=-f（-2）=5； 故答案为：5．根据题意，由函数的解析式可得f（-2）的值，进而结合函数为奇函数可得f（2）=-f（-2），即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的解析式，属于基础题．
9.【答案】
1
??
【解析】
解：∵函数f（x）=，∴f（）=ln=-1，∴f[f（）]=f（-1）=e-1=．故答案为：．由函数f（x）=，知f（）=ln=-1，由此能求出f[f（）]的值．本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10.【答案】3【解析】
解：根据题意，函数f（x）=2-x-x+3，分析可得f（x）为减函数，且f（3）=2-3-3+3=＞0，而f（4）=2-4-4+3=-＜0，则f（3）f（4）＜0，则函数f（x）的零点在（3，4）上，则k=3；故答案为：3．根据题意，分析可得f（x）为减函数，进而计算f（3）、f（4）的值，分析可得f（3）f（4）＜0，由函数零点判定定理可得答案．本题考查二分法的应用，涉及函数零点判定定理，属于基础题．
11.【答案】（0，
1
2
）【解析】
解：∵f（x）定义在R上的奇函数又f（x）在[0，+∞）是增函数，∴f（x）在R上是增函数，又∵f（log2x）＜f（-1），∴log2x＜-1，∴0＜x＜，∴x的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．由已知得f（x）在R上是增函数，又f（log2x）＜f（-1），得log2x＜-1，得0＜x＜．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查自变量的取值范围，去掉f是解决此类问题的关键，属中档题．
12.【答案】1＜a≤
7
6
【解析】
解：[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＞0对任意定义域R中的x1，x2成立，可得f（x）在R上递增，由x＜1，f（x）=ax递增，可得a＞1；①x≥1时，f（x）=（7-4a）x-a递增，可得7-4a＞0，即a＜，②由增函数的定义可得a≥7-4a-a，即a≤，③由①②③可得1＜a≤，故答案为：1＜a≤．由题意可得f（x）在R上递增，运用指数函数的单调性和一次函数的单调性，以及分界点x=1处的函数值的特点，可得a的不等式组，解不等式可得a的范围．本题考查分段函数的单调性的判断和参数的取值范围，考查定义法的运用，以及运算能力，属于中档题．
13.【答案】
15
4
【解析】
解：函数f（x）=|lg（x-2）|，若存在互不相等的实数a、b使得f（a）=f（b），可得|lg（a-2）|=|lg（b-2）|，即有lg（a-2）+lg（b-2）=0，即（a-2）（b-2）=1，可得a2=a2-5（a-2）=（a-）2+，由a＞2可得当a=时，最小值为．故答案为：．由对数的运算性质可得（a-2）（b-2）=1，a＞2，即有a2=a2-5（a-2）=（a-）2+，可得所求最小值．本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和二次函数的最值求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
14.【答案】8【解析】
解：f（x）的图象如下： 令t=x++1，则f（t）=k，由图可知：关于t方程f（t）=k最多有4个解，而关于x的方程t=x++1最多有2个解，所以关于x的方程f（x++1）=k 的实根个数最多为8个．故答案为8通过整体换元，将原方程分解成两个方程，t=x++1，和f（t）=k，根据图象得f（t）=k最多4个根，t=x++1最多2个根，故原方程最多8个根．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．
15.【答案】解：（1）A∪B={x|-2＜x＜6}；∴?U（A∪B）={x|x≤-2，或x≥6}；（2）?UA={x|x＜1，或x≥6}；∴（?UA）∩B={x|-2＜x＜1}．【解析】
（1）进行并集、补集的运算即可； （2）进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，以及并集、交集和补集的运算．
16.【答案】解：（1）(
1
3
)
?1
?????
??
2
8+(
0.5
?2
?2)×(
27
8
)
2
3
=3-3+（4-2）×
9
4
=
9
2
．（2）∵a+a-1=3，∴（
??
1
2
?
??
?
1
2
）2=a+a-1-2=1，∴
??
1
2
?
??
?
1
2
=±1，
??
3
2
?
??
?
3
2
=（
??
1
2
?
??
?
1
2
）（a+a-1+1）=±1×（3+1）=±4．【解析】
（1）利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．（2）由a+a-1=3，得（）2=a+a-1-2=1，由此能求出，由=（）（a+a-1+1），能求出结果．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17.【答案】解：（1）依据零点存在性定理得：
??(1)???(2)<0
??(?1)???(0)<0
，即
(???1+5+2)(4???4+20+2)<0
(???1?5+2)×2<0
，解得：-6＜a＜-
9
2
，所以a的取值范围是：（-6，-
9
2
）（2）当x≤2时，（a-1）x2+5x+2＞5ax-a2，即（a-1）x2+（5-5a）x+2+a2＞0在（-∞，2]上恒成立，当a=1时，不等式显然恒成立；当a＞1时，开口向上，对称轴为x=
5
2
＞2，二次函数在（-∞，2]上递减，所以只需f（2）＞0，∴a2-6a+8＞0，∴a＜2或a＞4，又a＞1，∴1＜a＜2或a＞4当a＜1时，开口向下，对称轴x=
5
2
＞2，二次函数的图象在）-∞，2]上不可能恒成立x轴上方．综上所述：a的取值范围是1＜a＜2或a＞4．【解析】
（1）用零点存在性定理列不等式组解得； （2）通过不等式变形转化为二次函数在（-∞，2]上的图象恒成x轴上方，再结合图象列式可解得．本题考查了二次函数的性质与图象．属中档题．
18.【答案】解：（1）由题意知，当1≤t≤40，t∈N时，S=f（t）?g（t）=（t+83）?（109-t）=-t2+16t+9047，当41≤t≤100，t∈N时，S=f（t）?g（t）=（104-t）?（109-t）=t2-213t+11336，∴所求函数关系为S=
??
