2019高考数学（理）”一本“培养优选练：小题分层练4　中档小题保分练（2）Word版含解析

小题分层练(四)　中档小题保分练(2)
(建议用时：40分钟)
(对应学生用书第126页)
一、选择题
1．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sintan α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
C　[由α∈(0，π)，且cos α＝－，可得sin α＝，α∈，故sintan α＝cos α·＝sin α＝.]
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则S11＝(　　 )
A．66 B．55
C．44 D．33
D　[因为a1＋a5＝2a3，a8＋a10＝2a9，所以2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝6a3＋6a9＝36，所以a3＋a9＝6，所以S11＝＝＝33，故选D.]
3．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线与直线3x－y＋5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于(　　)
A. B.
C. D．2
B　[由于直线的斜率k＝3，所以一条渐近线的斜率为k′＝－，即＝，所以e＝＝，选B.]
4．某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图19，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为(　　 )
图19
A．20,2 B．24,4
C．25,2 D．25,4
C　[由频率分布直方图可知，组距为10，[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图可知[50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则N＝＝25，根据频率分布直方图可知[90,100]内的人数与[50,60)内的人数一样，都是2，故选C.]
5．(2018·福州模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则f(a－2)＝(　　 )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
A　[若a＞0，f(a)＝log2a＋a＝3，得a＝2，f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－；若a≤0,4a－2－1＝3，a＝3，不合题意，∴f(a－2)＝－，故选A.]
6．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝(　　 )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
B　[由{an}为等比数列，设公比为q.
即
显然q≠－1，a1≠0，
得1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.]
7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图20所示，则函数f(x)的解析式为(　　)
图20
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
A　[由函数图象可知A＝，＝6－(－2)＝8＝，所以ω＝.由点(2，)，可得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.由|φ|＜，可得φ＝，所以f(x)＝sin.故选A.]
8．某四棱锥的三视图如图21所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)
图21
A．3 B．2
C．2 D．2
B　[由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D-BCC1B1，最长棱为DB1，且DB1＝
＝＝2.]
9．(2018·兰州市一诊)已知圆C：x2＋y2＝16，直线l：y＝x，则圆C上任取一点A到直线l的距离大于2的概率是(　　 )
A. B.
C. D.
B　[如图所示，设直线l1，l2与直线y＝x之间的距离为d＝2，弧ACB和弧EFG上的点满足题意，且：sin∠DBO＝＝＝，
∴∠DBO＝30°，由几何概型计算公式可得圆C上任取一点A到直线l的距离大于2的概率P＝＝.选B.]
10．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝.则b的值为(　　 )
A. B．2
C. D.
A　[由正弦定理和余弦定理得＋＝，
化简得b＝.]
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为(　　 )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
B　[把y＝x＋3代入椭圆的方程，得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由于只有一个公共点，所以Δ＝0，得a2＋b2＝9，又＝，所以＝，解得a2＝5，b2＝4.]
12.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图22，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的侧面积为4，则该半球的体积为(　　 )
图22
A. B.
C. D.
D　[由题意知，设半球的半径为R，正方形ABCD的边长为AB＝R，顶点S在底面的射影是半球的球心O，取BC的中点M，连接SM，如图所示，则SM＝＝，所以四棱锥的侧面积为4××R×＝4，R＝，所以该半球的体积为V＝××π×()3＝.故选D.]
二、填空题
13．(2018·海南省第二次联合考试)若x＝1是函数f(x)＝(ex＋a)ln x的极值点，则实数a＝______.
－e　[因为f′(x)＝exln x＋(ex＋a)·，且x＝1是函数f(x)＝(ex＋a)ln x的极值点，所以f′(1)＝e＋a＝0，解得a＝－e.]
14．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x，过焦点的直线l交该抛物线于A，B两点，则·＝________.
－　[本题隐含条件是·的值为定值，所以·的值与直线l的倾斜角无关，所以取直线l：x＝，
不妨令A点在x轴上方．
由可得A，B，于是OA·OB＝－1＝－.]
15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，c＝，当ab取得最大值时，S△ABC＝________.
　[∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，c＝，
∴(a＋b)2－c2＝ab，得a2＋b2＝c2－ab＝3－ab.
∵a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时取等号，
∴3－ab≥2ab，则ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，
∴当ab取得最大值时，a＝b＝1，得cos C＝＝－，sin C＝＝，
故S△ABC＝absin C＝×1×1×＝.]
16．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1＋(－1)nSn＝2n，则S100＝________.
198　[当n为偶数时，Sn＋1＋Sn＝2n，Sn＋2－Sn＋1＝2n＋2，所以Sn＋2＋Sn＝4n＋2，故Sn＋4＋Sn＋2＝4(n＋2)＋2，所以Sn＋4－Sn＝8，由a1＝2知，S1＝2，又S2－S1＝2，所以S2＝4，因为S4＋S2＝4×2＋2＝10，所以S4＝6，所以S8－S4＝8，S12－S8＝8，…，S100－S96＝8，所以S100＝24×8＋S4＝192＋6＝198.]