2
?213??+11336,(41≤??≤100,??∈??)
?
??
2
+16??+9047,(1≤??≤40,??∈??)
；（2）当1≤t≤40，t∈N时，S=-t2+16t+9047=-（t-8）2+9111，∴函数S=-t2+16t+9047在[1，40]上的最大值S（t）max=S（8）=9111（元），当41≤t≤100，t∈N时，S=t2-213t+11336，其对称轴方程为t=
213
2
，∴函数S=t2-213t+11336在[41，100]上单调递减，故S（t）max=S（41）=4284（元），∵4284＜9111，∴当t为8时，日销售额最大，最大值为9111．【解析】
（1）利用S=f（t）?g（t），通过t的范围求出函数的解析式； （2）利用分段函数结合二次函数的性质求解函数的最值即可．本题考查分段函数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
19.【答案】解：（1）当x≥2时，f（x）＜4可化为：x2-3x-2＜0，解得：
3?
17
2
＜x＜
3+
17
2
，又x≥2，∴2≤x＜
3+
17
2
；当x＜2时，f（x）＜4可化为：x2-3x+6＞0，解得x∈R，又x＜2，∴x＜2，综上所述：f（x）＜4的解集为：（-∞，
3+
17
2
），（2）因为f（x）=
??
2
?3??+2
??≥2
?
??
2
+3???2
??＜2
，其图象如下： 由图可知：当g（a）＜1时，0＜a＜
3+
5
2
，故a的取值范围是：（0，
3+
5
2
）【解析】
（1）分x≤2和x＞2两种情况解不等式，再相并； （2）画出分段函数的图象，再结合图象可得．本题考查了绝对值不等式的解法．属中档题．
20.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=ln（ex+1）-mx是偶函数，则f（x）=f（-x），即ln（ex+1）-mx=ln（e-x+1）+mx，变形可得：ln（
??
??
+1
??
???
+1
）=2mx，即2mx=x，解可得：m=
1
2
；g（x）=
??
2??
+??
??
??
是奇函数，则g）（-x）=-g（x），即
??
?2??
+??
??
???
=-（
??
2??
+??
??
??
），变形可得：
1+???
??
2??
??
??
=-（
??
2??
+??
??
??
），即（n+1）（e2x+1）=0，解可得n=-1，则m-n=
1
2
-（-1）=
3
2
；（2）由（1）的结论：g（x）=
??
2??
?1
??
??
=ex-e-x，其导数g′（x）=
??
2??
?1
??
??
=ex+e-x＞0，则g（x）在R上为增函数，则g（a2-2a）+g（k-2a2）＜0?g（a2-2a）＜-g（k-2a2）?g（a2-2a）＜g（2a2-k）?a2-2a＜2a2-k?a2+2a-k＞0，若不等式g（a2-2a）+g（k-2a2）＜0恒成立，必有a2+2a-k＞0恒成立，则有4+4k＜0，解可得k＜-1，即k的取值范围为（-∞，-1）；（3）根据题意，h（x）=f（x）+
1
2
x=ln（ex+1）-
1
2
x+
1
2
x=ln（ex+1），则h（ln（2a+1））=ln（2a+2），若g（x）＞h（ln（2a+1））对任意x≥1恒成立，即g（x）＞ln（2a+2）对任意x≥1恒成立，又由g（x）=
??
2??
?1
??
??
=ex-e-x，在R上为增函数，在[1，+∞），g（x）min=g（1）=e-
1
??
，若g（x）＞h（ln（2a+1））对任意x≥1恒成立，则有ln（2a+2）＜e-
1
??
，则有：
2??+1＞0
2??+2＞0
(2??+2)＜
??
???1
??
，解可得：-
1
2
＜a＜
??
???1
??
?2
2
；即a的取值范围为（-
1
2
，
??
???1
??
?2
2
）．【解析】
（1）根据题意，由偶函数的定义可得f（x）=f（-x），即ln（ex+1）-mx=ln（e-x+1）+mx，变形分析可得m的值，同理结合函数的偶函数的定义可得n的值，计算可得答案；（2）根据题意，求出g（x）的导数，分析可得g（x）在R上为增函数，进而可得g（a2-2a）+g（k-2a2）＜0?a2+2a-k＞0，结合二次函数的性质即可得答案；（3）根据题意，由对数的运算性质可得h（ln（2a+1））=ln（2a+2），进而求出g（x）在[1，+∞）的最小值，据此可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的恒成立问题，涉及函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将恒成立问题转化为最值问题，属于综合题．